(优辅资源)重庆市高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合1|
04x A x x -⎧⎫
=≤⎨⎬-⎩⎭
，集合{}1,2,3,4B =，则A B = ( ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}2,3 C ．{}1,2,3 D ．{}2,3,4
2. 复数z 满足1zi i -=，则z 为 ( ）
A ．1i -
B ．1i +
C ．1i -+
D ．1i --
3. 根据2
3
7.39,20.08e e ==，判定方程60x
e x --=的一个根所在的区间为( ）
A ．()1,0-
B ．()0,1
C ．()1,2
D ．()2,3 4. 已知0a >，且1a ≠，下列函数中，在其定义域内是单调函数而且又是奇函数的是 （ ）
A ．sin y ax =
B ．2log a y x =
C ．x x
y a a
-=- D ．tan y ax =
5. 已知命题:2p x y +=-，命题 :,q x y 都是1-，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
6. 各项为正的等比数列{}n a 中,4a 与14a 的等比中项为,则27211log log a a +的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 7. 执行如图所示的程序框图, 则输出的结果是（ ）
A ．17
B ．16
C ．15
D ．14 8. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 （ ）
A ．
476 B ．152 C ．233
D ．6 9. 送快递的人可能在早上6:307:30-之间把快递送到张老师家里, 张老师离开家去工作的时间在早上7:008:00-之间, 则张老师离开家前能得到快递的概率为（ ） A ．0012.5 B ．0050 C ．0075 D ．0087.5
10. 双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程与圆(()2
2
11x y -+-=相切, 则此双曲线的离
心率为（ ）
A
．2 C
11. 设函数()sin f x x x =,若12,,22x x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
,且()()12f x f x >, 则（ ） A ．12x x > B ．120x x +> C ．12x x < D ．22
12x x >
12. 已知()f x 是定义在R 上的增函数, 函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称, 若对任意的,x y R ∈,不等式()()
2262180f x x f y y -++-<恒成立,当3x >时,22
x y + 的取值范围是（ ）
A ．()3,7
B ．()9,25
C ．()13,49
D ．()9,49
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.2,4,4,6,6,6,8,8,8,8 这10个数的标准差为 ． 14. 已知()1
42
3x
x f x +=--,则()0f x <的解集为 ．
15. 已知四棱锥P ABCD -的5个顶点都在球O 的球面上, 若底面ABCD 为距形
,4,AB BC ==且四棱锥P ABCD -
体积的最大值为则球O 的表面积为 ．
16. 已知函数()2,24,x x m
f x x mx m x m
⎧≤⎪=⎨
-+>⎪⎩,其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方
程()f x b =有三个不同的零点, 则m 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）已知函数()3
2
12361f x x a x x a ⎛⎫=-+
++ ⎪⎝⎭
,其中0a >. （1）若函数()f x 没有极值, 求实数a 的值；
（2）若函数()f x 在区间()2,3上单调递减, 求实数a 的取值范围.
18. （本小题满分12分）2016年夏季奥运会将在巴西里约热内卢举行, 体育频道为了解某地区关于奥运会直播的收视情况, 随机抽取了100名观众进行调查, 其中40岁以上的观众有55名, 下面是根据调查结果绘制的观众准备平均每天收看奥运会直播时间的频率分布表(时间：分钟)：
将每天准备收看奥运会直播的时间不低于80分钟的观众称为“奥运迷”, 已知“奥运迷”中有10名
40岁以上的观众.
（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表, 并据此资料你是否有0095以上的把握认为“奥运迷”与年龄有关？
（2）将每天准备收看奥运会直播不低于100分钟的观众称为“超级奥运迷”, 已知“超级奥运迷”中有2名
40岁以上的观众, 若从“超级奥运迷”中任意选取2人, 求至少有1名40岁以上的观
众的概率.
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b a d a c b d -=++++
19. （本小题满分12分）如图, 三棱锥P ABC -中,PA ⊥ 平面
,1,2ABC PA AB BC AC ====.
（1）求证：BC ⊥平面PAB ；
（2）若AE PB ⊥于点,E AF PC ⊥于点F ,求四棱锥A BCFE -的体积.
20. （本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上, 椭圆上、下顶点
与焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为. （1）求椭圆的方程；
（2）直线l 过点()0,2P 且与椭圆相交于A 、B 两点, 当AOB ∆面积取得最大值时, 求直
线l 的方程.
21. （本小题满分12分）已知函数()(),sin ax
f x e
g x x ==.
（1）若直线()y f x =与()y g x =在0x =处的切线平行, 求a , 并讨论
()()y f x g x =+在
()1,-+∞上的单调性；
（2）若对任意0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,都有()x f g x kx a ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
,求k 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图, 四边形ABCD 中,,AB AC AD AH CD ==⊥ 于H ,BD 交AH 于P ,且
PC BC ⊥.
（1）求证：A 、B 、C 、P 四点共圆； （2）若,13
CAD AB π
∠=
=,求四边形ABCP 的面积
.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中, 直线l
的参数方程为：2cos (sin x t t y t α
α
=+⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数, 其中0)2πα<<,椭圆M 的参数方程为2cos (sin x y βββ
=⎧⎨=⎩为参数), 圆C 的标准方程为()2
211x y -+=.
（1）写出椭圆M 的普通方程；
（2）若直线l 为圆C 的切线, 且交椭圆M 于,A B 两点, 求弦AB 的长.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x x a =-+-.
（1）当2a =时, 求不等式()4f x ≥的解集；
（2）不等式()4f x <的解集中的整数有且仅有1,2,3,求实数a 的取值范围.
重庆市第八中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）
试题参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1-5.CBDCB 6-10.BBDDB 11-12.DC 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.2 14.{}2|log 3x x < 15.16009
π
16.{}|3m m > 三、解答题
17.解：（1）()()2
11'6666()f x x a x x a x a a
⎛
⎫=-+
+=-- ⎪⎝⎭,由条件, 只需
2
164660a a ⎡⎤⎛⎫+-⨯⨯≤ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦,即21()0a a +≤,所以1a a =,因为0a >,从而1a =.
18. 解：（1）由频率分布表可知, 在轴取的100人中, “奥运迷”有25人, 从完成22⨯列联表如下：
()2
210030104515100 3.0307525455533
K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯.
因为3.030 3.841<,所以没有0095以上的把握认为“奥运迷”与年龄有关.
（2）由频率分布表可知, “超级奥运迷”有5人, 从而所有可能结果所组成的基本事件空间为：
()()()()()()()()()(){}
12132311122122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b Ω=其中i a 表示男性,1,2,3,i i b =表示女性,1,2i =. Ω由10个基本事件组成, 且是等可能的, 用A 表示事件“任意选2人, 至少有1 名40岁以上观众”, 则
()()()()()()(){}11122122313212,,,,,,,,,,,,,A a b a b a b a b a b a b b b =,即事件A 包含7个基本
事件, 所以()7
10
P A =
.
19. 解：（1）
PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面,,ABC PA BC ABC
∴⊥∆中
,2221,2,,,AB BC AC AB BC AC AB BC PA ==
=∴+=⊥ 、AB 是平面PAB
上的两条相交直线,BC ∴⊥ 平面PAB
.
（2）由BC ⊥平面PAB ,BC ⊂平面,PBC ∴平面PBC ⊥平面PAB ,交线为
PB ,AE PB ⊥于点,E AE ∴⊥平面PAB ,从而,AE EF AE PC ⊥⊥.又AF PC ⊥于
点,F PC ∴⊥平面,
AEF EF ⊂平面
,AEF PC EF ∴⊥,直角PBC ∆中
,PB PF ==
. 又PFE ∆相似于2
1,10
PFE PBC S PF PBC S PB ∆∆⎛⎫
∆∴== ⎪⎝⎭,
从而910BCFE PBC S S ∆==,所以, 四棱锥A BCFE -的体积1129633
3322020
BCFE V AE S =
==. 20. 解：设椭圆方程为()22
221
x y a b a b +=>.（1）由已知得b c =,且2ab =又由
2
2
2
b c a +=,解得2
2
2
2,1a b c ===,所以椭圆方程为2
212
x y +=.
（2）由题意知直线l 的斜率存在, 设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx A x y B x y =+,由
22
212
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得关于x 的方程：()22
12860k x kx +++=,由直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,
()22
06424120k k ∴∆>⇒-+>,解得232k >,又由韦达定理得1221228126
12k x x k x x k
⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪=⎪+
⎩
, 12AB x
∴=-==原点O 到直线l
的距离d =
所以
2222116
2321212ABC
k k S AB d k k
∆-===+
+,
令)
0m m =>,则2223k m =+,2
442S m m m
∴=
=≤++,当且仅当4
m m
=, 即2m
=时,max 2S =
, 此时2
k =±,所以, 所求直线方程为240y -+=. 21. 解：（1）由()ax
f x e =,知()'ax
f x ae =,曲线()y f x =在0x =处的切线斜率为
()'0f a =.由()sin g x x =知()'cos g x x =,曲线()y g x =在0x =处的切线为()'01g =,因为曲线()y f x =与()y g x =在0x =处的切线相互平行, 所以
1a =,()()'''cos x y f x g x e x =+=+,当0x =时,()()''0'020y f g =+=>. 当()1,0x ∈-时,()()0,1,cos 0,1x e x ∈∈, 从而()()'''cos 0x y f x g x e x =+=+>；当()0,x ∈+∞时,()0,x e ∈+∞,[]cos 1,1x ∈-, 从而()()'''cos 0x y f x g x e x =+=+>,
故()()y f x g x =+在()1,-+∞上单调递增.
（2）记()()sin x
x h x f g x kx e x kx a ⎛⎫=-
=
-
⎪⎝⎭
,原问题即求k 的取值范围, 使()0h x >对
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立, ()()'sin cos x h x e x x k =+-,又记()()sin cos x x e x x ϕ=+,则当
0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()'2cos 0x x e x ϕ=>,所以()x ϕ在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增, 从而
()()02x πϕϕϕ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
,即()21x e π
ϕ<<.
①若1k ≤,则()'0,0,
2h x x π⎛⎫
>∈ ⎪⎝
⎭
,从而()h x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增, 所以()()00h x h >=.此时, 不等式成立.
②若2k e π
≥,则()'0,0,
2h x x π⎛⎫
<∈ ⎪⎝
⎭
,从而()h x 在()0,1上单调递减, 所以()()00h x h <=.此时,
不等式不恒成立.
③若21k e π
<≤,则存在唯一的00,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,使得()0'0h x =,即()0
00sin cos x e x x k +=,
()()()000000000000000sin sin sin cos sin sin cos x x x x h x e x kx e x x e x x e x x x x =-=-+=++⎡⎤⎣⎦
因为00,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,所以000sin x x <<且0cos 0x >, 从而
()()()00000000000sin sin cos sin sin sin cos sin 1sin cos x x x x x x x x x x x -+<-+=-+⎡⎤⎣⎦
00sin 14x x π⎡⎤⎛
⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,又因为00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以014x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭从而
00sin 104x x π⎡⎤⎛
⎫+< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦,得()0000sin sin cos 0x x x x -+<又00x e >,
所以()()000000sin sin cos 0x
h x e x x x x =-+<⎡⎤⎣⎦,不等式不恒成立.
综上，当且仅当1k ≤时, 对任意0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,都有()x g x kxf a ⎛⎫
>-
⎪⎝⎭
. 22. 解：（1）证明：在ACD ∆中,,,AC AD AH CD CAP DAP =⊥∴∠=∠, 又
,AC AD AP AP ==,
,APC APD PCA PDA ∴∆≅∆∴∠=∠.又
,,AB AD ABD ADB ABD ACP A =∴∠=∠∴∠=∠∴、B 、C 、P 四点共圆.
（2）由A 、B 、C 、P 四点共圆,2
BAP π
∴∠=
, 而正三角形ACD 中易知
,6
3
CAH BAC ABC π
π
∠=
∴∠=
∴∆为正三角形且BP AC ⊥,
且BP =
∴四边形ABCP 的面积
1323
ABCP S BP AC =
=四边形. 23. 解：（1）椭圆M 的普通方程为2
214
x y +
=. （2）将直线的参数方程C 得()
2
2cos 30t t αα+++=,由直线l 为圆C 的切线可
知0∆=即
(
)
22cos 430αα+-⨯=解得6πα
=,所以直线l
的参数方程为：212
x y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩,
将其代入椭圆M 的普通方程得2
7480t ++=,设,A B 对应的参数分别为1
2,t t ,所以
12121248
,77
7
t t t t AB t t +=-
=-=-==
.
24. 解：（1）由题知：224x x -+-≥的解集为{}
|04x x x ≤≥或.
（2）由题意知()()0444f f ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩,代入得24244
a a ⎧+≥⎪⎨+-≥⎪⎩解得2a ≤-或2a =或6a ≥,又
22x x a a -+-≥-.
①当2a ≤-时,24a -≥, 所以()4f x ≥恒成立,()4f x < 解集为空集, 不合题意； ②当2a =时, 由(1) 可知解集为()0,4,符合题意；
③当2a ≥时,24a -≥, 所以()4f x ≥恒成立,()4f x < 解集为空集, 不合题意； 综上所述, 当2a =时, 不等式()4f x <的解集中的整数有且仅有1,2,3.。