2016-2017学年北师大版高中数学必修1检测：第3章 指数

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．化简[3
（－5）2]3
4
的结果为( ) A ．5 B ． 5 C ．－ 5
D ．－5
解析： [3
（－5）2]3
4
＝(3
52)3
4
＝523×34＝51
2＝ 5.
答案： B
2．若log 51
3·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )
A ．9
B ．1
9
C ．25
D ．125
解析： 由换底公式，得 lg
1
3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2，∴－lg x lg 5
＝2. ∴lg x ＝－2lg 5＝lg 125.∴x ＝1
25
. 答案： D
3．已知函数f (x )＝4＋a x ＋1
的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是( )
A ．(－1，5)
B ．(－1，4)
C ．(0，4)
D ．(4，0)
解析： ∵y ＝a x 恒过定点(0，1)， ∴y ＝4＋a x
＋1
恒过定点(－1，5)．
答案： A
4．函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |>2 C ．a > 2
D ．1<|a |< 2
解析： 由0<a 2－1<1得1<a 2<2，∴1<|a |< 2.
答案： D
5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．0<a <1
D ．a ≠1
解析： 由a x －1≥0得a x ≥1，又知此函数的定义域为(－∞，0]，即当x ≤0时，a x ≥1恒成立，∴0<a <1.
答案： C
6．函数y ＝f (x )＝a x －b
的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0<a <1，b >0
D ．0<a <1，b <0
解析： 由图像得函数是减函数，
∴0<a <1.
又分析得，图像是由y ＝a x 的图像向左平移所得， ∴－b >0，即b <0.从而D 正确． 答案： D
7．函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧3x －1
－2，x ≤1，⎝⎛⎭⎫13x －1－2，x >1的值域是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－2，＋∞)
C ．(－∞，－1]
D ．(－2，－1]
解析： 当x ≤1时，0<3x －
1≤31－
1＝1，
∴－2<3x －
1－2≤－1.
当x >1时，⎝⎛⎭⎫13x <⎝⎛⎭⎫
131
， ∴0<⎝⎛⎭
⎫13x －1
<⎝⎛⎭⎫
130
＝1， 则－2<⎝⎛⎭
⎫
13x －1
－2<1－2＝－1.
答案： D
8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像为( )
解析： 由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C 的值增大的很快，从而可判定结果．
答案： A
9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2
（x －1），x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )
A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B ．(0，2)
C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D ．(－1，3)
解析： 当x 0≥2时，∵f (x 0)>1， ∴log 2(x 0－1)>1，即x 0>3； 当x 0<2时，由f (x 0)>1得
⎝⎛⎭⎫12x 0－1>1，⎝⎛⎭⎫12x 0>⎝⎛⎭
⎫12－1
，∴x 0<－1.
∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案： C
10．函数f (x )＝log a (bx )的图像如图，其中a ，b 为常数．下列结论正确的是( ) A ．0<a <1，b >1 B ．a >1，0<b <1 C ．a >1，b >1
D ．0<a <1，0<b <1
解析： 由于函数单调递增，∴a >1，又f (1)>0， 即log a b >0＝log a 1，∴b >1. 答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x
，x ∈[－1，0]，3x ，x ∈（0，1]，则f ⎝⎛⎭
⎫log 31
2＝________． 解析： ∵－1＝log 313<log 31
2<log 31＝0，
∴f ⎝⎛⎭⎫log 312＝⎝⎛⎭⎫13log 3
1
2＝3－log 312
＝3log 32＝2.
答案： 2
12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a
8升，则m
＝________．
解析： 根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即1
8＝e nt ，
因为1
2
＝e 5n ，
所以⎝⎛⎭⎫123
＝e 5n ×3
.故18＝e 15n ，解得t ＝15， 故m ＝15－5＝10. 答案： 10
13．若函数y ＝2x ＋1，y ＝b ，y ＝－2x －1三图像无公共点，结合图像则b 的取值范围为________．
解析： 如图．
当－1≤b ≤1时，此三函数图像无公共点． 答案： [－1，1]
14．函数f (x )＝－a 2x －
1＋2恒过定点的坐标是________．
解析： 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝⎛⎭⎫12＝－a 0＋2＝1， ∴f (x )过定点⎝⎛⎭⎫12，1. 答案： ⎝⎛⎭⎫12，1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)计算下列各式的值： (1)(3
2×3)6
＋(2×2)43
－(－2 008)0； (2)lg 5lg 20＋(lg 2)2；
(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 3312)2
＋ln e －lg 1. 解析： (1)原式＝(213
×312)6
＋(2×212
)12×4
3－1
＝213×6×312×6＋232×12×43－1 ＝22×33＋21－1 ＝4×27＋2－1 ＝109.
(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2 ＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2 ＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＋14＋12－0 ＝
3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＋3
4
＝54＋34
＝2. 16．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；
(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．
解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0
x ＋3>0
得－3<x <1，
所以函数的定义域{x |－3<x <1}， f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)， 设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2，
所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.
当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：
当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得：a ＝1
2
.
17．(13分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3a －4x 的定义域为[0，1]． (1)求函数g (x )的解析式； (2)判断函数g (x )的单调性．
解析： (1)∵f (x )＝3x ，∴f (a ＋2)＝3a ＋
2＝18，∴3a ＝2.
∴g (x )＝2－4x (x ∈[0，1])．
(2)设x 1，x 2为区间[0，1]上任意两个值，且x 1<x 2， 则g (x 2)－g (x 1)＝2－4x 2－2＋4x 1＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2)， ∵0≤x 1<x 2≤1，∴2x 2>2x 1>1， ∴g (x 2)<g (x 1)．
所以，函数g (x )在[0，1]上是减函数． 18．(13分)已知f (x )＝－x ＋log 21－x
1＋x ，
(1)求f (x )的定义域； (2)求f ⎝⎛⎫－12 012＋f ⎝⎛⎫12 012；
(3)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(－1，1)，且a 为常数)时，f (x )是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．
解析： (1)由1－x 1＋x >0得x －1
x ＋1
<0
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x －1>0x ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0
x ＋1>0， ∴－1<x <1，即f (x )的定义域为(－1，1)． (2)对x ∈(－1，1)有f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x 1－x
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数
∴f ⎝⎛⎭⎫－12 012＝－f ⎝⎛⎭⎫12 012. ∴f ⎝⎛⎭⎫－12 012＋f ⎝⎛⎭⎫12 012＝0. (3)设－1<x 1<x 2<1， 则
1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝2（x 2－x 1）
（1＋x 1）（1＋x 2）
. ∵－1<x 1<x 2<1，
∴x 2－x 1>0，(1＋x 1)(1＋x 2)>0， ∴
1－x 11＋x 1>1－x 2
1＋x 2
. ∴函数y ＝1－x
1＋x
在(－1，1)上是减函数．
从而得f (x )＝－x ＋log 21－x
1＋x
在(－1，1)上也是减函数．
又a ∈(－1，1)，∴当x ∈(－a ，a ]时，f (x )有最小值，且最小值为f (a )＝－a ＋log 21－a
1＋a
.。