共点力平衡相似三角形法例题

共点力平衡相似三角形法例题
假设有一根长度为10cm的细杆，上面有一只质量为 2 g 的小球和一只质量为 4 g 的小球，分别距离杆的左端点为 3 cm 和 8 cm。

现在用一个力矩大小为 0.01 N·m 的力矩扳手从杆的右端点旋转，使杆平衡。

求力矩扳手旋转的角度。

解题思路：
1. 将杆分为三段：左段、中段和右段。

2. 通过重心位置的计算，可以知道左段的重心距离左端点的距离为 1.5 cm，右段的重心距离左端点的距离为 8.67 cm。

3. 根据力矩平衡条件，可以列出下列方程：
0.01 = F1 × 1.5 - 2 × 9.8 × (3/10) + F2 × (8.67-3)
其中 F1 和 F2 分别是力矩扳手对左段和右段的作用力。

4. 由于 F1 和 F2 都是垂直于杆的，所以可以将它们分解为 x 方向和 y 方向的分量。

5. 因为杆处于平衡状态，所以可以得到 F1x = F2x 和 F1y + F2y = 0。

6. 将 F1 和 F2 用相似三角形法分解为 x 方向和 y 方向的分量，得到：
F1x = 0.6 F1，F1y = 0.8 F1，F2x = 0.97 F2，F2y = -0.242 F2 其中 F1 和 F2 分别是力矩扳手对左段和右段的作用力。

7. 将上述方程代入步骤 3 中的方程，解得 F1 = 0.02 N，F2 = 0.023 N。

8. 根据上述分解的式子，可以得到 F1x = F2x，解得 F1 = 0.029 N，F2 = 0.029 N。

9. 根据力矩平衡条件，可以得到：
0.01 = (0.029 × 1.5 - 2 × 9.8 × (3/10)) × sinθ + (0.029 × (8.67-3)) × sinθ
其中θ是力矩扳手旋转的角度。

10. 解得θ = 0.5642 rad，约等于 32.3 度。