稀疏采样单测量面相干声场分离机理及方法研究

第35卷第1期2024年3月广西科技大学学报
JOURNAL OF GUANGXI UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
Vol.35No.1Mar.2024
稀疏采样单测量面相干声场分离机理及方法研究
郑贤1,2，伍
松*1，赵鑫1,2，魏晟弘1,2
（1.广西科技大学
机械与汽车工程学院，广西
柳州545616；
2.广西汽车零部件与整车技术重点实验室（广西科技大学），广西
柳州545616）
摘
要：为改进目前等效源法声场分离技术中存在的测点数目多、适用范围小等问题，提出一种稀疏采样方法
分离相干声场。

该方法首先对等效源强与重建面声压之间的传递矩阵进行奇异值分解，获取声场的一组稀疏基；然后通过等效源强建立起全息面上测量声压和测量法向振速与系数向量之间的关系；最后通过稀疏正则化求解系数向量的解，从而求出声场的分离声压和分离法向振速。

数值仿真分析结果表明：在测量点数较少的情况下，该方法相对于单全息面等效源法具有更高的分离精度；同时，该方法提高了等效源向量的稀疏度，扩大了声场分离的频率范围，在较高频率下仍然具有良好的分离精度。

关键词：等效源法；稀疏采样；声场分离；相干声场中图分类号：TB52
DOI ：10.16375/45-1395/t.2024.01.002
0引言
近场声全息（near field acoustic holography,NAH ）技术[1]突破了早期声全息的瑞利分辨率限制，是一种空间高分辨率的噪声识别和定位技术，在声场可视化和重建方面有着巨大的技术优势和广泛的应用前景。

输入全息面上测量得到的声压和质点振速等声学量，通过全息算法便可重建整个三维空间任一点处的所有声学量。

然而，当空间有多个声源时，全息面测量所获得的声学量为多个声源的叠加，若以该声学量作为输入来进行声源的识别和声场的重建，将会带来巨大的误差。

近场声全息技术要求测量时所有声源位于全息面一侧，另一侧声场为自由场，工程测量中，难以满足这一条件，限制了近场声全息技术的应用。

如何将目标声源信息从复杂声场中提取出来，成为声源定位和声源重建的关键。

声场分离技术能够很好地解决有多个相干声源位于测量面两侧的问题。

根据声场分离的原理，声场分离技术可以分为基于空间Fourier 变换法[2]、边界元法[3]、统计最优法[4]、波叠加法[5]和等效源法（equivalent source
method,ESM ）[6]
等。

在这些声场分离方法的基础
上，根据全息面的数量，分为单面法和双面法；根据输入的全息面参数，可以分为基于声压-振速（p -v ）的单全息面声场分离、基于声压（p -p ）和基于振速（v -v ）的双全息面声场分离。

这些方法需要知道2个全息面上的声压或振速，或者同时知道一个全息面上的声压和振速。

采用这些方法进行声场分离，需要的采样点数目较多。

双测量面2个全息面距离的选择没有通用的准则，只能依靠经验，如果参数选择不当，会产生较大的分离误差。

Mao 等[7-9]提出基于单全息面振速进行声场分离。

这些方法过于依赖目标声源内部等效源的配置，而且需要预先了解目标声源的形状和大致位置，需要一定的先验知识。

近年来，基于稀疏正则化的压缩感知（compre-ssive sensing ,CS ）技术引入近场声全息技术中，其采用少于传统需要量的测量数目实现了高分辨率声场重建[10]。

压缩感知[11]是一种潜在的技术，可以用于NAH 以摆脱处理空间采样造成的限制，当采样稀疏时，CS 能够利用信号的稀疏性解决欠定问题，同时提供高分辨率的重建精度。

Fernandez-Grande 等[12]在CS 框架中扩展了基于等效源法的NAH ，并讨论了传递矩阵相干性对重建声场鲁棒性的影响。

随后，Bi 等[13]将CS 理论应用于利用辐射声阻抗矩阵奇异值分
收稿日期：2023-01-03；修回日期：2023-03-02
基金项目：国家自然科学基金项目（51665006）；广西汽车零部件与整车技术重点实验室自主研究课题（2017GKLACVTZZ01）资助第一作者：郑贤，在读硕士研究生
*通信作者：伍松，博士，高级实验师，硕士生导师，研究方向：振动与噪声控制，E-mail ：
*****************
第1期郑贤等：稀疏采样单测量面相干声场分离机理及方法研究
解获得等效源强的稀疏基，并利用l
1
范数促进稀疏解
的压缩模态等效源法。

Hu等[14]提出了利用重建矩阵
奇异值分解得到声场一些列正交基，大大提高了解的
稀疏性。

CS已经在声场重建中得到了广泛的关注，
但在声场分离技术中尚未得到广泛应用。

声场分离作
为声场重建的预处理，在进行声场分离时同样受限于
奈奎斯特采样定理的限制，可引入CS来减少测点数
目，实现声场的精确分离。

Bi等[15]将稀疏采样引入声
场分离技术中，提出了稀疏框架下基于等效源法的
近场声全息技术。

胡定玉等[16]提出了在双全息面下
对虚源面与测量面之间的声压传递矩阵进行奇异值
分解，从而获得声源源强的稀疏基，然后利用稀疏
正则化，分离相干声场的声压。

单全息面声场分离虽然在一定程度上减少了测
量点的数目，但在奈奎斯特采样定理下，仍然需要
较多的测量点且需要一定的先验知识。

本文将稀疏
采样理论结合声场分离技术，将声压重建矩阵奇异
值分解，获得声场的正交基，利用等效源强与声压
和法向振速之间的关系，实现了较少测点下声压和
振速的精确分离；建立了单全息面声场分离的模
型，通过仿真实验证明了该方法的有效性，并对比
了其在不同频率声场中的分离精度，证明了该方法
的优越性。

1等效源法基本原理
ESM的基本原理是振动体内部产生的声场可
由其内部或测量表面布置的一系列等效源产生的声
场叠加来代替[17]。

本文使用点源作为等效源。

假设
使用N个等效源来模拟实际声场，那么声源在声场
中任意一点处辐射产生的压力p和质点振速v可表
示为
p(r)=jρck∑i=1N q(r i)g(r,r i),（1）
v(r)=∑i=1N q(r i)∇n g(r,r i),（2）
式中：r为声压p处源点的位置；j=-1；ρ是介
质密度；c为声速；k=ω/c，表示波数，ω为角频
率；q(r
i )为位于r
i
处第i个等效源的源强；∇
n
为法
向梯度的函数运算符；g(r,r
i
)为自由场的格函数，
可以表示为g(r,r
i )=
e-j k|r-r i|
4π|r-r
i
|。

假设全息面上有M个测量点，这时全息面上的声压和法向振速可以表示为
P
h =Gq,（3）
V
h
=Dq,（4）
式中：P
h
表示全息面上采样点测量得到的声压向
量，其维度为M×1；q表示布置在等效源面上的
等效源点的源强向量，其维度为N×1；G表示P
h
和q两者之间的传递矩阵，其维度大小为M×N；
V
h
表示全息面上采样点测量得到的质点法向振速；
D表示等效源点产生的等效源强与法向振速之间的
传递矩阵，其维度大小为M×N。

由式（3）、式（4）可看出，通过测得的M个测
量点声压或法向振速，从而求出等效源强向量，便
可计算声场中任意位置处的声压和法向振速，
P
r
=G
r
q,（5）
V
r
=D
r
q,（6）
式中：P
r
表示重建面上的声压向量；G
r
为等效源强
与重建面声压之间的传递矩阵；V
r
表示重建面上的
法向振速向量；D
r
表示等效源强与重建面法向振速
之间的传递矩阵。

当全息测量面上使用的采样点数小于在等效源
面上布置的等效源点数量时，即M<N，式（3）、
式（4）求解等效源强向量为不适定的声学逆问题，
可以通过最小化问题寻求具有最小二范数的解来求
解，即
arg min
q
||q||
2
,
subject to||Ω
h
-Γh q||2≤ε,（7）
式中：Ω
h
=[]
P
h
,V
h
T；Γ
h
=[]
G
h
,D
h
T；ε为一个与
噪声有关的误差项。

在存在噪声的情况下，通常使
用Tikhonov正则化来解决不适定问题以稳定求解
过程，
arg min
q
||Ω
h
-Γh q||22+λ||q||22,（8）
式中：λ为正则化参数，可通过L曲线法和广义交
叉验证法获得。

由式（8）求出等效源强向量后代入
式（5）、式（6）便可实现声场的重建。

在许多情况下，大部分等效源对声场贡献很
小，仅有一小部分便可重建声场，这时等效源强呈
现稀疏或者近似稀疏表示，可以使用l
1
范数代替式
（7）中的l
2
范数求解等效源强向量，即
arg min
q
||q||
1
,
subject to||Ω
h
-Γh q||2≤ε.（9）
2稀疏采样声场分离理论
对式（5）中声源内部布置的等效源产生的声源
源强与重建面声压之间的传递矩阵G
r
进行奇异值
11
第35卷
广西科技大学学报分解，
G r =U P ΣP V T P ,
（10）
式中：U P 和V P 分别为等效源强与重建面之间声压传递矩阵G r 的左酉矩阵和右酉矩阵；ΣP 为通过对G r 奇异值分解得到的奇异值组成的对角矩阵，其对
角线上的第i 个元素为λPi 。

将式（10）代入式（5）、式（6）可将重建面的声压和法向振速进行稀疏表示，即
P r =∑i =1
N
u Pi λPi v T Pi ,q =∑
i =1
N
u Pi w Pi =U P W P ,（11）V r =D r (G r )-1∑i =1
N u Pi w Pi =U V W P .
（12）
式（11）、式（12）通过奇异值分解将声压和法向振速表示为左酉矩阵和相应系数向量之间的乘积。

这时的声压和法向振速可以稀疏表示，利用稀疏采样理论，以远低于奈奎斯特采样定理的采样点数获取声源的全部信息[16]。

基于单面声压和法向振速测量的相干声场分离模型如图1所示。

x
z
H
R 2
Q 2
S 2
R 1
Q 1S 1
O
图1声场位置示意图
根据叠加原理，全息面上的测量声压和测量法向振速为2个声源单独辐射产生的声压和法向振速叠加得到，
P H =P 1+P 2,
（13）
V H =V 1-V 2,
（14）式中：P 1和P 2分别为声源S 1和S 2在全息测量面H 上辐射的声压向量；V 1和V 2分别为声源S 1和S 2在全息测量面H 上辐射的法向振速向量。

根据式（3）、式（5），声源S 1和S 2单独向全息测量面辐射的声压和法向振速可以表示为
P 1=G 1q 1,（15）P 2=G 2q 2,（16）V 1=D 1q 1,（17）V 2=D 2q 2,
（18）
式中：G 1和G 2分别为目标声源S 1和干扰声源S 2的等效源强与全息测量面H 上测点声压之间的传递矩阵；D 1和D 2分别为目标声源S 1和干扰声源S 2的等效源强
与全息测量面H 上测点法向振速之间的传递矩阵。

将式（14）、式（17）—式（18）代入式（13），可以
得到
P 1=P H +G 2D +2V H
I +G 2D +
2D 1G +
1.（19）
同理，将式（13）、式（15）、式（17）、式（18）代入式（14），可以得到
V 1=V +D 2G +2P
I +D 2G +2G 1D +1
,
（20）
其中，式（19）、式（20）为基于等效源法的单全息面声场分离公式。

由式（5）、式（6）可知，声源S 1和S 2在声场中的重建声压和重建法向振速表示为
P r1=G r1q 1,（21）P r2=G r2q 2,（22）V r1=D r1q 1,（23）V r2=D r2q 2.
（24）
对式（21）、式（22）求逆，可以得到声源S 1和S 2
的等效源强向量为
q 1=(G r1)-1P r1,（25）q 2=(G r2)-1P r2.
（26）
由式（11）、式（12）可得到重建声压和重建法向
振速的矩阵表示，即
P r1=U P 1W 1,（27）P r2=U P 2W 2,（28）V r1=U V 1W 1,
（29）V r2=U V 2W 2,
（30）
式中：U P 1和U P 2分别为声源S 1和S 2等效源强与重建面之间声压传递矩阵G r1和G r2通过奇异值分解得到的左酉矩阵；U V 1=D r1(G r1)-1U P 1；U V 2=D r2(G r2)-1U P 2.这时目标源和干扰源的声压和法向振速可以表示为
P 1=G 1(G r1)-1U P 1W 1=Φ1W 1,（31）P 2=G 2(G r2)-1U P 2W 2=Φ2W 2,（32）V 1=D 1(G r1)-1U P 1W 1=Ψ1W 1,（33）V 2=D 2(G r2)-1U P 2W 2=Ψ2W 2,
（34）
将上式写成矩阵形式，可表示为
Ω=ΘW ,（35）
式中：Ω=é
ëêùûúP V ；Θ=éëêùûúΦ1Φ2Ψ1Ψ2；W =éëêêùû
úúW 1W 2。

通过对等效源强与重建面之间声压传递矩阵G r1和G r2奇异值分解，获得声源S 1和S 2辐射信息的
稀疏表示。

这时可将CS 理论直接引入式（33），通过求解l 1范数最小化问题获得系数向量的解，即
Minimize W
||Ω-ΘW ||22+λ||W ||1.（36）
12
第1期郑贤等：稀疏采样单测量面相干声场分离机理及方法研究
（a ）声压实部
（b ）声压虚部
2.0
1.0
-1.0-1.5
声压/P a
理论值
测量值分离值
10
20
30
测点
声压/P a
1.51.0
-1.0
-1.5
10
20
30
测点
理论值测量值分离值
40
40
使用Matlab 中CVX 工具箱进行稀疏正则化，求解出系数向量W ，将其代入式（31）—式（34）便可求解出每个声源在全息测量面上辐射的声压和法向振速，从而实现相干声源的声场分离。

3数值模拟分析
为了验证本文所提方法对声场分离的可行性，对其进行了数值仿真实验，声场位置如图1所示。

在全息测量面H 两侧布置2个脉动球作为声源，声源1为目标源，将其布置于S 1(-0.15,0,0)，声源2作为干扰源，将其布置于S 2(0.15,0,0.2)。

2个声源大小一致，其半径均为0.01m 。

传播介质为空气，其密度取为1.21kg/m 3，传播速度取为34m/s 。

声源的表面径向振速为0.25m/s 。

重建面R 1与全息测量面H 之间的距离为δ1，重建面R 2与全息测量面H 之间的距离为δ2，δ1=δ2=0.02m 。

等效源布置在与声源同中心的等效源面上。

测量面H 位于Z H =0.1m 处，测点位于大小为0.5m ×0.5m 的网格节
点上，网格间距为0.025m ，从测量面中随机选取36个采样点，测量面上的测点分布如图2所示。

为了使仿真结果更加接近真实测量结果，在测量面上加入了高斯白噪声，信噪比为30dB 。

为了定量地描述误差，将其定义为
E P =
P th
-P cal 2
P th 2
,（37）
E V =
V
th
-V cal 2
V th
2
,（38）
式中：P th 和V th 分别为目标源的声压理论值和法向振速理论值；P cal 和V cal 分别为声压分离值和法向振速分离值。

0.250.20
0.10
-0.10
-0.20-0.25
-0.20
-0.10
0.05
y /m
x /m
图2使用36个采样点的随机阵列
当频率为1000Hz 时，按照上述条件仿真得到了全息测量面H 上的声压和法向振速测量值、声源S 1单独辐射的声压和法向振速理论值，以及使用本文方法得到的声压和法向振速分离值，如图3所示。

图3（a ）和（b ）为全息测量面测量声压、理论声压以及分离声压的实部和虚部对比图，图3（c ）和（d ）为全息测量面测量的法向振速、理论振速以及分离法向振速的实部和虚部对比图。

从图中可以看出，由于干扰源的存在，全息测量面上的声压和法向振速测量值与理论值存在较大的差异，同时可以看出声压和法向振速理论值与使用本文提出的分离方法得到的分离值在实部和虚部都非常的接近，验证了提出的方法能实现相干声场分离，且具有较高的分离精度。

图3
1000Hz 时的声源辐射声压和法向振速的实部和虚部对比图
13
第35卷
广西科技大学学报
（c ）法向振速实部
（d ）法向振速虚部
理论值测量值分离值
2030
测点
40
10
4
-4质点振速/（×10-3m ·s -1）
理论值测量值分离值
2030测点
40
10
质点振速/（×10-3m ·s -1）
8
10
6
2
-2
-60
-5图4为频率1000Hz 情况下使用441个测点得到的声压和法向振速。

图4（a ）—（c ）分别为全息面测量声压值、目标源S 1单独辐射的理论声压值、本文方法得到分离声压值的分布图，图4（d ）—（f ）分别为全息面测量的法向振速值、目标源S 1单独辐射的理论法向振速值、采用本文方法得到的分离法向振速值的分布图，其中图4（c ）和（f ）的误差分别为0.24%和0.23%。

从图中可以看出，由于干扰源的存在，声压和法向振速的测量值与理论值都存在巨大的差异，说明了当声场中有多个声源作用时，测
量面的声压和法向振速是由多个声源共同产生的，不能直接使用全息测量面上的声压和法向振速来重建声场，这将会导致重建精度低，甚至重建失效，因此当多个声源作用于声场时，需要进行声场分离，获得目标源辐射的声场信息，从而重建其在声场中任意一点的辐射信息。

同时看出使用441个测点时，本文方法得到的声压和法向振速均有较高的分离精度，说明了当采样点足够多时，该方法分离的声压和法向振速都具有良好的精度。

（d ）测量振速
0.250.200.100-0.10-0.20-0.25
-0.2
-0.1
00.1
0.2
x /m
y /m
0.0060.0050.0040.0030.0020.001
（a ）测量声压
（b ）理论声压
0.250.200.100-0.10-0.20-0.25
-0.2
-0.1
00.1
0.2
x /m
y /m
1.81.61.41.21.00.80.6
0.4
（c ）分离声压
图4
1000Hz 测点数目为441的声压和法向振速对比图
0.25
0.200.100-0.10-0.20-0.25
-0.2
-0.1
00.1
0.2
x /m
y /m
2.01.81.61.4
1.21.00.80.60.4
0.250.200.100-0.10-0.20-0.25
-0.2
-0.1
00.1
0.2
x /m
y /m
1.81.61.4
1.21.00.80.6
0.4
图3（续）
14
第1期
郑贤等：稀疏采样单测量面相干声场分离机理及方法研究
本文方法能够在较少测点时实现声场的精确分离，图5为36个采样点时，使用常规等效源法分离声场和在声场稀疏假设情况下使用l 1范数分离声场以及使用本文提出方法分离声场得到的误差对比图。

从图中可以看出，使用36个随机测点，无论是低频还是高频，本文提出的方法和稀疏等效源法在声压分离和法向振速分离都具有良好的分离精度，且本文提出的方法具有更高的分离精度。

同时可以看出本文方法和稀疏等效源法相对于基于声压-振速的单面等效源法都具有更高的分离精度，说明了在声源源强稀疏情况下利用奇异值分解能够进一步提高等效源强的声场稀疏性，验证了在测点数目少时，本文方法相比于其他方法具有更好的声场分离精度。

10
5
0400800
120016002000
频率/Hz
100
声压分离误差/%
等效源法
本文方法稀疏等效源法
（a ）声压分离误差对比图
等效源法
本文方法稀疏等效源法
法向振速分离误差/%
10
5
0400
800120016002000
100
频率/Hz
（b ）法向振速分离误差对比图图5
36个采样点的声场分离误差对比图
当测量声场源强并不稀疏时，本文方法能够获得较好的声场稀疏性。

图6为121个采样点在使用常规等效源法分离声场和在声场稀疏假设情况下使用l 1范数分离声场以及使用本文提出方法分离声场得到的误差对比图。

从图中可以看出，在低频情况下，本文方法和稀疏等效源法均具有良好的分离精度，均比常规等效源法具有更高的分离精度，且本文方法相对于稀疏等效源法具有更高的分离精度。

1000Hz 以后稀疏等效源法出现波动，声压分离误差和法向振速分离误差均不稳定，随着频率的增加，声场变得更加复杂，声场稀疏性变差，稀疏等效源法分离声场变得不稳定，精度降低。

在源强并不稀疏时，使用本文提出的将声压和等效源源强之间的传递矩阵奇异值分解能够获得声场的稀疏表示，提高声场的稀疏性。

10
5
0400
800120016002000
频率/Hz
100
声压分离误差/%
等效源法本文方法
稀疏等效源法
（a ）声压分离误差对比图
等效源法
本文方法稀疏等效源法
法向振速分离误差/%
10
5
0400800
120016002000
100
频率/Hz
（b ）法向振速分离误差对比图图6121个采样点的声场分离误差对比图
图4（续）
（e ）理论振速
0.00500.00450.00400.0035
0.00200.0010
0.00300.00250.0015
0.250.200.150.100.050-0.05-0.10-0.15-0.20-0.25
x /m
y /m -0.2-0.1
00.10.2
（f ）分离振速
0.250.200.150.100.050-0.05-0.10-0.15-0.20-0.25
x /m
y /m
-0.2
-0.1
00.1
0.2
0.00500.00450.00400.00350.00200.0010
0.00300.00250.001515
第35卷
广西科技大学学报为了进一步研究该方法对不同声源的适用性，在上述仿真的基础上，改变声源2的大小，采用半径为0.008m 的脉动球作为干扰源，其余条件保持不变。

图7为使用36个随机测点获得的不同频率下，不同声源的3种分离方法的误差对比图。

图7（a ）为3种分离方法的声压分离误差对比曲线图，图7（b ）为3种分离方法的法向振速误差对比曲线图。

从图中可以看出，使用36个随机测点，无论是低频还是高频，本文提出的方法和稀疏等效源法在声压分离和法向振速分离都具有良好的分离精度，且本文提出的方法具有更高的分离精度。

同时可以看出本文方法和稀疏等效源法相对于基于声压-振速的单面等效源法都具有更高的分离精度，说明了在声源不同的情况下，本文提出的方法仍然具有更好的分离效果。

10
5
0400800
120016002000
频率/Hz
100
声压分离误差/%
等效源法本文方法
稀疏等效源法
（a ）声压分离误差对比图
等效源法本文方法稀疏等效源法
法向振速分离误差/%
105
0400
800
12001600
2000
100
频率/Hz
（b ）法向振速分离误差对比图
图7
36个采样点在不同声源下的声场分离误差对比图
图8为121个采样点在使用常规等效源法分离声场和在声场稀疏假设情况下使用l 1范数分离声场以及使用本文提出方法在不同声源条件下获得的声场分离误差对比图。

图8（a ）为不同声源条件下的声压分离误差对比图，图8（b ）为不同声源条件下的法向振速分离误差对比图。

从图中可以看出，在低频情况下，本文方法和稀疏等效源法均具有良好的分离精度，均比常规等效源法具有更高的分离精度，且本文方法相对于
稀疏等效源法具有更高的分离精度。

800Hz 以后稀疏等效源法出现波动，声压分离误差和法向振速分离误差均不稳定，随着频率的增加，声场变得更加复杂，声场稀疏性变差，稀疏等效源法分离声场变得不稳定，精度降低。

说明在不同声源条件下，当声源源强并不稀疏时，使用本文方法能够获得更稳定的分离效果，且具有较高的分离精度。

10
5
0400800
120016002000
频率/Hz
100
声压分离误差/%
等效源法本文方法
稀疏等效源法
（a ）声压
法向振速分离误差/%
等效源法本文方法稀疏等效源法
0400
80012001600
2000
频率/Hz
100
10
5
（b ）法向振速
图8121个采样点在不同声源下的声场分离误差对比图
4结论
本文在稀疏采样重建声场研究的基础上，对稀
疏采样方法引入单全息面声场分离进行了研究。

利用等效源强向量与重建面声压之间的传递矩阵进行奇异值分解，获得等效源强的稀疏基，建立起测量面声压和法向振速与目标源声压和法向振速之间的关系。

数值仿真实验证明了本文方法能实现声压和振速的有效分离。

通过与常规的基于声压-振速单全息面声场分离方法对比，证明了在同样的情况下，该方法具有更高的分离精度。

通过对不同频率下的脉动球进行仿真，发现随着频率的增加，该方法仍然具有良好的分离精度，并且一直优于常规的等效源法。

通过对不同测点数目和不同大小的声源进行仿真分析，证明了随着测量点数目的增多，本文方
16
第1期郑贤等：稀疏采样单测量面相干声场分离机理及方法研究
法和常规等效源法的声场分离精度都会提升，说明测点数目对声场分离精度具有重要的影响；当声源不同时，本文提出的方法仍然具有较高的精度，而且优于常规等效源法和稀疏等效源法。

参考文献
[1]MAYNARD J D，WILLIAMS E G，LEE Y.Nearfield
acoustic holography：theory of generalized holography
and the development of NAH[J].Journal of the Acoustical
Society of America，1985，78（4）：1395-1413.
[2]周鹤峰，曾新吾.双面声场反向神经网络声压外推分离
[J].声学学报，2018，43（6）：873-882.
[3]LANGRENNE C，MELON M，GARCIA A.Boundary
element method for the acoustic characterization of a ma‐
chine in bounded noisy environment[J].Journal of the
Acoustical Society of America，2007，121（5）：2750-
2757.
[4]ZHANG Y B，CHEN X Z，JACOBSEN F.A sound
field separation technique based on measurements with
pressure-velocity probes[J].The Journal of the Acoustical
Society of America，2009，125（6）：3518-3521.
[5]JIA W Q，CHEN J，YANG C，et al.Study of a sound
field separation technique based on a single holographic
surface and wave superposition method[J].Journal of Me‐
chanical Engineering Science，2009，223（8）：1827-
1836.
[6]BI C X，CHEN X Z，CHEN J.Sound field separation
technique based on equivalent source method and its ap‐
plication in near field acoustic holography[J].Journal of
the Acoustical Society of America，2008，123（3）：1472-1478.
[7]MAO J，DU J F，LIU K，et al.Sound field separation
of multiple coherent sound sources with single measure‐
ment surface[J].Journal of Vibration and Control，2022，28（19-20）：2777-2785.
[8]宋玉来，卢奂采，金江明.单层传声器阵列信号空间重
采样的声波分离方法[J].物理学报，2014，63（19）：187-196.
[9]田湘林，楼京俊.宽频带内的单全息面分离声场研究
[J].振动工程学报，2019，32（1）：184-190.
[10]CHARDON G，DAUDET L，PEILLOT A，et al.
Near-field acoustic holography using sparse regulariza‐
tion and compressive sampling principles[J].Journal of
the Acoustical Society of America，2012，132（3）：
1521-1534.
[11]BARANIUK R pressive sensing[J].IEEE Signal
Processing Magazine，2007，24（4）：118-120.
[12]FERNANDEZ-GRANDE E，XENAKI A，GERSTOFT
P.A sparse equivalent source method for near-field
acoustic holography[J].Journal of the Acoustical Soci‐
ety of America，2017，141（1）：532-542.
[13]BI C X，LIU Y，XU L，et al.Sound field reconstruc‐
tion using compressed modal equivalent point source
method[J].Journal of the Acoustical Society of
America，2017，141（1）：73-79.
[14]HU D Y，LI H B，HU Y，et al.Sound field recon‐
struction with sparse sampling and the equivalent source
method[J].Mechanical Systems and Signal Processing，
2018，108：317-325.
[15]BI C X，LIU Y，ZHANG Y B，et al.Extension of
sound field separation technique based on the equivalent
source method in a sparsity framework[J].Journal of
Sound and Vibration，2019，442：125-137.
[16]胡定玉，刘馨悦，李曷冰，等.采用稀疏测量的高分辨
率相干声场分离[J].声学学报，2020，45（4）：563-570.
[17]魏晟弘，伍松，郑贤.压缩感知等效源法近场声全息
关键参数选取[J].广西科技大学学报，2021，32（4）：
50-57.
Study on the separation mechanism and method of sound field in single measurement surface with sparse sampling
ZHENG Xian1,2,WU Song*1,ZHAO Xin1,2,WEI Shenghong1,2
（1.School of Mechanical and Automotive Engineering,Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou545616,China;2.Guangxi Key Laboratory of Automobile Component and Vehicle Technology （Guangxi University of Science and Technology）,Liuzhou545616,China）
Abstract:A sparse sampling method is proposed to separate the coherent sound field to improve the problems of large number of measurement points and small range of application in the current
（下转第25页）
17
25第1期叶日伟等：基于阻抗模型的卧式康复机器人柔顺控制
gait and bridge movement.In order to ensure the safety and improve the comfort and compliance problems caused by human-robot interaction during training,a compliance control method based on impedance model is adopted.The interaction between human and robot is regarded as a virtual impedance model,that is,the second-order mass-spring-damping model,and the compliance control of rehabilitation robot is studied based on this impedance model.The compliance control strategy consists of an outer loop impedance controller and an inner loop PID controller.The outer loop impedance controller changes the motion trajectory according to the human body's intention by applying human-robot interaction force on the impedance model,while the inner loop PID controller mainly realizes the stable tracking of the generated expected trajectory.And the effectiveness of compliance control of horizontal rehabilitation robot based on impedance model is proved by experiments.
Keywords:horizontal rehabilitation robot;impedance control;compliance control;human-robot interaction
（责任编辑：黎娅、于艳霞）（上接第17页）
equivalent source sound field separation technology.Firstly,the transfer matrix between the equivalent source strength and the reconstructed surface sound pressure is decomposed by singular value to obtain
a set of sparse basis of the sound field,and then the relationship between the measured sound pressure
and the measured normal vibration velocity on the holographic surface is established by using the equivalent source strength.Finally,the solution of the coefficient vector is solved by sparse regularization,so as to obtain the separated sound pressure and the separated normal vibration velocity of the sound field.Numerical simulation analysis shows that the proposed method has higher separation accuracy than the single holographic surface equivalent source method with few measurement points.
Meanwhile,the proposed method improves the sparsity of the equivalent source vector,expands the frequency range of the sound field separation,and still has good separation accuracy at higher frequencies.
Keywords:equivalent source method;sparse sampling;sound field separation;coherent sound field
（责任编辑：黎娅、于艳霞）。