山西省山大附中2013届高三10月第二次月考数学文试题

山西大学附中2012-2013学年第一学期高三（10月）月考数学试题（文科）一.选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.i 是虚数单位，=-ii25 A.i 21+ B.i 21-- C.i 21- D.i 21+-2.设变量x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x .则目标函数z=2x+3y 的最小值为A. 6B. 7C. 8D. 23 3. 命题“存在R x ∈0，020≤x ”的否定是A.不存在R x ∈0, 02>x B.存在R x ∈0 020≥xC.对任意的R x ∈, 02≤xD.对任意的R x ∈, 02>x4.设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f 则)(x f y = A.在区间),1(),1,1(e e 内均有零点。

B.在区间),1(),1,1(e e 内均无零点。

C.在区间)1,1(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点。

D.在区间)1,1(e内无零点，在区间),1(e 内有零点。

5.右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是A ．12B ． 23C ． 34D ． 456.在等差数列}{n a 中，已知56=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，则11S =A ．45B ．50C ．55D ．607.已知函数)0,)(4sin()(>∈+=ωπωR x x x f 的最小正周期为π，为了得到函数x x g ωcos )(=的图象，只要将)(x f y =的图象A.向左平移8π个单位长度 B.向右平移8π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向右平移4π个单位长度8已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若)()2(2a f a f >-则实数a 的取值范围是 A.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ B.(1,2)- C.(2,1)- D.(,2)(1,)-∞-⋃+∞侧视图正视图9.设双曲线)0,0(12222>>=-babyax的一条渐近线与抛物线12+=xy只有一个公共点，则双曲线的离心率为A.54 B.5 C. 210.在区间]1,1[-上随机取一个数x,2cosxπ的值介于0到21之间的概率为A.13B.2π C.12 D .2311.已知球的直径4SC=，,A B是该球面上的两点，AB=30ASCBSC∠=∠=，则三棱锥S ABC-的体积为A.212.设抛物线xy22=的焦点为F，过点)0,3(M的直线与抛物线相交于,A B两点，与抛物线的准线相交于C，2||=BF，则BCF∆与ACF∆的面积之比ACFBCFSS∆∆=A.45 B .23 C .47 D .12二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积为：_______ 14．已知关于x的不等式11axx->+的解集是1(,1)(,)2-∞-+∞．则a=．15.在四边形ABCD中，)1,1(==BDBCBA||3||||=+，则四边形ABCD的面积是______________16.给出下列四个命题中：①命题“2,13x R x x∃∈+>”的否定是“2,13x R x x∀∈+≤”；②“2m=-”是“直线(2)10m x my+++=与直线(2)(2)30m x m y-++-=相互垂直”的必要不充分条件；③设圆22220(40)x y Dx Ey F D E F++++=+->与坐标轴有4个交点，分别为1212(,0),(,0),(0,),(0,)A xB xC yD y，则1212x x y y-=；④关于x的不等式13x x m++-≥的解集为R，则4m≤.其中所有真命题的序号是 .三.解答题: （共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，BC =5，3AC =，sin 2sin C A =(I) 求AB 的值： (II) 求)42sin(π-A 的值18.（本小题满分12分）某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（Ⅰ）根据上面频率分布表，推出①，②，③，④处的数值分别为 ，， ， ；（Ⅱ）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图； （Ⅲ）根据题中信息估计总体：（ⅰ）120分及以上的学生数； （ⅱ）平均分；（ⅲ）成绩落在［126，150］中的概率.19.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ,FE BC AD ////，AB AD ⊥，M 为EC 的中点，12AF AB BC FE AD ====(I)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小；(II)证明平面AMD ⊥平面CDE ；20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为)0)(0,(),0,(21>-c c F c F ，过点)0,(2ca E 的直线与椭圆相交与B A ,两点，且||2||,//2121B F A F B F A F =。

（1）求椭圆的离心率； 求直线AB 的斜率；（2）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线B F 2上有一点)0)(,(≠m n m H 在C AF 1∆的外接圆上，求mn的值21.（本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．选做题（本小题10分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4—1 几何证明选讲在直径是AB 的半圆上有两点N M ,,设AN 与BM 的交点是P . 求证:2AP AN BP BM AB ⋅+⋅=23．选修4—4 极坐标系与参数方程已知圆方程为08cos 7cos 8sin 6222=++-+-θθθx x y y ． （1）求圆心轨迹的参数方程C ；（2）点),(y x P 是（1）中曲线C 上的动点，求y x +2的取值范围．24．选修4—5 不等式选讲（1）已知关于x 的不等式722≥-+ax x 在),(+∞∈a x 上恒成立，求实数a 的最小值； （2）已知1||,1||<<y x ，求证：|||1|y x xy ->-．数学题文科参考解答选择题：1 D2 B3 D4 D5 C6 C7 A8 C9 D 10 A 11 D 12 A二．填空题：（13）224cm π（14）2a = （15） （16）（1），（2），（3），（4） 三．解答题（17）（Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，A BC C AB sin sin =于是AB=522sin sin ==BC BC A C（Ⅱ）解：在△ABC 中，根据余弦定理，得cosA=5522222=∙-+AC AB BD AC AB 于是 sinA=55cos 12=-A 从而sin2A=2sinAcosA=54,cos2A=cos2A-sin2A=53所以 sin(2A-4π)=sin2Acos 4π-cos2Asin 4π=102(18)解：（Ⅰ）①，②，③，④处的数值分别为：3，0.025，0.100，１．…………4分（Ⅱ）…8分（Ⅲ）（ⅰ）120分及以上的学生数为：（0.275+0.100+0.050）×5000=2125;（ⅱ）平均分为:850.025950.051050.21150.31250.2751350.11450.025113.875x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（ⅲ）成绩落在［126，150］中的概率为:40.2750.10.050.2610P =⨯++= (19).方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE ，所以∠CED （或其补角）为异面直线BF 与DE 所成的角。

设P 为AD 的中点，连结EP ，PC 。

因为FE//=AP ，所以FA//=EP ，同理AB //=PC 。

又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD 。

而PC ，AD 都在平面ABCD 内,故EP ⊥PC ，EP ⊥AD 。

由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD 设FA=a ，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a 2，故∠CED=60°。

所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60° （II ）证明：因为.CE MP MP .CE DM CE M ⊥⊥=，则连结的中点，所以为且DE DC.CDE AMD CDE CE .AMD CE M DM MP 平面，所以平面平面而平面，故又⊥⊂⊥= 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点。

设，1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F .21121M ⎪⎭⎫⎝⎛，，（I ）()，，，解：101B -= ()，，，110-=.2122100=∙++==于是所以异面直线B F 与DE 所成的角的大小为060.（II ）证明：，，，由⎪⎭⎫⎝⎛=21121AM ()，，，101-= ()0020=∙=，可得，，， .AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0AD CE 平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=∙.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥⊂（20）解：由1F A //2F B 且12FA 2F B =，得2211EF F B 1EF FA 2==，从而22a 1a 2cc c c-=+整理，得223a c =，故离心率c e a ==解：由（I ）得22222b a c c =-=，所以椭圆的方程可写为222236x y c +=设直线AB 的方程为2a y k x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即(3)y k x c =-.由已知设1122(,),(,)A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组222(3)236y k x c x y c =-⎧⎨+=⎩消去y 整理，得222222(23)182760k x k cx kc c +-+-=. 依题意，2248(13)033c k k ∆=->-<<，得 而21221823k cx x k +=+ ①22212227623k c c x x k -=+ ②由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以1232x c x += ③联立①③解得2129223k c cx k -=+，2229223kc c x k +=+将12,x x 代入②中，解得k =. (III)解法一：由（II ）可知1230,2cx x ==当3k=-时，得)A，由已知得(0,)C. 线段1AF 的垂直平分线l 的方程为222c y c x ⎫-=-+⎪⎝⎭直线l 与x 轴 的交点,02c ⎛⎫ ⎪⎝⎭是1AF C ∆外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 直线2F B 的方程为)y x c =-，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组222924)c cm nn m c⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩，由0,m≠解得533m cn c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故5nm=当k=时，同理可得nm=.解法二：由（II）可知1230,2cx x==当3k=-时，得)A,由已知得(0,)C由椭圆的对称性可知B，2F，C三点共线，因为点H（m，n）在1AF C∆的外接圆上，且12//F A F B，所以四边形1AF CH为等腰梯形.由直线2F B的方程为)y x c=-,知点H的坐标为()m-.因为1AH CF=，所以222)m a+=，解得m=c（舍），或53m c=.则3n c=，所以5nm=.当3k=时同理可得n5m=-（21）.解：(1)2()663f x x ax b'=++，因为函数()f x在1x=及2x=取得极值，则有(1)0f'=，(2)0f'=．（3分）即6630241230a ba b++=⎧⎨++=⎩，．解得3a=-，4b=．（7分）(2)由(1)可知，32()29128f x x x x c=-++，2()618126(1)(2)f x x x x x'=-+=--．当(01)x∈，时，()0f x'>；当(12)x∈，时，()0f x'<；当(23)x∈，时，()0f x'>．所以，当1x=时，()f x取得极大值(1)58f c=+，又(0)8f c=，(3)98f c=+．则当[]03x∈，时，()f x的最大值为(3)98f c=+．（10分）因为对于任意的[]03x∈，，有2()f x c<恒成立，所以298c c+<，解得1c<-或9c>，因此c的取值范围为(1)(9)-∞-+∞，，（12分）22．（本小题满分10分）选修4—1 几何证明选讲证明:作PE AB⊥于E AB为直径,90ANB AMB∴∠=∠=）,,,P E B N∴四点共圆,,,,P E A M四点共圆. （6分）(1)(2)AE AB AP AN BE AB BP BM ⋅=⋅⎫⇒⎬⋅=⋅⎭ (1)+(2)得()AB AE BE AP AN BP BM +=⋅+⋅…9分即2AP AN BP BM AB ⋅+⋅=……………10分23．选修4—4 极坐标系与参数方程23．将圆的方程整理得：(x-4cos θ)2+(y-3sin θ)2=1 设圆心坐标为P(x,y)则)360,0[ sin 3cos 4︒∈⎩⎨⎧==θθθy x --------5分(2)2x+y=8cos θ+3sin θ =)sin(73ϕθ+ ∴ -73≤2x+y ≤73-……………10分24．选修4—5 不等式选讲 24．（本题１0分）解：（1）722≤-+a x x ，427272)(2≥+⇒+≤-+-∴a a a x a x23≥∴a …………………5分（2）因为2222|1|||(1)(1)0xy x y x y ---=-->，所以|1|||xy x y ->- ……10分。