龙文区某中学八年级数学下册 第十八章 数据的收集与整理 18.4 频数分布表与直方图 分析和拓展：频

分析和拓展：频数直方图
一、频数直方图概念
1．频数：数字出现的次数有的多有的少，或者说它们出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数．
注：在统计频数多少的时候，我们一般通过数“正”字的方法累计．
2．频率：每个对象出现次数与总次数的比值为频率．
3．组数：把全体样本分成的组的个数称为组数．
4．组距：把所有数据分成若干个组，每个小组的两个端点的距离．
5．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差．组距=极差除以组数
二、列频数分布表的注意事项
运用频数分布直方图进行数据分析的时候，一般先列出它的分布表，其中有几个常用的公式：各组频数之和等于抽样数据总数；各组频率之和等于1；数据总数×各组的频率=相应组的频数．
画频数分布直方图的目的，是为了将频数分布表中的结果直观、形象地表示出来，其中组距、组数起关键作用，分组过少，数据就非常集中；分组过多，数据就非常分散，这就掩盖了分布的特征，当数据在100以内时，一般分5~12组．
三、直方图的特点
通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比（因为组距是一个常数，为了画图和看图方便，通常直接用高表示频数），这样的统计图称为频数分布直方图．
它能：①清楚显示各组频数分布情况；②易于显示各组之间频数的差别．
四、制作频数分布直方图的步骤
1．找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差．
2．决定组距和组数．
3．确定分点．
4．列出频数分布表．
5．画频数分布直方图．
五、频数分布折线图的制作
我们可以在直方图的基础上来画，先取直方图各矩形上边的中点，然后在横轴上取两个频数为0的点，这两点分别与直方图左右两端的两个长方形的组中值（矩形宽的中点）相距
一个组距，将这些点用线段依次联结起来，就得到了频数分布折线图．
六、条形图和直方图的区别
1．条形图是用条形的高度表示频数的大小，而直方图实际上是用长方形的面积表示频数，当长方形的宽相等的时候，把组距看成“1”，用矩形的的高表示频数；
2．条形图中，横轴上的数据是孤立的，是一个具体的数据，而直方图中，横轴上的数据是连续的，是一个范围；
3．条形图中，各长方形之间有空隙，而直方图中，各长方形是靠在一起的，中间无空隙七、与统计图有关的数学思想方法
1．数形结合：从统计图中，能看出各组数据的特点，可进一步应用这些数据特点解决实际问题．通过整理数据，根据要求绘制统计图，可进一步分析数据、做出决策．
2．类比：绘制频数分布直方图和绘制条形图类似，如果长方形的宽一样，那么长方形的高度之比就是各组内数据个数之比．
14．1.2 幂的乘方
1．理解幂的乘方法则；
2．运用幂的乘方法则计算．
重点：理解幂的乘方法则．
难点：幂的乘方法则的灵活运用．
一、自学指导
自学1：自学课本P96－97页“探究及例2”，理解幂的乘方的法则完成填空．(5分钟)
(1)52中，底数是5，指数是2，表示2个5相乘；(52)3表示3个52相乘；
(2)(52)3＝52×52×52(根据幂的意义)
＝5×5×5×5×5×5(根据同底数幂的乘法法则)
＝52×3；
(a m)2＝a m·a m＝a2m(根据a m·a n＝a m＋n)；
(a m)n＝a m·a m…a m,\s\up6(n个a m)) (根据幂的意义)
＝a m＋m＋…＋m,\s\up6(n个m)) (根据同底数幂的乘法法则)
＝a mn(根据乘法的意义)．
总结归纳：幂的乘方，底数不变，指数相乘．(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)
1．课本P97页练习题．
2．计算：(1)(103)2；(2)(x3)5；(3)(－x m)5；(4)(a2)4·a5.
解：(1)(103)2＝103×2＝106；(2)(x3)5＝x3×5＝x15；
(3)(－x m)5＝－x5m；(4)(a2)4·a5＝a2×4·a5＝a8·a5＝a13.
点拨精讲：遇到乘方与乘法的混算应先乘方再乘法．
3．计算：(1)[(－x)3]2；(2)(－24)3；(3)(－23)4；
(4)(－a5)2＋(－a2)5.
解：(1)[(－x)3]2＝(－x3)2＝x6；(2)(－24)3＝－212；(3)(－23)4＝212；(4)(－a5)2＋(－a2)5＝a10－a10＝0.
点拨精讲：弄清楚底数才能避免符号错误，混合运算时首先确定运算顺序．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 若42n＝28，求n的值．
解：∵4＝22，∴42n＝(22)2n＝24n，∴4n＝8，∴n＝2
点拨精讲：可将等式两边化成底数或指数相同的数，再比较．
探究2 已知a m＝3，a n＝4(m，n为整数)，求a3m＋2n的值．
解：a3m＋2n＝a3m·a2n＝(a m)3·(a n)2＝33×42＝27×16＝432.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．填空：108＝( )2，b27＝( )9，(y m)3＝( )m，p2n＋2＝( )2.
2．计算：(1)(－x3)5；(2)a6(a3)2·(a2)4；(3)[(x－y)2]3；(4)x2x4＋(x2)3.
解：(1)(－x3)5＝－x15；(2)a6(a3)2·(a2)4＝a6·a6·a8＝a20；(3)[(x－y)2]3＝(x－y)6；
(4)x2x4＋(x2)3＝x6＋x6＝2x6.
3．若x m x2m＝3，求x9m的值．
解：∵x m x2m＝3，∴x3m＝3，∴x9m＝(x3m)3＝33＝27.
(3分钟)公式(a m)n的逆用：a mn＝(a m)n＝(a n)m.
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
函数趣谈
“函数”这个词被用作数学的术语，最早提出的是德国数学家莱布尼茨。

他于1692年第一次用这个词。

最初莱
布尼茨用函数一词来表示幂，比如32,,x x x ……都叫做函数；后来他又用函数一词表示在直角坐标系中，曲线上一点
的横坐标、纵坐标等等。

把函数理解为幂的同义词，可以看成是函数代数的起源；用函数表示与几何有关的量，可以看作函数几何的起源。

进入18世纪后，数学家将函数概念进行了扩展：1718年，瑞士数学家伯努利把函数定义为“由某个变量及任意的一些常数结合而成的数量”。

意思是由变量x 与常量所构成的式子都叫做x 的函数。

伯努利已不再强调幕的形式了，凡是用公式表达的都叫做函数，如123++x x 和x 都是函数。

后来，数学家觉得不应该将函数概念局限于只能用公式来表示。

只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两类变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准。

1775年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。

”在欧拉定义中，就不强调函数要用公式表示了。

由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系中的曲线也叫“函数”。

如下图：只要把曲线上
0P 的横坐标0x 确定，通过曲线就可以把0P 点的纵坐标0y 确定。

当曲线上点P 的横坐标x 变化时，点P 的纵标y 也随之而变化。

实际上，欧拉讲的是函数的图像表示法。

有的数学家对于不用公式来表示的函数很不习惯，有的数学家甚至对不用公式表示的函数，还抱怀疑态度。

因此数学家曾把能用公式表示的函数叫做“真函数”，把不能用公式表示的函数叫做“假函数”。

现在中学课本上的函数定义是谁提出来的呢？最先提出类似定义的是法国数学爱柯西。

柯西于1821年提出如下定义：“在某些变量间存在着一种关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变量的值可随着而确定时，则将最初的变量叫做自变量，其他各变量叫做函数。

”在柯西的定义中出现了“自变量”一词。

与柯西同时期的德国数学家黎曼也提出过类似的定义：“对于x 的每个值，y 总有完全确定的值与它对应，而无论x ，y 之间对应的方法如何，把y 叫做x 的函数。

”
从用公式表示的才叫函数，扩充为现在用公式法、图像法、列表法等表示的都叫函数，经历了一段很长的认识过程。

19世纪70年代，德国数学家康托尔提出了集合论，函数便明确地定义为集合的对应关系，使函数这个概念更准
确，应用范围更广泛。

汉语中的“函数”是个意译词，就象“收音机”、“自行车”一样，是把外文的词按意思转译过来的。

它是我国清代数学在李善兰译著《代微积拾级》中首先使用的。

中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。

李善兰的定义是：“凡式中含天，为天之函数。

”中国古代用天、地、人、物四个字来表示四个不同的未知数或变量。

这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则式子叫做x的函数。

”所以“函数”是指公式中含有变量的意思。

它比现在中学所学的函数更狭窄一些。