湖北省汉川一中高三数学二月调考 理【会员独享】

汉川一中2011—2012学年度高三年级二月调考
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟；不能使用计算器。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案中，只有
一项是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中．
1． 已知集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{})1(log |2-==x y x B ，则=⋂B A
A ． )01(，-
B ． )10(，
C ． )0(，
-∞
D ． )1()0(∞+⋃-∞，，
5．执行图1的程序框图，若输出的n ＝5，
则输入整数p 的最小值是 A ．15 B ．16 C ． 7 D ．8
6． 一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于
A B ．
C ．
D ．7．把函数)6
sin(π
+
=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的
2
1
倍（纵坐标不变），再将图象向右平移
3π
个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4
π
=x
8． 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数
字，把乙猜的数字记为b ，其中{},1,2,3,4,5,6a b ∈，若1a b -≤，就称甲乙“心有灵犀”． 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 A ．
3611
B ．
185
C ．6
1
D ．49
9． 已知函数2
()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=
A ．0
B ．100-
C ．100
D ．10200
10．过双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆422
2a y x =+的切
线，切点为E ,延长FE 交双曲线右支于点P ，若)(2
1
+=,则双曲线的离心率为
A ．
2
10 B ．
5
10 C ．10 D ．2
第Ⅱ卷（非选择题
共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案写在答题卡上。

11．一组数据中每个数据都减去80构成一组新数据，则这组新数据的平均数是2.1，方差
是4.4，则原来一组数的方差为 12．函数1)(23++-=x x x x f 在点)2,1(处的切线与函数2
)(x x g =围成的图形的面积等于
13． 若31
6
*
27
27(n n n
C C n N ++=∈的展开式中的常数项是 （用数字作答）
（2）在直角坐标系中，参数方程为为参数）t t y t x (21232⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=的直线l ，被 以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴、极坐标方程为θρcos 2=的曲线C 所截，则得的弦长是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分） 已知),cos 2,(sin ),cos ,cos 35(x x x x ==设函数
23
()||.2
f x a b b =⋅++
（Ⅰ）当[,]62
x ππ∈,求函数)(x f 的的值域； （Ⅱ）当[,]62x ππ
∈时，若)(x f =8, 求函数()12
f x π
-的值；
17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和 ,3,2,1,4232=+⋅-=n a S n n n ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n T 为数列}4{-n S 的前n 项和，求⋅n T
18．（本小题满分12分）某项计算机考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合
格时，才可继续参加科目B 的考试，已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目均
合格方快获得证书，现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率为3
4
，科目B 每次考试合格的概率为
2
3
，假设各次考试合格与否均互不影响． （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这次考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ζ，求随即变量ζ的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）如图，AC 是圆O 的直径，点B 在
圆O 上，30BAC ∠=︒，
BM AC ⊥交AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，//FC EA ， 431AC EA FC ===，，． （1）证明：EM BF ⊥； （2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分13分）如图，设F 是椭圆
22
22
1,(0)x y a b a b +=>>的左焦点，直线l 方程为c
a x 2
-=，直线l 与x 轴交于P 点，MN 为椭圆的长
轴，
已知8MN =，且||2||PM MF =．
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 求证：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠； （3） 求三角形△ABF 面积的最大值．
21．（本小题满分14分）已知函数)0()1(2
1ln )(2
≠∈-+-
=a R a x a ax x x f 且． （1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）记函数)(x F y =的图像为曲线C ．设点),(),(2211y x B y x A ，是曲线C 上不同两点． 如果在曲线C 上存在点),(00y x M 使得：①2
2
10x x x +=
；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ,则称函数)(x F 存在“中值相依切线”． 试问：函数)(x f 是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
数学试卷答案（理 科）
二、填空题 11． 4．4 12．
3
4
13． 80- 14． 1 15．（1）3 （2）3
三、解答题
（Ⅱ） 3
()5sin(2)58,sin(2)665
f x x x π
π=+
+=+=则, 6
7622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得； …………………9分 所以4
cos(2),65
x π+=- ……………10分
()12
f x π
-
=5sin 255sin(2)57.662
x x π
π=+=+
-+=+ …………………12分 17解：（Ⅰ） ∵22111-==a S a ，∴21=a ． -------2分
当2≥n 时，1--=n n n S S a ，11232--⨯+=n n n a a ，于是2
3
2211+=--n n n n a a ；------4分 令n n n a b 2=，则数列}{n
b 是首项11=b 、公差为23的等差数列，2
1
3-=n b n ； ∴)13(2
21
-==-n b a n n n
n ． -------6分
（Ⅱ） ∵2
2
23)43(24+-⨯⨯=-=-n n
n
n n n S ，
∴)222(4)22212(32
2
n
n
n n T +++-⨯++⨯+⨯= ， -------8分 记n W n
n ⨯++⨯+⨯=222122
①，则n W n n ⨯++⨯+⨯=+1
3
2
2
22122 ②，
① -②有2)1(222212112--=⨯-+++⨯=-++n n W n n n n ，
所以，随即变量ξ的分布列为
ξ
2 3 4
P
2748 1848 348
所以2718352344848482
E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………12分19． 解：（法一）（1）⊥EA 平面ABC ，⊂BM 平面ABC ， BM EA ⊥∴．………1分 又AC ，BM ⊥ A AC EA =⋂，
⊥∴BM 平面ACFE ，而⊂EM 平面ACFE ，
EM BM ⊥∴． (3)
分
AC 是圆O 的直径，90ABC ∴∠=．
又，BAC ︒=∠30 4=AC ，
，，BC AB 232==∴1,3==CM AM ．
⊥EA 平面ABC ，EA FC //，1=FC ，
⊥∴FC 平面ABCD ．
∴EAM ∆与FCM ∆都是等腰直角三角形． ︒=∠=∠∴45FMC EMA ．
︒=∠∴90EMF ，即MF EM ⊥（也可由勾股定理证得）．………………………………5分
M BM MF =⋂ ， ⊥∴EM 平面MBF ．而⊂BF 平面MBF ，⊥∴EM BF ． 6分
（2）延长EF 交AC 于G ，连BG ，过C 作CH BG ⊥，连结FH ．
由（1）知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，FC BG ∴⊥．而FC CH C ⋂=， BG ∴⊥平面FCH ．FH ⊂平面FCH ，FH BG ∴⊥，
FHC ∴∠为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角． ……………………8分
在ABC Rt ∆中， ︒=∠30BAC ，4=AC ，330sin =⋅=∴
AB BM ．
由
1
3
FC GC EA GA ==，得2GC =．3222=+=MG BM BG ．2 又GBM GCH ∆∆~ ，BM CH BG GC =∴
，则13
23
2=⨯=⋅=BG BM GC CH ． ……11分 FCH ∴∆是等腰直角三角形， 45=∠FHC ．
∴平面BEF 与平面ABC
所成的锐二面角的余弦值为
2
． ………………………12分 （法二）（1）同法一，得33==BM AM ，． ………………………3分 如图，以A 为坐标原点，垂直于AC 、AC 、AE 所在直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),3,0),(0,4,1)A M E B F ，
(0,3,3),(3,1,1)ME BF ∴=-=-．
………4分
由(0,3,3)(,1)0ME BF ⋅=-⋅=，
得⊥， BF EM ⊥∴． ……………6分 （2）由（1）知(3,3,3),(3,1,1)BE BF =--=-． 设平面BEF 的法向量为),,(z y x =，
由0,0,n
BE n BF ⋅=
⋅= 得3300
y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，
令3=
x 得1,2y z ==，
(
)
3,1,2n ∴=
， …………………………9分
由已知⊥EA 平面ABC ，所以取面ABC 的法向量为(0,0,3)AE =， 设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ
，
则cos cos ,n AE θ→
=<>=
= …………………………11分
∴平面BEF 与平面ABC
所成的锐二面角的余弦值为
2
． ………………12分 20．解：（（1） 解：∵8MN =，∴4a =，又∵||2||PM MF =，∴12
e =
，∴222
2,12c b a c ==-=，∴椭圆的标准方程为
22
11612
x y +=． …………3分
（2） 证：当AB 的斜率为0时，显然0AFM BFN ∠=∠=，满足题意， 当AB 的斜率不为0时，设AB 方程为8x my =-，
代入椭圆方程整理得：22
(34)481440m y my +-+=．
2576(4)m ∆=-，24834A B m y y m +=
+，2144
34
A B
y y m =+． 则22A B AF BF A B y y k k x x +=
+++(6)(6)
66(6)(6)
A B A B B A A B A B y y y my y my my my my my -+-=+=---- 26()
(6)(6)
A B A B A B my y y y my my -+=
--，
而22
1444826()2603434
A B A B m
my y y y m m m -+=⋅
-⋅=++ ∴0AF BF k k +=，从而AFM BFN ∠=∠．
综合可知：对于任意的割线PAB ，恒有AFM BFN ∠=∠． …………8分
ⅱ 当0a <时， ①当11a -
<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得1
0x a
<<-或1x >; ∴函数()f x 在1
(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增
②当1
1a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a
>-
∴函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增 。

6分 综上所述:⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增 ⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-
+∞上单调递增 (7)
依题意得：211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2
x x a a x x +=-⋅+-+． 化简可得： 2121ln ln x x x x --122x x =+， 即21ln x x =2121
2()x x x x -+21212(1)1x x x x -=+． …．11分 设21
x t x = （1t >），上式化为：2(1)4ln 211t t t t -==-++,4ln 21t t +=+． 令4()ln 1g t t t =++,214'()(1)g t t t =-+=2
2(1)(1)
t t t -+．因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t
在。