苏教版数学八年级上册 压轴题 期末复习试卷测试题(Word版 含解析)

苏教版数学八年级上册 压轴题 期末复习试卷测试题（Word 版 含解析）
一、压轴题
1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足3a c x +=，3
b d y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足1413x -+=
=，()8223
y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点． （1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．
①试确定y 与x 的关系式；
②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；
③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．
2．已知ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，点M 是AC 的中点，延长BM 至点D ，使DM ＝BM ，连接AD ．
（1）如图①，求证：DAM ≌BCM ；
（2）已知点N 是BC 的中点，连接AN ．
①如图②，求证：ACN ≌BCM ；
②如图③，延长NA 至点E ，使AE ＝NA ，连接，求证：BD ⊥DE ．
3．如图，在△ABC 中，AB =AC =18cm ，BC =10cm ，AD =2BD ．
（1）如果点P 在线段BC 上以2cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使
△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
4．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3
4
x+m分别与x轴、y轴交于点B、A．其中B
点坐标为（12，0），直线y＝3
8
x与直线AB相交于点C．
（1）求点A的坐标．
（2）求△BOC的面积．
（3）点D为直线AB上的一个动点，过点D作y轴的平行线DE，DE与直线OC交于点E （点D与点E不重合）．设点D的横坐标为t，线段DE长度为d．
①求d与t的函数解析式（写出自变量的取值范围）．
②当动点D在线段AC上运动时，以DE为边在DE的左侧作正方形DEPQ，若以点H
（1
2
，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点时，请直接写出t
的取值范围．
5．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．
（1）如图2，点B 的坐标为（b ，0）． ①若b ＝﹣2，则点A ，B 的“相关矩形”的面积是 ；
②若点A ，B 的“相关矩形”的面积是8，则b 的值为 ．
（2）如图3，点C 在直线y ＝﹣1上，若点A ，C 的“相关矩形”是正方形，求直线AC 的表达式；
（3）如图4，等边△DEF 的边DE 在x 轴上，顶点F 在y 轴的正半轴上，点D 的坐标为（1，0）．点M 的坐标为（m ，2），若在△DEF 的边上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，请直接写出m 的取值范围．
6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：
若1,(2),(2)
b a b b a -≥⎧=<⎩'⎨当时当时，则称点Q 为点P 的限变点．例如:点(2,3)的限变点的坐标是(2,2)，点(2,5)--的限变点的坐标是(2,5)-，点(1,3)的限变点的坐标是(1,3)．
（1）①点3,1)-的限变点的坐标是________；
②如图1，在点(2,1)A -、(2,1)B 中有一个点是直线2y =上某一个点的限变点，这个点是________；（填“A ”或“B ”）
（2）如图2，已知点(2,2)C --，点(2,2)D -，若点P 在射线OC 和OD 上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '≤，其中m n >．令s m n =-，直接写出s 的值． （3）如图3，若点P 在线段EF 上，点(2,5)E --，点(,3)F k k -，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是25b '-≤≤，直接写出k 的取值范围．
7．如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s)．
(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ；
(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，
①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；
②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；
(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
8．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：
（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？
（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；
（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF
9．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ．
（1）如图1，
①求证：点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；
②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为 ；
（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ；
（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转的过程中，在什么情况下线段BF 的长取得最大值？若AC 2a ，试写出此时BF 的值．
10．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==． （1）若30AED ∠=︒，则ADB =∠______．
（2）求证：BED CDF △≌△．
（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．
11．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠；
（2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作//EF AC ，求证：BE AD =；
（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．
12．在《经典几何图形的研究与变式》一课中，庞老师出示了一个问题：“如图1，等腰直角三角形的三个顶点分别落在三条等距的平行线1l ，2l ，3l 上，90BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长度”.在研究这道题的解法和变式的过程中，同学们提出了很多想法：
（1）小明说：我只需要过B 、C 向1l 作垂线，就能利用全等三角形的知识求出AB 的长. （2）小林说：“我们可以改变ABC 的形状.如图2，AB AC =，120BAC ∠=︒，且每两条平行线之间的距离为1，求AB 的长.”
（3）小谢说：“我们除了改变ABC 的形状，还能改变平行线之间的距离.如图3，等边三角形ABC 三个顶点分别落在三条平行线1l ，2l ，3l 上，且1l 与2l 之间的距离为1，2l 与3l 之间的距离为2，求AB 的长、”
请你根据3位同学的提示，分别求出三种情况下AB 的长度.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、压轴题
1．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）
【解析】
【分析】
（1）根据融合点的定义3a c x +=，3
b d y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解；
②利用①的函数关系式解答；
③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）x ＝-17233a c ++==，y ＝54333
b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点； （2）①由题意得：x ＝
433a c t ++=，y ＝2533b d t ++=，则3-4t x =， 则()23-452-13
x y x +==； ②令x ＝0，y ＝-1；令y ＝0，x ＝
12，图象如下：
③当∠THD＝90°时，
∵点E（t，2t＋5），点T（t，2t−1），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．
∴t＝1
3
（t＋4），
∴t＝2，
∴点E（2，9）；
当∠TDH＝90°时，
∵点E（t，2t＋5），点T（4，7），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．
∴4＝1
3
（4＋t）
∴t＝8，
∴点E（8，21）；
当∠HTD＝90°时，
由于EH与x轴不平行，故∠HTD不可能为90°；
故点E的坐标为：（2，9）或（8，21）．
【点睛】
本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．
2．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】
（1）由点M是AC中点知AM=CM，结合∠AMD=∠CMB和DM=BM即可得证；
（2）①由点M，N分别是AC，BC的中点及AC=BC可得CM=CN，结合∠C=∠C和BC=AC 即可得证；
②取AD中点F，连接EF，先证△EAF≌△ANC得∠NAC=∠AEF，∠C=∠AFE=90°，据此知∠AFE=∠DFE=90°，再证△AFE≌△DFE得∠EAD=∠EDA=∠ANC，从而由
∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM即可得证．
【详解】
解：（1）∵点M是AC中点，
∴AM=CM，
在△DAM和△BCM中，
∵
AM CM
AMD CMB
DM BM
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DAM≌△BCM（SAS）；
（2）①∵点M是AC中点，点N是BC中点，
∴CM=
1
2
AC，CN=
1
2
BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∴CM=CN，
在△BCM和△ACN中，
∵
CM CN
C C
BC AC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BCM≌△ACN（SAS）；
②证明：取AD中点F，连接EF，
则AD=2AF，
∵△BCM≌△ACN，
∴AN=BM，∠CBM=∠CAN，
∵△DAM≌△BCM，
∴∠CBM=∠ADM，AD=BC=2CN，
∴AF=CN，
∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC，
由（1）知，△DAM ≌△BCM ，
∴∠DBC=∠ADB ，
∴AD ∥BC ，
∴∠EAF=∠ANC ，
在△EAF 和△ANC 中，
AE AN EAF ANC AF NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EAF ≌△ANC （SAS ），
∴∠NAC=∠AEF ，∠C=∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DFE=90°，
∵F 为AD 中点，
∴AF=DF ，
在△AFE 和△DFE 中，
AF DF AFE DFE EF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AFE ≌△DFE （SAS ），
∴∠EAD=∠EDA=∠ANC ，
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°，
∴BD ⊥DE ．
【点睛】
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．
3．（1）①△BPD 与△CQP 全等，理由见解析；②当点Q 的运动速度为125
cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等；（2）经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．
【解析】
【分析】
（1）①由“SAS”可证△BPD ≌△CQP ；
②由全等三角形的性质可得BP=PC=
12
BC=5cm ，BD=CQ=6cm ，可求解； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇，列出方程可求解．
【详解】 解：（1）①△BPD 与△CQP 全等，
理由如下：∵AB =AC =18cm ，AD =2BD ，
∴AD =12cm ，BD =6cm ，∠B =∠C ，
∵经过2s 后，BP =4cm ，CQ =4cm ，
∴BP =CQ ，CP =6cm =BD ，
在△BPD 和△CQP 中，
BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BPD ≌△CQP （SAS ），
②∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP ≠CQ ，
∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ，
∴BP =PC =
12BC =5cm ，BD =CQ =6cm ， ∴t =52
， ∴点Q 的运动速度=612552
=cm /s ，
∴当点Q 的运动速度为
125
cm /s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等； （2）设经过x 秒，点P 与点Q 第一次相遇， 由题意可得：125
x ﹣2x =36， 解得：x =90， 点P 沿△ABC 跑一圈需要
181810232++=（s ） ∴90﹣23×3=21（s ），
∴经过90s 点P 与点Q 第一次相遇在线段AB 上相遇．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握全等三角形的判定是本题的关键．
4．（1）点A 坐标为（0，9）；（2）△BOC 的面积＝18；（3）①当t ＜8时，d ＝﹣98t+9，当t ＞8时，d ＝98t ﹣9；②12≤t≤1或7617≤t≤8017
． 【解析】
【分析】
（1）将点B 坐标代入解析式可求直线AB 解析式，即可求点A 坐标；
（2）联立方程组可求点C 坐标，即可求解；
（3）由题意列出不等式组，可求解．
【详解】
解：（1）∵直线y
＝﹣
3
4
x+m与y轴交于点B（12，0），
∴0＝﹣3
4
×12+m，
∴m＝9，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣3
4
x+9，
当x＝0时，y＝9，
∴点A坐标为（0，9）；
（2）由题意可得：
3
8
3
9
4
y x
y x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，
解得：
8
3 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴点C（8，3），
∴△BOC的面积＝1
2
×12×3＝18；
（3）①如图，
∵点D的横坐标为t，
∴点D（t，﹣3
4
t+9），点E（t，
3
8
t），
当t＜8时，d＝﹣3
4
t+9﹣
3
8
t＝﹣
9
8
t+9，
当t＞8时，d＝3
8
t+
3
4
t﹣9＝
9
8
t﹣9；
②∵以点H（1
2
，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点，
∴1
2
≤t≤1或
91
9
82
9
91
8
t t
t t
⎧
-+≤-
⎪⎪
⎨
⎪-+≥-
⎪⎩
，
∴1
2
≤t≤1或
76
17
≤t≤
80
17
．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，不等式组的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
5．（1）①6；②5或﹣3；（2）直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）m的取
值范围为﹣3≤m≤﹣
2
m≤3．
【解析】
【分析】
（1）①由矩形的性质即可得出结果；
②由矩形的性质即可得出结果；
（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3求出正方形AGCH的边长为3，分两种情况求出直线AC的表达式即可；
（3）由题意得出点M在直线y＝2上，由等边三角形的性质和题意得出OD＝OE＝1
2
DE＝
1，EF＝DF＝DE＝2，得出OF
OD
①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则
点M的坐标为（﹣
2）；得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣
或2
﹣≤m≤1；
②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M 的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2
2）；得出m的取值范围为2
≤m≤3或2
﹣≤m≤1；即可得出结论．
【详解】
解：（1）①∵b＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，0），如图2﹣1所示：
∵点A的坐标为（1，2），
∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，
故答案为：6；
②如图2﹣2所示：
由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，
∴|b﹣1|＝4，
∴b＝5或b＝﹣3，
故答案为：5或﹣3；
（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的边长为3，
当点C在直线x＝1右侧时，如图3﹣1所示：
CG＝3，
则C（4，﹣1），
设直线AC的表达式为：y＝kx+a，
则
2
14
k a
k a
=+
⎧
⎨
-=+
⎩
，
解得；
1
3
k
a
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3；
当点C在直线x＝1左侧时，如图3﹣2所示：CG＝3，
则C（﹣2，﹣1），
设直线AC的表达式为：y＝k′x+b，
则
2
12
k b
k b
=+
⎧
⎨
-=-+
'
'
⎩
，
解得：
k1 b1
=
⎧
⎨
=
'
⎩
，
∴直线AC的表达式为：y＝x+1，
综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；
（3）∵点M的坐标为（m，2），
∴点M在直线y＝2上，
∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），
∴OD＝OE＝1
2
DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，
∴OF OD
分两种情况：如图4所示：
①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；
若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（﹣2）或（2，2）；
∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤1；
②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；
若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（2﹣3，2）或（﹣2+3，2）；
∴m的取值范围为2﹣3≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+3；
综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤3．
【点睛】
此题主要考查图形与坐标综合，解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用．
6．（1
）①
)
；②B ；（2）3s =；（3）59k ≤≤． 【解析】
【分析】 （1）利用限变点的定义直接解答即可；
（2）先利用逆推原理求出限变点(2,1)A -、(2,1)B 对应的原来点坐标，然后把原来点坐标代入到2y =，满足解析式的就是答案；
（3）先OC OD ，的关系式，再求出点P 的限变点Q 满足的关系式，然后根据图象求出m n ，的值，从而求出s 即可；
（4）先求出线段EF 的关系式，再求出点P 的限变点Q 所满足的关系式，根据图像求解即可．
【详解】
解：（1
）①∵2a =， ∴11b b ==-='，
∴坐标为：)
，
故答案为：)； ②∵对于限变点来说，横坐标保持不变，
∴限变点(2,1)A -对应的原来点的坐标为：()2,1-或()21--，
， 限变点(2,1)B 对应的原来点的坐标为：()2,2，
∵()2,2满足2y =，
∴这个点是B ，
故答案为：B ；
（2）∵点C 的坐标为(2,2)--，
∴OC 的关系式为：()0y x x =≤，
∵点D 的坐标为(2,2)-，
∴OD 的关系式为：()0y x x =-≥，
∴点P 满足的关系式为：()(
)00x x y x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩， ∴点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式为：
当2x ≥时：1b x '=--，
当02x <<时：b x x '=-=，
当0x ≤时，b x x '==-，
图像如下：
通过图象可以得出：当2x ≥时，3b '≤-，∴3n =-，
当2x <时，0b '≥，∴0m =，
∴()033s m n =-=--=；
（3）设线段EF 的关系式为：()022y ax c a x k k =+≠-≤≤>-，
，， 把(2,5)E --，(,3)F k k -代入得：253
a c ka c k -+=-⎧⎨+=-⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩， ∴线段EF 的关系式为()322y x x k k =--≤≤>-，， ∴线段EF 上的点P 的限变点Q 的纵坐标满足的关系式4(2)|3|3(22)x x
b x x x -⎧'=⎨
-=--<⎩， 图象如下：
当x ＝2时，b ′取最小值，b '＝2﹣4＝﹣2，
当b '＝5时，
x ﹣4＝5或﹣x +3＝5，解得：x ＝9或x ＝﹣2，
当b ′＝1时，
x ﹣4＝1，解得：x ＝5，
∵ 25b '-≤≤，
∴由图象可知，k 的取值范围时：59k ≤≤．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握新定义“限变点”，解答此题还需要掌握一次函数的图象与性质以及最值的求解，此题有一定的难度．
7．（1）
203；（2）①t ＝83；②a ＝185；（3）t ＝6.4或t ＝103 【解析】
【分析】
（1）根据时间＝路程÷速度即可求得答案；
（2）①由题意得：BM ＝CN ＝3t ，则只可以是△CMN ≌△BAM ，AB ＝CM ，由此列出方程求解即可；
②由题意得：CN ≠BM ，则只可以是△CMN ≌△BMA ，AB ＝CN ＝12，CM ＝BM ，进而可得3t ＝10，求解即可；
（3）分情况讨论，当△CMN ≌△BPM 时，BP ＝CM ，若此时P 由A 向B 运动，则12－2t ＝20－3t ，但t ＝8不符合实际，舍去，若此时P 由B 向A 运动，则2t －12＝20－3t ，求得t ＝6.4；当△CMN ≌△BMP 时，则BP ＝CN ，CM ＝BM ，可得3t ＝10，t ＝
103，再将t ＝103代入分别求得AP ，BP 的长及a 的值验证即可．
【详解】
解：（1）20÷3＝
203， 故答案为：203
； （2）∵CD ∥AB ，
∴∠B ＝∠DCB ，
∵△CNM 与△ABM 全等，
∴△CMN ≌△BAM 或△CMN ≌△BMA ，
①由题意得：BM ＝CN ＝3t ，
∴△CMN ≌△BAM
∴AB ＝CM ，
∴12＝20－3t ，
解得：t ＝83；
②由题意得：CN ≠BM ，
∴△CMN ≌△BMA ，
∴AB ＝CN ＝12，CM ＝BM ，
∴CM ＝BM ＝
12
BC ， ∴3t ＝10，
解得：t＝10 3
∵CN＝at，
∴10
3
a＝12
解得：a＝18
5
；
（3）存在
∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCB，
∵△CNM与△PBM全等，
∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，
当△CMN≌△BPM时，则BP＝CM，
若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，
∴12－2t＝20－3t，
解得：t＝8 (舍去)
若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，
∴2t－12＝20－3t，
解得：t＝6.4，
当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，
∴CM＝BM＝1
2 BC
∴3t＝10，
解得：t＝10 3
当t＝10
3
时，点P的路程为AP＝2t＝
20
3
，
此时BP＝AB－AP＝12－20
3
＝
16
3
，
则CN＝BP＝16 3
即at＝16
3
，
∵t＝10
3
，
∴a＝1.6符合题意
综上所述，满足条件的t的值有：t＝6.4或t＝10 3
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，解决本题的关键就是用方程思想及分类讨论思想解决问题，把实际问题转化为方程是常用的手段．
8．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；
（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出
∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：
如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，
∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°
在△ACD与△CBE中，
AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴CD=BE，即CD和BE始终相等；
（2）证明：根据题意得：CE=AD，
∵AB=AC，
∴AE=BD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，
∴∠EAB=∠DBC，
在△BCD 和△ABE 中，
BC=AB ，∠DBC=∠EAB ，BD=AE ∴△BCD ≌△ABE （SAS ），
∴∠BCD=∠ABE
∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；
（3）解：爬行过程中，DF 始终等于EF 是正确的，理由如下：
如图，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，
∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，
∴△ADG 为等边三角形，
∴AD=DG=CE ，
在△DGF 和△ECF 中，
∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC
∴△DGF ≌△EDF （AAS ），
∴DF=EF.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．
9．（1）①详见解析；②
12α；（2）详见解析；（3）当B 、O 、F 三点共线时BF 最长，102a
【解析】
【分析】
（1）①由线段垂直平分线的性质可得AD=AC=AB ，即可证点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上；
②由等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠BDC ，可求∠BDC 的度数；
（2）连接CE ，由题意可证△ABC ，△DCE 是等边三角形，可得AC=BC ，
∠DCE=60°=∠ACB ，CD=CE ，根据“SAS”可证△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ；
（3）取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，由三角形的三边关系可得，当点O ，点B ，点F 三点共线时，BF 最长，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求10BO a =，2OF OC a ==，即可求得BF
【详解】
（1）①连接AD ，如图1．
∵点C与点D关于直线l对称，
∴AC = AD．
∵AB= AC，
∴AB= AC = AD．
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上．②∵AD=AB=AC，
∴∠ADB=∠ABD，∠ADC=∠ACD，
∵∠BAM=∠ADB+∠ABD，∠MAC=∠ADC+∠ACD，∴∠BAM=2∠ADB，∠MAC=2∠ADC，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=2∠ADB+2∠ADC=2∠BDC=α∴∠BDC=1
2
α
故答案为：1
2α．
（2连接CE，如图2．
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵∠BDC=1
2
α，
∴∠BDC=30°，
∵BD⊥DE，
∴∠CDE=60°，
∵点C关于直线l的对称点为点D，∴DE=CE，且∠CDE=60°
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，∠DCE=60°=∠ACB，∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，CD=CE，∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴BD=AE ，
（3）如图3，取AC 的中点O ，连接OB ，OF ，BF ，
，
F 是以AC 为直径的圆上一点，设AC 中点为O ，
∵在△BOF 中，BO+OF≥BF ，
当B 、O 、F 三点共线时BF 最长； 如图，过点O 作OH ⊥BC ，
∵∠BAC=90°，2a ，
∴24BC AC a ==，∠ACB=45°，且OH ⊥BC ，
∴∠COH=∠HCO=45°，
∴OH=HC ， ∴2OC HC =
， ∵点O 是AC 中点，AC 2a ，
∴2OC a =， ∴OH HC a ==，
∴BH=3a ，
∴10BO a =，
∵点C 关于直线l 的对称点为点D ，
∴∠AFC=90°，
∵点O 是AC 中点， ∴2OF OC a ==
，
∴102BF a =， ∴当B 、O 、F 三点共线时BF 最长；最大值为102)a ．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
10．（1）90°；（2）证明见解析；（3）变化，234l +≤<．
【解析】
（1）由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形的性质可求
DAE=∠DEA=30°，由三角形内角和定理可求解；
（2）根据等腰三角形的性质，可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ，由此可利用“ASA”证明全等；
（3）根据全等三角形的性质可得l =2+AD ，根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围．
【详解】
解：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD=DE
∴∠DAE=∠DEA=30°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°，
故答案为：90°；
（2）∵AD=DE=DF ，
∴∠DAE=∠DEA ，∠DAF=∠DFA ，
∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°，
∴∠DEA+∠DFA=60°，
∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°，
∴∠EDB=∠DFA ，
∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°，
∴∠CDF=∠DEA ，
在△BDE 和△CFD 中
∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△BDE ≌△CFD （ASA ）
（3）∵△BDE ≌△CFD ，
∴BE=CD ，
∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ，
当D 点在C 或B 点时，
AD=AC=AB=2,
此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；
当D 点在BC 的中点时，
∵AB=AC ，
∴BD=112
BC =
，AD ==
此时22l AD =+=
综上可知24l +≤<．
本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取．
11．（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论；
（2）过E 作EF ∥AC 交AB 于F ，根据已知条件得到△ABC 是等边三角形，推出△BEF 是等边三角形，得到BE=EF ，∠BFE=60°，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接AF ，证明△ABF ≌△CBF ，得AF=CF ，再证明DH=AH=
12
CF=3． 【详解】
解：（1）∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
∵DE=DC ，
∴∠E=∠DCE ，
∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB ，
即∠EDB=∠ACD ；
（2）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴△BEF 是等边三角形，
∴BE=EF ，∠BFE=60°，
∴∠DFE=120°，
∴∠DFE=∠CAD ，
在△DEF 与△CAD 中， EDF DCA DFE CAD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DEF ≌△CAD （AAS ），
∴EF=AD ，
∴AD=BE ；
（3）连接AF，如图3所示：
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中，
AB BC
ABF CBF
BF BF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°，
∵AH⊥CD，
∴AH=
1
2
AF=
1
2
CF=3，
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°-60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和直角三角形的性质，三角形的外角的
性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 12．
（1）5；（2）
221；（3）221 【解析】
【分析】
（1）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，证明△ABM ≌△CAN ，得到AM=CN ，AN=BM ，即可得出AB ；
（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于点P ，Q 两点，在l 1上取M ，N 使
∠AMB=∠CNA=120°，证明△AMB ≌△CAN ，得到CN=AM ，再通过△PBM 和△QCN 算出PM 和NQ 的值，得到AP ，最后在△APB 中，利用勾股定理算出AB 的长；
（3）在l 3上找M 和N ，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B 作l 3的垂线，交l 3于点P ，过A 作l 3的垂线，交l 3于点Q ，证明△BCN ≌△CAM ，得到CN=AM ，在△BPN 和△AQM 中利用勾股定理算出NP 和AM ，从而得到PC ，结合BP 算出BC 的长，即为AB.
【详解】
解：（1）如图，分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于M ，N 两点，
由题意可得：∠BAC=90°，
∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，
∴∠MAB=∠NCA ，
在△ABM 和△CAN 中， ===AMB CNA MAB NCA AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
，
∴△ABM ≌△CAN （AAS ），
∴AM=CN=2，AN=BM=1，
∴AB=22251=+；
（2）分别过点B ，C 向l 1作垂线，交l 1于P ，Q 两点，
在l 1上取M ，N 使∠AMB=∠CNA=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠MAB+∠NAC=60°，
∵∠ABM+∠MAB=60°，
∴∠ABM=∠NAC ，
在△AMB和△CNA中，
=
=
=
AMB CNA
ABM NAC
AB AC
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
，
∴△AMB≌△CNA（AAS），
∴CN=AM，
∵∠AMB=∠ANC=120°，
∴∠PMB=∠QNC=60°，
∴PM=
1
2
BM，NQ=
1
2
NC，
∵PB=1，CQ=2，
设PM=a，NQ=b，
∴222
1=4
a a
+，222
2=4
b b
+，
解得：
3
=
a，
23
=
b，
∴CN=AM=
2
2
23
2
3
⎛⎫
+ ⎪
⎪
⎝⎭
=
43
，
∴AB=22
AP BP
+=()22
AM PM BP
++=221；
（3）如图，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，过B作l3的垂线，交于点P，过A作l3的垂线，交于点Q，∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠BCN+∠ACM=120°，
∵∠BCN+∠NBC=120°，
∴∠NBC=∠ACM，
在△BCN和△CAM中，
BNC CMA
NBC MAC
BC AC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BCN≌△CAM（AAS），
∴CN=AM ，BN=CM ， ∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，
∴BN=2NP ，
在△BPN 中，222BP NP BN +=，
即22224NP NP +=，
解得：NP=233
， ∵∠AMC=60°，AQ=3，
∴∠MAQ=30°，
∴AM=2QM ，
在△AQM 中，222AQ QM AM +=，
即22234QM QM +=，
解得：QM=3，
∴AM=23=CN ，
∴PC=CN-NP=AM-NP=
43， 在△BPC 中，
BP 2+CP 2=BC 2，
即BC=22224322123BP CP ⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB=BC=221.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是利用平行线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质以及勾股定理求解.。