四川省成都市郫都区高二数学上学期第一次月考试题理

四川省成都市郫都区2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试
题理
考试时间共120分钟，满分150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
n
1 .命题"若a = ~，贝V tan a = 1”的逆否命题是n n
A.若a 工~7,贝U tan a 1 B・若tan a 1,贝U a
4 4
C.若a = 一，贝V tan a 工1 D .若tan a 工1 ,贝V a = 一
4 4
2. 已知命题p：? n€ N,2n> 1000，则「p 为
A. ? n€ N,2n w 1000
B. ? n€ N,2n> 1000
C. ? n€ N,2n w 1000
D. ? n€ N,2n v 1000
3. 当a为任意实数时，直线(a—1)x —y+ 2a+1= 0恒过的定点是
1
A. (2,3) B . 1^- C . ( —2,3) D. ( —2,0)
4. 下列命题是真命题的是
1 1
A.若x2 = 1，则X = 1
B.若—二—，则X = y
x y
5.设a€ R，则"a= 1”是"直线11
C.若x = y，则x y
D.若x< y，则x2 < y2
ax + 2y—1 = 0与直线 /：x+(a+1)y+4=0平行”的
A.充分不必要条件 B .必要不充分条件
C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
6. 若方程x + (2a+ 3)y + 2ax + a= 0表示圆，则a的值为
A. 2
B.—1
C.—1 或2
D.不存在
7. 若命题p：x € A n p 为
A. x€A且x?B
B. x?A且x?B
C. x ?A或x?B D . x €A U B
广 3x+ y —6 >0,
&设变量x , y 满足约束条件< x —y —2 W O,则目标函数z = y -2x 的最小值为
< y — 3 WO,
9. 已知直线 x — 2y — 3= 0 与圆(x — 2)2 + (y + 3)2= 9交于 E ,
的面积为
3 A.
B
2
10. 设点A (2, — 3),耳—3, — 2)，直线过只1,1)且与线段AB 相交，贝U l 的斜率k 的取 值范围是
3
、
3
A. k >—或 k W — 4
B. — 4 Wk W —
4
4
D k >——或 k W- 4
4
11. 圆x 2+ y 2 — 4x + 6y —12= 0过点(—1,0)的最大弦长为 m 最小弦长为n ,贝U n — n 等于
A. 10 -3.3 B . 5一7 C . 10-2 .7 D . 5-：・3
12.
当曲线y =1 • 4-x 2与直线y = k (x — 2) + 4有两个相异交点时，实数
k 的取值范围是
5 1 3 \
'*5 5 3
A
°云
B
.
3 匸 C .
D 祛，
二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分
13 .已知点 A (x, 1,2)和点B (2,3,4)，且| AB = 2 6，则实数x 的值是 _________________ .
2 2 2 2
14 .圆x + y = 50与圆x + y — 12x — 6y + 40= 0的公共弦长为 _________ .
15 .若命题“ X 。

• R,2x ： -3ax 0 - 9 ： 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ____________ 16 .已知实数x , y 满足y —厂7，则m = 加的取值范围是 ______________________ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共
70分 17 .(本小题满分10分)
已知三角形的三个顶点是 A (4,0) , B (6,6) , C (0,2)
A. — 7 B .— 4
C. 1
D. 2
F 两点，则△ EOfO 是原点)
2.5
C.
(1) 求AB边上的高所在直线的方程；
(2) 求AC边上的中线所在直线的方程.
18. (本小题满分12分)
命题q：实数x满足
设命题p：实数x满足x2—4ax+ 3a2<0，其中a>0,
x2 - x-6 <0, x2 +2x—8 > 0.
{
(1) 若a= 1,且p A q为真，求实数x的取值范围；
(2) 若「q是「p的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
19. (本小题满分12分)
已知定圆的方程为(x + 1)2+ y2= 4,点A(1,0)为定圆上的一个点，点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程.
20. (本小题满分12 分)
圆C：(x —1)2+ (y—2)2= 25,直线I : (2m^ 1)x+ (m^ 1)y —7m r4= 0(m€ R).
(1)证明：不论m取什么数，直线I与圆C恒交于两点；
(2)求直线I被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值.
21. (本小题满分12分)
已知圆C： x2+ y2+ 2x—4y + 3= 0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(X1, y1)向该圆引一条切线，切点为M O为坐标原点，且有I PM= I PO，求使得I PM取得最小值时点P的坐标.
22. (本小题满分12分)
2
t ----- 已知圆C过坐标原点O,且与x轴，y轴分别交于点A, B,圆心坐标为C t
(t € R, t 工0 .
(1)求证：△ AOB勺面积为定值;
(2)直线2x+y —4= 0与圆C交于点M N若|0M = I ON，求圆C的方程；
求I PB I
(3)在(2)的条件下，设点P, Q分别是直线I : x + y+ 2= 0和圆C上的动点, + | PQ
的最小值及此时点P的坐标.
郫都一中2017-2018学年高二上期10月月考试题参考答案
数学（理科）
、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60 分）
BCC BAB CAC ACD
、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20 分） 13. 6 或—2,
14. 2
5 ,
15.[
三•解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共 17. （本小题满分10分） 解：(1) ••• A (4,0) , 06,6) , C (0,2),
6-0 • • kAB — — 3,
6-4
• AB 边上的高所在直线的方程为
整理得x + 3y — 6 — 0. ⑵•/ AC 边的中点为（2,1）,
• AC 边上的中线所在的直线方程为 ’
6- 1 S-2 整理得 5x — 4y — 6— 0. 18. (本小题满分12分)
解：(1)由 x 2— 4ax + 3a 2<0得(x — 3a )( x — a )<0. 又 a >0,所以 a <x <3a ,
当 a — 1 时，1<x <3,
即p 为真命题时，实数 x 的取值范围是1<x <3.
x 2— x — 6< 0,
— 2< x < 3, 由’ 2
解得彳 亠 即2<x <3.
x + 2x — 8>0,
|x<— 4 或 x >2.
所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x <3.
^1<x <3,
若p A q 为真，则
？ 2<x <3,
2<x <3
所以实数x 的取值范围是（2,3）
2 2 , — 2 2 ] , 16. 70分)
• AB 边上的高所在直线的斜
率
3
⑵
「q 是「p 的必要不充分条件，
即「p ?「q 且「q ?「p .
设 A = {x |x w a 或 x >3 a }, B= {x |x W2 或 x >3}, 则A 真包含于B.
所以 0<a W2 且 3a >3,即卩 1<a < 2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]. 19. (本小题满分12分)
解设点 Mx ，y )，点 C (x o , y o )，
因为点C 与点A 不重合，所以x o M 1,即卩1.
_
2
2
又因为点C (x o , y o )在圆(x + 1) + y = 4上， 所以(x o + 1)1 2 + y 2 = 4(x o 工 1)，②
2 2
将①代入②，得(2 x - 1 + 1) + (2y ) = 4(x 丰1),
2 2
即 x + y = 1(x 工 1).
因此，动点M 的轨迹方程为x 2+ y 2= 1(X M 1). 2O.(本小题满分12分) 解：(1)证明
•••直线I 的方程可化为(2x + y — 7) (x + y — 4) = O(m€ R).
f2x + y - 7 = 0,
••• I 过，、.: 的交点M 3,1).即I 恒过定点M 3,1), 又••• M 到圆心C (1,2)的距离
d =d 2i'= v 5,「.点 M 3,1)在圆内,
•过点M 3,1)的直线I 与圆C 恒交于两点. 2 •••过点M 3,1)的所有弦中，弦心距 d < ，弦心距、半弦长和半径 r 满足勾股定理,
•••当d 2 = 5时，半弦长的平方的最小值为 25 — 5 = 2O. •弦长AB 的最小值| AB min = 4
.
因为M 是动弦AC 的中点，所以由中点坐标公式可得
X 0 + 1
2
y 。

~2，
X o = 2x - 1,
即’
y o = 2y .
2 m + 1
l 丄CM ---------------- = - 1，解得 m ^-.
m + 1
.•.当m ^ —时，取到最短弦长为 4 . 21. （本小题满分12分）
2 2
解 ⑴ 将圆C 整理，得（X + 1） + （y — 2） = 2.①当切线在两坐标轴上的 截距为0时，设切线 方程为y = kx ,•••圆心到切线的距离为I_ k 'I ,即k — 4k — 2 = 0,解得k = 2土寸6. •. 寸k +1 耳
Y 切线方程为y = （2 ± 6）x .
②当切线在两坐标轴上的 截距不为0时，设切线方程为 x + y — a = 0,.••圆心到切线的距离 I — 1 + 2 — a| —
为 ------------ =2,即 |a —1| = 2，解得 a = 3 或一1.
2 •切线方程为 x + y + 1 = 0或x + y —
3 = 0.
综上所述，所求切线方程为 y = （2 ± 6）x 或x + y + 1 = 0或x + y — 3= 0.
2 2 2 2
（2 ）T | PQ =|PM , • X 1 + y 1=（X 1+ 1） + （y 1 — 2） — 2,即 2X 1— 4y ’+ 3 = 0,即点 P 在直线
l : 2x — 4y + 3= 0上.当| PM 取最小值时，|OP 取得最小值，此时直线 OPL I ，•直线 OP 的
[=—2 2x + y = 0, x
10，
方程为2x + y = 0.联立方程组 < 解得｛
2x — 4y + 3 = 0, 3
l y =5，
22. （本小题满分12分）
解：（1）证明 由题意知，圆C 的标准方程为（x — t ）2+ y —2 2= t 2+ p,
4
化简得 x — 2tx + y — $y = 0.
当 y = 0 时，x = 0 或 x = 2t ，贝U A (21, 0);
此时，kCMI = — , kl 2m + 1
•••点P 的坐
标为
-
猪,
5.
当x= 0 时，y= 0 或y= 4，贝y B O, 4.
••S A。

尸2| OA •I OB = 1|2t| •|4| = 4，为定值.
⑵•••〔OM = | ON，•原点O在MN的中垂线上.
设MN的中点为H,贝U CHL MN •- C, H, O三点共线，且直线OC的斜率与直线MN的斜率的
2
t 2 1
乘积为一1,即直线OC的斜率k=-=尸=2，• t = 2或t = - 2 ,
•圆心为Q2,1)或C —2, —1),
2 2 2 2
•••圆C 的标准方程为(x —2) + (y —1) = 5 或(x + 2) + (y+ 1) = 5.
.. 2 2 ..
检验：当圆的方程为(X+ 2) + (y+ 1) = 5时，圆心到直线2x + y—4= 0的距离d>r,此时
直线与圆相离，故舍去•
故圆C的方程为(x —2)2+ (y—1)2= 5.
⑶易求得点B(0,2)关于直线x + y+ 2= 0的对称点B ( —4,—2),
则|PB + |PQ = | PB | + |PQ >1 B Q ,
又••• B'到圆上点Q的最短距离为
| B z q —r = __—__2+ — ~= 3半-店=2西,
[1
厂 1 y=~ x,
•••IPB +
.4-3 2-3
I PQ的最
小值为2
5，又直线
B' C的方
程为y =
QX，联立2解
〔X + y+ 2= 0, x =
得
y=
X.
故I PB + | PQ取得最小值时点P的坐标为—4,—|，最小值为2 5.。