等时圆的妙用公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
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a.用小球找出底部最低点；
b.将长木板_____________________
C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下;
d.________________________
e.求出圆弧半径
R=_______________
第14页
二、“等时圆”应用 (三)测定圆周半径
例3
a.用小球找出底部最低点； b.将长木板_放__在__圆_弧__上__,使__木__板__下__端_放__在O点
则管道与竖直方向夹角β应为多大？
P
β
AB
α 第12页
二、“等时圆”应用 (二)拟定运动路径
例2 P
β
O
α
AB
α
解：以p点为等时圆最 高点，作出等时圆与 皮带相切，如图所表 示,
设切点为B,圆心为O,
连接OB,由几何知识可
得
AOB
,
2
第13页
二、“等时圆”应用 (三)测定圆周半径
例3:如图所表示，有一条水渠底部是半径很大圆弧，一位 同窗用下列办法估算该圆弧半径，所用器材有：光滑小球 、秒表和长木板。下面是详细操作环节，请将所缺内容填 写在横线上。
xOB 1 at2 2
xOB 2R cos
O
FN
θ
2R θ Gy
B
Gx
A
mg
t 2xOB 2 2R cos 2 R
a
g cos
g
第3页
一、等时圆性质
结论： O
θ 2R
B A
t2 R g
质点沿杆下滑所需时间跟 杆与竖直方向夹角θ无关, 仅由半径R决定,且等于质 点从圆最高点O到最低点A 做自由落体运动时间,这个 圆就是重力场中“等时 圆”，这个性质叫做圆自 由弦等时性。
A. a处小孩最先到O点 B. b处小孩最先到O点 C. c处小孩最先到O点 D. a、c处小孩同时到O点
c
b a
θ
O
第24页
解析：三块滑块即使都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周 上，因此下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则
R 1 g sin t 2 cos 2
c
t2 4R
A.t1=t2=t3
B. t1<t2<t3
C.C. t1>t2>t3
d
D.D.无法比较运动时间长短
a bc
第10页
二、“等时圆”应用 (一)比较运动快慢
例1
t1<t2<t3
a bc
d
第11页
二、“等时圆”应用 (二)拟定运动路径
例2:如图所表示,一倾角为α传送带上方P点为 原料输入口，在P点与传送带之间建立一光滑管 道,使原料沿管道能在最短时间内到达传送带上,
小节
性质 等 时 圆
应用
O θ
2R
B A
t2 R g
(一)比较运动快慢
(二)拟定运动路径
(三)测定圆周半径
(四)计算运动时间
A B
C
θ O
第18页
课堂练习
通过空间任一点A可作无限多个斜面，将若干 个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同光滑斜 面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位 置所构成面是（ ）
a
g cos g sin
g
第6页
一、等时圆性质 结论：
A B
同理,如图所表示情形,从圆周上不同点沿 光滑斜面滑到圆周上最低点O,所需时间也 相等。
C θ
O
第7页
一、等时圆性质
B A
D
C O
问题4:假如像图 所 表示，光滑直杆AD 、BD、CD、处于竖 直平面内，杆三个端 点均在同一圆周上， CD杆过圆心，若从 A、B、C三点同时 静止释放套在杆上小 球，则它们滑到D点
ta
4R 2 R
g
g
tb ta
c做自由落体运动
tc
2R g
No d球滚下是一个单摆模型，摆长为R,
Image td
T 4
2
R g
B
C
A
因此c球最先到达M点
D
M
第21页
作业2：如图所表示，在同一竖直线上有A、B两 点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面 上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放光 滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板 下滑O到P P点时间相等，求O、P两点之间距离
牛顿运动定律应用 ———— 等时圆妙用
第1页
一、等时圆性质 问题1：如图所表示，处于半径为R竖直圆内任 一光滑细杆OB,一端B在圆周上,另一端O在圆最 高点,OB与竖直方向夹角为θ,质点m沿杆从O点 由静止开始下滑,求它在杆上运动时间?
O
θ
2R
B
A
第2页
一、等时圆性质
解 mg cos ma
a g cos
A
A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法拟定
解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体 应在同一“等时圆”上，因此A正确。
第19页
作业1 ：如图:，位于竖直平面内固定光滑圆轨
道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，
竖直墙上另一点B与M连线和水平面夹角为600，
C是圆环轨道圆心，D是圆环上与M靠得很近一点
C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下;
d._用_秒__表__测__出__小_球__从__上__端__滑_到__O__点时间tAO
e.求出圆弧半径
B
gtAO2
R=___4__
R O
A
第15页
二、“等时圆”应用 (三)测定圆周半径
例4:如图所表示,在离坡底15m山坡上,竖直地固 定长为15m直杆AO,A端与坡底B间连有一纲绳, 一个穿于绳上小球从A点由静止开始无摩擦地滑 下,求其在绳上滑行时间t(g取10m/s2).
时间相等吗？
第8页
一、等时圆性质 结论： 问题4:
等时圆 中端点 应是几 何空间 中最高 点或最 低点。
B A
C O
D
tCD>tBD>tAD
第9页
二、“等时圆”应用 (一)比较运动快慢
例1:如图所表示，在同一竖直平面内固定三根 光滑细杆，细杆一个端点均在d点，另一端点 a、b、c处于同一水平线上，三环分别从a、b 、c处由静止释放，t1、t2、t3分别表示各环到 达d点时间，下列判断正确是（ ）
A
O
B
第16页
二、“等时圆”应用 (三)测定圆周半径
例4:如图所表示,在离坡底15m山坡上,竖直地固定长为15m直
杆AO,A端与坡底B间连有一纲绳,一个穿于绳上小球从A点由静 止开始无摩擦地滑下,求其在绳上滑行时间t(g取10m/s2).
A
t 2 AC g
O
B 2 15s 2.45s 10
第17页
（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球
分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运
动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点
静止出发沿圆环运动到M点。
则：（ ）
A. a球最先到达M点
B
B. b球最先到达M点
C. c球最先到达M点 D. d球最先到达M点
C
A
D
M 第20页
解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论
第4页
一、等时圆性质
问题2：若杆时粗糙，上述规律还成立吗？
O
t2 R g
θ 2R
B A
第5页
问题3：若杆时粗糙，上述规律还成立吗？
解
O
mg cos mg sin ma
FN
Ffθ
a g cos sin
2R
xAB 1 at2 2
θ Gy
B
Gx
A
xAB 2R cos
mg
t 2xAB 2 2R cos 2 R
A
h
B
HPO源自第22页解析：由“等时圆”特性可知，当A、B处于等时 圆周上且P点处于等时圆最低点时，即能满足题 设要求
如图所表示，此时等时圆半径为：
h R O1P H 2
因此
A
h
O1
B
OP R2 ( h)2 H (H h) 2
H
O
P
第23页
作业3:如图，圆柱体仓库内有三块长度不同滑板ao、bo、co，其下端都固定于底部 圆心o，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面夹角依次为300、450、600。若 有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ）
g sin 2
当θ=450时，t最小，当θ=300和600 时，sin2θ值相等。
BD正确
b a
θ
O
第25页
b.将长木板_____________________
C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下;
d.________________________
e.求出圆弧半径
R=_______________
第14页
二、“等时圆”应用 (三)测定圆周半径
例3
a.用小球找出底部最低点； b.将长木板_放__在__圆_弧__上__,使__木__板__下__端_放__在O点
则管道与竖直方向夹角β应为多大？
P
β
AB
α 第12页
二、“等时圆”应用 (二)拟定运动路径
例2 P
β
O
α
AB
α
解：以p点为等时圆最 高点，作出等时圆与 皮带相切，如图所表 示,
设切点为B,圆心为O,
连接OB,由几何知识可
得
AOB
,
2
第13页
二、“等时圆”应用 (三)测定圆周半径
例3:如图所表示，有一条水渠底部是半径很大圆弧，一位 同窗用下列办法估算该圆弧半径，所用器材有：光滑小球 、秒表和长木板。下面是详细操作环节，请将所缺内容填 写在横线上。
xOB 1 at2 2
xOB 2R cos
O
FN
θ
2R θ Gy
B
Gx
A
mg
t 2xOB 2 2R cos 2 R
a
g cos
g
第3页
一、等时圆性质
结论： O
θ 2R
B A
t2 R g
质点沿杆下滑所需时间跟 杆与竖直方向夹角θ无关, 仅由半径R决定,且等于质 点从圆最高点O到最低点A 做自由落体运动时间,这个 圆就是重力场中“等时 圆”，这个性质叫做圆自 由弦等时性。
A. a处小孩最先到O点 B. b处小孩最先到O点 C. c处小孩最先到O点 D. a、c处小孩同时到O点
c
b a
θ
O
第24页
解析：三块滑块即使都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周 上，因此下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则
R 1 g sin t 2 cos 2
c
t2 4R
A.t1=t2=t3
B. t1<t2<t3
C.C. t1>t2>t3
d
D.D.无法比较运动时间长短
a bc
第10页
二、“等时圆”应用 (一)比较运动快慢
例1
t1<t2<t3
a bc
d
第11页
二、“等时圆”应用 (二)拟定运动路径
例2:如图所表示,一倾角为α传送带上方P点为 原料输入口，在P点与传送带之间建立一光滑管 道,使原料沿管道能在最短时间内到达传送带上,
小节
性质 等 时 圆
应用
O θ
2R
B A
t2 R g
(一)比较运动快慢
(二)拟定运动路径
(三)测定圆周半径
(四)计算运动时间
A B
C
θ O
第18页
课堂练习
通过空间任一点A可作无限多个斜面，将若干 个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同光滑斜 面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位 置所构成面是（ ）
a
g cos g sin
g
第6页
一、等时圆性质 结论：
A B
同理,如图所表示情形,从圆周上不同点沿 光滑斜面滑到圆周上最低点O,所需时间也 相等。
C θ
O
第7页
一、等时圆性质
B A
D
C O
问题4:假如像图 所 表示，光滑直杆AD 、BD、CD、处于竖 直平面内，杆三个端 点均在同一圆周上， CD杆过圆心，若从 A、B、C三点同时 静止释放套在杆上小 球，则它们滑到D点
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4R 2 R
g
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c做自由落体运动
tc
2R g
No d球滚下是一个单摆模型，摆长为R,
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T 4
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R g
B
C
A
因此c球最先到达M点
D
M
第21页
作业2：如图所表示，在同一竖直线上有A、B两 点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面 上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放光 滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板 下滑O到P P点时间相等，求O、P两点之间距离
牛顿运动定律应用 ———— 等时圆妙用
第1页
一、等时圆性质 问题1：如图所表示，处于半径为R竖直圆内任 一光滑细杆OB,一端B在圆周上,另一端O在圆最 高点,OB与竖直方向夹角为θ,质点m沿杆从O点 由静止开始下滑,求它在杆上运动时间?
O
θ
2R
B
A
第2页
一、等时圆性质
解 mg cos ma
a g cos
A
A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法拟定
解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体 应在同一“等时圆”上，因此A正确。
第19页
作业1 ：如图:，位于竖直平面内固定光滑圆轨
道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，
竖直墙上另一点B与M连线和水平面夹角为600，
C是圆环轨道圆心，D是圆环上与M靠得很近一点
C.将光滑小球从长木板上端由静止滑下;
d._用_秒__表__测__出__小_球__从__上__端__滑_到__O__点时间tAO
e.求出圆弧半径
B
gtAO2
R=___4__
R O
A
第15页
二、“等时圆”应用 (三)测定圆周半径
例4:如图所表示,在离坡底15m山坡上,竖直地固 定长为15m直杆AO,A端与坡底B间连有一纲绳, 一个穿于绳上小球从A点由静止开始无摩擦地滑 下,求其在绳上滑行时间t(g取10m/s2).
时间相等吗？
第8页
一、等时圆性质 结论： 问题4:
等时圆 中端点 应是几 何空间 中最高 点或最 低点。
B A
C O
D
tCD>tBD>tAD
第9页
二、“等时圆”应用 (一)比较运动快慢
例1:如图所表示，在同一竖直平面内固定三根 光滑细杆，细杆一个端点均在d点，另一端点 a、b、c处于同一水平线上，三环分别从a、b 、c处由静止释放，t1、t2、t3分别表示各环到 达d点时间，下列判断正确是（ ）
A
O
B
第16页
二、“等时圆”应用 (三)测定圆周半径
例4:如图所表示,在离坡底15m山坡上,竖直地固定长为15m直
杆AO,A端与坡底B间连有一纲绳,一个穿于绳上小球从A点由静 止开始无摩擦地滑下,求其在绳上滑行时间t(g取10m/s2).
A
t 2 AC g
O
B 2 15s 2.45s 10
第17页
（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球
分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运
动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点
静止出发沿圆环运动到M点。
则：（ ）
A. a球最先到达M点
B
B. b球最先到达M点
C. c球最先到达M点 D. d球最先到达M点
C
A
D
M 第20页
解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论
第4页
一、等时圆性质
问题2：若杆时粗糙，上述规律还成立吗？
O
t2 R g
θ 2R
B A
第5页
问题3：若杆时粗糙，上述规律还成立吗？
解
O
mg cos mg sin ma
FN
Ffθ
a g cos sin
2R
xAB 1 at2 2
θ Gy
B
Gx
A
xAB 2R cos
mg
t 2xAB 2 2R cos 2 R
A
h
B
HPO源自第22页解析：由“等时圆”特性可知，当A、B处于等时 圆周上且P点处于等时圆最低点时，即能满足题 设要求
如图所表示，此时等时圆半径为：
h R O1P H 2
因此
A
h
O1
B
OP R2 ( h)2 H (H h) 2
H
O
P
第23页
作业3:如图，圆柱体仓库内有三块长度不同滑板ao、bo、co，其下端都固定于底部 圆心o，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面夹角依次为300、450、600。若 有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ）
g sin 2
当θ=450时，t最小，当θ=300和600 时，sin2θ值相等。
BD正确
b a
θ
O
第25页