中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解19---动点在二次函数图象中的分类讨论

中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解
专题19 动点在二次函数图象中的分类讨论
【专题说明】
关于二次函数动点问题的解答方法
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于
对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；
【精典例题】
1、如图1，已知抛物线y ＝12x 2－3
2x －n (n >0)与x 轴交于A ，B 两点(A
点在B 点的左边)，与y 轴交于点C .
(1)若△ABC 为直角三角形，求n 的值；
(2)在(1)的条件下，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标；
(3)如图2，过点A 作直线BC 的平行线交抛物线于另一点D ，交y 轴于点E ，若AE ∶ED ＝1∶4.求n 的值．
解：(1)若△ABC 为直角三角形，则由Rt△AOC ∽Rt△COB 可得OC 2＝
OA ·OB ，
由抛物线y ＝12x 2－3
2
x －n (n >0)，可得OC ＝n ，OA ·OB ＝2n ，
∴n 2＝2n ，解得n 1＝2，n 2＝0(舍去)．∴n ＝2；
(2)由(1)可知抛物线的对称轴为x ＝32，抛物线表达式为y ＝12x 2－3
2x
－2，
令y ＝0，得x 1＝－1，x 2＝4，∴A (－1，0)，B (4，0)，
设点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ，12m 2－3
2m －2.
①如答图①，当直线PQ ∥BC 时，
当点P 在点Q 的左侧，
答图①
△BOC 平移到△QNP 的位置时，四边形PQBC 为平行四边形，
此时NQ ＝OB ，即32－m ＝4，m ＝－5
2
.
12m 2－32m －2＝39
8，此时点P 坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52，398； 当点P 在点Q 的右侧时，
同理可得m －32＝4，解得m ＝112
.
12m 2－32m －2＝39
8
， 此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫112
，398.
答图②
②当直线PQ 与直线BC 相交时，如答图②，
此时点P 到y 轴的距离等于点B 到对称轴的距离，
即m ＝4－32＝52，12m 2－32m －2＝－21
8，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52
，－218.
综上所述，满足条件的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，398，
⎝ ⎛⎭⎪⎫112，398，⎝ ⎛⎭⎪⎫
52
，－218；
答图③
(3)如答图③，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F .
则AO ∶OF ＝AE ∶ED ＝1∶4，
设A (a ，0)，B (b ，0)，则AO ＝－a ，OF ＝－4a ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DAO ＝∠OBC ，
∵∠AFD ＝∠BOC ＝90°，∴△BOC ∽△AFD ，
∴OC DF ＝BO AF ，即n DF ＝b －4a －a
， 由题意得ab ＝－2n ，∴n b ＝－a 2
，
∴DF ＝－5a ·n b ＝－5a ·(－a 2)＝52
a 2
，
∵点A ，D 在抛物线上，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧12a 2－3
2
a －n ＝0，12×16a 2
－32×（－4a ）－n ＝52a 2
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32
，
n ＝27
8，
∴n 的值为278.
2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝(x －a )(x －3)(0<a <3)的图象与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点D ，过其顶
点C 作直线CP ⊥x 轴，垂足为点P ，连结AD ，BC .
(1)求点A ，B ，C 的坐标；
(2)若△AOD 与△BPC 相似，求a 的值；
(3)点D ，O ，C ，B 能否在同一个圆上？若能，求出a 的值；若不能，请说明理由．
解：(1)y ＝(x －a )(x －3)，当y ＝0时，x 1＝a ，x 2＝3，
∴A (a ，0)，B (3，0)．
当x ＝0时，y ＝3a ，∴D (0，3a )；
(2)如答图①，连结AD ，BC ，
由(1)可得OA ＝a ，OD ＝3a ，BP ＝3－a 2，OP ＝3－a 2＋a ＝3＋a
2
，
答图①
将x ＝3＋a 2代入二次函数，得y ＝－（3－a ）2
4
，
∴PC ＝（3－a ）2
4
.
①当△DOA ∽△CPB 时，
有OA BP ＝OD PC ，即a 3－a 2
＝3a （3－a ）2
4
， 解得a ＝0(舍去)或－3(舍去)．
②当△DOA ∽△BPC 时，
有OA PC ＝OD BP ，即a （3－a ）24
＝3a 3－a 2
，解得a ＝73
.
综上，当△AOD 与△BPC 相似时，a ＝7
3
；
答图②
(3)能．如答图②，连结BD ，设BD 的中点为M .
∵D ，O ，B 三点共圆，且圆心为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32a ，
假设点C 也在此圆上，则应有MC ＝MB ，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫32－
3＋a 22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋（3－a ）242＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2a －02， 解得a 1＝5，a 2＝－5(舍去)，a 3＝－3(舍去)，a 4＝3(舍去)，
∴当a 的值为5时，D ，O ，C ，B 四点共圆．
3、在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2
＋53
x ＋c 的图象经过点C (0，
2)和点D (4，－2)，点E 是直线y ＝－1
3x ＋2与二次函数图象在第一象限内
的交点．
(1)求二次函数的表达式及点E 的坐标；
(2)如图1，若点M 是二次函数图象上的点，且在直线CE 的上方，连结MC ，OE ，ME ，求四边形COEM 面积的最大值及此时点M 的坐标；
(3)如图2，经过A ，B ，C 三点的圆交y 轴于点F ，求点F 的坐标．
解：(1)∵二次函数y ＝ax 2
＋5
3
x ＋c 的图象经过点C (0，2)和点D (4，
－2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，16a ＋5
3×4＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，c ＝2，
∴二次函数表达式为y ＝－23x 2＋5
3
x ＋2，
与y ＝－1
3x ＋2联立，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝3，此时y ＝1，故E (3，
1)；
(2)S 四边形COEM ＝S △COE ＋S △CME ，S △COE ＝1
2·CO ·||x E ，∵C (0，2)，E (3，1)，
∴S △COE ＝3，S △CME ＝1
2
·CE ·h (h 为点M 到CE 的距离)，
∵M 在抛物线上运动，∴当平行于CE 的直线与抛物线相切于点M 时，
h 最大，从而面积最大，
设l ′的表达式为y ＝－1
3
x ＋b ，
与y ＝－23x 2＋5
3
x ＋2联立，
得－13x ＋b ＝－23x 2＋5
3
x ＋2，
Δ＝36＋8(6－3b )＝0，解得b ＝7
2
，
此时点M 坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，3，
如答图①，过M 作MN ∥y 轴，交CE 于点N ，
在y ＝－13x ＋2中，令x ＝32，得y ＝3
2
，
∴N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32，
∴S △CME ＝12·MN ·||x C －x E ＝9
4
，
∴S 四边形COEM ＝S △COE ＋S △CME ＝21
4
；
答图①
(3)在y ＝－23x 2＋53x ＋2中，令y ＝0，得x 1＝5＋734，x 2＝5－73
4
，
∴OA ＝73－54，OB ＝5＋73
4
，
答图②
如答图②，连结BF ，AC ，
∵∠ACO ＝∠ABF ，∠AOC ＝∠FOB ，
∴△AOC ∽△FOB ，
∴OA OF ＝OC OB ，即73－5
4OF ＝25＋73
4
，解得OF ＝3
2， ∴F ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，－32.
4、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，其中A(m，0)，B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.
(1)求m，n的值及该抛物线的表达式；
(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A，D重合)．分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角三角形APM和等腰直角三角形DPN，连结MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
(3)如图3，连结BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q 为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把点A(m，0)，点B(4，n)代入x－y＝1，得m＝1，n＝3，
∴A (1，0)，B (4，3)，
代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得
⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝0，－16＋4b ＋c ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝－5， ∴y ＝－x 2＋6x －5；
(2)∵△APM 和△DPN 为等腰直角三角形，
∴∠APM ＝∠DPN ＝45°，
∴∠MPN ＝90°，
∴△MPN 为直角三角形．
令－x 2＋6x －5＝0，解得x 1＝1，x 2＝5，
∴D (5，0)，AD ＝4.
设AP ＝m ，则DP ＝4－m ，PM ＝22m ，PN ＝2
2
(4－m )，
∴S △MPN ＝12PM ·PN ＝12×22m ·2
2
(4－m )
＝－14m 2＋m ＝－1
4
(m －2)2＋1，
∴当m ＝2，即AP ＝2时，S △MPN 最大，此时OP ＝3，∴P (3，0)；
(3)存在，点Q 坐标为(2，－3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫73
，－83.
由A (1，0)，B (4，3)，C (0，－5)，D (5，0)，得AB ＝32，AD ＝4，直线CD 的函数表达式为y ＝x －5，∴∠BAD ＝∠CDO ＝45°，分两种情况讨论：
①当△ADQ ∽△DAB 时，AD DQ ＝
DA
AB
，
∴DQ ＝AB ＝32，
答图
如答图，过Q 点作x 轴的垂线，垂足为E ，则DE ＝EQ ＝2
2
DQ ＝3，
∵D (5，0)，∴Q (2，－3)；
②当△QDA ∽△DAB 时，DQ AD ＝DA
AB
，
∴DQ 4＝432，解得DQ ＝823
， 同上得Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73
，－83.
综上，存在点Q 坐标为(2，－3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫
73
，－83.
5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝23x 2－2
3
x －4与x 轴交于A ，
B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点
C .
(1)求点A ，B ，C 的坐标；
(2)点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t s ，求运动时间t 为多少秒时，△PBQ 的面积S 最大，并求出其最大面积；
(3)在(2)的条件下，当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使△BMC 的面积是△PBQ 的面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)令y ＝0，得23x 2－2
3
x －4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝3；
令x ＝0，得y ＝－4，
故A (－2，0)，B (3，0)，C (0，－4)；
答图①
(2)如答图①，过点Q 作QD ⊥AB 于点D ，则AP ＝2t ，BQ ＝t ，BO ＝3，
AB ＝5，OC ＝4，BC ＝32＋42＝5，PB ＝5－2t .
∵DQ ∥OC ，
∴△BDQ ∽△BOC ，
∴DQ OC ＝BQ BC
，即
DQ 4
＝t
5
， 解得DQ ＝4
5
t .
∴S △PBQ ＝12PB ·DQ ＝12×45t ×(5－2t )＝－45t 2＋2t ＝－45⎝ ⎛
⎭⎪⎫t －542＋54
，
∴当t ＝54时，S △PBQ 取最大值为5
4
；
答图②
(3)存在，M 的坐标为(1，－4)或⎝
⎛⎭⎪⎫
2，－83.
设M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ，23m 2－2
3m －4，直线BC 的表达式为y ＝kx －4，
则3k －4＝0，解得k ＝4
3
，
∴直线BC 的表达式为y ＝4
3
x －4，
如答图②，过M 作ME ⊥AB 交BC 于点N ，则N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m ，4
3m －4，
∴MN ＝43m －4－⎝ ⎛⎭
⎪⎫23m 2－23m －4＝－23m 2
＋2m ，
∴S △MBC ＝S △CMN ＋S △BMN ＝1
2
MN ·OB ＝－m 2＋3m ，
∵△BMC 的面积是△PBQ 的面积的1.6倍，
∴－m 2
＋3m ＝1.6×5
4
，整理得m 2－3m ＋2＝0，解得m 1＝1，m 2＝2.
∴M (1，－4)或⎝
⎛⎭⎪⎫
2，－83.
6、抛物线L ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (0，1)，与它的对称轴直线x ＝1交于点B .
(1)直接写出抛物线L 的表达式；
(2)如图1，过定点的直线y ＝kx －k ＋4(k <0)与抛物线L 交于点M ，N .若△BMN 的面积等于1，求k 的值；
(3)如图2，将抛物线L 向上平移m (m >0)个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ，F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．
解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2×（－1）＝1，c ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，
c ＝1.
∴抛物线L 的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋1；
(2)∵y ＝kx －k ＋4＝k (x －1)＋4，
当x ＝1时，y ＝4，
∴该直线过定点G (1，4)，如答图，
答图
∵y ＝－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2，
∴点B (1，2)，∴BG ＝2，
∵S △BMN ＝1，即S △BNG －S △BMG ＝12BG ·(x N －1)－1
2
BG ·(x M －1)＝1，
∴x N －x M ＝1，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ＋4，y ＝－x 2
＋2x ＋1，
得x 2
＋(k －2)x －k ＋3＝0， 于是x M ＋x N ＝2－k ，x M ·x N ＝3－k ，
故x N －x M ＝（x M ＋x N ）2－4x M x N ＝k 2－8.
由x N －x M ＝1得k 2－8＝1，
∵k <0，∴k ＝－3；
(3)设抛物线L 1的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋1＋m ，P (0，t )，
∴C (0，1＋m )，D (2，1＋m )，F (1，0)，
当△PCD ∽△FOP 时，PC CD ＝FO OP
，
∴1＋m －t 2＝1t
，整理得t 2－(1＋m )t ＋2＝0；①
当△PCD ∽△POF 时，PC CD ＝PO OF
，
∴1＋m －t 2＝t 1，整理得t ＝13
(m ＋1)．②
Ⅰ.当方程①有两个相等实数根时，
Δ＝(1＋m )2－8＝0，解得m ＝22－1(负值舍去)，
此时方程①有两个相等实数根t 1＝t 2＝2，方程②有一个实数根t ＝223
， ∴m ＝22－1，
∴点P 的坐标为(0，2)或⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫0，223； Ⅱ.当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得19(m ＋1)2
－13
(m ＋1)2＋2＝0，
解得m ＝2(负值舍去)，
此时方程①有两个不相等的实数根t 1＝1，t 2＝2，方程②有一个实数根t ＝1，
∴m ＝2，
∴点P 的坐标为(0，1)或(0，2)．
综上，当m ＝22－1时，点P 的坐标为(0，2)或⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫0，223；当m ＝2时，点P 的坐标为(0，1)或(0，2)．。