广西北海高中毕业班2019高三第一次质量检测试-数学(文)

广西北海高中毕业班2019高三第一次质量检测试-数学（文）
文科数学
本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分。

总分值150分。

考试时间120分钟。

第一卷〔选择题共60分〕
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一
项为哪一项符合题目要求的。

1、箱子内有4个白球，3个黑球，5个红球，从中任取一球，取到的是红球的概率为〔〕 A 、
121B 、41C 、31D 、12
5
2、条件2|1:|≤+x p ，条件23:≤≤-x q ，那么p 是q 的〔〕
A 、充要条件
B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分又不必要条件 3、函数||x y =的定义域为A ，值域为B ，假设}1,0,1{-=A ，那么B A 为〔〕 A 、}0{B 、}1{C 、}1,0{D 、}1,0,1{-
4、给定两个向量)4,3(=，)1,2(=，假设)//()(x -+，那么x 的值等于〔〕 A 、
23B 、1-C 、1D 、2
3
- 5、函数22)(2
3
+-=x x x f ，在点))1(,1(f 处的切线方程为〔〕 A 、02=-+y x B 、0=+y x C 、02=++y x D 、0=-y x 6、假设),0(πα∈，且4
1
cos 2
sin
2
=
+αα
，那么αtan 的值等于〔〕 A 、
33B 、3C 、3
3-D 、3- 7、等差数列}{n a 中，假设1201210864=++++a a a a a ，那么1092
1
a a -
的值为〔〕 A 、10B 、11C 、12D 、14 8、棱长为4的正四面体P-ABC ，M 为PC 的中点，那么AM 与平面ABC 所成的角的正弦值为〔〕 A 、
22B 、3
2
C 、23
D 、322
9、设椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为1F ,2F ，上顶点为A ，过点A 与
2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2221=+F F F ，那么椭圆C 的离心率为〔〕
A
B
C
D
1B
1C 1D
A 、
21B 、32C 、43D 、5
4 10、过正四棱柱的底面ABCD 中顶点A ，作与底面成
30角的截面111D C AB ，截得的多面体如图，1=AB ，D D B B 11=，那么那个多面体的体积为〔〕 A 、
26B 、36C 、66D 、4
6
11、现有四个函数①|sin |x y =②|sin |x x y ⋅=③x x y cos ||⋅=④x
x y 2⋅=的部分图像如下，但顺序被打乱，那么按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是〔〕 A 、①③②④B 、①③④②C 、③①②④D 、③①④②
12、定义一种运算bc ad d c b a -=),(*),(，假设函数),)5
1(,1(*)log ,1()(3x
x x f =，0x 是方程0)(=x f 的解，且010x x <<，那么)(1x f 的值是〔〕 A 、恒为正值B 、等于0C 、恒为负值D 、不大于0
第二卷〔非选择题，共90分〕
【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。

把答案填在答题卡对应题号的横线
上。

13、双曲线
19
162
2=-y x 上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，那么P 点到左焦点的距离为.
14、9)1(x
x -的展开式中3
x 的系数是.
15、假设不等式2
3|1||3|a a x x -≤+-+对一切实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围是. 16、定义在R 上的奇函数)(x f y =，对任意不等的实数1x ，2x 都有
0))](()([2121<--x x x f x f 成立，假设不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f 成立，那么当
41≤≤x 时，
x
y
的取值范围为. 【三】解答题：本大题共6小题，共70分。

解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、(此题10分)}{n a 是公差不为零的等差数列，11=a ，且1a ，3a ，9a 成等比数列.
(I)求数列}{n a 的通项；
(II)记n a
n b 2=，求数列}{n b 的前n 项和n S .
18、(此题12分)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，ABC ∆的周长为3，且C B A sin 2sin sin =+.
(I)求边c 的长；
(II)假设ABC ∆的面积为
C sin 5
2
，求角C 的余弦值. 19、(此题12分)某企业招聘中，依次进行A 科、B 科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过。

甲参加招聘，他每次考A 科合格的概率均为
32，每次考B 科合格的概率均为2
1。

假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不妨碍。

(I)求甲恰好3次考试通过的概率；
(II)求甲招聘考试通过的概率.
20、(此题12分)如图(1)在等腰ABC ∆中，D ，E ，F 分别是AB ，AC 和BC 边的中点，
120=∠ACB ，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))
(I)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (II).求二面角E-DF-C 的余弦值；
(III)在线段BC 是否存在一点P ，但AP ⊥DE ？证明你的结论.
21、(此题12分)函数22)(2
3
-++=cx bx x x f 的图像在与x 轴交点处的切线方程是
105-=x y .
(I)求函数)(x f 的解析式； (II)设函数mx x f x g 3
1
)()(+
=，假设)(x g 存在极值，求实数m 的取值范围以及函数)(x g 取得极值时对应的自变量x 的值.
22、(此题12分)如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。

(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；
(II)过点B 的直线l 与曲线C 交于M 、N.两点，与OD 所在直线交于E 点，1λ=，
NB EN 2λ=证明：21λλ+为定值.
2018年北海市高中毕业班第一次质量检测
文科数学参考答案及评分标准 说明： 1、本参考答案提供一至两种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么；
2、解答题右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分；
3、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数。

【一】选择题：〔每题只有一个选项符合要求，每题5分，共60分〕
A
B
D Q
O ∙
题号 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 答案 D B C B A D C B A C D A
【二】填空题：〔每题5分，共20分〕
13、1314、84-15.[1,2]16、1[,1]2
-
【三】解答题：〔共70分〕 17、【解】〔I 〕设公差为d ，那么2111(2)(8)a d a a d +=+即20d d -=
解得1d =或0
d =〔舍去〕……………………………………………………………………4分
因
此
1n a n
=+…………………………………………………………………………5分 【解】〔II 〕2
2n
a n n
b ==，
12(12)
24822212
n n
n n S +-=+++⋅⋅⋅+==-- (10)
分
18、【解】〔I 〕由及正弦定理得3
2a b c a b c
++=⎧⎨+=⎩，解得1c =…………………………………………
5分 【
解
】
〔
II
〕
ABC
△的面积为
2
sin 5
C 即
5
4
sin 52sin 21=⇒=ab C C ab …………………………7分 由〔I 〕得2a b +=
由余弦定理得2
2
2
2
2cos ()2(1cos )c a b ab C a b ab C =+-=+-+…………………………9分 即8
14(1cos )5
C =-+…………………………………………………………………………10分
因此7
cos 8
C =…………………………………………………………………………………12分
19、设甲“第一次考A 科成绩合格”为事件1A ，“A 科补考后成绩合格”为事件2A ，
“第一次考B 科成绩合格”为事件1B ，“B 科补考后成绩合格”为事件
2B 。

……………………1分
【解】〔Ⅰ〕甲恰好3次考试通过的概率为：
1121212111215
()()32233218
P P A B B P A A B =+=
⨯⨯+⨯⨯=……………6分 【解】〔Ⅱ〕由题意知，甲招聘考试通过，考试的次数为2，3，4
1112111212122112121112112
()()()().3233232233223
P P A B P A A B P A B B P A A B B =+++=
⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=…………………12分
x 20、【解法一】〔I 〕如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，
又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF 、………………4分 【解】〔II 〕∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角，
∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD ，取CD 的点M ，使EM ∥AD ，∴EM ⊥平面BCD ， 过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，那么EN ⊥
DF ，
∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角.………………………………6分
设CD ＝
a,那么AC ＝BC ＝2a,AD ＝DB ,△DFC 中,设底边DF 上的高为h 由
DFC 1111
22222
S a a h ∆
=⋅⋅=⋅⋅⋅，∴h
在Rt △EMN 中，EM =
12AD
=，MN =1
2
h ，∴tan ∠MNE =2 从而cos ∠MNE ＝
5
……………………………………………………8分 【解】〔Ⅲ〕在线段BC 上不存在点P ，使AP ⊥DE ，………………………9分
证明如下：在图2中,作AG ⊥DE,交DE 于G 交CD 于Q 由得
∠AED ＝120°，因此点G 在DE 的延长线上，从而Q 在DC 的延长线 上，过Q 作PQ ⊥CD 交BC 于P ∴PQ ⊥平面ACD ∴PQ ⊥DE
∴DE ⊥平面APQ ∴AP ⊥DE.但P 在BC
的延长线上。

…………………12分 【法二】〔Ⅱ〕以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、
y 轴，建立空间直角坐标系，
设CD ＝a ，那么AC ＝BC ＝
2a,AD ＝DB 那么A 〔0，0
〕，B ，0，0〕， C 〔0，,0,),(0,
,),,,0)2222
a a
a E a F .………………………5分 取平面CDF 的法向量为(0,0,1)m =设平面EDF 的法向量为),,
(z y x
=那么⎪
⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n DF 得0(3,0y n y +==-+=⎪⎩ 取，…………6分 5
cos ,5
|
|||m n m n m
n ⋅<>=
=
，………………………………………7分 因此二面角E —DF —C 的余弦值为
5
；……………………………8分
【解】〔Ⅲ〕设23
(,,0),0322
a P x y AP DE y a y a ⋅=-=∴=则，
又(3,,0),(,,0)BP x a y PC x a y =-=--，………………………………………9分
//,()(),BP PC x a y xy x ∴-=-∴+=…
……………………11分
把3y a x ==-代入上式得，可知点P 在BC 的延长线上
因此在线段BC 上不存在点P 使AP ⊥DE (12)
分
21、【解】〔Ⅰ〕由,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……①………………2分
又2()34f x x bx c '=++，由(2)1285
f b c '=++=得870b c ++=…②…4分
联
立
①
②
，
解
得
1,1b c =-=.…………………………………………………………5分
因
此
函
数
的
解
析
式
为
32()22f x x x x =-+-………………………………………6分
【解】〔Ⅱ〕因为
3
2
1
()223
g x x x x mx
=-+-+ 令
2
1
()3410
3
g x x x m '=-++=………………………………………………………7分 当函数有极值时，方程
2
1
3410
3
x x m -++=有实数解，那么0∆≥………………8分
由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤.………………………………………………………
9分
当1m =时，()0g x '=有实数
23x =，在23
x =
两侧均有()0g x '>， 故函数()g x 无极值，舍去；…………………………………………………………
10分
当1m <时，方程
2
1
()3410
3
g x x x m '=-++=有两个不等的实根，即有极值。

故，当1m <时，函数()y g x =有极值。

……………………………………………12分
22、【解】〔Ⅰ〕以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，
∵动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变、且点Q 在曲线C 上,
∴
|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2
5
21222=+＞
|AB |=4、…………………………………3分
∴曲线C 是为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆、
设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,那么2a =2
5,∴
a =5,c =2,
b =1……………4分
∴曲线C 的方程为5
2x +y 2
=1 (5)
分
【证法1】〔Ⅱ〕：设,,M N E 点的坐标分别为11220
(,),(,),(0,)M x y N x y E y ，
易知B 点的坐标为(2,0)、且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交、 ∵1EM MB
λ=，∴110111
(,)(2,)x y y x y λ-=--、
∴
11112λλ+=x ，
1
011λ+=
y y …………………………………………………………7分
将M 点坐标代入到椭圆方程中得：
1)1()12(5121
02
11=+++λλλy ，
去分母整理，得
0551020121=-++y λλ (9)
分 同理，由
2EN NB
λ=可得：
0551020222=-++y λλ (10)
分 ∴1λ，2
λ是方程05510202=-++y x x 的两个根……………………………11分
∴102
1-=+λλ (12)
分
【证法2】〔Ⅱ〕：设,,M N E 点的坐标分别为11220
(,),(,),(0,)M x y N x y E y ，
易知B 点的坐标为(2,0)、且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交、
显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程是)2(-=x k y …
6分
将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得
052020)51(2222=-+-+k x k x k 、
∴
22215120k k x x +=+，2
22151520k k x x +-=
(8)
分
又∵
1EM MB
λ=，那么110111
(,)(2,)x y y x y λ-=--、∴
1
112x x -=
λ，
同理，由
2EN NB
λ=，∴
2
222x x -=
λ………………………………………………
10分 ∴
10
)(242)(2222
1212
121221121-==++--+=-+-=+ x x x x x x x x x x x x λλ……………………
12分。