《2016届走向高考》高三数学一轮(人教A版)课件第2章第2节函数的单调性与最值

增函数．又y＝(13)t在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝(
1 3
)x2－x的单调增区间为(－∞，
1 2
]，单调减区间为
[12，＋∞)．
(3)由 6＋x－2x2>0，得－32<x<2，设 t＝6＋x－2x2 则 y＝log2t； ∵t＝－2x2＋x＋6＝－2(x－14)2＋489在(－32，14]上为增函数， 在[14，2)上为减函数，又 y＝log2t 在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝log2(6＋x－2x2)的单调增区间为(－32，14]，单调减区间为[14， 2)．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 函数与基本初等函数
第二章 第二节 函数的单调性与最值
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业
自主预习学案
• 理解函数的单调性，会求函数的单调区间， 能用定义证明函数在给定区间上的单调性，
会利用单调性比较函数值的大小，能利用单 调性求参数的取值范围．
t＝g(x) 增 增 减 减
y＝f(t) 增 减 增 减
y＝f[g(x)] 增 减 减 增
(文)(2015·漳州质检)函数 f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区 间是( )
A．(－∞，32]
B．[32，＋∞)
C．(－1，32]
• [答案] D
D．[32，4)
[解析] 由 4＋3x－x2>0 得－1<x<4，又函数 g(x)＝4＋3x
• (2)若f(x)的最小值为m，f(x)>0恒成立⇔m>0.
[解析] (1)当 a＝12时，f(x)＝x＋21x＋2，∵x≥1， ∴f ′(x)＝1－21x2>0，∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min ＝f(1)＝72.
(2)f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)． ①当 a≤0 时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为 f(1) ＝a＋3. 要使 f(x)>0 在 x∈[1，＋∞)上恒成立，只需 a＋3>0，即 a> －3，所以－3<a≤0. ②当 0<a≤1 时，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1) ＝a＋3. 所以 a＋3>0，a>－3，所以 0<a≤1. 综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是 (－3,1]．
f(2x－1)<f13⇔－13<2x－1<13， 即13<x<23.故选 A．
• ③依据差式的符号确定其增减性．
• 4．利用导数研究函数单调性
• 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果f ′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内为减函数．
• 5．复合函数的单调性
• 对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a， b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)， g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函 数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性如下表：
• [方法总结] 1.判断函数的单调性可以用定义， 也可以用导数．
• 2．求函数的单调区间时，首先要找出函数的 定义域，再依据基本初等函数的性质讨论．
• 3．利用定义证明函数单调性的一般步骤是：
• ①任取x1、x2∈D，且x1<x2； • ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(分解因式、
配方成同号项的和等)；
• A．恒为正数
B．恒为负数
• C．恒为0 D．可正可负
• [答案] A
• [解析] ∵f(x)在R上有意义，且f(x)为奇函数，
• ∴f(0)＝0.∵f(x)为增函数，∴f(1)>f(0)＝0.
2．(文)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝1x
D．y＝x|x|
• 2．证明函数的单调性一般用定义或导数证 明．
二、单调性的有关结论 1．若 f(x)，g(x)均为增(减)函数，则 f(x)＋g(x)为__增__(减__)__函 数． 2．若 f(x)为增(减)函数，则－f(x)为__减__(增__)__函数，如果同 时有 f(x)>0，则f1x为减(增)函数， fx为_增__(_减__)__函数． 3．互为反函数的两个函数有_相__同_____的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性 相同，则其复合函数 f[g(x)]为___增____函数；若 f(x)、g(x)的单调 性相反，则其复合函数 f[g(x)]为___减____函数． 5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶 函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
利用单调性求函数的值域或最值
•
(文)函数f(x)＝ax在[0,1]上的最大值
与最小值的和为3，则a的值为( )
A．12 C．4
B．2 D．14
• [答案] B
• [分析] 先确定函数的单调性，由于f(x)的解 析式中含参数a，a的变化影响函数f(x)的单调
• [解析] 解法1：对a分类讨论．
• 若a>1，x＝0时，y有最小值1；x＝1时，y有 最大值a，由题设1＋a＝3，则a＝2.
利用单调性解(证)不等式及比较大小
(文)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调增
加，则满足 f(2x－1)<f13的 x 取值范围是(
)
A．13，23
B．13，23
C．12，23
D．12，23
• [答案] A
[分析] ∵f(x)为偶函数，∴f(2x－1)＝f(|2x－1|)， ∴原不等式可化为 f(|2x－1|)<f(13)． [解析] 作出示意图可知：
• 一、函数的单调性
• 1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区 间M⊆A，若对于任意的x1，x2∈M<，当x1<x2时， 都有f(x1)______f(x2)，则f(x)为区间M上的增函 数．> 对于任意的x1，x2∈M，当x1<x2时，都有 f(x1)______f(x2)，则f(x)为区间M上的减函数．
4．设函数 f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当 x≥1
时，f(x)＝lnx，则有( )
A．f(13)<f(2)<f(12)
B．f(12)<f(2)<f(13)
C．f(12)<f(13)<f(2)
D．f(2)<f(12)<f(13)
• [答案] C
[解析] 由 f(2－x)＝f(x)可知 f(x)的图象关于直线 x＝1 对
• 显然பைடு நூலகம்函数为奇函数且为增函数．
(理)(2014·湖南文，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－
∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝x12
B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝2－x
• [答案] A
• [解析] ∵f(x)＝x3为奇函数，f(x)＝2－x为非奇 非偶函数，∴排除C、D；又f(x)＝x2＋1在(－ ∞，0)上单调递减，排除B，选A．
• 函数的单调性是高考的热点，常见命题方式 有求单调区间，判断函数的单调性，求参数 的取值范围，利用函数单调性比较数的大小， 以及解不等式等问题．主观题在考查基本概 念，重要方法的基础上常与导数结合考查函 数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论 的思想方法．将函数性质与求参数取值范围 及导数的应用结合命题应加强训练．
即 1＋a＋loga2＝a，∴a＝12.
• [方法总结] 求函数最值的常用方法
• (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单 调性求最值；
• (2)图象法：先作出函数的图象，观察其最高 点、最低点，求出最值．
• (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具 备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值．
[解析]
(1)∵f(x)＝|x|(1－x)＝
－x2＋xx≥0， x2－x x<0.
可得函数
f(x)在区间(－∞，0]及[
1 2
，＋∞)上为减函数，在区间[0，
1 2
]上
为增函数．
(2)设t＝x2－x＝(x－12)2－14，
∵t＝(x－12)2－14在(－∞，12]上为减函数，在[12，＋∞)上为
称，当 x≥1 时，f(x)＝lnx，可知当 x≥1 时 f(x)为增函数，所以
当
x<1
时
f(x)
为
减
函
数
，
因
为
|
1 2
－
1|<|
1 3
－
1|<|2
－
1|
，
所
以
f(12)<f(13)<f(2)．故选 C．
典例探究学案
求函数的单调区间
•
求下列函数的单调区间，并确定每
一单调区间上的单调性．
(1)y＝|x|(1－x)； (2)y＝(13)x2－x； (3)y＝log2(6＋x－2x2)．
－x2 的对称轴为 x＝32，故选 D．
(理)(2014·天津模拟)函数 y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则 函数 g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调减区间是( )
A．[0，12]
C．(－∞，0)∪[12，＋∞)
• [答案] B
B．[ a，1] D．[ a， a＋1]
[解析] 令 logax＝0 得 x＝1，令 logax＝12得 x＝ a，易知当 a≤x≤1 时，u＝logax 单调递减，u∈[0，12]，y＝f(u)在[0，12] 上单调递增，∴g(x)＝f(logax)在[ a，1]上单调递减．
• 若0<a<1，x＝0时，y有最大值1；x＝1时，y 有最小值a，由题设a＋1＝3，则a＝2，与 0<a<1矛盾，故选B．
• 解法2：当a>0，a≠1时，y＝ax是定义域上的 单调函数，因此其最值在x∈[0,1]的两个端点 得到，于是必有1＋a＝3，∴a＝2.
(理)函数 f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值 之和为 a，则 a 的值为( )
• [答案] D
[解析] 本题考查了函数的奇偶性、单调性等性质的应用． A 中 y＝x＋1 是非奇非偶函数；B 中 y＝－x3 是减函数；C 中 y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别递减，但在整个定义域上 不是单调函数；D 中函数 y＝x|x|可化为 y＝x－2 x2x≥x<00.， 可画 出其图象如图所示：
• 3．(文)(2014·山东德州二模)已知y＝f(x)是定 义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增， 则满足f(m)<f(1)的实数m的取值范围是( )
• A．－1<m<0
B．0<m<1
• C．－1<m<1
D．－1≤m≤1
• [答案] C
• [解析] 因为函数y＝f(x)是偶函数，所以 f(m)<f(1)，即f(|m|)<f(1)，所以|m|<1，－ 1<m<1，选C．
A．14
B．12
C．2
D．4
• [答案] B
• [分析] 先确定函数的单调性，由于f(x)的解 析式中含参数a，a的变化影响函数f(x)的单调 性，故需分类讨论．
[解析] a>1 时，f(x)在[0,1]上为增函数，最小值 f(0)，最大 值 f(1)；
0<a<1 时，f(x)在[0,1]上为减函数，最小值 f(1)，最大值 f(0)， 据题设有：f(0)＋f(1)＝a，
• 三、函数的最大(小)值：
• 定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ， 如果存在实数M满足：
• (1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；
• (2)存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M. • 称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．
• 1.已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函 数，则f(1)的值( )
(理)(2014·安徽池州一中月考)已知偶函数 f(x)满足 f(－1)＝
0，且在区间[0，＋∞)上单调递增，不等式 f(2x－1)<0 的解集
为( )
A．[12，1)
B．(0,1)
C．(－∞，1)
• [答案] B
D．(0，12)
• [解析] 因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是 增函数，且f(－1)＝0，所以f(2x－1)<0可化为 f(|2x－1|)<f(1)，则有|2x－1|<1，解得x的取 值范围是(0,1)．
(2014·云南昆明模拟)已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，x∈[1，＋ ∞)，a∈(－∞，1]．
(1)当 a＝12时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的 取值范围．
• [分析] (1)先判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性， 再求最值；