2020-2021学年重庆市南川中学八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年重庆市南川中学八年级（上）期中数学试
卷
1.下列是一元二次方程的是()
A. ax2+bx+c=0
B. 1
x2
−x=1
C. x2−x=2
D. (x−1)2+1=x2
2.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是
()
A. B. C. D.
3.抛物线y=−2x2+1的对称轴是()
A. 直线x=1
2B. 直线x=−1
2
C. 直线x=2
D. y轴
4.点(−3,4)关于原点对称的点的坐标是()
A. (3,4)
B. (3,−4)
C. (−3,4)
D. (−3,−4)
5.一元二次方程x2−4x+2=0的根的情况是()
A. 有两个相等的实数根
B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 没有实数根
6.如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A.连接OA，
OB，若∠O=140°，则∠BAC的度数是()
A. 60°
B. 65°
C. 70°
D. 75°
7.某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产450台.设二、三月平均每月增
长率为x，根据题意列出方程是()
A. 150(1+x)2=450
B. 150(1+x)+150(1+x)2=450
C. 150(1−x)2=450
D. 150+150(1+x)2=450
8.若A(−4,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)为二次函数y=−x2−3x+m(m为常数)的图象
上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是()
A. y1<y2<y3
B. y3<y2<y1
C. y3<y1<y2
D. y1<y3<y2
9.如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形
中面积为1的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律．则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为()
A. 20
B. 27
C. 35
D. 40
10.若数a使关于x的二次函数y=x2+(a−1)x+b，当x<−1时，y随x的增大而减
小；且使关于y的分式方程a
y−2+2
2−y
=2有非负数解，则所以满足条件的整数a的
是()
A. −2
B. 1
C. 0
D. 3
11.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.
若点B′恰好落在BC边上，且AB′=CB′，则∠C′的度数为()
A. 18°
B. 20°
C. 24°
D. 28°
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上图所
示，有下列5个结论：
①abc>0；②b<a+c；③4a+2b+c>0；④a+b>
m(am+b)(m≠1)
其中正确的结论有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
13.方程x2−9=0的解是______．
14.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(1,0)，(3,0)两点，则方程ax2+bx+c=0
的解是：______ ．
15.把抛物线y=−2(x−1)2+1先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的
抛物线的表达式______ ．
16.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D
为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分
别为点A、点B，且AC=2，则图中阴影部分的面
积为______(结果不取近似值)．
17.甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲先步
行到达B地后原地休息，甲、乙两人的距离y(km)与
乙步行的时间x(ℎ)之间的函数关系的图象如图，则步
行全程甲比乙少用______ 小时．
18.新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己
喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人
，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的3
5
乙、丙三班共捐书______本．
19.解方程：
(1)x(x+3)=2x+6；
(2)2x2−3x−5=0．
20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)(
每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)请画出将△ABC向下平移5个单位后得到的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B 旋转到点B2所经过的路径长．
21.先化简，再求值：(a+2
a2−2a +8
4−a2
)÷a2−4
a
，其中a满足方程a2+4a+1=0．
22.若一个三位数t=abc−(其中a、b、c不全相等且都不为0)，重新排列各数位上的数
字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为T(t).例如，539的差数T(539)=953−359=594．
(1)根据以上方法求出T(268)=______，T(513)=______；
(2)已知三位数a1b−(其中a>b>1)的差数T(a1b−)=495，且各数位上的数字之和
为3的倍数，求所有符合条件的三位数的值．
23.某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=−x2+2|x|+1的图象和性
质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
x…−3−5
2
−2−1012
5
2
3…
y…−2−1
4
1m121−
1
4
−2…
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几对对应数值如表；其中m=______ ；如图，在平面直角坐标系xOy中，描述了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数图象．
(2)结合图象写出函数的一条性质：______ ．
(3)若关于x的方程−x2+2|x|+1=b有四个互不相等的实数根，则b的取值范围是______ ．
24.某体育用品制造公司通过互联网销售某品牌排球，第一周的总销售额为3000元，
第二周的总销售额为3520元，第二周比第一周多售出13个排球．
(1)求每个排球的售价；
a%，并预计第三周能售出120个
(2)该公司在第三周期将每个排球的售价降低了1
2
排球，恰逢中国女排勇夺里约奥运会冠军，极大地激发了广大青少年积极参与排球运动的热情，该款排球在第三周的销售比预计的120个还多了4a%，已知每个排球的成本为16元，该公司第三周销售排球的总利润为4320元，求a的值(其中a≤50)
25.如图，已知抛物线y=ax2+bx−3，与x轴交于A(1,0)、B(−3,0)两点，与y轴的
交于点C.点P是线段BC上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接CD、DB.当△BDC的面积最大时，求△BDC面积的最大值以及此时点P的
坐标？
(3)是否存在点P，使得△PCD是等腰三角形，若存在，求出P点的坐标.若不存在，
说明理由．
26.如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点.作正方
形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
(1)猜想线段BG和AE的数量关系是______ ．
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°，小于或等
于360°).如图②，通过观察或测量等方法判断判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若BC=DE=4，在(2)的旋转过程中.当AE为最大值时，求AF的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、化简得−2x+2=0，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】C
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】D
【解析】解：
∵y=−2x2+1，
∴b=0，
∴其图象关于y轴对称，
故选：D．
根据抛物线解析式中不含一次项，可得出其对称轴为y轴．
本题主要考查二次函数的对称轴，掌握y=ax2+c的对称轴为y轴是解题的关键．4.【答案】B
【解析】解：点(−3,4)关于原点对称的点的坐标是(3,−4)，
故选：B．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)可直接得到答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5.【答案】C
【解析】解：△=(−4)2−4×1×2=8>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
先计算判别式的值，然后根据判别式的值进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
6.【答案】C
【解析】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠O=140°，
∴∠OAB=20°，
∴∠BAC=∠OAC−∠OAB=90°−20°=70°．
故选：C．
由“AC与⊙O相切于点A“得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA.求出
∠OAC及∠OAB即可解决问题．
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】B
【解析】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：150(1+x)，
三月份生产机器为：150(1+x)2；
又知二、三月份共生产450台；
所以，可列方程：150(1+x)+150(1+x)2=450．
故选：B．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产450台”，即可列出方程．本题可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程；平均增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
8.【答案】C
【解析】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线x=−−3
2×(−1)=−3
2
，
∵点B(−1,y2)到y轴的距离最近，C(2,y3)到y轴的距离最远，
∴y3<y1<y2．
故选：C．
先求出二次函数的对称轴，再通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】B
【解析】解：第(1)个图形中面积为1的正方形有2个，
第(2)个图形中面积为1的图象有2+3=5个，
第(3)个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，
…，
按此规律，
第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+⋯+(n+1)=n(n+3)
2
个，
则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7=27个．
故选：B．
第(1)个图形中面积为1的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积
为1的正方形有2+3+4+⋯+n+1=n(n+3)
2
，进一步求得第(6)个图形中面积为1的正方形的个数即可．
此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．10.【答案】D
【解析】解：解分式方程a
y−2+2
2−y
=2可得y=a+2
2
，
∵分式方程a
y−2+2
2−y
=2的解是非负实数，
∴a≥−2，
∵y=x2+(a−1)x+b，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=1−a
2
，
∴当x<1−a
2
时，y随x的增大而减小，
∵在x<−1时，y随x的增大而减小，
∴1−a
2
≤−1，解得a≥3，
综上可知满足条件的a的值为3，
故选：D．
解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．
本题考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a的值是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得∠C=∠C′，AB=AB′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB′，∠B=∠AB′B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：∵AB′=CB′，
∴∠C=∠CAB′，
∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C=∠C′，AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°−108°，
∴∠C=24°，
∴∠C′=∠C=24°，
故选C．
12.【答案】B
【解析】解：①根据图象，a<0，b>0，c>0，故①错误；
②令x=−1，时y<0，即a−b+c<0，故b>a+c，故②错误；
③∵观察图象知，当x=2时y>0，
∴4a+2b+c>0，
故③正确；
④x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，又x=1时函数取得最大值，
∴a+b+c>am2+bm+c，即a+b>am2+bm=m(am+b)，
故④正确．
故选：B．
=1>0，b>0，①由抛物线开口向下a<0，抛物线和y轴的正半轴相交，c>0，−b
2a
②令x=−1，时y<0，即a−b+c<0，移项后即可判定正误；③−当x=2时，y= 4a+2b+c=0；把x=m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x=1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x=1时函数值最大，所以x=1对应的函数值大于x= m对应的函数值，化简得到不等式成立，故④正确．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以
及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
13.【答案】x=±3
【解析】
【分析】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，比较简单．这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．
【解答】
解：x2−9=0即(x+3)(x−3)=0，
所以x=3或x=−3．
故答案为：x=±3．
14.【答案】x1=1，x2=3
【解析】解：∵y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(1,0)，(3,0)两点，
∴方程ax2+bx+c=0的根是：x1=1，x2=3．
故答案是：x1=1，x2=3．
根据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，利用二次函数与一元二次方程的关系及抛物线与x轴的交点是解答此题的关键．
15.【答案】y=−2x2−1
【解析】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为(1,1)，
平移后抛物线顶点坐标为(0,−1)，
所以所得抛物线解析式为：y=−2x2−1．
故答案为y=−2x2−1．
抛物线y=−2(x−1)2+1的顶点坐标为(1,1)，向左平移1个单位，再向下平移2个单位后所得的抛物线的顶点坐标为(0,−1)，根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
16.【答案】2−π
2
【解析】解：∵BC=AC，∠C=90°，AC=2，
∴AB=2√2，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD=√2，
∴S
阴影=S△ABC−S
扇形EAD
−S
扇形FBD
=1
2×2×2−45π×(√2)2
360
×2，
=2−π
2
．
故答案为：2−π
2
．
用三角形ABC的面积减去扇形EAD和扇形FBD的面积，即可得出阴影部分的面积．
本题考查了扇形面积的计算以及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：S=nπr2
360
．17.【答案】1.75
【解析】解：由图象可得，
乙的速度为21×7=3(km/ℎ)，
则甲的速度为：21÷3−3=7−3=4(km/ℎ)，
a=21÷4=5.25，
则步行全程甲比乙少用7−5.25=1.75(小时)，
故答案为：1.75．
根据题意和函数图象中的数据，可以分别求得甲、乙两人的速度，从而可以得到a的值，然后即可得到步行全程甲比乙少用的时间．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18.【答案】1080
【解析】解：设甲班的人均捐书数量为x本，乙班的人均捐书数量为(x+5)本，丙班的
人均捐书数量为x
2
本，
设甲班有y人，乙班有(80−y)人．
根据题意，得
xy+(x+5)(80−y)+x
2
⋅40=
3
5
(x+5)×120
解得：y=28x+40
5=5x+3
5
x+8
可知x为2且5的倍数，故x=10，y=64
共捐书10×64+15×16+5×40=1080．
答：甲、乙、丙三班共捐书1080本．
故答案为1080．
根据设间接未知数列三元一次方程组求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答．
本题考查了三元一次方程组的应用，解决本题的关键是找三个等量关系．
19.【答案】解：(1)x(x+3)−2(x+3)=0，
(x+3)(x−2)=0，
x+3=0或x−2=0，
所以x1=−3；x2=2；
(2)(2x−5)(x+1)=0，
2x−5=0或x+1=0，
所以x1=5
2
；x2=−1．
【解析】(1)先变形得到x(x+3)−2(x+3)=0，然后利用因式分解法解方程；(2)利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作，
OB=√22+42=2√5，
点B旋转到点B2所经过的路径长=90⋅π⋅2√5
180
=√5π．
【解析】本题考查了作图−旋转变换、作图−平移变换与利用弧长公式求轨迹，属于中等题．
(1)利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
(2)利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，然后计算出OB的长后利用弧长公式计算点B旋转到点B2所经过的路径长．
21.【答案】解：原式=[a+2
a(a−2)−8
(a+2)(a−2)
]⋅a
(a+2)(a−2)
=
(a−2)2
a(a+2)(a−2)
⋅
a
(a+2)(a−2)
=
1 (a+2)2
=1
a2+4a+4
，
∵a2+4a+1=0，
∴a2+4a=−1，
∴原式=1
3
．
【解析】先把分式化简后，再整体代入法代入求出分式的值
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要
进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22.【答案】594 396
【解析】解：(1)T(268)=862−268=594；
T(513)=531−135=396；
故答案为594，396；
(2)T(a1b −)=ab1−−1ba −
=100a +10b +1−100−10b −a =99a −99=495， ∴a =6，
∵a >b >1，
∴b 的可能值为5，4，3，2，
∴这个三位数可能是615，614，613，612，
∵各数位上的数字之和为3的倍数，
∴615，612满足条件，
∴符合条件的三位数的值为615，612．
(1)根据T(t)的求法，直接代入求解；
(2)将T(a1b −)用代数式表示为99a −99，确定a ；再由a >b >1，确定b 的可能取值，初步确定符合条件的三位数；最后结合各数位上的数字之和为3的倍数，准确得到符合条件的三位数．
本题考查因式分解的应用；能够通过题意，利用代数式将T(a1b −)进行正确的表示是解题的关键．
23.【答案】2 函数图象关于y 轴对称 1<b <2
【解析】解：(1)当x =−1时，m =−(−1)2+2×|−1|+1=−1+2+1=2， 故答案为2．
如图所示：
(2)①答案不唯一．如：函数图象关于y轴对称．
(3)由函数图象知：关于x的方程−x2+2|x|+1=b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是1<b<2．
故答案为：1<b<2．
(1)把x=−1代入函数解释式即可得m的值；描点、连线即可得到函数的图象；
(2)根据函数图象得到函数y=x2−2|x|+1的图象关于y轴对称；当x>1时，y随x的增大而减少；
(3)根据函数的图象即可得到b的取值范围是1<b<2．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每个排球的售价为x元，由题意得
3000+13x=3520，
解得x=40．
答：每个排球的售价为40元；
a%)−16]×120(1+4a%)=4320，
(2)由题意，得[40(1−1
2
整理，得a2−95a+1500=0，
解得a1=20，a2=75(不合题意舍去)．
即a的值为20．
【解析】(1)设每个排球的售价为x元，根据“第一周的总销售额为3000元，第二周的总销售额为3520元，第二周比第一周多售出13个排球”列出方程，求解即可；(2)根据每个排球的利润×销售量=4320元列出方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程与一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据
题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为y =a(x −1)(x +3)=a(x 2+2x −3)， 即−3a =−3，解得a =1，
故抛物线的表达式为y =x 2+2x −3；
(2)由抛物线的表达式知，点C(0,−3)，
设直线BC 的表达式为y =kx +t ，则{t =−30=−3k +t ，解得{k =−1t =−3
， 故直线BC 的表达式为y =−x −3，
设点P(x,−x −3)，则点D(x,x 2+2x −3)，
则PD =−x −3−x 2−2x +3=−x 2−3x ，
则△BDC 的面积=S △PDB +S △PDC =12×PC ×OB =12×3×(−x 2−3x)=−32x 2−92x ， ∵−32<0，故△BDC 的面积有最大值， 当x =−32时，△BDC 的面积的最大值为278，此时点P(−32,−32)；
(3)存在，理由：
由(1)知，设点P(x,−x −3)，则点D(x,x 2+2x −3)，则PD =−x −3−x 2−2x +3=−x 2−3x ，
①当PC =DC 时，则点C 在PD 的中垂线上，
即12(y P +y D )=y C ，即(−x −3+x 2+2x −3)=−6，
解得：x =0(舍去)或−1，
故点P(−1,−2)；
②当PD =PC 时，
由点P 、C 的坐标知，PC =−√2x ，
则−√2x =−x 2−3x ，
解得x =0(舍去)或√2−3，
故点P(√2−3,−√2)；
③当DP =CD 时，
同理可可得，点P 的坐标为(−2,−1)，
综上，点P的坐标为(−1,−2)或(√2−3,−√2)或(−2,−1)．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由△BDC的面积=S△PDB+S△PDC=1
2
×PC×OB即可求解；
(3)分DC=PC、PD=CD、PC=PD三种情况，利用等腰三角形性质分别求解即可．本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
26.【答案】BG=AE
【解析】解：(1)BG=AE，
证明：如图①中，∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=DA，
又∵正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA；
∴△BDG≌△ADE(SAS)
∴BG=AE．
故答案为：BG=AE．
(2)成立：
证明：如图②中，连接AD，
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△ADE中，
{BD=AD
∠BDG=∠ADE GD=ED
，
∴△BDG≌△ADE(SAS)，
∴BG=AE；
(3)由(2)可得BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值．
观察图象可知：当旋转角度为270°时，BG=AE最大值为2+4=6，
此时如图：AF=√AE2+EF2=√62+42=2√13．
(1)在△BDG与△EDA；根据边角边定理易得△BDG≌△EDA，故BG=AE．
(2)连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG= AE．
(3)根据(2)的结论，求BG的最大值，分析可得此时F的位置，由勾股定理可得答案．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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