1.7.1定积分的简单应用

F (b)
F (a)
第二页，共61页。
证明：
因为f(x)在[a,b]内连续
x
f(t)dt是f(x)的一个原函数. a
又F(x)是f(x)的原函数，
∴F(x)= x f(t)dt+C.在上式中令x=a,则由
得到aCf=(Ft)(daa)t = 0
a
移项得
x
a f(t)dt
=
F(x) - F a
令
64 3
26 3
18
法2：s
4
[(4
2
y)
1 2
y2 ]dy
(4
y
1 2
y2
1 6
y3 ) |42
18
第十三页，共61页。
练习
练习 2：计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成的图形的面积.
解: 两曲线的交点
y x3 6x
y
x2
A1
0 2
(0,0), (2,4), (3,9).
3
x2
|80
8
X型求解法
22
40
16 2 8
3
3
法3：s
4
[(4
y)
1
y2 ]dy
0
2
(4
y
1 2
y2
1 6
y3)
|04
x 1 y2 2
x 4 y
4 4 1 42 1 43 40 26 3
第十二页，共61页。
Y型求解法
练习
练习 1（例 2 变式题）：
计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形的面积
(x3 6x x2 )dx
y x2
A1
A2
3 0
(x2 x3 6x)dx
于是所求面积 A A1 A2
A2
y x3 6x
A
0 ( 2
x3
6
x
x2
)dx
3(x2 0
x3
6
x)dx
253 . 12
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
第十四页，共61页。
练习3 求 y x 3 与直线 x 1, x 2 及 x 轴所围成的
0
2xdx [
8
4
2xdx ( x 4)dx]
8
4
(0 2xdx 4 2xdx) 4 ( x 4)dx
8
8
0 2xdx 4 ( x 4)dx
22 3
3
x2
|80
( 1 2
x2
4 x) |84
40 3
第十一页，共61页。
法2：s 8 2xdx 1 4 (8 4)
0
2
22 3
解 如图：建立直角坐标系。
因为弹力的大小与弹簧的伸长 （或压缩）成正比，即
F kx
已知 F 1N , x 0.01
代入上式得 k 100
o
从而变力为 F 100 x 比例系数
所求的功
x
F kx
x
W
0.1
100
xdx
0.5J
0
第二十八页，共61页。
练一练 2.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm,
第四页，共61页。
类型一.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x轴 所围成平面图形的面积S
y y f (x)
y y f (x)
oa
bx
oa c b x
(1)
(2)
(3)
b
(1) S a f (x)dx
b
(2) S a f (x)dx
c
b
c
b
(3) S | a f (x)dx | c f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
10
40
60
S 3tdt 30dt (1.5t 90)dt
0
10
40
3 2
t2
10 0
30t
40 10
(
3 4
t2
90t)
60
1350(m)
40
第二十四页，共61页。
法二：由定积分的几何意义，
直观的可以得出路程即为 如图所示的梯形的面积，即
v/m/s
30 A
B
20
10
C t/s o 10 20 30 40 50 60
1.7.1定积分的简单应用
第一页，共61页。
一、复习
1.平面图形的面积:
y y f (x)
A
y
y f2(x)
A
y f1( x)
oa
bx
oa
bx
A
b
a
f
(
x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
2.微积分基本定理: [其中F´(x)=f(x)]
b a
f
( x)dx
F (x) |ba
克服弹力所作的功为( A )
(A)0.18J (B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J
第二十九页，共61页。
练一练
3.一物体在力
F
(
x)
10 3 x
4
(0 ≤ x ≤ 2) (单位:N)的作用下,沿着 ( x 2)
与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 处(单位:m),则力 F(x)所
1
1
x
( x3 x) 2 ( x3 x) 1 8
3
13
1 3
第六页，共61页。
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(a<b) 所围成平面图形的面积S
y f (x)
y
y f (x)
y g(x)
oa
bx
(1)
y g(x) (2)
总结：当 x∈[a，b]有 f(x)>g(x)时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)
区间[a, b]内运动的路程s为
b
s a v(t)dt
2、变力沿直线所作的功 物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着
与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，则变力F(x) 所
做的功为:
b
W a F (x)dx
第三十二页，共61页。
第三十三页，共61页。
第三十四页，共61页。
第五页，共61页。
类型一：由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的
求解
练习. 求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的 图形的面积。
解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐
标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：
y
所以：
S 2 (x2 1)dx 1 (x2 1)dx
第十七页，共61页。
第十八页，共61页。
第十九页，共61页。
第二十页，共61页。
第二十一页，共61页。
定积分在物理中的应用
第二十二页，共61页。
一、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则此物体在 时间区间[a, b]内运动的距离s为
b
s a v(t)dt
作的功为( )J
(A)44 (B)46 (C)48 (D)50
B
析：W
4
F ( x)dx
2
10dx
4
(3x 4)dx
0
0
2
10 x
|02
( 3 2
x2
4x)
|42
46(J )
第三十页，共61页。
练一练4一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t24t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位移;
图1.7 3
30 60
s
30 1350
2
第二十五页，共61页。
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力
的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移
动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝
b
a
f
x
g
xd. x
第七页，共61页。
注
：
第八页，共61页。
两曲线围成的平面图形的面积的计算
例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
S 5 (2t 3)dt 22m 3
第三十九页，共61页。
练习：A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
C
y x2
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
O
1 xdx 1 x2dx
0
0
o
y xx2
D
A
S =
1(
0
x - x2)dx
23 ( x2
3
x3 3
)
|10
1. 3
第九页，共61页。
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)
第三十七页，共61页。
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0.
∴在t＝4 s时的路程为
1
3
4
s＝0(t2－4t＋3)dt－1(t2－4t＋3)dt＋3(t2－4t＋3)dt
＝(13t3－2t2＋3t)|10－(13t3－2t2＋3t)|31＋(13t3－2t2＋3t)|43＝4(m)．
问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物
体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，则变力
F(x) 所做的功为:
F
y F (x)
b
W a F (x)dx
x
O 第二十六页，共61页。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
xi
b
例题
例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置l
米处，求克服弹力所作的功．
x
= b,即得
b
a
f
x
dx
= Fb- Fa.
第三页，共61页。
b
3.定积分 f (x)dx的几何意义: a
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y
y
yf (x) Oa
b f (x)dx =s
a
a
bx
Oa
bx
yf (x)
当f(x)0时 积分 b f (x)dx 在几何上表示 由yf (x)、xa、 a xb与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值 b f (x)dx S a
平面图形的面积。
解 所围成的图形如图所示：
y
y x3
则
s
0 x3dx 1
2 0
x
3
dx
17 4
1
0 2x
第十五页，共61页。
练习4 计算：由f 曲( x)线 x2 ,直线
y
x 2, x 2和 x 轴所围成的
-2
o
2
曲边梯形的面积
x
解:
S
=-
2 x2dx
2
2 x 2dx
2
1 3
x3
解: 两曲线的交点
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
S 2S1 S2
x 1 y2
y 2x y 2 x 4
S1 S1
S2 x 4 y
2
8
20 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
y2 2x
2
22 3
3
x2
|02
( 2 2 3
3
x2
1 2
x2
4 x) |82
16 3
即在t＝4 s时运动的路程为4 m.
第三十八页，共61页。
练一练
1、一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相 同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),求F(x)所作的
功.
40J
2.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为m/s)的速
度运动,求该物体在3~5s间行进的路程.
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4
0
(t 2
4t
3)dt
4,t=4s时刻该点距出发点4/3m
3
(2) S 1(t2 4t 3)dt | 3 (t2 4t 3)dt | 4 (t2 4t 3)dt 4
0
1
3
t=4s时刻运动的路程为4
第三十一页，共61页。
小结
1、变速直线运动的路程 设物体运动的速度vv(t) (v(t)≥0) ，则此物体在时间
(3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
第十页，共61页。
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S2
S1 y x 4
4
8
8
S S1 S2 4
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力Ｆ(x)与
弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比
即：F(x)=kx
所以据变力作功公式有
W
L
F ( x)dx
0
L
kxdx
0
1kx 2 2
|0L
1 2
kl 2 (J )
答:克服弹力所作功的功为 1 kl 2J .
2
第二十七页，共61页。
练一练
1.设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要使弹簧 伸长0.1米，需作多少功？
v
v v(t)
t
Oa
b
第二十三页，共61页。
例题
例 1 一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求
汽车在这 1min 行驶的路程。 v/m/s
解：由速度－时间曲线可知：
3t
(0 t 10) 30 A
B
vt 30
-1.5t 90
(10 t 40)
(40 t 60)
O
10
C t/s
40 60
2 2
1 23 (2)3 16
3
3
f (x) x2
第十六页，共61页。
练习5 如图所y示由4 和 f ( x) x2所围图形的
面积是多少？
y
s 解:
S S ABCD - 曲边梯形ABCD
4 4 -
16
2
2
x
2dx
A
-2
o
16
3
-4
32
C
3
B
2
x
y 4
D
f (x) x2
第三十五页，共61页。
第三十六页，共61页。