专题02 圆锥曲线与方程(A卷)-2015-2016学年高一高二数学同步单元双基双测“AB”卷(选修2-1)(解析版)

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选修2-1第二章圆锥曲线与方程基础测试卷
（测试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.）
1. 【2015邢台二中月考】抛物线2
8x y -=的准线方程是（ ） A. 321
=
y B.2=y C. 32
1=x D.2-=y 【答案】A
【解析】化方程为标准形式218x y =-
,则116
p =,焦点在x 轴上开口向左,所以准线方程是321
=y 2. 【2015黑龙江安达市月考】若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是（ ） A ．
45 B ．35 C ．25 D ．1
5
【答案】B
【解析】依题意得2222a c b += ,即2a c b +=,又222b c a +=,消去b ,得3
5
e =. 3. 【2015安徽】下列双曲线中,渐近线方程为2y x =±的是（ ）.
A ．22
14y x -= B ．2214x y -= C ．22
12y x -= D ．221
2x y -=
【答案】A
4.【2015广东】已知椭圆22
2125x y m
+=（0m >）的左焦点为()14,0F -,则m =（ ）.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
【答案】B
【解析】由左焦点为()14,0F -,可得4c =. 由222a b c =+,即22516m =+,得29m =. 又0m >,所以3m =.故选B.
5.【改编题】已知抛物线()2
20y px p =>的准线经过点()11-，,则与()2
20y px p =>关于直线y x =对
称的抛物线方程为（ ）.
A.2
2y x = B.2
4y x = C.2
4x y = D. 2
4y x
=- 【答案】C
【解析】由抛物线()2
20y px p =>得准线2
p
x =-
,因为准线经过点()11-，,所以2p =,与抛物线24y x
=关于直线y x =对称的抛物线方程为2
4x y =.故选C.
6.【2015邢台市二中月考】双曲线22
14x y k
+=的离心率(1,2)e ∈,则k 的取值范围是（ ）
A. (10,0)-
B. (12,0)-
C. (3,0)-.
D. (60,12)--
【答案】B
【解析】由题意知,2014k e ＞，＜＜，
又244k e +=,∴4144
k
+<<,∴012k ＜＜.
7.【原创题】已知双曲线C :22221x y a b
-=(0,0a b >>)的焦距为,若其一条渐近线经过曲线3
2x y x -=-的
对称中心,则a 的值为（ ）
A ．1
B
C ．
D ．2
【答案】C
【解析】曲线32
x y x -=
-的对称中心为(2,1),所以,21=a b 又22
10,a b += 故a = ,选C.
8.【2015黑龙江省牡丹江一中期中】平面上动点A (x ,y )满足
13
5
=+
y x ,B (-4,0),C (4,0),则一定有（ ）
A ．10<+AC A
B B ．10≤+A
C AB C.10>+AC AB
D ．10≥+AC AB 【答案】B
9.【2015湖南益阳月考】已知椭圆19
252
2=+y x 上的一点M 到焦点1F 的距离为2,N 是1MF 的中点,O 为原
点,则|ON|等于 （ ）
（A ）2 （B ） 4 （C ） 8 （D ） 2
3 【答案】B
【解析】设椭圆的另一焦点为2F ,因为19
252
2=+y x ,所以102252=⇒=a a ,由题意可知：ON 为
21F MF ∆D 的中位线,所以42
10221
1=-=-=
MF MF a ON . 10.【2015黑龙江省牡丹江一中期中】在同一坐标系中,方程22221a x b y +=与20(0)ax by a b +=>>的曲线大致是（ ）
【答案】D
【解析】由题：因为a>b>0,2222222
2
2
2
1
1b
a a y
b x y b x a =+⇒=+,故椭圆的焦点在y 轴上,又因为
x b
a
y by ax -
=⇒=+220,故抛物线的焦点在x 轴的负半轴,故选D. 11.【2015邢台二中月考】设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点M ,若
M F F 21∆为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为（ ）
A.
2
2
B. 12-
C. 22-
D.
2
1
2- 【答案】B
12.【2015黑龙江省牡丹江一中期中】已知直线1+=kx y 与椭圆152
2=+m
y x 恒有公共点,则实数m 的取值
范围为( )
A ．1≥m
B ．101<<≥m m 或
C ．51≠≥m m 且
D ．150≠<<m m 且 【答案】C
二、填空题（每题5分,共20分）
13.【2015北京】已知()2,0是双曲线()2
2
210y x b b
-=>错误！未找到引用源。

的一个焦点,则b = .
【答案】b =
【解析】由()2,0是双曲线()22
210y x b b
-=>的一个焦点,得2
14b +=,
即2
3b =,又0b >,得b =.
14.【余江一中2015上学期期中考试】椭圆
22
1123
x y +=的焦点分别为1F 和2F ,点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那么12cos F PF ∠= .
【答案】
7
1 【解析】设1PF 与y 轴交于点M ,因O M 、分别为1PF 和21F F 的中点,则2//PF OM ,则轴x PF ⊥2,
6,62,2
3
32312122======PF c F F a b PF ,则23743361=
+=PF ,在21F PF Rt ∆中,有
21cos PF F ∠7
1=
15.【2015长春十一高中期初考试】已知P 是双曲线136
642
2=-y x 上一点,F 1,F 2是双曲线的两个焦点,若|PF 1|
＝17,则|PF 2|的值为________． 【答案】33
【解析】由双曲线方程1366422=-y x 得,,6,8==b a 则102
2=+=b a c ,P 是双曲线136
6422=-y x 上一点,
所以,|||||21PF PF -|162==a ,|PF 1|＝17,则|PF 2|=1或|PF 2|=33,又因为|PF 2|2=-≥a c 所以|PF 2|=33
16. 【2015浙江】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点(),0F c 关于直线b
y x c
=的
对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是 ．
【答案】e =
三、解答题 （本大题共6小题,共70分.）
17.【2015黑龙江省安达市月考】（本题满分10分）双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点分别为
1(2,0)F -,2(2,0)F ,
点P 在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）过(0,2)Q 的直线l 与双曲线交于不同的两点E 、F ,若OEF ∆
的面积为,O 为坐标原点,求直线l 的方程.
【答案】（1）222x y -=;（2
20y -+=
20y +-=
.
18.【2015邢台二中月考】（本题满分12分）已知中心在原点的椭圆C
的左焦点0F （）,右顶点20A （，）.
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）斜率为
2
1
的直线 l 与椭圆C 交于A B 、两点,求弦长 AB 的最大值及此时l 的直线方程. 【答案】(1) 2214x y += ；(2) 直线方程为1
2y x =时,弦长 AB
的最大值为.
【解析】（1
）以题意可知：2c a ==,
∴1b =
=
∵焦点在x 轴上 ∴椭圆C 的方程为；2
214x y += （2） 设直线l 的方程为12y x b =+,由2212
14
y x b
x
y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222220x bx b ++-=---7分 ∵l 与椭圆C 交于A B 、两点∴△=2
2
2
(2)4(22)840b b b --=-≥ 即22b ≤ 设1122(,),(,)A x y B x y ,则122
12222
x x b x x b +=-⎧⎨
=-⎩
∴弦长 AB
12||x x -==
∵202b ≤≤
∴
AB =≤,
∴当0b =即l 的直线方程为1
2
y x =时,弦长
AB 的最大值为 19.（本题满分12分）已知点(1,0)F ,直线:1l x =-,动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离.
（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过(4,2)N 的直线m ,使得直线m 被曲线C 截得的弦AB 恰好被点N 所平分？ 【答案】（1）2
4y x =；（2）24y x -=-即20
x y --= 【解析】
解法二：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ,
依题意,得12128
4
x x y y +=⎧⎨
+=⎩.
∵1122(,),(,)A x y B x y 在轨迹C 上,
∴有2112
224142y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（）（）,将(1)(2)-,得2212124()y y x x -=-.
当12x x =时,弦AB 的中点不是N ,不合题意, ∴
121212
41y y x x y y -==-+,即直线AB 的斜率1k =,
注意到点N 在曲线C 的张口内（或：经检验,直线m 与轨迹C 相交） ∴存在满足题设的直线m
且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=.
20.（本题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =,右焦点到直线1x y
a b
+=
的距离
d =
,O 为坐标原点 （Ⅰ） 求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,以AB 为直径的圆过原点O ,求O 到直线l 的距离
【答案】（Ⅰ）22143x y +=,
21.【2015天水一中段考】（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C ：)0(22
>=p px y ,
在此抛物线上一点N (2,)m 到焦点的距离是3. （1）求此抛物线的方程；
（2）抛物线C 的准线与x 轴交于M 点,过M 点斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点．是否存在这样的k ,使得抛物线C 上总存在点),(00y x Q 满足QB QA ⊥,若存在,求k 的取值范围；若不存在,说明理由． 【答案】（1）2
4y x =;（2）⎥⎦
⎤
⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-
55,00,55
.
22.【2015北京】（本题满分12分）已知椭圆2
2
:33C x y +=,过点()1,0D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆
C 交于A ,B 两点,直线AE 与直线3x =交于两点M .
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若AB 垂直于x 轴,求直线BM 的斜率；
（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系,并说明理由
.
设()11,A x y ,()22,B x y ,1112AE y k x -=
-,直线AE 的方程为()111
122
y y x x --=--,令3x =,得
1113,12y M x ⎛⎫
-+ ⎪-⎝⎭
,12
121
123BM y y x k x -+
--=
-,要证明1BM k =,只须证明12211
22
y y x x --=--即
()()()112211222y x y x x ---=--,
1122112222230y x y y x x x x -+-+-+= ()*
联立直线():1AB y k x =-与椭圆方程()22133
y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,
消y 建立关于x 的一元二次方程得()2222316330k x k x k +-+-=,212221226313331k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
.
：。