东胜区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

东胜区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4=﹣2，S 5=0，则S 6=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2． 若直线L ：047)1()12(=--+++m y m x m 圆C ：25)2()1(2
2
=-+-y x 交于B A ,两点，则弦长|
|AB 的最小值为（ ）
A ．58
B ．54
C ．52
D ．5
3． 已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是 图乙中的（ ）
4． 已知函数()e sin x
f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828
=为自然对数的底数．当[0,
]2
x π
∈时，
函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（ ）
A ．(,1)-∞
B ．(,1]-∞
C ．2
(,e )π
-∞ D ．2
(,e ]π-∞
【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．
5． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
6．
某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π
7． 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（ ） A.110 B.15 C.310 D.25
9． 方程x= 所表示的曲线是（ ）
A ．双曲线
B ．椭圆
C ．双曲线的一部分
D ．椭圆的一部分
10．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．
A ．
B ．
C ．
D ．
11．圆01222
2
=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．
B ．12+
C ．
12
2
+ D ．122+ 12．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为2
1
时，则输入的值为（ ）
A ．2
B ．1-
C ．1-或2
D ．1-或10
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．设函数3
2
()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤ 恒成立，则实数的取值范围是 ．
14．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．
15．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．
16．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是A 1D 1的中点，点P 在侧面BCC 1B 1上运动．现有下列命
题：
①若点P 总保持PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹所在曲线是直线；
②若点P 到点A 的距离为
，则动点P 的轨迹所在曲线是圆；
③若P 满足∠MAP=∠MAC 1，则动点P 的轨迹所在曲线是椭圆；
④若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离比为1：2，则动点P 的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，
平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．
18．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．
19．已知函数()2
ln f x x bx a x =+-.
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=，求证：()00f x '>．
20．如图，四边形ABEF 是等腰梯形，,2,42,22AB EF AF BE EF AB ====，四边形
ABCD 是矩形，AD ⊥平面ABEF ，其中,Q M 分别是,AC EF 的中点，P 是BM 的中点．
（1）求证:PQ 平面BCE ； （2）AM ⊥平面BCM .
21．（本小题满分12分）
某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 的值，并估计每天销售量的中位数；
（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．
22．（本小题满分12分）已知函数()2
ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．
（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求
出b 的值；若不存在，说明理由；
0.02
a
频率组距
千克
东胜区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】D
【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，
则S 4=4a 1+d=﹣2，S 5=5a 1+d=0，
联立解得，
∴S 6=6a 1+d=3
故选：D
【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：直线:L ()()0472=-++-+y x y x m ，直线过定点⎩⎨⎧=-+=-+0
40
72y x y x ，解得定点()1,3，当点（3,1）
是弦中点时，此时弦长AB 最小，圆心与定点的距离()()512312
2=-+-=
d ，弦长
545252=-=AB ,故选B.
考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是222d R l -=，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离. 1111]
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：(||)f x 的图象是由()f x 这样操作而来：保留y 轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关于y 轴对称翻折过来，故选B ． 考点：函数图象与性质．
【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性、数形结合的数学思想方法.由()f x 加绝对值所得的图象有如下几种，
一个是()f x ——将函数()f x 在轴下方的图象翻折上来，就得到()f x 的图象，实际的意义就是将函数值为负数转化为正的；一个是()f x ，这是偶函数，所以保留y 轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关
于y 轴对称翻折过来.
4． 【答案】B
【解析】由题意设()()e sin x g x f x kx x kx =-=-，且()0g x ≥在[0,]2
x π∈时恒成立，而
'()e (sin cos )x g x x x k =+-．令()e (sin cos )x h x x x =+，则'()2e c
o s 0x
h x x =≥，所以()h x 在[0,]2
π上递增，所以21()h x e π≤≤．当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2
π
上递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2
e k π
≥时，'()0g x ≤，()g x 在[0,]2
π
上递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21e k π
<<时，()g x '为一个递增
函数，而'(0)10g k =-<，2'()e 02
g k π
π
=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，
当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上
所述：k 的取值范围为(,1]-∞，故选B ．
5． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
6． 【答案】
【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．
依题意得（2r ×2r ＋1
2πr 2）×2＋5×2r ×2＋5×2r ＋πr ×5＝92＋14π，
即（8＋π）r 2＋（30＋5π）r －（92＋14π）＝0， 即（r －2）[（8＋π）r ＋46＋7π]＝0， ∴r ＝2，
∴该几何体的体积为（4×4＋1
2π×22）×5＝80＋10π.
7． 【答案】 A
【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，
∴母线长为
，
圆锥的表面积S=S
底面+S 侧面=×π×12
+×2×2+×π×
=2+
．
故选A ．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
8． 【答案】
【解析】解析：选C.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数有下面10个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，
4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故概率P ＝3
10.
9． 【答案】C
【解析】解：x=两边平方，可变为3y 2﹣x 2
=1（x ≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；
故选C ．
【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．
10．【答案】D
【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m
则由题意知，
解得d=
．
故选：D ．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．
11．【答案】B 【解析】
试题分析：化简为标准形式()()1112
2
=-+-y x ，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
径，22
2
11=--=
d ，半径为1，所以距离的最大值是12+，故选B.
考点：直线与圆的位置关系 1 12．【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数⎩⎨⎧=x y x lg 2 0
0>≤x x ，当0≤x 时，212=x
，解得1-=x ，当0>x 时，21lg =x ，
解得10=x ，所以输入的是1-或10，故选D.
考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()
()3322
12121210x x a x x a x x ++++++≤,即
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,由于
()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+> , 故
()1212213
3x x a a
x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，代入前面不等式,并化简得()1a +()22520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此, 当1a ≤-或122a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
.
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数()f x 的到函数，令()'0f x =考虑判别式大于零，根据韦达定理求出1212,x x x x +的值，代入不等式12()()0f x f x +≤，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
数的取值范围.111] 14．【答案】
【解析】解析：∵f （x ）是偶函数，∴f （－x ）＝f （x ）恒成立， 即（－x ）（e －x ＋a e x ）＝x （e x ＋a e －x ）， ∴a （e x ＋e －x ）＝－（e x
＋e －x ），∴a ＝－1. 答案：－1
15．【答案】 [，3]
．
【解析】解：直线
AP 的斜率
K==3，
直线
BP 的斜率K ′=
=
由图象可知，则直线l 的斜率的取值范围是[，3]，
故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．
16．【答案】①②④
【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确；
对于②，满足到点A的距离为的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，
②正确；
对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1的点P应为以AM为轴，以AC1为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，
又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误；
对于④，P到直线C1D1的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1，
∴动点P的轨迹所在曲线是以C1为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确；
对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF，
设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得，即x2﹣y2=1，
∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以AG⊥EF．
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG⊂平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），
所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…
设平面ACE的法向量为=（x，y，z），
由=0，=0，得，
令z=1，得=（t，﹣t，1）．
因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，
所以|cos＜＞|==，…
即=，解得t2=1或．
所以AG=1或AG=．…
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
18．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6得a 32=9a 42，所以q 2
=
．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q=1，所以a 1=．
故数列{a n }的通项式为a n =．
（Ⅱ）b n =+
+…+=﹣（1+2+…+n ）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则
+
+…+
=﹣2=﹣
，
所以数列{}的前n 项和为﹣
．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．
19．【答案】（1）()2
6ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】
试
题解析： （1）()2a
f'x x b x =+-
，所以(1)251(1)106
f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为2
()6ln (0)f x x x x x =-->；
（2）22
626
()6ln '()21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--=，
因为函数()f x 的定义域为0x >，
令(23)(2)3
'()02
x x f x x x +-==⇒=-或2x =，
当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，
（3）当1a =时，函数2
()ln f x x bx x =+-，
21111()ln 0f x x bx x =+-=，2
2222()ln 0f x x bx x =+-=，
两式相减可得22
121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212
ln ln ()x x b x x x x -=
-+-． 1
'()2f x x b x =+-，0001'()2f x x b x =+-，因为1202
x x x +=，
所以12120121212
ln ln 2
'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+--+ 212121221221122112211
121ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥
⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设211x t x =>，2(1)()ln 1
t h t t t -=-+， ∴22
222
14(1)4(1)'()0(1)(1)(1)
t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =， ∴()0h t >，又
21
1
0x x >-，所以0'()0f x >．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】
考
点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定. 21．【答案】（本小题满分12分）
解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=得0.035a = （3分）
每天销售量的中位数为0.15
701074.30.35
+
⨯=千克 （6分） （Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180⨯-⨯=元； 若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240⨯-⨯=元；
若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300⨯=元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=元. （12分） 22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当0a =时，()ln f x bx x =-．
假设存在实数b ，使()(]()
ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，
11
()bx f x b x x
-'=-
=
．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e 13,f x f be b e
==-==（舍去）．………8分 ②当10e b <
<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增， ∴2
min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭
，满足条件．……………………………10分
③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4
()e e 13,e
f x
g b b ==-==（舍去），………11分
综上，存在实数2
e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()
f x 最小值是3．……………………………12分。