福建省2017届高三数学文一轮复习：圆锥曲线

福建省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练
圆锥曲线
一、选择、填空题
1、（2016年全国I 卷高考）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率为
（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34
2、（2015年全国I 卷）已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12
，E 的右焦点与抛物线2
:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
3、（2015年全国I 卷）已知F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，
P 是C 左支上一点，()
0,66A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．
4、（福建省2016届高三4月质检）.已知过双曲线()0,01:22
22>>=-b a b
y a x C 的焦点的直线l 与C
交于A ,B 两点，且使a AB 4=，的直线l 恰好有3条，则C 的渐近线方程为
A.x y 2±=
B.x y 2
2
±
= C.x y 2±= D.x y 21±=
5、（福州市2016届高三5月综合质量检测）过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点F 作一条
渐近线的垂线，与C 右支交于点A ，若OF OA =，则C 的离心率为 （A ）2
（B ）2
（C ）5
（D ）5
6、（福州一中、福州三中、福安二中2016届高三下学期模拟联考）已知双曲线C :122
22=-b
y a x
(0,0>>b a )的离心率为2
5
，则C 的渐近线方程为
（A ）41±=y （B ）x y 31±= （C ）x y 2
1
±= （D ）x y ±=
7、（龙岩市2016届高三3月质量检查）平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221(0,0)
x y a b a b
-=>>的右焦点(20)F ，，以F 为圆心，FO 为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B （不
同于O ），当AB 取最大值时双曲线的离心率为 A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
8、（南平市2016届高三3月质量检查）已知双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的离心率为2，
则渐近线方程为
（A ）x y 2±=
（B ）x y 33
±
= （C ）x y 3±= （D ）x y 2
1
±=
9、（泉州市2016届高三第二次（5月）质量检查）在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线中心在原点, 焦点在x 轴上, 渐近线方程为430x y ±=,则它的离心率为（ ）
A ．
53 B ．54 C ．4
3
D ．74
10、（泉州市2016届高中毕业班3月质量检查）若直线y=x-2过双曲线()01:222
>=-a y a
x C 的焦
点，则此双曲线C 的渐近线方程为 A.x y 33±
= B.x y 3±= C.x y 31±= D.x y 5
5
±=
11、（泉州市2016届高中毕业班3月质量检查）P 为曲线()02:2>=p py x C 上任意一点，O 为坐标原点，则线段PO 的中点M 的轨迹方程是 A.()02
=/=x py x B.()02
=/=y px y
C.()042
=/=x py x D.()042
=/=y px y
12、（三明市2016届普通高中毕业班5月质量检查）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、
右焦点分别为12F F 、，若在双曲线C 的右支上存在一点P 满足123PF PF =，且212PF PF a ⋅=-，则双曲线C 的离心率为 .
13、（厦门市2016届高三第二次（5月）质量检查）双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的实轴为21A A ,
虚轴的一个端口为B ,若三角形B A A 21的面积为2
2b ，则双曲线的离心率为
36.
A 2
6
.B
2.C
3.D
14、（厦门双十中学2016届高三下学期热身考）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别
为1F 、2F ，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ． 2
2
B ． 23-
C ．
52-
D ．
63-
15、（漳州市2016届高三下学期普通毕业班第二次模拟）已知双曲线C ：22
221(0,0)
x y a b a b
-=>>的一条渐近线过点()1,2-， 则C 的离心率为
（A ）5 （B ）3 （C ）
52 （D ）3
2
16、（莆田市2016高中毕业班3月质量检测）已知点P 在双曲线22
216
x y a -=1的右支上，F 为双曲线
的左焦点，Q 为线段PF 的中点，D 为坐标原点．若|OQ|的最小值为1，则双曲线的离心率为
(A)
1715 (B)1517 (C)35 (D)53
17、（2016年全国II 卷高考）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k
x
（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k =（ ）
（A ）
12 （B ）1 （C ）3
2
（D ）2
18、（2016年全国III 卷高考）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点，
A ，
B 分别为
C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）
1
3
（B ）12
（C ）
23
（D ）
34
19、（2016年全国I 卷高考）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，
则圆C 的面积为 .
20、（2016年全国III 卷高考）已知直线l ：360x y -+=与圆22
12x y +=交于,A B 两点，过,A B
分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.
二、解答题
1、（2016年全国I 卷高考）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：
22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .
（I ）求
OH ON
；
（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.
2、（2016年全国II 卷高考）已知A 是椭圆E ：22
143
x y +
=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，
MA NA ⊥.
（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当AM AN =时，证明：32k <<. .
3、（2015年全国I 卷）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()2
2
231x y -+-=交于M ，
N 两点.
（I ）求k 的取值范围；
（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .
4、（福建省2016届高三4月质检）已知点()04，
-A ，直线1:-=x l 与x 轴交于点B ，动点M 到A ，B 两点的距离之比为2.
(Ⅰ)求点M 的轨迹C 的方程；
(Ⅱ)设C 与x 轴交于E ，F 两点，P 是直线l 上一点，且点P 不在C 上，直线PE ,PF 分别与C
交于另一点S ，T ，证明：A ，S ，T 三点共线.
5、（福州市2016届高三5月综合质量检测）已知椭圆22
22:1x y E a b
+=（0a b >>）的焦距为23，
直线()1y k x =-（0k ≠）经过E 的长轴的一个四等分点，且与E 交于,P Q 两点． （Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）记线段PQ 为直径的圆为M ，判断点()2,0A 与M 的位置关系，说明理由．
6、（福州一中、福州三中、福安二中2016届高三下学期模拟联考）已知椭圆E ：
22
1222
1(0),(,0),(,0)x y a b F c F c a b +=>>-为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且1122,,MF F F MF 构成等差数列，过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且O A O B ⊥，求出该圆的方程．
7、（龙岩市2016届高三3月质量检查）平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M 到点(10)F ，的距离比它到直线2x =-的距离小1． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设P 为曲线C 上一点，曲线C 在点P 处的切线交y 轴于点A ，若PAF ∆外接圆面积为4π，求点P 的坐标．
8、（南平市2016届高三3月质量检查）将圆22
:4O x y +=上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变)，得到曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点)0 ,3(F 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，N 为线段AB 的中点，延长线段ON 交曲线C 于点E .
求证：ON OE 2=的充要条件是3 ||=AB .
9、（泉州市2016届高三第二次（5月）质量检查）已知定点()0,1F ,动点()(),1M a a R -∈,线段
FM 的中垂线l 与直线x a =交于点P .
（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；
（2）当PFM ∆为正三角形时, 过点P 作直线l 的垂线, 交轨迹Γ于,P Q 两点, 求证：点F 在以线段PQ 为直径的圆内.
10、（泉州市2016届高中毕业班3月质量检查）已知椭圆()0,1:22
22>>=+b a b
y a x C ，过点()42，
P
作圆20:2
2=+y x O 的切线l ，直线l 恰好过椭圆C 的右顶点与上顶点. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)若圆O 上的一点Q 的切线1l 交椭圆C 于A ,B 两点，试确定AOB ∠的大小，并加以证明
11、（三明市2016届普通高中毕业班5月质量检查）已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，动点M 满足
4AM =，线段MB 的垂直平分线与线段AM 相交于点N ，设点N 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥(其中O 为坐标原点)，试问：是否存在定圆2
2
2
(0)x y r r +=>，使得该圆恒与直线l 相切？说明理由．
12、（厦门市2016届高三第二次（5月）质量检查）已知点F 为抛物线y x E 4:2
=的焦点，直线l
为准线，C 为抛物线上的一点（C 在第一象限），以点C 为圆心，
CF 为半径的圆与y 轴交于F D ,两点，且CDF ∆为正三角形.
（I ）求圆C 的方程；
（II ）设P 为l 上任意一点，过P 作抛物线y x 42
=的切线，切点为
B A ,，判断直线AB 与圆
C 的位置关系.
13、（厦门双十中学2016届高三下学期热身考）已知圆2
2
19:x 24E y ⎛
⎫+-= ⎪⎝
⎭经过椭圆
()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1,,F E A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且λMN =OA （0λ≠）． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)当三角形AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．
14、（漳州市2016届高三下学期普通毕业班第二次模拟）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、
右焦点分别是21F F 、
，其离心率2
1
=e ，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F ∆面积的最大值为34． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若D C B A 、、、是椭圆上不重合的四个点，BD AC 与相交于点1F ，0AC BD ⋅=，求
AC BD +的取值范围．
15、（2016年全国III 卷高考）已知抛物线C ：2
2y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12
,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR
FQ ；
（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.
参考答案
一、选择、填空题 1、【答案】B
【解析】由题意得12bc a b =⨯，所以椭圆的离心率1
e 2
=，故选B ． 2、【答案】B
3、【答案】126
4、A
5、C
6、【答案】C
【解析】因为25==a c e ，所以2
1
12
2=-=
a c a
b ，所以渐近线方程为x y 21±= 7、A 8、C 9、A 10、A 11、A 12、3 13、B
14、D 【解析】设1212,F F c AF m ==，若1F AB ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴1AB AF m ==，12BF m =
．由椭圆的定义可知1F AB ∆的周长为4a ，
∴422a m m =+，2(22)m a =-．∴22(222)AF a m a =-=-．
∵22
2
12
12AF AF F F +=，∴222224(22)4(21)4a a c -+-=，∴2962e =-，
63e =-．
15、A 16、D
17、D 18、A 19、【答案】4π
【解析】圆2
2
:220C x y ay +--=，即2
2
2
:()2C x y a a +-=+，圆心为(0,)C a ， 由||23,AB C =到直线2y x a =+的距离为
|02|
2
a a -+， 所以由22
223|02|(
)()222
a a a -++=+得22,a = 所以圆的面积为2
(2)4a ππ+=．
20、4
二、解答题
1、【解析】（Ⅰ）由已知可得(0,)M t ，2
(,)2t P t p
又∵N 与M 关于点P 对称，故2
(,)t N t p
∴ 直线ON 的方程为p
y x t
=
，代入22y px =，得： 2
2
20px t x -=解得：10x =，2
22t x p =
∴2
2(,2)t H t p
． ∴N 是OH 的中点，即
2OH
ON
=． （Ⅱ）直线MH 与曲线C 除H 外没有其它公共点．理由如下： 直线MH 的方程为2p
y t x t
-=
，即2()t x y t p =-，代入22y px =，得
22440y ty t -+=，解得122y y t ==，
即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 外没有其它公共点． 2、解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4
π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.
将2x y =-代入22
143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =
，所以1127
y =. 因此AMN ∆的面积11212144
227749
AMN S ∆=⨯⨯⨯=
. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22
143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.
由2121612(2)34k x k -⋅-=+得212
2(34)34k x k -=+，故22
12121||1|2|34k AM k x k +=++=+. 由题设，直线AN 的方程为1
(2)y x k
=-+，故同理可得22
121||43k k AN k +=+. 由2||||AM AN =得
22
23443k
k k
=++，即3246380k k k -+-=. 设3
2
()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，2
2
'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥， 所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又(3)153260,(2)60f f =-<=>， 因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<. 3、【解析】
试题分析：（I ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x ，将直线l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON ⋅=列出关于k 方程，解出k ，即可求出|MN|.
试题解析：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.
因为l 与C 交于两点，所以
2
|231|11k k
-+<+.
解得
47
47
3
3
k -+<<
. 所以k 的取值范围是.
（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x . 将1y kx =+代入方程()()
22
231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,
所以1212
22
4(1)7
,.11k x x x x k k ++=
=++ ()
()2121212122
4(1)
OM ON
y 1181k k x x y k x x k x x k
+?+=++++=
++, 由题设可得
2
4(1)
8=121k k k
+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+. 故圆心在直线l 上，所以|MN |2=.
4、本小题考查圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等. 满分12分． 解法一：（Ⅰ）设点(),M x y ，依题意，
()()2
2
2
2
4=
21x y MA MB
x y ++=++， ················ 3分
化简得2
2
4x y +=，即曲线C 的方程为2
2
4x y +=. ······························· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C 的方程为22
4x y +=，
令0y =得2x =±，不妨设()()2,0,2,0E F -． 设()()()011221,,,,,P y S x y T x y -， 则直线PE 的方程为()02y y x =+，
由()0222,4
y y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222
00014440y x y x y +++-=， ···························· 6分
所以201204421y x y --=+，即2
120221
y x y -=+，012041y y y =+． ······························ 8分
O
T
S
y
x
F B A
E
P
直线PF 的方程为()0
23
y y x =-
-， 由()0222,34y y x x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩
得()2222000944360y x y x y +-+-=， ······················· 9分 所以2022043629y x y -=+，即2
022
02189
y x y -=+，0220129y y y =+． ························· 11分 所以0
2001
22
0102
04122243
41
AS
y y y y k y x y y +===-++++， 02002
22
0202
0129221843
49
AT
y y y y k y x y y +===-++++， 所以AS AT k k =，所以,,A S T 三点共线． ··············································· 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C 的方程为2
2
4x y +=，
令0y =得2x =±，不妨设()()2,0,2,0E F -． 设()()()011221,,,,,P y S x y T x y -， 则直线PE 的方程为002y y x y =+，
由0022
2,4
y y x y x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()22
00140y y y y +-=， ································ 6分 所以012041y y y =+，2
120221
y x y -=+． ························································· 8分
直线PF 的方程为002
33
y y x y =-
+， 由00222,334y y x y x y ⎧
=-+⎪⎨⎪+=⎩
得()22009120y y y y +-=， ··································· 9分 所以0220129y y y =+，2
022
0218
9
y x y -=+． ····················································· 11分 O
T
S
y
x
F B A
E
P
以下同解法一． 解法三：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C 的方程为22
4x y +=，
令0y =得2x =±，不妨设()()2,0,2,0E F -． 设()()()011221,,,,,P y S x y T x y -，
当00y =时，()()2,0,2,0S T -，此时,,A S T 三点共线． 当00y ≠时，则直线PE 的方程为002y y x y =+，
由0022
2,4
y y x y x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()22
00140y y y y +-=， ································ 6分 所以0
12
041
y y y =
+． ·············································································· 7分 直线PF 的方程为002
33
y y x y =-
+ ， 由00222,334y y x y x y ⎧
=-+⎪⎨⎪+=⎩
消去x 得()22009120y y y y +-=， ·························· 8分 所以0
22
0129
y y y =
+． ············································································· 9分 121244AS AT
y y k k x x -=-++()()()()
1221124444y x y x x x +-+=++()()2112001236244y y y y y y x x ⎛⎫⎛⎫
-+-+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=++
()()()()()()
120210120102
0120123624624444y y y y y y y y y y y y y x x y x x -+-+-+-==
++++， ················· 11分 因为()()222
000
01022222
00002424192621919y y y y y y y y y y y -=-=++++， ()()
2
000
122222
0000412192441919y y y y y y y y y -=-⨯⨯=-++++， 所以120102462y y y y y y -+-0=． 所以AS AT k k =，所以,,A S T 三点共线． 12分
5、本小题考查点与圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考
O
T
S
y
x
F B A
E
P
查数形结合思想、化归与转化思想等.满分12分．
解法一：（Ⅰ）依题意得，223,24c a ==， ·················································· 2分 所以2221b a c =-=， ·················································································· 3分
所以E 的方程为2
214
x y +=． ······································································ 4分 （Ⅱ）点A 在M 外．理由如下： ································································ 5分 设()()1122,,,P x y Q x y ，
由22
(1),44,
y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=， ············································ 6分 所以，22222(8)4(41)(44)48160k k k k ∆=--+-=+>，
所以2122814k x x k +=+，2122
44
14k x x k -=+. ····························································· 8分
因为()()11222,,2,AP x y AQ x y =-=-，
所以AP AQ ⋅()()121222x x y y =--+，
2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++
2222222
4(1)(1)8(2)
41414k k k k k k k +-+=-++++ ········································· 10分 2
2
14k k =
+． 因为0k ≠，所以0AP AQ ⋅>．
所以点A 在M 外． ················································································ 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）点A 在M 外．理由如下： ································································ 5分 设()()1122,,,P x y Q x y ，
由22
(1),44,y k x x y =-⎧⎨+=⎩
得2222
(14)8440k x k x k +-+-=， ··········································· 6分 所以，22222(8)4(41)(44)48160k k k k ∆=--+-=+>，
所以2122814k x x k +=+，2122
44
14k x x k
-=+. ····························································· 8分 所以()12122
2214k
y y k x x k -+=+-=+，
所以圆心M 坐标为2224,1414k k k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
， ()()22
221222411321114214k k PQ k x x k k k ++∆
=+-=+=++， ···························· 9分
所以M 的方程为()()()2222
2222241134141414k k k k x y k k k ++⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+． ················ 10分 因为()()()()()
222222
2222222411341420014141414k k k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫-++-=> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++， ·············· 11分 所以点A 在M 外． ················································································ 12分
6、【解析】(Ⅰ)由题知1212
2F F MF MF =+
即2×2c ＝2a ，得a ＝2c .①又由322
=a b ，得a b 2
32=② 且222c b a +=，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.
∴椭圆E 的方程为22
143
x y += (Ⅱ)假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件． (ⅰ)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y ＝kx ＋m ，
则r ＝21
m
k +，2
2
21m r k ∴=+①
由22
143x y y kx m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，有122
2
1228344(3)34km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
又∵OA OB ⊥，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，
即4(1＋k 2)(m 2－3)－8k 2m 2＋3m 2＋4k 2m 2＝0，化简得m 2＝12
7(k 2＋1)，②
由①②求得r 2＝127. 所求圆的方程为x 2＋y 2＝12
7
.
(ⅱ)若AB 的斜率不存在，设A (x 1，y 1)，则B (x 1，－y 1)，∵OA OB ⊥， ∴0OA OB ⋅=，有
x 21－y 21＝0，x 21＝y 2
1，代入
22111,43
x y +=得x 21＝12
7. 此时仍有r 2＝2
1x ＝127
.
综上，总存在以原点为圆心的圆x 2＋y 2＝12
7
满足题设条件．
7、本小题主要考查直线与圆锥曲线、直线与圆位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形
结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）依题意，M 到点(1
0)F ，的距离等于它到直线1x =-的距离， 根据抛物线定义得曲线C 的方程：2
4y x =……………………………………4分 （Ⅱ）方法一：
设200(,)4y P y ，切线的斜率为(0)k k ≠，切线方程为2
0()4
y y y k x -=-
，……5分
与2
4y x =联立消x 得：22
04
y y y y k --= ①，
0y y ∴=或04
y y k
∴=-，……………………………………………7分
Q 方程①只有一解，004
y y k
∴-=，02k y =，（由0∆=解得也可）…………8分
切线方程为2
0002
()4
y y y x y -=-，
令0x =得02y y =
，0(0,)2
y
A ∴……………………………………………10分 0
00
2012
AF y y k -∴==--，
1AF k k ∴⋅=-，AF AP ⊥，……………………………………………10分
PAF ∆外接圆即以FP 为直径的圆，又2
4R ππ=，2R ∴=，即4PF =， 又2200
1424y y p PF =
+=+，20144
y +=，解得023y =±， (3,23)P ∴± …………………………………12分
方法二：显然切线PA 斜率k 存在且不为0， ………………………………………5分
设切线PA 方程为：y kx m =+，
2
4y kx m y x
=+⎧⎨=⎩，消x 得：2
440ky y m -+= 16440,1k m km ∆=-⨯==，1
k m
∴=………………………………………8分
22440y my m ∴-+=，
2y m =，2
24
y x m ==，2(,2)P m m ∴…………………………………………9分 由y kx m =+，知(0,)A m
101AF m k k k mk -∴⋅=
⋅=-=-- ∴AF AP ⊥ …………………………10分 由2
4R ππ=，得2R =
24PF R ==，而2212
p
PF m m =+=+，
214m +=，3m =±，(3,23)P ∴±………………………………………12分
8、解：（I ）设点) ,(y x P '', 点M 的坐标为) ,(y x ，由题意可知⎩
⎨⎧='='y y x x 2,
………2分
又,42
2='+'y x ∴14
442222=+⇒=+y x y x .
所以点M 的轨迹C 的方程为14
22
=+y x …………4分 （II ）设点) ,(11y x A , ) ,(22y x B , 点N 的坐标为) ,(00y x ,
㈠当直线l 与x 轴重合时，线段AB 的中点N 就是原点O ，不合题意，舍去…5分 ㈡设直线l : ,3+=my x
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=4
4322y x my x 消去x ，
得0132)4(2
2
=-++my y m ①
∴4
320+-
=m m
y …………6分
∴43
443434332222200+=++++-=+=m m m m m my x
∴点N 的坐标为)4
3 ,434(22
+-+m m
m …………8分 ①若OE ON 2=，则点E 的坐标为)4
32 ,438(22
+-+m m
m ，由点E 在曲线C 上， 得1)
4(12)4(482
2222=+++m m m , 即,032424=--m m ∴4( 82
2-==m m 舍去). 由方程①得,14
1
4416412||2222221=++=+++=
-m m m m m y y 又|,)(| || ||212121y y m my my x x -=-=-
∴3 ||1 ||212=-+=y y m AB …………10分
②若3 ||=AB , 由①得,34
)1(42
2=++m m ∴ .82
=m ∴点N 的坐标为)66
,33(
± ，射线ON 方程为)0( 2
2>±=x x y 由⎪⎩⎪⎨⎧=+>±=44)0( 2222y x x x y 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧±==36
33
2y x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴OE ON 2=.
综上，OE ON 2=的充要条件是3 ||=AB …………12分
9、 解：（1）依题意,PF PM =, 且F 不在直线1x =-上, 故动点P 的轨迹Γ为以点()0,1F 为焦点, 直线1x =-为准线的抛物线, 故其对应的方程为2
:4x y Γ=
.
（2）当PFM ∆为正三角形时, 不妨设0a >,如图依题意可知直线FM 的倾斜角
90150PMF θ=+∠=,故直线FM 的斜率：3
tan 3
k θ==-
,则直线FM 的方程为：3
13
y x =-
+, 令1y =-,可得点()23,1M -,故点()
23,3P ,因为直线PQ 与直线l 垂直, 所以直线PQ 与直线
FM 平行, 所以直线PQ 的方程为：()
3
3233
y x -=-
-,即3530x y +-=,联立方程组2
35304x y x y
⎧+-=⎪⎨=⎪⎩,消去y 整理得：2
342030x x +-=,设()11,Q x y ,由韦达定理可得： 12320x =-,故1103
3x =-
,所以点10325,33Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
,又()()
0,1,23,3F P ,所以 ()
1032223,2,,33FP FQ ⎛⎫
==- ⎪ ⎪⎝⎭
,所以
()
103224416
23,2,2003333FP FQ ⎛⎫=-=-+=-< ⎪ ⎪⎝⎭
, 所以PFQ ∠为钝角, 故点F 在以线段PQ 为直径的圆内, 若0a <,由图象的对称性可知也成立. 10、本小题主要考查空间中直线与平面的位置关系、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等. 满分12分. 方法一：
解:（Ⅰ）因为点)4,2(P 在圆20:2
2
=+y x O 上， 所以直线l OP ⊥，
又因为直线OP 的斜率为224
==
OP k ，…………1分 所以直线l 的方程为：)2(21
4--=-x y ．
令0=y ，可得10=x ，所以椭圆C 的右顶点坐标为()0,10；……………3分 再令0=x ，可得5=y ，所以椭圆C 的上顶点坐标为()5,0. ……………4分
所以5,10==b a ，因此，椭圆C 的方程为：
125
1002
2=+y x ．……………6分 （Ⅱ）若直线1l 的方程为：52=x ，则()
)52,52(,52,52-B A ． 此时0=⋅OB OA ，故︒=∠90AOB ；
若直线1l 的方程为：52-=x ，则()
)52,52(,52,52---B A ， 此时0=⋅OB OA ，故︒=∠90AOB .
猜想︒=∠90AOB 为定值． ……………7分（写一种情形即可） 证明如下：
若直线1l 的斜率存在，设),(),,(),,(221100y x B y x A y x Q ， 则直线l 的方程为：)(00
0x x y x y y --
=-整理可得：2000=+y y x x ，………8分 将0
020x y y x -=
代入椭圆方程可得1004)20(
22
00=+-y x y y ，
整理得010040040)4(2
0022
02
0=-+-+x y y y x y ,
所以2
202
214100400x y x y y +-= . ……………9分
将0020y x x y -=
代入椭圆方程可得：100)20(
420
02
=-+y x x x ，
整理得010********)4(2
002
2
02
0=-+-+y x x x x y ，
所以2
202
2141001600x y y x x +-=. ……………10分 故2121y y x x OB OA +=⋅
202020202020410016004100400x y y x y x +-++-=2
202
02041001600100400x y y x +-+-=
2
202
0204)(1002000x y y x ++-=2020420
1002000x y +⋅-=0=． ……………11分 所以︒=∠90AOB 为定值． ……………12分 方法二：
解: （Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）若直线1l 的方程为：52=x ，则()
)52,52(,52,52-B A ． 此时0=⋅OB OA ，故︒=∠90AOB ；
若直线1l 的方程为：52-=x ，则()
)52,52(,52,52---B A ， 此时0=⋅OB OA ，故︒=∠90AOB .
猜想︒=∠90AOB 为定值． ……………7分（写一种情形即可） 证明如下：
若直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：b kx y +=．
联立方程组⎪
⎩⎪⎨⎧=++=125
1002
2y x b kx y ，可得010048)41(2
22=-+++b kbx x k . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2
2
12221418,411004k kb
x x k b x x +-=++-=，……………8分 又因为b kx y b kx y +=+=2211,， 则2
21212
21)(b x x kb x x k y y +++=
22
222
418411004b k
kb
kb k b k ++-⋅++-⋅= 2
2
222222241481004k b k b b k k b k +++--= 2
2
241100k k b +-=.……………9分
所以2121y y x x OB OA +=⋅
2222241100411004k k b k b +-++-=2
2241)
1(1005k k b ++-=. ……………10分
因为直线1l 与圆O 相切，所以
201||2
=+k b ，即)1(2022k b +=．……………11分
所以041)
1(100)1(2052
22=++-+⋅=
⋅k k k OB OA ， 故︒=∠90AOB 为定值. ……………12分
11、解：（Ⅰ）因为点N 在线段MB 的垂直平分线上，所以NB NM =， ………………1分
所以4NA NB NA NM AM AB +=+==>，
所以点N 的轨迹是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆． ………………3分
设此椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22
24,1,a a b =⎧⎨-=⎩解得2,
3.a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以曲线C 的方程为22
143
x y +=． ………………4分 （II ）当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 方程为y kx m =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=， ………………5分
由22
1,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222
(34)84120k x kmx m +++-=， ………………6分 所以△2222644(34)(412)0k m k m =-+->，……（*）
122
834km
x x k +=-
+，212241234m x x k -=+． ………………7分 则22
121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
22
222
4128(1)()03434m km
k km m k k
-=+⨯+⨯-+=++，
解得2
2
12127
k m +=，代入可知不等式（*）成立， ………………9分
所以原点O 到直线l 的距离为2
221212127711
k m d k k +===++， 所以直线y kx m =+与圆2
2
12
7
x y +=
相切． ………………11分 当直线l 垂直于x 轴时，不妨设点P 在x 轴上方，
根据椭圆的对称性，易得直线OP 的方程为y x =±，
由22
1,43
,
x y y x ⎧+
=⎪⎨⎪=±⎩
得1212(,)77P ±, 所以原点O 到直线l 距离为
127，因此直线l 与圆22
127
x y +=相切． 综上所述：存在定圆2
2
12
7
x y +=
，使得该圆恒与直线l 相切. …………12分 12、本题考查直线，圆，抛物线等基础知识，考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，抽象思维能力，考查数形结合思想．满分12分． 解：（I ）由已知()0,1F ，设圆C 的半径为r ， 因为EFC ∆为正三角形，3,12C r r ⎛⎫
- ⎪
⎪⎝⎭
…………………………2分 因为点C 在抛物线24x y =上，
得
2
344,4
r r =- 即2316160,r r -+= …………………………3分 解得4r =或4
3
r =
所以圆C 的方程为1C ()
()2
2
23
316x y -+-= …………………………5分
或2C 2
2
23116
339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ …………………………6分 （II ）（方法一）
因为准线l 为1y =-，设(),1P t -，()11,A x y ，()22,B x y。