福建省漳州市云霄四中2017届高三上学期第一次月考数学

2016-2017学年福建省漳州市云霄四中高三（上）第一次月考数
学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知复数z满足（z+3i）（3+i）=7﹣i，则复数z在复平面内对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．特称命题“∃x∈R，使x2+1＜0”的否定可以写成（）
A．若x∉R，则x2+1≥0 B．∃x∉R，x2+1≥0
C．∀x∈R，x2+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≥0
3．已知条件p：x2+x﹣2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3
4．已知函数f（x）=，则=（）
A．B． C．9 D．﹣9
5．下列式子中成立的是（）
A．log0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5
C．3.50.3＜3.40.3D．log76＜log67
6．设f（x）=e x+x﹣4，则函数f（x）的零点所在区间为（）
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
A．﹣10 B．6 C．14 D．18
8．已知sin2α=，则cos2（α﹣）=（）
A．﹣B．﹣C．D．
9．已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，
则实数k的取值范围是（）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）
10．已知α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=，则这个三角形（）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形
11．函数y=的图象大致是（）
A．B．C．
D．
12．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（）
①f（x）＜0恒成立；
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；
③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；
④；
⑤．
A．①③B．①③④ C．②④D．②⑤
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．函数f（x）=的定义域是．
14．已知tan（α﹣π）=，且α∈（，），则sin（α+）=．
15．sin15°+sin75°的值是．
16．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是．
三．解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合A={x|＞1，x∈R}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．
（Ⅰ）当m=3时，求；A∩（∁R B）；
（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．
18．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．已知tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求的值．
20．求函数f（x）=﹣4x+4在[0，3]上的最大值与最小值．
21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．
22．设函数f（x）=x2e x．
（1）求该函数的单调区间；
（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
2016-2017学年福建省漳州市云霄四中高三（上）第一次
月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知复数z满足（z+3i）（3+i）=7﹣i，则复数z在复平面内对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【解答】解：∵（z+3i）（3+i）=7﹣i，∴（z+3i）（3+i）（3﹣i）=（7﹣i）（3﹣i），
∴z+3i=2﹣i，化为：z=2﹣4i．
则复数z在复平面内对应的点（2，﹣4）在第四象限．
故选：D．
2．特称命题“∃x∈R，使x2+1＜0”的否定可以写成（）
A．若x∉R，则x2+1≥0 B．∃x∉R，x2+1≥0
C．∀x∈R，x2+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≥0
【考点】命题的否定．
【分析】根据命题“∃x∈R，使得x2+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，即：∀x∈R，都有x2+1≥0，从而得到答案．
【解答】解：∵命题“∃x∈R，使x2+1＜0”是特称命题
∴否定命题为：∀x∈R，都有x2+1≥0．
故选D．
3．已知条件p：x2+x﹣2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先化简不等式，再根据q是p的充分不必要条件，即可求得．
【解答】解：∵条件p：x2+x﹣2＞0，
∴条件q：x＜﹣2或x＞1
∵q是p的充分不必要条件
∴a≥1
故选A．
4．已知函数f（x）=，则=（）
A．B． C．9 D．﹣9
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【分析】先由函数的解析式求出f（）=﹣2，可得要求的式子即f（﹣2）=3﹣2，运算求得结果．
【解答】解：由题意可得f（）==﹣2，f[（f（）]=f（﹣2）=3﹣2=，
故选A．
5．下列式子中成立的是（）
A．log0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5
C．3.50.3＜3.40.3D．log76＜log67
【考点】幂函数的性质；指数函数单调性的应用．
【分析】分别构造函数，根据函数的性质，比较每组函数值的大小
【解答】解：对于A：设函数y=log0.4x，则此函数单调递减∴log0.44＞log0.46∴A选项不成立
对于B：设函数y=1.01x，则此函数单调递增∴1.013.4＜1.013.5 ∴B选项不成立
对于C：设函数y=x0.3，则此函数单调递增∴3.50.3＞3.40.3 ∴C选项不成立
对于D：设函数f（x）=log7x，g（x）=log6x，则这两个函数都单调递增∴log76＜log77=1＜log67∴D选项成立
故选D
6．设f（x）=e x+x﹣4，则函数f（x）的零点所在区间为（）
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】直接利用零点定理判断即可．
【解答】解：f（x）=e x+x﹣4，
f（﹣1）=e﹣1﹣1﹣4＜0，
f（0）=e0+0﹣4＜0，
f（1）=e1+1﹣4＜0，
f（2）=e2+2﹣4＞0，
f（3）=e3+3﹣4＞0，
∵f（1）•f（2）＜0，
∴由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）．
故选：C．
7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
A．﹣10 B．6 C．14 D．18
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=20，i=1
i=2，S=18
不满足条件i＞5，i=4，S=14
不满足条件i＞5，i=8，S=6
满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．
故选：B．
8．已知sin2α=，则cos2（α﹣）=（）
A．﹣B．﹣C．D．
【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．
【分析】利用二倍角公式化简cos2（α﹣）为，再利用诱导公式和条件计算求得结果．
【解答】解：已知sin2α=，则cos2（α﹣）==
==，
故选：D．
9．已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，
则实数k的取值范围是（）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】数形结合：要使方程f（x）=k有两个不相等的实根，只需y=f（x）与y=k的图象
有两个交点，作出函数f（x）=的图象，根据图象即可求得k的范围．
【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：
由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，
即方程f（x）=k有两个不同的实根，
故选：A
10．已知α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=，则这个三角形（）
A．钝角三角形B．锐角三角形
C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形
【考点】三角形的形状判断．
【分析】把所给的等式两边平方，得2sinαcosα=﹣＜0，在三角形中，只能cosα＜0，只有钝角cosα＜0，故α为钝角，三角形形状得判．
【解答】解：∵（sinα+cosα）2=，∴2sinαcosα=﹣，
∵α是三角形的一个内角，则sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．
故选A．
11．函数y=的图象大致是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．
当x→﹣∞时，y→+∞，排除B，
当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D，
故选：C
12．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的是（）
①f（x）＜0恒成立；
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；
③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；
④；
⑤．
A．①③B．①③④ C．②④D．②⑤
【考点】命题的真假判断与应用；导数的几何意义．
【分析】由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．由此可得函数f（x）的图象，再结合函数图象易得正确答案．
【解答】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，
并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示．
f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；
②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；
③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，
④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，
右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，
故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．
故选D．
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．函数f（x）=的定义域是{x|x＞2且x≠3} ．
【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．
【分析】根据对数函数及分式有意义的条件可得，解不等式可得
【解答】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x＞2且x≠3
故答案为：{x|x＞2且x≠3}
14．已知tan（α﹣π）=，且α∈（，），则sin（α+）=﹣．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用诱导公式及同角的三角函数基本关系式的应用化简所求即可求值．
【解答】解：∵α∈（，），且tan（α﹣π）=，
∴tan（α﹣π）=tanα=，sin（α+）=cosα=﹣=﹣．
故答案是：﹣．
15．sin15°+sin75°的值是．
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的化简求值．
【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．
故答案为：．
16．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x，若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，实数a的取值范围是（﹣∞，0] ．
【考点】导数的运算．
【分析】先对函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0问题，进而求出参数a的取值范围．
【解答】解：y=3x2﹣2ax﹣3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0，
∴a≤0．
实数a的取值范围是（﹣∞，0]．
故填：（﹣∞，0]．
三．解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知集合A={x|＞1，x∈R}，B={x|x2﹣2x﹣m＜0}．
（Ⅰ）当m=3时，求；A∩（∁R B）；
（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．
【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算．
【分析】（1）通过解一元二次不等式求得集合B；
（2）解分式不等式求得集合Q，根据A∩B=（﹣1，4），A=（﹣1，5）得4是方程x2﹣2x ﹣m=0的一个根，求得m=8，再验证是否满足条件．
【解答】解：（1）当m=3时，由x2﹣2x﹣3＜0⇒﹣1＜x＜3，
由＞1⇒﹣1＜x＜5，
∴A∩B={x|﹣1＜x＜3}；
（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，
∵A=（﹣1，5），
∴4是方程x2﹣2x﹣m=0的一个根，
∴m=8，
此时B=（﹣2，4），满足A∩B=（﹣1，4）．
∴m=8．
18．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）若a=1，根据p∧q为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围；（2）根据￢p是￢q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，
若￢p是￢q的充分不必要条件，
则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，
设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，
又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，
B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，
则0＜a≤2，且3a≥4
∴实数a的取值范围是．
19．已知tanα=2．
（1）求tan（α+）的值；
（2）求的值．
【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．
【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．
（2）利用二倍角公式化简求解即可．
【解答】解：tanα=2．
（1）tan（α+）===﹣3；
（2）=
===1．
20．求函数f（x）=﹣4x+4在[0，3]上的最大值与最小值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求出函数在[0，3]上的端点处的函数值，再利用导数求出极值，其中最大者为最大值，最小者为最小值．
【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣4，
由f′（x）=x2﹣4=0，得x=2，或x=﹣2，
∵x∈[0，3]，∴x=2，
x f x f x
当x=0时，f（x）max=f（0）=4，
当x=2时，．
21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求导数，可得切线的斜率，即可求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，则g（x）=ax2﹣x+2在（0，+∞）2个解，根据二次函数的性质求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+，
∴f（1）=1，
∴切点为（1，1）
∵f′（x）=﹣1﹣=，
∴f′（1）=﹣2，
∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣3=0；
（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=，
若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，
则g（x）=ax2﹣x+2在（0，+∞）2个解，
故，
解得：0＜a＜．
22．设函数f（x）=x2e x．
（1）求该函数的单调区间；
（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出导函数f′（x），令导函数f′（x）＞0，求解即可求得单调增区间，令f′（x）＜0，求解即可求得单调减区间，从而求得答案；
（2）将恒成立问题转化成求函数f（x）最大值，利用导数求出函数f（x）的最大值，即可求得实数m的取值范围．
【解答】解：∵，
∴f′（x）=xe x+x2e x=e x x（x+2），
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，
令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；
（2）∵当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞f（x）max，
由（1）可知，f′（x）=xe x+x2e x=e x x（x+2），
令f′（x）=0，可得x=﹣2或x=0，
∵f（﹣2）=，f（0）=0，f（2）=2e2，
∴f（x）max=2e2，
∴m＞2e2，
∴实数m的取值范围为m＞2e2．
2016年12月20日。