高中数学第二章基本初等函数Ⅰ22第二课时指数函数图象及性质的应用习题课练习新人教A版必修12018092643
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2.3指数函数的性质及应用练习(含解析)新人教A版必修1
课时20 指数函数的性质及应用利用单调性比较大小1．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 答案 D解析 ∵函数y ＝0.86x 在R 上是减函数，∴0＜0.860.85＜0.860.75＜1.又1.30.86＞1，∴c＞a ＞b .2．比较下列各组数的大小： (1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)1.70.3与0.93.1；(4)0.60.4与0.40.6；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫3412. 解 (1)由于指数函数y ＝1.9x在R 上单调递增， 而－π<－3，∴1.9－π<1.9－3；(2)∵函数y ＝0.7x 在R 上递减，而2－3≈0.269<0.3，∴0.72－3>0.70.3；(3)由指数函数的性质可知，1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1；(4)∵y ＝0.6x 在R 上递减，∴0.60.4>0.60.6，又∵在y 轴右侧，函数y ＝0.6x的图象在y ＝0.4x图象的上方，∴0.60.6>0.40.6，∴0.60.4>0.40.6；(5)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4313>1,223>1,0<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<1.又∵在y 轴右侧，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 的图象在y ＝4x的下方，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<413＝223，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫3412<⎝ ⎛⎭⎪⎫4313<223.指数函数的单调区间3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 的单调递增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．(0,1) 答案 A解析 定义域为R .设u ＝1－x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u，∵u ＝1－x 在R 上为减函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.4．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17. (1)求函数的定义域、值域； (2)确定函数的单调区间．解 (1)设u ＝x 2－6x ＋17，由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ，及u ＝x 2－6x ＋17的定义域为(－∞，＋∞)，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17的定义域为R . 因为u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12u>0，故函数值域为⎝⎛⎦⎥⎤0，1256. (2)函数u ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，即对任意的x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1<x 2，有u 1<u 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 1>⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 2，就是y 1>y 2，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是减函数．同理可知，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－6x ＋17在(－∞，3]上是增函数.讨论参数的取值范围5.若ax ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－3x(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围． 解 因为ax ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x，所以当a >1时，可得x ＋1>3x －5，所以x <3. 当0<a <1时，可得x ＋1<3x －5，所以x >3. 综上，当a >1时，x <3；当0<a <1时，x >3.忽视中间变量的取值范围6.求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1的值域．易错分析 用换元法解答本题，易忽视中间变量的范围致误．正解 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34.因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y >⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋122＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)．一、选择题1．下列判断正确的是( ) A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．π2<π2D ．0.90.3>0.90.5答案 D解析 ∵y ＝0.9x是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5.2．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋a 与y ＝a x的图象大致是( )答案 B解析 B 项中，由y ＝a x的图象，知a >1，故直线y ＝ax ＋a 与y 轴的交点应在(0,1)之上，与x 轴交于点(－1,0)．其余各选项均矛盾．3．已知a ＞b ，ab ≠0，下列不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b；③1a ＜1b ；④a 13＞b 13；⑤13a ＜13b .其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 由y ＝a x的增减性，知②⑤成立；由指数函数在第一象限的图象“底大图高”，知④正确．4．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，若f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2) 答案 A解析 f (2)＝a －2＝4，a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，则f (－2)>f (－1)．5．已知函数f (x )＝a 2－x(a ＞0，且a ≠1)，当x ＞2时，f (x )＞1, 则f (x )在R 上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．当x ＞2时是增函数，当x ＜2时是减函数D ．当x ＞2时是减函数，当x ＜2时是增函数 答案 A解析 令2－x ＝t ，则t ＝2－x 是减函数．因为当x ＞2时，f (x )＞1，所以当t ＜0时，a t ＞1.所以0＜a ＜1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.二、填空题6．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为R 上的奇函数，则a ＝________.答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数，且x ∈R ， ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.7．若函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥6解析 y ＝2－x 2＋ax －1在(－∞，3)上递增，即二次函数y ＝－x 2＋ax －1在(－∞，3)上递增，因此需要对称轴x ＝a2≥3，解得a ≥6.8．若2x＋3y>3－x＋2－y，则x ＋y ________0. 答案 >解析 令f (z )＝2z －3－z ，由于y ＝3－z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13z 在R 上递减，∴y ＝－3－z在R 上递增．∴y ＝2z －3－z在R 上递增． 又2x－3－x>2－y－3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0，故填“>”． 三、解答题9．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解 分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝a 1＝a ，最小值f (x )min ＝f (2)＝a 2，∴a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝a 2，最小值f (x )min ＝f (1)＝a 1＝a ，∴a 2－a ＝a 2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或a ＝32.10．已知x ∈[0,2]，试求函数y ＝14x －12x＋2的最大值与最小值．解 因为y ＝12x 2－12x＋2，所以令12x ＝t ，则y ＝t 2－t ＋2＝t －122＋74.又x ∈[0,2]，所以14≤t ≤1，则当t ＝12时，y 取得最小值74，当t ＝1时，y 取得最大值2，所以y ＝14x －12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值为2，最小值为74.。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第二课时指数函数图象及性质的应用(习题课)
2018-2019学年度高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.2 第二课时指数函数图象及性质的应用（习题课）练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年度高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.2 第二课时指数函数图象及性质的应用（习题课）练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二课时指数函数图象及性质的应用(习题课)【选题明细表】知识点、方法题号比较大小2，5解指数方程或不等式1，6,10指数函数性质的综合应用3,4,7,9与指数函数有关的问题8，11,121。
若3〈(）x<27,则( C ）（A）—1<x<3 （B)x>3或x<—1（C)—3<x〈—1 （D)1<x〈3解析:3<()x<27⇔3<3—x〈33⇔1〈—x<3⇔-3〈x〈-1.2。
下列判断正确的是（ D ）(A)2.52.5〉2。
53（B)0。
82〈0.83(C）π2< (D)0。
90。
3〉0.90.5解析:函数y=0。
9x在R上为减函数,所以0。
90。
3>0。
90。
5。
3.设f(x）=(）|x｜，x∈R，那么f（x)是（ D ）(A）奇函数且在（0,+∞）上是增函数(B)偶函数且在(0,+∞）上是增函数(C)奇函数且在(0，+∞)上是减函数(D)偶函数且在(0,+∞)上是减函数解析:因为f（—x)=（)｜—x｜=（)|x｜=f（x),所以f(x）为偶函数。
近年高考数学总复习第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第二课时)练习新人教A版必修
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2。
1.2 指数函数及其性质（第二课时）一．选择题1．函数y＝a｜x|（0〈a〈1)的图象是（）A． B． C．D．【答案】C考点：指数型函数的图象.2．函数f（x）=a x+b-1的图像经过一，二,四象限，则有（ )A．0＜a＜1，0＜b＜1B．0＜a＜1,b＞1C．a＞1，b＞0D．a＞1，b＜0【答案】A【解析】如图:a＞1时，图像上下平移的可能情况:可知不可能同过一二四象限当0＜a＜1时，满足条件如图:所以0＜1-b＜1.得0＜b＜13．设a＝40.8，b＝80。
46，c＝(）－1.2，则a,b，c的大小关系为( ）A． a>b>c B． b>a〉c C． c〉a>b D． c>b〉a【答案】A【解析】∵a＝40.8＝21.6,b＝80.46＝21。
38，c＝()－1。
2＝21。
2，又∵1.6〉1。
38>1。
2,∴21.6〉21.38>21.2。
即a>b>c。
故选A.4．[2014·太原模拟]函数y＝（)x2＋2x－1的值域是（）A．（－∞，4) B．（0，＋∞）C．（0，4] D． [4，＋∞）【答案】C考点：函数的值域。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第2课时)对数函数及其性质的应用(习题课)应用
高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质（第2课时）对数函数及其性质的应用（习题课）应用案巩固提升新人教A 版必修1[A 基础达标]1．已知a ＝log 0.60.5，b ＝ln 0.5，c ＝0.60.5，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：选B.a ＝log 0.60.5＞log 0.60.6＝1，b ＝ln 0.5＜0，0＜c ＝0.60.5＜0.60＝1， 故a ＞c ＞b .2．(2019·衡阳高一检测)函数y ＝log 15(1－3x)的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为3x＞0，所以－3x＜0， 所以1－3x＜1.又y ＝log 15t (t ＝1－3x)是关于t 的减函数，所以y ＝log 15t ＞log 151＝0.选C.3．(2019·聊城高一检测)关于函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性的叙述正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是减函数 C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上是增函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上是减函数 解析：选C.由1－2x >0，得x <12，所以f (x )＝log 12(1－2x )的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.由于底数12∈(0，1)，所以函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调性与y ＝1－2x 的单调性相反．因为y ＝1－2x 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上是增函数，故选C. 4．(2019·六安高一检测)若a >1，且log 1ax 1＝log a x 2＝log a ＋1x 3<0，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 3<x 1C ．x 3<x 2<x 1D ．x 3<x 1<x 2解析：选C.因为log 1ax 1＝log a x 2＝log a ＋1x 3<0，所以lg x 1lg 1a＝lg x 2lg a ＝lg x 3lg （a ＋1）<0，因为a >1，则lg 1a<0，lg(a ＋1)>lg a >0，所以lg x 1>0，lg x 2<0，lg x 3<0，且lg x 2>lgx 3，所以x 1>1，0<x 3<x 2<1，所以x 3<x 2<x 1.5．下列函数为奇函数的是( )A ．f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12xB ．f (x )＝|lg x |C ．f (x )＝lg |x |D ．f (x )＝lg 1－x1＋x解析：选D.对于选项A 中的函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x ，函数定义域为R ，f (－x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋12－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝f (x )，故选项A 中的函数为偶函数；对于选项B 中的函数f (x )＝|lg x |，由于函数定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故选项B 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；对于选项C 中的函数f (x )＝lg|x |，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，故选项C 中的函数为偶函数；对于选项D 中的函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，由于函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，故选项D 中的函数为奇函数．故选D.6．若lg(2x －4)≤1，则x 的取值范围是________． 解析：由lg(2x －4)≤1得lg(2x －4)≤lg 10， 所以0＜2x －4≤10， 解得2＜x ≤7. 答案：(2，7]7．(2019·凉州高一检测)已知函数y ＝log 2(1－x )的值域为(－∞，0)，则其定义域是________．解析：因为函数y ＝log 2(1－x )的值域为(－∞，0)，所以0<1－x <1，即－1<x －1<0，解得0<x <1，所以该函数的定义域为(0，1)．答案：(0，1)8．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．解析：因为a ＞1，所以f (x )＝log a x 在[a ，2a ]上递增， 所以log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，所以a 12＝2，a ＝4.答案：49．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝log 2x . (1)求f (x )的解析式； (2)解关于x 的不等式f (x )≤12.解：(1)设x <0，则－x >0， 因为当x >0时，f (x )＝log 2x ， 所以f (－x )＝log 2(－x )， 又因为函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )． 当x ＝0时，f (0)＝0，综上所述，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2（－x ），x <0.(2)由(1)得不等式f (x )≤12可化为x >0时，log 2x ≤12，解得0<x ≤ 2.x ＝0时，0≤12满足条件．x <0时，－log 2(－x )≤12，解得x ≤－22. 综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≤－22或0≤x ≤2.10．已知函数f (x )＝log 2(1＋x 2)．求证：(1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．证明：(1)函数f (x )的定义域是R ，f (－x )＝log 2[1＋(－x )2]＝log 2(1＋x 2)＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)设x 1，x 2为(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(1＋x 21)－log 2(1＋x 22)＝log 21＋x 211＋x 22.因为0<x 1<x 2，所以0<x 21<x 22，0<1＋x 21<1＋x 22，所以0<1＋x 211＋x 22<1.又函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，所以log 21＋x 211＋x 22<0.所以f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．[B 能力提升]11．log 12(a 2＋a ＋1)与log 1234的大小关系为( )A ．log 12(a 2＋a ＋1)≥log 1234B ．log 12(a 2＋a ＋1)>log 1234C ．log 12(a 2＋a ＋1)≤log 1234D ．log 12(a 2＋a ＋1)<log 1234解析：选C.因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上是减函数，而a 2＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34≥34，所以log 12(a 2＋a ＋1)≤log 1234.12．(2019·大庆高一检测)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a |＝－log b a ．则a ，b 满足的关系式是( )A ．a >1且b >1B ．a >1且0<b <1C ．b >1且0<a <1D ．0<a <1且0<b <1解析：选C.因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a |＝－log b a ，所以log a 14>0，log b a <0，即0<a <1，b >1.13．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋3>0，解得－3<x <1，所以定义域为(－3，1)．(2)函数可化为f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]，因为－3<x <1，所以0<－(x ＋1)2＋4≤4，又0<a <1，所以log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4，即f (x )的最小值为log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，所以a ＝4－12＝12.14．(选做题)已知函数f (x )＝log a (3－ax )，(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由题设，3－ax >0对x ∈[0，2]恒成立，且a >0，a ≠1.设g (x )＝3－ax ， 则g (x )在[0，2]上为减函数，所以g (x )min ＝g (2)＝3－2a >0，所以a <32.所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，则由题设知f (1)＝1， 即log a (3－a )＝1，所以a ＝32.此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x . 但x ＝2时，f (x )＝log 320无意义．故这样的实数a 不存在．。
2021秋高中数学第二章基本初等函数2.1.2指数函数及其性质(第2课时)指数函数性质的应用课件新人
• 〔跟踪练习3〕
• 求函数f(x)＝2x2－6x＋17的定义域、值域、单调区间．
• [解析] 函数f(x)的定义域为R.令t＝x2－6x＋17，那么y＝2t.∵t＝x2 －6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上是减函数，而y＝2t在其定义域 内是增函数，∴函数f(x)在(－∞，3)上为减函数．又∵t＝x2－6x＋ 17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上为增函数，而y＝2t在其定义域内是增 函数，∴函数f(x)在[3，＋∞)为增函数．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2 ＋8≥8，而y＝2t在其定义域内是增函数，
m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左 平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象 向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的 图象向下平移m个单位得到．
• 2．对称(翻折)变换
• y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上 的局部不变，原y轴左侧局部去掉，画出y轴右侧局部关于 y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象 位于y轴上方的局部不变，而将位于y轴下方的局部翻折到 y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴 对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对 称得到．
• 二是图象法，作出函数图象或从函数图象观察，假设图象 关于原点或y轴对称，那么函数具有奇偶性．
1．下列判断正确的是 A．2.52.5>2.53 C．π2<π 2
高中数学第二章基本初等函数(I)2.1.2指数函数及其性质第2课时习题课——指数函数及其性质知识框架素材新
1.指数函数知识体系构建
整数指数幂
指数
有理数指数幂
无理数指数幂 指 数 函 数
定义
指数函数
性质
图象
定义
运算性质 定义域 底数a对性质的影响
2.指数函数及其性质结构图 定义
指数函数
图象
性质
图象变换 应用 定义域 值域 单调性 过定点 对称性
4.
求方程 1 3 x 1 3x
3
的解
解：Q1133xx
af(x)＞ag(x)⇔ffxx＞ ＜ggxx， ，a0＞ ＜1a＜. 1.
方法技巧 1．比较指数幂的大小，可以按如下步骤进行比较： (1)与“0”比较，区分出正负数；(2)与“1”比较， 区分出比1大的数和比1小的数；(3)利用指数函数的 性质比较大小；(4)寻找中间数，利用单调性比较大 小；(5)用作差法或作商法比较大小．(如例2) 2．解指数不等式问题，需注意三点：
有如下特点：
u＝g(x)
增 增 减 减
y＝f(u)
增 减 增 减
y＝f[g(x)]
增 减 减 增
131x 13x
13x 3x
13x
31x 3x
原 方 程 可 化 为 3 x 3
x 1 ,x 1
解方程得x=-1
同 底 型 不 等 式 的 形 式 为 ： af(x) ＞ ag(x)(a ＞ 0 ， 且 a≠1)，解此种不等式的依据是指数函数的单调 性，要养成判断底数取值范围的习惯，若不确定， 就需进行讨论，即
(1)形如ax＞ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解， 如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨
论；
(2)形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的 指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax＞bx的形式，利用图象求解．(如例3) 3．y＝f(u)，u＝g(x)，函数y＝f[g(x)]的单调性
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)第20课时 指数函数的性质及应用(2)课时作业 新人教A版必修1
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第20课时 指数函数的性质及应用（2）课时目标1。
加深对指数函数性质的认识．2．能够熟练运用指数函数的性质解决一些综合问题．识记强化1．指数函数y ＝a x，底数a >0，a ≠1.0<a 〈1时为减函数；a 〉1时为增函数． 2．复合函数单调性判定方法是同增、异减，但必须注意复合函数的定义域． 3．比较指数式大小，一要注意化成同底的幂的形式,二要注意和1的大小关系．课时作业（时间:45分钟，满分:90分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若函数y ＝(a 2－1)x在（－∞，＋∞）上为减函数,则a 满足（ ） A ．｜a |＜1 B ．1＜|a |＜2C ．1＜｜a |＜ 错误!D ．1＜a ＜ 错误! 答案：C解析：由指数函数的单调性知0＜a 2－1＜1，解得1＜a 2＜2，1＜|a |＜ 错误!。
2．若函数f （x ）＝错误!则f (2016)＝( ） A 。
错误! B.错误! C ．2 D 。
错误! 答案：A解析:依题意f （2016）＝f (4×504＋0)＝f （0)＝20＋13＝43。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.2
2.1.2 指数函数及其性质课后训练1．若集合M ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则集合M ，N 的关系为( )A ．M NB ．N ⊆MC ．N MD ．M ＝N2．若关于x 的指数函数y ＝(2a －1)x在R 上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．12a >B ．a ＞1C ．112a << D ．a ≤1 3．若函数1()32xf x a a ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭是指数函数，则1()2f 的值为( )A ．2B ．－2C ．22－D ．224．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是()5．若函数y ＝a x＋b －1(a ＞0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( ) A ．0＜a ＜1，且b ＞0 B ．a ＞1，且b ＞0 C ．0＜a ＜1，且b ＜0 D ．a ＜1，且b ＞06．若函数f (x )＝223x x a +-＋m (a ＞1)恒过定点(1,10)，则m ＝______.7．设函数,0,()1(),0,2xx x f x x ≥=⎨<⎪⎩则f (f (－4))＝______.8．已知直线y ＝2a 与函数y ＝|2x－2|的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是______．89．已知函数f (x )＝ax －1(x ≥0)的图象经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．10．已知函数4()42xx f x =+.(1)试求f (a )＋f (1－a )的值； (2)利用(1)的结论求123201020112012201320132013201320132013f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值．参考答案1答案：A 2答案：C 3答案：D 4答案：A 5答案：C 6答案：9 7答案：4 8答案：(0,1)9答案：解：(1)因为函数图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2112a -=， 则12a =. (2)由(1)得11()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ (x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1，于是11110<=222x --⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以所求函数的值域为(0,2]． 10答案：解：(1)f (a )＋f (1－a )＝1144444214242422444242a a a a a a a a a a--+=+=+=+++⨯+++. (2)由(1)知f (a )＋f (1－a )＝1.∴123201020112012201320132013201320132013f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ＝12012220112013201320132013f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＋32010100610072013201320132013f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦L ＝1 006.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用 新人教A版必修1PPT课件
2．指数型不等式 af(x)＞ag(x)(a＞0，且 a≠1)的解法 (1)当 a＞1 时，f(x)＞g(x)； (2)当 0＜a＜1 时，f(x)＜g(x)．
[再练一题]
1．设a＝90.9，b＝270.48，c＝13－1.5，则a，b，c的大小顺序为(
)
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
[探究共研型] 指数函数单调性的综合应用
探究1 函数f(x)＝
的单调区间是什么？
【提示】
因为函数y＝
1 2
t在(－∞，＋∞)上单调递减，函数t＝x2－2x＋1在
(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数f(x)＝
在
(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
数，当 x＞0 时，f(x)＝12x，是减函数，故选 D. 【答案】 D
4．已知函数f(x)＝3x＋1 1＋a为奇函数，则常数a＝______. 【解析】 ∵函数f(x)＝3x＋1 1＋a为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(0)＝0，30＋1 1＋a＝0，a＝－12. 【答案】 －21
5．设函数f(x)＝a－2x＋2 1， (1)判断并说明函数的单调性； (2)确定a的值，使f(x)为奇函数及此时f(x)的值域．
【解】 (1)任取 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝2x21＋2x11－22xx2＋2 1， ∵x1＜x2，∴2x1＜2x2， 即 2x1－2x2＜0， 又∵2x1＋1＞0,2x2＋1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)． ∴不论 a 为何值，f(x)总为增函数．
[再练一题]
3．已知函数y＝
，求其单调区间及值域．
【解】 令t＝－x2＋4x－1，则y＝2t. 又t＝－(x－2)2＋3在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，
2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第2课时)指数函数及其性质的
第２课时 指数函数及其性质的应用（习题课）［A 基础达标］1．函数y =错误!的定义域为( ）A ．(-∞,3） ﻩB ．（-∞，3］Ｃ．(3,+∞）Ｄ.[3,+∞) 解析：选D.由题意得2x －8≥0，所以2x ≥23,解得x ≥3,所以函数ｙ=错误!未定义书签。
的定义域为[3，＋∞)．2．函数y ＝＼r (1６-4x ）的值域是( ）A ．[０,+∞)Ｂ.[０，4］ C ．[0,4）ﻩD ．(0,4)解析:选C 。
由题意知0≤16-4x ＜１6,所以０≤１6－4x <4。
所以函数ｙ＝错误!未定义书签。
的值域为[０，4).3.已知a =0.80。
7,b ＝０。
80。
9，c ＝１.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ） A ．a >b 〉ｃﻩＢ.ｂ>a >cＣ.ｃ>ｂ〉ａﻩ D.ｃ>a ＞ｂ解析:选D ．因为函数y ＝０．8x 为减函数,又0。
7<0.9,所以0．80.7＞0。
8０．９,即a >b .因为c ＝1.２0．8>1,a ＝0.８0．7<１,所以c ＞a ,故c ＞a >b 。
4.函数ｆ（x )=错误!是（ )A.偶函数,在(0，＋∞）是增函数Ｂ.奇函数,在(0，+∞）是增函数C.偶函数，在（0,+∞)是减函数D.奇函数,在(０，＋∞)是减函数解析：选B 。
因为f (-ｘ)＝－f （x )，所以f （x ）为奇函数;又因为y ＝e x 是增函数，y ＝ｅ－x为减函数,故f (x )＝e x －e -x 2为增函数．5．函数y=错误!的值域是( )A.（－２,－1)B.(－2,+∞)Ｃ．（-∞，-1］ﻩD．（-2，－1］解析:选Ｄ。
当x≤1时，ｙ＝3ｘ－1-2单调递增，值域为(－2，-１］;当x>1时,ｙ＝３1－x-2=错误!错误!-2单调递减，值域为(-2，-1）.综上函数值域为(－2,－1].６．已知a是任意实数,则关于x的不等式(a2-a+2017）ｘ2〈（a2-a＋2 ０17)2x+３的解集为___＿__＿＿.解析:因为a2－a＋2 01７＝错误!错误!未定义书签。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数
第2课时指数函数及其性质的应用学习目标：1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)[合作探究·攻重难]利用指数函数的单调性比较大小比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0且a≠1).【导学号：37102243】[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，y＝a x在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，y＝a x在R上是减函数，故a1.1<a0.3.[规律方法]比较幂的大小的方法1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论[跟踪训练]1．比较下列各值的大小：⎝⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝⎛⎭⎪⎫－233，⎝⎛⎭⎪⎫3412.[解]先根据幂的特征，将这4个数分类：(1)负数：⎝⎛⎭⎪⎫－233；(2)大于1的数：⎝⎛⎭⎪⎫4313，223；(3)大于0且小于1的数：⎝⎛⎭⎪⎫3412.(2)中，⎝⎛⎭⎪⎫4313<213<223(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝⎝⎛⎭⎪⎫43x，y＝2x的图象，再分别取x＝13，x＝23，比较对应函数值的大小，如图)，故有⎝⎛⎭⎪⎫－233<⎝⎛⎭⎪⎫3412<⎝⎛⎭⎪⎫4313<223.利用指数函数的单调性解不等式(1)解不等式⎝⎛⎭⎪⎫123x－1≤2；(2)已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，a≠1)，求x的取值范围.【导学号：37102244】[解](1)∵2＝⎝⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝⎛⎭⎪⎫123x－1≤⎝⎛⎭⎪⎫12－1.∵y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x<5.综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5.[规律方法][跟踪训练]2．若a x＋1>⎝⎛⎭⎪⎫1a5－3x(a>0且a≠1)，求x的取值范围．[解]因为a x＋1>⎝⎛⎭⎪⎫1a5－3x，所以a x＋1>a3x－5，当a>1时，y＝a x为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3；当0<a<1时，y＝a x为减函数，可得x＋1<3x－5，所以x>3.综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)；当0<a<1时，x的取值范围为(3，＋∞)．指数型函数单调性的综合应用[探究问题]1．函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x2－2x＋1的单调区间是什么？提示：因为函数y＝⎝⎛⎭⎪⎫12t在(－∞，＋∞)上单调递减，函数t＝x2－2x＋1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫12x2－2x＋1在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．2．函数y＝a－x2(a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？提示：分两类：(1)当a >1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性一致；(2)当0<a <1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性相反．判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域.【导学号：37102245】思路探究：令u ＝x 2－2x ―→函数u x 的单调性―→函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性――――→同增异减函数f x 的单调性[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．母题探究：1.把本例的函数改为“f (x )＝2－x 2＋2x”，求其单调区间．[解] 函数y ＝2－x 2＋2x的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u.当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y ＝2－x 2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．2．把本例函数改为“f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－2x，且f (x )有最大值9”，求a 的值．[解] 令g (x )＝ax 2－2x ，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )的最大值为9，所以g (x )的最小值为－2.①当a ＝0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2x，无最大值．②当a ≠0时，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－44a＝－2，解得a ＝12，所以，当f (x )的最大值为9时，a 的值为12.[规律方法] 函数y ＝af xa >0，a ≠1的单调性的处理技巧1关于指数型函数y ＝af xa >0，且a ≠1的单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f x 的单调性，它由两个函数y ＝a u，u ＝f x 复合而成.2求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝fu ，u ＝φx ，通过考查f u 和φx 的单调性，求出y ＝f φx的单调性.[当 堂 达 标·固 双 基]1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)D [∵2x ＋1<1＝20，且y ＝2x是增函数，∴x ＋1<0，∴x <－1.] 2．下列判断正确的是( )【导学号：37102246】A ．1.72.5＞1.73B ．0.82＜0.83C ．π2＜π2D ．0.90.3＞0.90.5D [∵y ＝0.9x 在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]3．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调增区间为( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)A [令u (x )＝1－x ，则u (x )在R 上是减函数，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u (x )是减函数，故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x在R 上单调递增，故选A.] 4．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________. 【导学号：37102247】m <n [∵a ＝5－12∈(0,1)，∴f (x )＝a x在R 上是减函数，又f (m )>f (n )，∴m <n .] 5．已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，19.(1)比较f (2)与f (b 2＋2)的大小；(2)求函数g (x )＝ax 2－2x(x ≥0)的值域．[解] (1)由已知得a 2＝19，解得a ＝13，因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，则2≤b 2＋2，所以f (2)≥f (b2＋2)．(2)因为x ≥0，所以x 2－2x ≥－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x≤3，即函数g (x )＝a x 2－2x(x ≥0)的值域为(0,3]．。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1指数函数2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用
12/9/2021
第十一页，共三十三页。
1.若函数 y＝ax－(m＋1)(a>0)的图象过第一、二、三象
限，则有( )
A．a>1
B．a>1，－1<m<0
C．0<a<1，m>0
D．0<a<1 解析：函数 y＝ax－(m＋1)(a>0)的图象过第一、二、三象限，结合指数函数的图象，
可以得知 a>1,0<m＋1<1，∴－1<m<0.
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∵0<13u≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]． 第二十四页，共三十三页。
指数函数运算及性质 [典例] (本题满分 12 分)已知 f(x)＝x(2x－1 1＋12)． (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)求证：f(x)>0.
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义域12/9内/2021为减函数，所以原函数 y＝13 x2－2x－1在[1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1]上单调递
增．
第二十二页，共三十三页。
求 y＝af(x)单调区间的步骤： (1)确定 f(x)的定义域 D. (2)若 a>1，要求原函数的增区间，只需求定义域 D 内 f(x)的增区间；要求原函数的减区 间，只需求定义域 D 内 f(x)的减区间． 若 0<a<1，要求原函数的增区间，只需求定义域 D 内 f(x)的减区间；要求原函数的减区 间，只需求定义域 D 内 f(x)的增区间．
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三、指数型函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y， 则 y＝ N(1＋p)x . (2)指数减少模型 设原有量为 N，每次的减少率为 p，经过 x 次减少，该量减少到 y， 则 y＝ N(1－p)x . (3)指数型函数 形如 12/9/2021 y＝k·ax 的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.2.1指数函数的基本内容练习含解析新人教A版必修
对应学生用书P41知识点一指数函数的概念高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.1.2.1指数函数的基本内容练习含解析新人教A 版必修1.若y ＝(a 2－6a ＋6)a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或5 B ．a ＝1 C ．a ＝5 D ．a >0且a ≠1 答案 C解析 由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－6a ＋6＝1，a >0，a ≠1，解得a ＝5.2．判断下列函数是否是指数函数：(1)y ＝2x (x ∈N *)；(2)y ＝x 13；(3)y ＝(－3)x；(4)y ＝－3x；(5)y ＝(π－3)x；(6)y ＝2x －1.解 (1)不是，因为该函数的定义域不是R ，这个函数可称为正整数指数函数． (2)函数y ＝x 13中的自变量x 在底数位置上，不在指数位置上，故不是指数函数．(3)函数y ＝(－3)x的底数为－3<0，故不是指数函数．(4)函数y ＝－3x中的指数式3x前的系数不是1，所以不是指数函数．(5)函数y ＝(π－3)x的底数满足0<π－3<1，符合指数函数的定义，是指数函数． (6)函数y ＝2x －1中的指数为x －1，而不是x ，所以不是指数函数.知识点二指数函数的图象A．a>1，b<0 B ．a>1，b >0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0答案 D解析由图知f(x)单调递减，故0<a<1，f(0)<1，即a－b<1，∴－b>0，∴b<0，选D.4．图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝a x的图象，而a∈23，13，5，π，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.答案2313π 5解析由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低，则知C2的底数<C1的底数<1<C4的底数<C3的底数，而13<23<5<π，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是23，13，π， 5.知识点三指数函数的定义域与值域A．y＝2x B．y＝1x－1C．y＝31x－1D．y＝21x答案 C解析A项中，y＝2x的定义域为R，值域为(0，＋∞)；B项中，y＝1x－1的定义域为{x |x ≠1}，值域为{y |y ≠0}；C 项中，由x －1＞0得x ＞1，所以y ＝31x －1的定义域为(1，＋∞)，由1x －1＞0得31x －1＞30＝1，所以其值域也为(1，＋∞)；D 项中，y ＝21x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而21x ＞0且21x≠1，所以其值域为(0,1)∪(1，＋∞)．所以选C.易错点忽视底数的取值条件易错分析 解答本题易忽视对底数a 的约束条件而致误． 正解 ∵函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，∴由指数函数的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋4＝1，a >0且a ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝3，a >0且a ≠1，∴a ＝3.对应学生用书P42一、选择题1．若函数f (x )＝(2a －1)x是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C.12，1 D ．(－∞，1) 答案 C解析 由已知，得0＜2a －1＜1，则12＜a ＜1，所以实数a 的取值范围是12，1.2．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个答案 B解析 由指数函数的定义可判定，只有②是指数函数． 3．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 C解析 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x ≥0. 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝ax ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0) 答案 C解析 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)． 5．函数y ＝3x3x ＋1的值域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(－∞，0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞) 答案 C解析 y ＝3x3x ＋1＝1－13x ＋1，∵3x>0，∴3x ＋1>1.∴0<13x ＋1<1.∴0<1－13x ＋1<1.即原函数的值域为(0,1)． 二、填空题6．若指数函数f (x )的图象经过点(2,16)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝________.答案 12解析 设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，依题意有a 2＝16，得a ＝4，故f (x )＝4x，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4－12＝12.7．已知指数函数f (x )的图象经过点－32，39，则f (3.14)与f (π)的大小关系为________(用“<”连接)．答案 f (3.14)<f (π)解析 ∵f (x )是指数函数，∴可设f (x )＝a x(a >0，a ≠1)．由已知，得f －32＝39，即a－32＝39＝3－32，即a ＝3，∴f (x )＝3x.∵3.14<π，∴f (3.14)<f (π)． 8．已知函数f (x )＝12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2，且g (x )＝f (x )，则x ＝________.答案 1 －1解析 因为函数的图象过点(－1,2)，所以12－a ＝2，所以a ＝1.所以f (x )＝12x.g (x )＝f (x )可变形为4－x－2－x－2＝0，解得2－x＝2或2－x＝－1(舍去)，所以x ＝－1.三、解答题9．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x －3；(2)y ＝3－|x |；(3)y ＝22x －x 2.解 (1)x 应满足x －3≠0，∴x ≠3， ∴定义域为{x |x ≠3，x ∈R }． ∵x ≠3，∴x －3≠0，∴1x －3≠0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫121x －3≠1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x －3的值域为{y |y >0，且y ≠1}；(2)定义域为R . ∵|x |≥0，∴y ＝3－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1， ∴值域为{y |0<y ≤1}； (3)定义域为R .∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴22x －x 2≤2，即0＜y ≤2. 故函数的值域为{y |0<y ≤2}．10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1.(1)作出f (x )的简图；(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x <0，如图所示．(2)作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0时，即－13<m <0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点，即关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解．。
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第二课时指数函数图象及性质的应用(习题课)
【选题明细表】
1.若3<()x<27,则( C )
(A)-1<x<3 (B)x>3或x<-1
(C)-3<x<-1 (D)1<x<3
解析:3<()x<27⇔3<3-x<33⇔1<-x<3⇔-3<x<-1.
2.下列判断正确的是( D )
(A)2.52.5>2.53(B)0.82<0.83
(C)π2< (D)0.90.3>0.90.5
解析:函数y=0.9x在R上为减函数,所以0.90.3>0.90.5.
3.设f(x)=()|x|,x∈R,那么f(x)是( D )
(A)奇函数且在(0,+∞)上是增函数
(B)偶函数且在(0,+∞)上是增函数
(C)奇函数且在(0,+∞)上是减函数
(D)偶函数且在(0,+∞)上是减函数
解析:因为f(-x)=()|-x|=()|x|=f(x),
所以f(x)为偶函数.
又当x>0时,f(x)=()x在(0,+∞)上是减函数,
故选D.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-的解集
是 .
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0.
当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1.
当x>0时,由1-2-x<-,()x>,得x∈ ;
当x=0时,f(0)=0<-不成立;
当x<0时,由2x-1<-,2x<2-1,得x<-1.
综上可知x∈(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
5.三个数(),(),()中,最大的是,最小的是. 解析:因为函数y=()x在R上是减函数,
所以()>(),
又在y轴右侧函数y=()x的图象始终在函数y=()x的图象的下方,
所以()>(),即()>()>().
答案:()()
6.方程9x+3x-2=0的解是.
解析:因为9x+3x-2=0,即(3x)2+3x-2=0,
所以(3x+2)(3x-1)=0⇒3x=-2(舍去),3x=1.
解得x=0.
答案:0
7.已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b的图象不经过( A )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:因为0<a<1,b<-1,则y=a x+b的图象如图所示,
由图象可知,函数y=a x+b的图象不经过第一象限.
8.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( A )
(A)f(-4)>f(1) (B)f(-4)=f(1)
(C)f(-4)<f(1) (D)不能确定
解析:因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),
所以a>1.
由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,可得函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1),故选A.
9.若()2a+1<()3-2a,则实数a的取值范围是.
解析:因为函数y=()x在R上为减函数,
所以2a+1>3-2a,所以a>.
答案:(,+∞)
10.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-+,则此函数的值域为.
解析:设t=,当x≥0时,2x≥1,所以0<t≤1,
f(t)=-t2+t=-(t-)2+,
所以0≤f(t)≤,
故当x≥0时,f(x)∈[0,];
因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,
所以当x≤0时,f(x)∈[-,0];
故函数的值域是[-,].
答案:[-,]
11.已知物体初始温度是T0,经过t分钟后物体温度是T,且满足T=T a+(T0-T a)·2-kt(T a为室温,k是正常数).某浴场热水是由附近发电厂供应,已知从发电厂出来的95 ℃的热水,在15 ℃室温下,经过100分钟后降至25 ℃.
(1)求k的值;
(2)该浴场先用冷水将供应的热水从95 ℃迅速降至55 ℃,然后在室温15 ℃下缓慢降温供顾客使用.当水温在33 ℃至43 ℃之间,称之为“洗浴温区”.问:某人在“洗浴温区”内洗浴时,最多可洗浴多长时间?(结果保留整数)(参考数据:2-0.5=0.70,2-1.2=0.45).
解:(1)将T a=15,T0=95,t=100代入关系式T=T a+(T0-T a)·2-kt,
得25=15+(95-15)·2-100k,2-100k==2-3,
解得k=.
(2)由(1),将T0=55代入关系式T=T a+(T0-T a)·2-kt,
得T=15+(55-15)·=15+40·,
令33≤15+40·≤43,即0.45≤≤0.7,
因为2-0.5=0.70,2-1.2=0.45,
所以2-1.2≤≤2-0.5,解得≤t≤40,
所以某人在“洗浴温区”内洗浴时,最多可洗浴40-≈23分钟.
12.已知函数f(x)=+2a是奇函数.
(1)求常数a的值;
(2)判断函数f(x)在区间(-∞,0)上的单调性,并给出证明.
解:(1)因为f(x)=+2a是奇函数,
所以定义域是{x|x≠0},f(1)+f(-1)=0,
则+2a++2a=0,解得a=.
(2)由(1)得,f(x)=+,
则f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都是减函数.
证明如下:任取0<x1<x2,
f(x1)-f(x2)=+-(+)=-=.
因为x1,x2∈(0,+∞),
所以-1>0,-1>0,
又x1<x2,则->0,
所以f(x1)-f(x2)>0,则f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,
当x1,x2∈(-∞,0)时,同理可证f(x)在(-∞,0)上是减函数.
综上知,函数f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都是减函数.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
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2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
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幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
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3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中
的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。