高中数学第一章推理与证明2综合法与分析法北师大版选修

(1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分 析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或将边 化为角，通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到 右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量．一般 遵循“化繁为简”的原则．
(2)用综合法证明不等式时，常用的基本不等式有：
①|a|≥0，a2≥0，(a±b)2≥0(a、b∈R)；
§2 综合法与分析法
课前预习学案
分析下面问题的两种证明方法：
已知a、b∈(0，＋∞)，求证：
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
证明： 证法一：∵a＞0，b＞0，
∴a＋ b
b≥2
a，
b＋ a
a≥2
b，
∴a＋ b
b＋
b＋ a
a≥2
a＋2
b，
即a＋b≥ ba
a＋
b.
证法二：a＞0，b＞0，
欲证 a ＋ b ≥ ba
N*，且m＞n，
所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等
比数列．
课堂互动讲义
用综合法证明问题
在△ABC中，三边a，b，c成等比数列．求证： acos2C2 ＋ccos2A2 ≥32b.
[思路导引]
[边听边记] 证明：∵左边＝a1＋2cos C＋c1＋2cos A ＝12(a＋c)＋12(acos C＋ccos A) ＝12(a＋c)＋12a·a2＋2ba2b－c2＋c·b2＋2cb2c－a2 ＝12(a＋c)＋12b ≥ ac＋b2＝b＋b2＝32b＝右边， ∴acos2C2 ＋ccos2A2 ≥32b.
左边等号成立的条件是ab≤0，右边等号成立的条件是
ab≥0.
1．若sin θ，sin α，cos θ成等差数列，sin θ，sin β，cos θ 成等比数列，求证：2cos 2α＝cos 2β.
证明： ∵sin θ，sin α，cos θ成等差数列， ∴sin θ＋cos θ＝2sin α① 又∵sin θ，sin β，cos θ成等比数列， ∴sin2β＝sin θcos θ②
将②代入①2，得1＋2sin2β＝4sin2α， 又sin2β＝1－c2os 2β，sin2α＝1－c2os 2α， ∴1＋1－cos 2β＝2－2cos 2α， 即2cos 2α＝cos 2β.
用框图可表示为
2．分析法
从求证的__结__论____出发，一步一步地探索保证前一个结论 成立的___充__分___条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结 为定义、公理、定理等，我们把这样的思维方法称为分析法．
(1)分析法又叫“逆推证法”或“执果索因 法”．即从“未知”看“需知”逐步靠拢“已知”．
b)2≥0，从而说明原不等式成立．
1．综合法
从 命 题 的 _条__件_____ 出 发 ， 利 用 __定__义____ 、 ___公__理___ 、 __定__理____及运算法则，通过__演__绎____推理，一步一步地接近要 证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称 为综合法．
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析： 在《不等式的性质》一章中我们接触过不等式的
解法以及简单的不等式证明，其中不等式的求解过程是等价变
形，而不等式的证明，利用综合法证明其实就是寻求必要条
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件．
答案： B
2．已知a＞b＞0，证明 a － b ＜ a－b 可选择的方法，
以下最合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．类比法
D．归纳法
解析： 首先，排除C、D.然后，比较综合法、分析法．
我们选择分析法，
欲证： a－ b＜ a－b，
只需证： a＜ b＋ a－b，
即证：a＜b＋(a－b)＋2 ba－b，
只需证：0＜2 ba－b.
答案： B
3．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角 的结论，三边a、b、c应满足的条件是_____．
解析： (1)由Sn＝3n22－n，得a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.
(2)证明：
要使得a1，an，am成等比数列，只需要a
2 n
＝
a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈
②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a＝b时，取“＝”)；
③
a＋b 2
≥
ab (a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时，取
“＝”)；
④ba＋ab≥2(a、b同号，即ab＞0)；
⑤
a2＋b2 2
≥
a＋b 2
2(a、b∈R，当且仅当a＝b时，取
“＝”)；
⑥||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a、b∈R)．
a＋
b，
只需证a a＋b b≥ ab( a＋ b)，
只需证( a＋ b)(a－ ab＋b)≥ ab( a＋ b)，
即证a－ ab＋b≥ ab，
只需证a－2 ab＋b≥0，
即证( a－ b)2≥0，
而( a－ b)2≥0显然成立，故原命题成立．
你能说明两种证法有什么不同吗？
[提示] 证法一是利用基本不等式和不等式的性质直接得 到要证的不等式成立；而证法二则是由要证的不等式出发，逐 步寻求其成立的条件，直到找到一个明显成立的条件( a －
(1)综合法又叫“顺推证法”或“由因导果 法”，是从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一 系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．
(2)综合法的思维过程： 用P表示已知条件、定义、公理、定理等． 用Q表示要证明的结论，则综合法的思维过程可表示为 P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
(2)分析法的思维过程 分析法的表达应是“要证……只要证……只需 证……”．用Q表示所要证明的结论，则分析法的思维过程可 表示为 Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ Pn⇐明显结论
用框图可表示为
1．综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求
命题成立的( )
A．充分条件
解析： 要使∠A为钝角，只需cos A＜0，由余弦定理 知，只要b2＋c2－a2＜0，即b2＋c2＜a2.
答案： b2＋c2＜a2
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n22－n，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am 成等比数列．