高中数学高考总复习推理与证明

合集下载

高中数学高考总复习推理与证明习题及详解

高中数学高考总复习推理与证明习题及详解一、选择题1．(2010·广东文，10)在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算、⊗如下：那么d ⊗(ac )＝( )A ．aB ．bC ．cD ．d [答案] A[解析] 根据运算、⊗的定义可知，a c ＝c ，d ⊗c ＝a ，故选A.2．(文)(2010·福建莆田质检)如果将1,2,3，…，n 重新排列后，得到一个新系列a 1，a 2，a 3，…，a n ，使得k ＋a k (k ＝1,2，…，n )都是完全平方数，则称n 为“好数”．若n 分别取4,5,6，则这三个数中，“好数”的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 [答案] C[解析] 5是好数，4和6都不是，∵取a 1＝3，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝5，a 5＝4，则1＋a 1＝4＝22,2＋a 2＝4＝22,3＋a 3＝4＝22,4＋a 4＝32,5＋a 5＝32.(理)(2010·寿光现代中学)若定义在区间D 上的函数f (x )，对于D 上的任意n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )≥nf ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，则称f (x )为D 上的凹函数，现已知f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( ) A ．3 B.23 C ．3 3 D. 3 [答案] C[解析] 根据f (x )＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tan A ＋tan B ＋tan C ≥3tan ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝3tan π3＝3 3.故所求的最小值为3 3.3．(文)定义某种新运算“⊗”：S ＝a ⊗b 的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝( )A ．2B ．1C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1. (理)如图所示的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合{θ|0<θ<3π2}中任取θ的一个值，输出的结果是sin θ的概率是( )A.13B.12C.23D.34 [答案] A[解析] 该程序框图的功能是比较a ，b ，c 的大小并输出最大值，因此要使输出的结果是sin θ，需sin θ>tan θ，且sin θ>cos θ，∵当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，总有tan θ>sin θ，当θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，sin θ>0，tan θ<0，cos θ<0，当θ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2时，tan θ>0，sin θ<0，故输出的结果是sin θ时，θ的范围是⎝⎛⎭⎫π2，π，结合几何概型公式得，输出sin θ的概率为π－π232π－0＝13，故选A. 4．(2010·曲师大附中)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 [答案] C[解析] 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V S －ABC ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O －SBC ，即V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，可得r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.5．(2010·辽宁锦州)类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S (x )＝a x －a －x 2，C (x )＝a x ＋a －x2，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )； ②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )； ③C (x ＋y )＝C (x )C (y )－S (x )S (y )； ④C (x －y )＝C (x )C (y )＋S (x )S (y )． A ．①③B．②④C．①④D．①②③④[答案] D[解析]实际代入逐个验证即可．如S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝a x－a－x2·a y＋a－y2＋a x＋a－x2·a y－a－y2＝14(ax＋y－a y－x＋a x－y－a－x－y＋a x＋y＋a y－x－a x－y－a－x－y)＝14(2ax＋y－2a－x－y)＝a x＋y－a－(x＋y)2＝S(x＋y)，故①成立．同理可验证②③④均成立．6．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1、2、3、4号位子上如图所示，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()第一次第二次第三次第四次A．编号1 B．编号2 C．编号3 D．编号4[答案] D[解析]根据动物换座位的规则，可得第四次、第五次、第六次、第七次换座后的结果如下图所示：第一次第二次第三次第四次据此可以归纳得到：四个小动物在换座后，每经过四次换座后与原来的座位一样，即以4为周期，因此在第2011次换座后，四个小动物的位置应该是和第3次换座后的位置一样，即小兔的座位号是4，故选D.[点评] 因为问题只求小兔座位号，故可只考虑小兔座位号的变化，用1→2表示小兔从1号位换到2号位，则小兔座位的变化规律是：3→1→2→4→3→1→2→4→3…，显见变化周期为4，又2011＝4×502＋3，故经过2011次换座后，小兔位于4号座．7．(2010·山东文)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则f (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) [答案] D[解析] 观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，选D. 8．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a 1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a 1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a 1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a 2.对实数a 2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a 3.当a 3>a 1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a 1的取值范围是( )A ．[－12,24]B ．(－12,24)C ．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－12]∪[24，＋∞) [答案] D[解析] 因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的．故由题意得即4a 1＋36，a 1＋18，a 1＋36，14a 1＋18出现的机会是均等的，由于当a 3>a 1时，甲胜且甲胜的概率为34，故在上面四个表达式中，有3个大于a 1，∵a 1＋18>a 1，a 1＋36>a 1，故在其余二数中有且仅有一个大于a 1，由4a 1＋36>a 1得a 1>－12，由14a 1＋18>a 1得，a 1<24，故当－12<a 1<24时，四个数全大于a 1，当a 1≤－12或a 1≥24时，有且仅有3个大于a 1，故选D.9．(2010·广州市)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 ………………………………A.1140B.1105C.160D.142 [答案] A[解析] 第6行从左到右各数依次为16，130，160，160，130，16，第7行从左到右各数依次为17，142，1105，1140，1105，142，17，故选A. 10．(2010·山东淄博一中)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则可推算出：EF ＝ma ＋nb m ＋n ，试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD 、BC 相交于O 点，设△OAB 、△OCD 的面积分别为S 1、S 2，EF ∥AB ，且EF 到CD 与AB 的距离之比为m n ，则△OEF 的面积S 0与S 1、S 2的关系是( )A ．S 0＝mS 1＋nS 2m ＋nB ．S 0＝nS 1＋mS 2m ＋nC.S 0＝m S 1＋n S 2m ＋nD.S 0＝n S 1＋m S 2m ＋n[答案] C[解析] 根据面积比等于相似比的平方求解．二、填空题11．(2010·盐城调研)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 12＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n12．(文)如图甲，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则AB 2＝BD ·BC ，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 中，类比射影定理，探究S △ABC 、S △BCO 、S △BCD 之间满足的关系式是________．[答案] S △ABC 2＝S △BCO ·S △BCD[解析] 根据类比推理，将线段的长推广为三角形的面积，从而得到答案．(理)(2010·湖南湘潭市)现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______．[答案] a 3813．(文)(2010·陕西理)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________．[答案] 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 [解析] 观察所给等式可以发现： 13＋23＝32＝(1＋2)2 13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2 13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2 ……推想：13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2∴第五个等式为：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋…＋6)2＝212. (理)(2010·广东省佛山顺德区质检)已知一系列函数有如下性质：函数y ＝x ＋1x 在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；函数y ＝x ＋2x 在(0，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数；函数y ＝x ＋3x 在(0，3]上是减函数，在[3，＋∞)上是增函数；…………利用上述所提供的信息解决问题：若函数y ＝x ＋3mx (x >0)的值域是[6，＋∞)，则实数m 的值是________．[答案] 2[解析] 由题目提供信息可知y ＝x ＋3mx (x >0)在(0，3m ]上是减函数，在[3m ，＋∞)上是增函数，∴当x ＝3m 时，y min ＝6，∴m ＝2.14．(文)(2010·湖南衡阳八中)如图(1)有关系S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′·PB ′P A ·PB ，则如图(2)有关系V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝________.[答案]P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC[解析] 根据类比推理，将平面上三角形的结论，推广到空间，即V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝P A ′·PB ′·PC ′P A ·PB ·PC.简证如下：设B ′、B 到平面P AC 的距离分别为h 、H ，则h H ＝PB ′PB .又已知S △P A ′C ′S △P AC＝P A ′·PC ′P A ·PC ，∴V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝13S △P A ′C ′·h13S △P AC·H ＝P A ′·PC ′·PB ′P A ·PC ·PB .(理)(2010·江苏姜堰中学)如图①，数轴上A (x 1)、B (x 2)，点P 分AB 成两段长度之比APPB ＝λ，则点P 的坐标x P ＝x 1＋λx 21＋λ成立；如图②，在梯形ABCD 中，EF ∥AD ∥BC ，且AEEB ＝λ，则EF ＝AD ＋λ·BC 1＋λ. 根据以上结论作类比推理，如图③，在棱台A 1B 1C 1－ABC 中，平面DEF 与平面ABC 平行，且A 1DDA ＝λ，△A 1B 1C 1、△DEF 、△ABC 的面积依次是S 1，S ，S 2，则有结论：________________________.[答案]S ＝S 1＋λS 21＋λ[解析] 将三棱台补成棱锥P －ABC ，不妨令P A 1＝m ，DA ＝n ，则A 1D ＝nλ，那么，由S 1S ＝m m ＋nλ，得m ＝n S 1S －S 1，又由S S 2＝m ＋nλm ＋n (λ＋1)，得m ＋nλ＝n SS 2－S， ∴nλS 1S －S 1＋nλ＝n SS 2－S，∴S λS －S 1＝SS 2－S，由此得S ＝S 1＋λS 21＋λ.三、解答题15．(2010·瑞安中学)用分析法．．．证明：3－2>5－ 4. [证明] 证法1：要证3－2>5－4成立， ∵3－2>0，5－4>0，∴只要证(3－2)2>(5－4)2成立．即证5－26>9－220成立．即证－26>4－220成立，只须证6<－2＋20成立．∵20－2>0，故只须证6<24－420成立．即证9>220成立，即证81>80成立．最后一个不等式显然成立，以上步步可逆，故原不等式成立．证法2：要证3－2>5－4成立，只须证3＋4>5＋2成立，只须证7＋212>7＋210成立，即证12>10成立，即证12>10成立，最后一个不等式显然成立，故原结论成立．16．(文)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n，n 为偶数a n＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n＝1,2,3，….(1)求a 2，a 3；(2)判断{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38.∴a 5＝12a 4＝14a ＋316. ∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0， b 2＝a 3－14＝12⎝⎛⎭⎫a －14， b 3＝a 5－14＝14⎝⎛⎭⎫a －14. 猜想{b n }是公比为12的等比数列．证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝⎛⎭⎫a 2n －1＋14－14 ＝12⎝⎛⎭⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)． ∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列． (理)(2010·湖南文)给出下面的数表序列：表1 表2 表3 …1 1 3 1 3 54 4 812其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．(1)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)；(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列，1,4,12，…，记此数列为{b n }．求和：b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1(n ∈N *)． [解析] (1)表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．简证如下(对考生不作要求)首先，表n (n ≥3)的第1行1,3,5，…，2n －1是等差数列，其平均数为1＋3＋…＋(2n －1)n＝n ；其次，若表n 的第k (1≤k ≤n －1)行a 1，a 2，…，a n －k ＋1是等差数列，则它的第k ＋1行a 1＋a 2，a 2＋a 3，…，a n －k ＋a n －k ＋1也是等差数列．由等差数列的性质知，表n 的第k 行中的数的平均数与第k ＋1行中的数的平均数分别是a 1＋a n －k ＋12，a 1＋a 2＋a n －k ＋a n －k ＋12＝a 1＋a n －k ＋1.由此可知，表n (n ≥3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．(2)表n 的第1行是1,3,5，…，2n －1，其平均数是1＋3＋5＋…＋(2n －1)n＝n . 由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列(从而它的第k 行中的数的平均数是n ·2k －1)，于是，表n 中最后一行的唯一一个数为b n ＝n ·2n －1.因此b k ＋2b k b k ＋1＝(k ＋2)2k ＋1k ·2k －1·(k ＋1)·2k ＝k ＋2k (k ＋1)·2k －2＝2(k ＋1)－k k (k ＋1)·2k －2＝1k ·2k －3－1(k ＋1)·2k －2(k ＝1,2,3，…，n ) 故b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫11×2－2－12×2－1＋⎝⎛⎭⎫12×2－1－13×20＋…＋⎣⎡⎦⎤1n ×2n －3－1(n ＋1)×2n －2 ＝11×2－2－1(n ＋1)×2n －2＝4－1(n ＋1)×2n －2. 17．(文)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1(m ∈N *)成等差数列，试判断S m ，S m ＋2，S m ＋1是否成等差数列，并证明你的结论．[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (a 1≠0，q ≠0)，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1.∴2a 1q m ＋1＝a 1q m －1＋a 1q m .∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0.解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，∵S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，∴2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1.∴当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．证明如下：证法1：∵(S m ＋S m ＋1)－2S m ＋2＝(S m ＋S m ＋a m ＋1)－2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝－a m ＋1－2a m ＋2＝－a m ＋1－2qa m ＋1＝－a m ＋1－2a m ＋1⎝⎛⎭⎫－12＝0， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．证法2：∵2S m ＋2＝2a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋21＋12＝43a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2，又S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m 1＋12＋a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋11＋12＝23a 1⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫－12m －⎝⎛⎭⎫－12m ＋1 ＝23a 1⎣⎡⎦⎤2－4⎝⎛⎭⎫－12m ＋2＋2⎝⎛⎭⎫－12m ＋2 ＝43a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列． (理)已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：函数f (x )在R 上是增函数；(2)若关于x 的不等式f (x 2－ax ＋5a )<2的解集为{x |－3<x <2}，求f (2010)的值；(3)在(2)的条件下，设a n ＝|f (n )－14|(n ∈N *)，若数列{a n }从第k 项开始的连续20项之和等于102，求k 的值．[解析] (1)证明：设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0. f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．(2)设f (b )＝2，于是不等式化为f (x 2－ax ＋5a )<f (b )．则x 2－ax ＋5a <b ，即x 2－ax ＋5a －b <0.∵不等式f (x 2－ax ＋5a )<2的解集为{x |－3<x <2}．∴方程x 2－ax ＋5a －b ＝0的两根为－3和2，于是⎩⎪⎨⎪⎧ －3＋2＝a －3×2＝5a －b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，∴f (1)＝2. 在已知等式中令x ＝n ，y ＝1得，f (n ＋1)－f (n )＝1.所以{f (n )}是首项为2，公差为1的等差数列．f (n )＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，故f (2010)＝2011.(3)a k ＝|f (k )－14|＝|(k ＋1)－14|＝|k －13|.设从第k 项开始的连续20项之和为T k ，则T k ＝a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19.当k ≥13时，a k ＝|k －13|＝k －13，T k ≥T 13＝0＋1＋2＋3＋…＋19＝190>102.当k <13时，a k ＝|k －13|＝13－k .T k ＝(13－k )＋(12－k )＋…＋1＋0＋1＋…＋(k ＋6)＝k 2－7k ＋112.令k 2－7k ＋112＝102，解得k ＝2或k ＝5.[点评] 当k ≥13时，a k ＝|k －13|＝k －13，令T k ＝20(k －13)＋20×192×1＝102，无正整数解，故k ≥13时，T k 不可能取值为102.。

高中数学推理与证明

高中数学推理与证明
高中数学推理与证明是数学学科中的一个重要的分支，是对数学知识进行深入理解和
应用的过程。

它主要涉及数学概念、定理、公式的推导和证明，以及解决相关问题的
推理过程。

高中数学推理与证明的内容主要包括以下几个方面：
1. 数学概念的推导与证明：这部分内容主要涉及数学概念的定义和性质的推导与证明，比如数列的定义和性质、三角函数的定义和性质等。

2. 定理和公式的推导与证明：这部分内容主要涉及数学中的重要定理和公式的推导和
证明，比如数列极限的性质、导数的定义和性质、三角函数的和差化积公式等。

3. 问题的推理和证明：这部分内容主要涉及数学问题的推理和证明，比如证明题、数
学建模题等。

高中数学推理与证明的方法主要包括以下几种：
1. 直接证明法：即通过已知条件和基本推理规则，直接推导出需要证明的结论。

2. 反证法：即假设需要证明的结论不成立，然后通过逻辑推理，推导出矛盾的结论，
从而证明原命题成立。

3. 数学归纳法：用于证明对于一切自然数都满足的性质，通过证明当n取某个特定值
时结论成立，再证明如果n取某个值时结论成立，则结论对一切自然数都成立。

4. 矛盾法：即假设结论不成立，然后通过逻辑推理得到矛盾的结论，从而证明结论成立。

总结来说，高中数学推理与证明是通过运用数学知识、逻辑推理和推导方法，对数学概念、定理、公式等进行深入理解和应用的过程，旨在培养学生的逻辑思维能力和创新精神。

高中数学中的数学推理与证明方法讲解

高中数学中的数学推理与证明方法讲解数学是一门严谨而又精确的学科，其中的推理与证明方法是数学学习中的重要内容。

在高中数学中，学生需要通过推理和证明来解决问题，提高数学思维能力和逻辑思维能力。

本文将从数学推理的基本概念开始，逐步介绍高中数学中常用的数学推理与证明方法。

一、数学推理的基本概念数学推理是指通过逻辑推理和演绎法来得出结论的过程。

在数学中，推理分为直接推理和间接推理两种形式。

1. 直接推理直接推理是通过已知的命题和已知的推理规则，从已知的前提出发，推导出结论的过程。

直接推理是数学证明中最基本和常用的推理方法之一。

例如，已知命题“若a=b，b=c，则a=c”，我们可以通过直接推理得出结论“若a=b，b=c，则a=c”。

2. 间接推理间接推理是通过反证法来进行推理的方法。

当我们无法通过直接推理得出结论时，可以尝试使用间接推理。

间接推理的基本思想是假设所要证明的结论不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明所要证明的结论是成立的。

例如，要证明命题“根号2是无理数”，可以采用反证法，假设根号2是有理数，然后通过推理得出矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。

二、数学推理与证明方法在高中数学中，有许多常用的数学推理与证明方法。

下面将介绍其中几种常见的方法。

1. 数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，适用于证明一些具有递推关系的命题。

数学归纳法的基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，由此可得出结论：对于任意正整数n，命题都成立。

例如，要证明命题“1+2+3+...+n=n(n+1)/2”，可以使用数学归纳法。

首先，当n=1时，命题成立；然后假设当n=k时命题成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2成立；再证明当n=k+1时命题也成立，即1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2成立。

由此可得出结论：对于任意正整数n，命题都成立。

高三数学证明题推理方法

高三数学证明题推理方法数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。

下面就是小编给大家带来的高三数学证明题推理方法，希望大家喜欢!一、合情推理1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论;2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。

在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

二、演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。

三、直接证明与间接证明直接证明是相对于间接证明说的，综合法和分析法是两种常见的直接证明。

综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(或顺推证法、由因导果法)。

分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法。

间接证明是相对于直接证明说的，反证法是间接证明常用的方法。

假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

四、数学归纳法数学上证明与自然数 N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

一、分类记忆法遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。

例如求导公式有 18 个，就可以分成四组来记： (1)常数与幂函数的导数(2 个); (2)指数与对数函数的导数(4 个); (3)三角函数的导数(6 个); (4)反三角函数的导数(6 个)。

高中数学推理与证明在数学中的重要性

高中数学推理与证明在数学中的重要性在数学学习中，推理与证明是非常重要的部分。

它们不仅帮助我们深入理解数学的基本概念，还培养了我们的逻辑思维和分析能力。

本文将探讨高中数学推理与证明的重要性，并说明如何在学习中加以应用。

一、推理与证明的定义与概念推理是以已知事实或前提为基础，通过逻辑推演得出结论的过程。

证明是利用推理方法和规则，用逻辑推理的方法给出结论的过程。

推理与证明在数学中具有重要地位，是数学发展的基础。

二、推理与证明的重要性1. 培养逻辑思维能力：推理与证明能够激发学生的逻辑思维，使其在解决问题时能够运用正确的思维方法。

通过推理与证明，学生能够培养出严谨、缜密的思考方式，提高解决问题的能力。

2. 巩固数学知识：推理与证明是对数学知识进行运用和巩固的重要手段。

通过推理与证明，学生能够深入理解数学概念和定理，巩固自己的数学基础。

3. 提高问题解决能力：推理与证明能够培养学生的问题解决能力。

在推理与证明的过程中，学生需要进行问题分析、思考和推导，在不断思考问题的过程中提高了自己的问题解决能力。

4. 培养创新意识：推理与证明能够培养学生的创新意识。

在推理与证明的过程中，学生需要运用自己的思维和创新能力来解决问题，从而培养出创新的思维方式和方法。

三、推理与证明的应用示例1. 数学定理证明：通过推理与证明，学生可以给出数学定理的证明过程，展示数学问题的解决思路和方法。

2. 几何问题解决：在几何学中，推理与证明是解决问题的重要手段。

通过推理与证明，学生能够解决诸如相似三角形、平行线性质等几何问题。

3. 数学问题求解：在数学解题中，学生常常需要利用推理与证明的方法来解决问题。

通过推理与证明，学生能够更好地解决各类数学问题，提高解题效率。

四、推理与证明在高考中的重要性在高考中，推理与证明是数学考试的重点内容之一。

通过解答推理与证明题目，考生需要运用自己的推理能力和证明方法来解决问题，展示出对数学的理解和运用能力。

高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析

高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析在高中数学中，推理证明题是一种常见的题型，要求学生运用已知的条件和基本的数学知识，通过逻辑推理和证明方法来得出结论。

这类题目不仅考察学生的数学思维能力，还培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。

本文将介绍一些常用的证明方法，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过逻辑推理和运用已知条件来得出结论。

具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。

2. 其次，我们要分析已知条件，找到与结论相关的条件和信息。

3. 然后，我们要根据已知条件和结论，通过逻辑推理和数学运算，一步一步地推导出结论。

4. 最后，我们要对证明过程进行总结，确保每一步的推理都是合理的，并且符合数学规律。

下面通过一个具体的例子来说明直接证明法的应用。

【例题】已知：直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC。

证明：∠ABC=45°。

【解析】根据已知条件，我们可以得到∠B=90°和AB=BC。

接下来，我们通过直接证明法来证明∠ABC=45°。

由于∠B=90°，所以∠ABC+∠BCA=90°。

（三角形内角和定理）又因为AB=BC，所以∠BCA=∠ABC。

（等腰三角形的性质）将上述两个等式带入∠ABC+∠BCA=90°中，得到∠ABC+∠ABC=90°。

化简得到2∠ABC=90°，即∠ABC=45°。

因此，我们通过直接证明法证明了∠ABC=45°。

二、间接证明法间接证明法是一种通过反证法来证明结论的方法。

它假设结论不成立，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而反驳了假设，证明了结论的正确性。

具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。

2. 其次，我们要假设结论不成立，即假设反面命题成立。

2020高中数学第二章推理与证明 2. 数学归纳法讲义 2-2

2.3 数学归纳法1．数学归纳法的内容如下:一个错误!与正整数有关的命题，如果(1）错误!当n取第一个值n0（例如n0＝1或n0＝2等）时结论正确,(2）错误!假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0)时结论正确,能够证明当n＝k＋1时结论也正确,那么可以断定错误!这个命题对n∈N＊且n≥n0的所有正整数都成立．2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是错误!递推的基础，第二步的作用是错误!递推的依据．3．数学归纳法实质上是错误!演绎推理法的一种，它是一种错误!严格的证明方法，它只能错误!证明结论,不能发现结论，并且只能证明错误!与正整数相关的命题．4．常把归纳法和数学归纳法结合起来,形成错误!归纳—猜想-证明的思想方法，既可以错误!发现结论，又能错误!给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法．5．用数学归纳法证明命题时，两步错误!缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用错误!归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然,知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1）有n个骨牌排成如图所示的一排,现推倒第一张骨牌，会有什么现象?（2）要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度）（3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果?(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下）（4）如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5）能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是:①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下）错误!错误!错误!错误!错误!错误!…运用类比的方法,我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华,进而得到数学归纳法证明的步骤：（1)当n＝1时，结论成立；（2)假设当n＝k时结论成立,证明n＝k＋1时结论也必定成立．错误!错误!错误!错误!错误!错误!…1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×")（1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．（)(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.（)（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )答案(1)×(2）×(3）√2．做一做（1)已知f（n）＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则f（n）共有________项，f(2)＝________。

【高中数学】推理与证明

【高中数学】推理与证明知识讲解归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；(3)证明（视题目要求，可有可无）。

类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验猜想。

合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。

归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.2. 演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。

演绎推理的一般模式---“三段论”，包括：(1)大前提----已知的一般原理；(2)小前提----所研究的特殊情况；(3)结论----据一般原理，对特殊情况做出的判断.3. 直接证明与间接证明(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。

要点：顺推证法，由因导果。

(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法，执果索因。

(3)反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法，它是一种间接的证明方法。

反证法法证明一个命题的一般步骤： ①（反设）假设命题的结论不成立；②（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； ③（归谬）断言假设不成立；④（结论）肯定原命题的结论成立.4. 数学归纳法：数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤：(1)（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；(2)（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.课堂练习1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f (2n )>2n ＋12B ．f (n 2)≥n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．以上都不对3．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α，则直线b ∥直线a ”，结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误4．若点P 是正四面体A －BCD 的面BCD 上一点，且P 到另三个面的距离分别为h 1，h 2，h 3，正四面体A －BCD 的高为h ，则( )A ．h >h 1＋h 2＋h 3B ．h ＝h 1＋h 2＋h 3C ．h <h 1＋h 2＋h 3D ．h 1，h 2，h 3与h 的关系不定5．下图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )A ．25B ．66C ．91D ．1206．已知等差数列{a n }中，a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，那么等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式_ 成立。

高三数学复习第六章不等式、推理与证明

数学(6省专版)
演练知能检测
第一节
不等关系与不等式
[归纳· 知识整合]
回扣主干知识
突破热点题型
1．比较两个实数大小的法则设a，b∈R，则 a－b＞0 (1)a＞b⇔ ； a－b＝0 (2)a＝b⇔ ； a－b＜0 (3)a＜b⇔ . 2．不等式的基本性质性质对称性传递性可加性性质内容 a>b⇔_____ b<a a>b，b>c⇒______ a>c 注意 ⇔ ⇒ ⇔
[例3] 个结论： (1)(2012· 湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三
提升学科素养
突破热点题型
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是 ( )
演练知能检测
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
数学(6省专版)
＝(x－1)2＋1>0， ∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.
演练知能检测
数学(6省专版)
第一节
不等关系与不等式
回扣主干知识
aa－b aabb a－b b－a a－b 1 a－b (2)abba＝a b ＝a b ＝b . aa－b a ∵当a>b，即a－b>0，b>1时，b >1，
第一节
不等关系与不等式
c d (2)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， a － b >0(其中a，
回扣主干知识
b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 ( )

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》技巧及练习题附答案解析

【高中数学】数学《推理与证明》试卷含答案一、选择题1．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯；第二行第一个数为：1422=⨯；第三行第一个数为：21232=⨯；第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；故选C ．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（）A ．13311x y +=B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += 【答案】C【解析】【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上，故可得21009199a +=，解得2110a =；由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C. 【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．6．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.7．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符．故选：D ．【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.9．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度，结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案．【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >，类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立．故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n+，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（） A ．k 3+1B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

2023年高考数学(理科)一轮复习课件——推理与证明

索引
常用结论
1.合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明.
2.在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误.
3.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件.
4.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.
B.3(2n＋2) D.(n＋2)(n＋3)
索引
解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，…… 由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3).
，则8 771用算筹应表
示为( ) C
中国古代的算筹数码
A.
B.
C.
D.
索引
解析由算筹的定义，得
所以8 771用算筹应表示为
.
索引
(2)“正三角形的内切圆半径等于此正三角的高的31”，拓展到空间，类比平面
几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( C )
1
1
A.2
B.3
1
1
索引
感悟提升
1.归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号. (2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律. (3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性. 2.类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等. 3.演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提.

高中数学第二章推理与证明全章归纳总结新人教A版选修1-2

第二章推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为任何推理包括和两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们是什么，是根据前提推得的命题，它告诉我们是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的现象，归纳所得的结论是尚属未知的现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象）所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)

高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题：甲：直线l 经过点(0,1)-；乙：直线l 经过点(1,0)；丙：直线l 经过点(1,1)-；丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+．则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边．所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=．证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ．这两个球的半径比为：:R r ，表面积比为：22224:4:R r R r ππ=，体积比为：333344::33R r R r ππ=，所以，两个球是相似体．故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++，当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++，故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++，故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0，而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+．故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同，从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+，故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，当63n =时，()6363120162⨯+=，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=，即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯，即11122-=，故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈，这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈，由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++．证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=，则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。

高中数学解题方法第十六章推理与证明

1 (n N ) ， f (n) (1 a1 )(1 a 2 ) (1 a n ) ， (n 1) 2
试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值，推测出 f (n) 的值。（2）类比推理由两类对象具有的某些类似的属性和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，是有特殊到特殊的推理，简称为类比推理。例 3.在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到相应三边的距离分别为 pa,pb,pc,我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论. （3）演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫做演绎推理，简言之，演绎推理是一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括在；大前提----------已知的一般原理；小前题----------所研究的特殊情况；结论--------根据一般原理，对特殊情况作出判断。 “三段论”可以表示为：大前提：M 是 P；小前提：S 是 M；结论：S 是 P。 2、合情推理与演绎推理的区别
*
am a bm b
72 5
1 4
这种证明方法叫做数学归纳法．例如：在数列{ a n }中, a1 ＝1, a n 1 再推测通项 a n 的公式, 最后证明你的结论．又如：用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝ n ．
2
an * (n∈ N ), 先计算 a 2 ， a 3 ， a 4 的值， 1 an
pa pb pc 1 ha hb hc
项目
内容
合情推理
演绎推理
归纳推理推理形式部分到整体，个别到一般推理所得结论
类比推理特殊到特殊一般到特殊

高中数学中的推理与证明方法详解

高中数学中的推理与证明方法详解数学是一门需要逻辑推理和证明的学科，而在高中数学中，推理和证明方法是学习的重点之一。

本文将详细介绍高中数学中常用的推理与证明方法，帮助学生更好地理解和应用。

一、直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一，在数学中经常使用。

它的基本思想是通过已知条件和已有定理，推导出所要证明的结论。

这种证明方法通常分为两步：先列出已知条件和已有定理，再根据这些条件和定理推导出结论。

例如，我们要证明一个几何定理：“在等腰三角形中，底角的两边相等。

”首先，我们列出已知条件：三角形ABC是等腰三角形，AB=AC。

然后，根据这些已知条件，我们可以推导出结论：∠ABC=∠ACB，即底角的两边相等。

二、间接证明法间接证明法是另一种常用的证明方法，它的基本思想是通过反证法，假设所要证明的结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

例如，我们要证明一个数论定理：“如果一个整数的平方是奇数，则这个整数本身也是奇数。

”我们假设存在一个整数n，使得n^2是奇数，但n本身是偶数。

根据假设，我们可以得出结论：存在整数k，使得n=2k。

然而，根据等式n^2=(2k)^2=4k^2，我们可以得出结论：n^2是偶数，与已知条件矛盾。

因此，我们可以推断出原命题的正确性。

三、数学归纳法数学归纳法是一种用于证明数列、等式和不等式等的方法。

它的基本思想是通过证明当n为某个特定值时结论成立，再证明当n=k时结论成立时，可以推导出当n=k+1时结论也成立。

例如，我们要证明一个数列的等差性质：“对于等差数列a1, a2, a3, ...，有an=a1+(n-1)d。

”首先，我们验证当n=1时结论成立：a1=a1+(1-1)d，等式成立。

然后，假设当n=k时结论成立，即ak=a1+(k-1)d。

我们再来验证当n=k+1时结论是否成立：ak+1=a1+(k-1)d+d=a1+kd。

由此可见，当n=k+1时结论也成立。

因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于等差数列a1, a2, a3, ...，有an=a1+(n-1)d。

高中数学高考42第七章不等式、推理与证明 7 6 直接证明与间接证明

跟踪训练 2 已知 a>0，证明： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
师生共研
题型三反证法的应用
例 3 设 a>0，b>0，且 a＋b＝1a＋1b.证明： (1)a＋b≥2；
证明由 a＋b＝1a＋1b＝aa＋bb，a>0，b>0，得 ab＝1.
由基本不等式及ab＝1，
有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2，当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立.
7.如果 a a＋b b>a b＋b a成立，则 a，b 应满足的条件是_a_≥__0_，__b_≥__0_且__a_≠__b_. 解析 ∵a a＋b b－(a b＋b a) ＝ a(a－b)＋ b(b－a) ＝( a－ b)(a－b) ＝( a－ b)2( a＋ b). ∴当 a≥0，b≥0 且 a≠b 时，( a－ b)2( a＋ b)>0. ∴a a＋b b>a b＋b a成立的条件是 a≥0，b≥0 且 a≠b.
(1)证明：数列T1n是等差数列；证明 ∵an＋1＝TTn＋n 1＝11－－aan＋n 1 ⇒ an＋1 ＝ 1 ⇒ 1 － 1 ＝1，
1－an＋1 1－an 1－an＋1 1－an
∴Tn1＋1－T1n＝1，
又∵T1＝1－a1＝a1， ∴a1＝12，∴T11＝1－1 a1＝2， ∴数列T1n是以 2 为首项，公差为 1 的等差数列.
师生共研
题型一综合法的应用
例1 已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证： (1) a＋ b＋ c≤ 3；证明 ∵( a＋ b＋ c)2＝(a＋b＋c)＋2 ab＋2 bc＋2 ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)
＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，
∴ a＋ b＋ c≤ 3(当且仅当 a＝b＝c 时取等号).

高考数学不等式、推理与证明、复数(含高考真题)

高中数学不等式、推理与证明、复数（含高考真题及解析）1．【2022年全国甲卷】若z=1+i．则|i z+3z̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为z=1+i，所以i z+3z̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i z+3z̅|=√4+4=2√2．故选：D.2．【2022年全国甲卷】若z=−1+√3i，则zzz̅−1=（）A．−1+√3i B．−1−√3i C．−13+√33iD．−13−√33i【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】z̅=−1−√3i,zz̅=(−1+√3i)(−1−√3i)=1+3=4.z zz̅−1=−1+√3i3=−13+√33i故选：C3．【2022年全国乙卷】设(1+2i)a+b=2i，其中a,b为实数，则（）A．a=1,b=−1B．a=1,b=1C．a=−1,b=1D．a=−1,b=−1【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．因为a,b∈R，(a+b)+2a i=2i，所以a+b=0,2a=2，解得：a=1,b=−1．故选：A.4．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件{x+y⩾2,x+2y⩽4,y⩾0,则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，所以z max=2×4−0=8.故选：C.5．【2022年全国乙卷】已知z=1−2i，且z+az̅+b=0，其中a，b为实数，则（）A．a=1,b=−2B．a=−1,b=2C．a=1,b=2D．a=−1,b=−2【答案】A【解析】先算出z̅,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】z̅=1+2iz +az̅+b =1−2i +a(1+2i )+b =(1+a +b)+(2a −2)i由z +az̅+b =0,得{1+a +b =02a −2=0 ,即{a =1b =−2 故选:A6．【2022年新高考1卷】若i (1−z)=1，则z +z̅=（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z +z̅. 【详解】由题设有1−z =1i =i i2=−i ，故z =1+i ，故z +z̅=(1+i )+(1−i )=2，故选：D7．【2022年新高考2卷】(2+2i )(1−2i )=（） A ．−2+4i B ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法可求(2+2i )(1−2i ). 【详解】(2+2i )(1−2i )=2+4−4i +2i =6−2i ，故选：D.8．【2022年北京】若复数z 满足i ⋅z =3−4i ，则|z |=（） A ．1 B ．5C ．7D ．25【答案】B 【解析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．【详解】由题意有z=3−4ii =(3−4i)(−i)i⋅(−i)=−4−3i，故|z|=√(−4)2+(−3)2=5．故选：B．9．【2022年浙江】已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（）A．a=1,b=−3B．a=−1,b=3C．a=−1,b=−3D．a=1,b=3【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+b i，而a,b为实数，故a=−1,b=3，故选：B.10．【2022年浙江】若实数x，y满足约束条件{x−2≥0,2x+y−7≤0,x−y−2≤0,则z=3x+4y的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线3x +4y −z =0过A 时z 有最大值. 由{x =22x +y −7=0可得{x =2y =3，故A(2,3)，故z max =3×2+4×3=18，故选：B.11．【2022年浙江】已知a,b ∈R ，若对任意x ∈R,a|x −b|+|x −4|−|2x −5|≥0，则（） A ．a ≤1,b ≥3 B ．a ≤1,b ≤3 C ．a ≥1,b ≥3 D ．a ≥1,b ≤3【答案】D 【解析】【分析】将问题转换为a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有a|x −b|≥|2x −5|−|x −4|恒成立．设f(x)=a|x −b|，g(x)=|2x −5|−|x −4|={1−x,x ≤523x −9,52<x <4x −1,x ≥4，即f(x)的图像恒在g(x)的上方（可重合），如下图所示：由图可知，a≥3，1≤b≤3，或1≤a<3，1≤b≤4−3a≤3，故选：D．12．【2022年新高考2卷】（多选）若x，y满足x2+y2−xy=1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为ab≤(a+b2)2≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，(x+y)2−1=3xy≤3(x+y2)2，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；由x2+y2−xy=1可变形为(x2+y2)−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y =±1时取等号，所以C正确；因为x2+y2−xy=1变形可得(x−y2)2+34y2=1，设x−y2=cosθ,√32y=sinθ，所以x=cosθ+√3y=√3，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ√3=1+√3−13cos2θ+13=43+23sin(2θ−π6)∈[23,2]，所以当x=√33,y=−√33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．故选：BC ．1．（2022·北京四中三模）在复平面内，复数12iiz -=对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则求复数z 的代数形式，根据复数的几何意义确定对应点的象限. 【详解】()()()12i i 12i 2i i i i z -⋅--===--⋅-，所以复数z 在复平面上的对应点为()2,1--，该点在第三象限. 故选：C.2．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知复数23i i i 1iz ++=+，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，进而可求z z ⋅. 【详解】∵()()23i i i 11i 11i 1i 1i 1i 1i 22z ++--+====-++++-，所以1111111i i =2222442z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B ．3．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））复数z 满足()12i 3i z +=-，则z 的虚部为（） A ．75-B ．7i 5-C ．7i 5D ．15【答案】A 【解析】【分析】化简方程求出复数z 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部. 【详解】因为()12i 3i z +=-，所以()()()()3i 12i 3i 17i 17i 12i 12i 12i 555z ----====-++-，所以复数z 的虚部为75-，故选：A.4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））观察下列等式，3211=，332123+=，33321236++=，33332123410+++=，根据上述规律，3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=（） A ．43224n n n ++B ．43224n n n ++C ．43224n n n -+D ．43224n n n -+【答案】B 【解析】【分析】根据3211=，23()212=+，26()2123=++，210()21234=+++，观察其规律，可得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++.【详解】3211=，332123+=()212=+，33321236++=()2123=++， 33332123410+++=()21234=+++，根据上述规律，得3333333123456n ++++++⋅⋅⋅+=()21234n +++++2(1)2n n +⎛⎫= ⎪⎝⎭=43224n n n++. 故选：B.5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若复数z 满足1i 1i z -=+（），则z =（） A ．i - B ．i C ．1 D ．1-【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求得复数z ，继而可得其共轭复数. 【详解】由题意1i 1i z -=+（），得21i (1i)i 1i 2z ++===-，故i z =-，故选：A6．（2022·四川眉山·三模（文））由若干个完全一样的小正方体无空隙地堆砌（每相邻两层堆砌的规律都相同）成一个几何体，几何体部分如图所示.用下面公式不能计算出该几何体三视图中所看到的小正方体或全部小正方体个数的是（）A ．()1122n n n +++⋅⋅⋅+=B ．()21321n n ++⋅⋅⋅+-=C ．()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=D ．()223331124n n n +++⋅⋅⋅+=【答案】D 【解析】【分析】计算正视图或左视图看到的小正方形的个数是相同的，再计算俯视图中看到的小正方形的个数和几何体的全部小正方体个数即可. 【详解】从正视图或左视图可以看出小正方形的个数为()1122n n n +++⋅⋅⋅+= 从俯视图可以看到小正方形的个数为()21321n n ++⋅⋅⋅+-=几何体的全部小正方体个数为()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=故选：D.7．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（） A ．c ca b> B ．2ab b < C ．12a b a b-+≥- D ．1111a b <-- 【答案】C 【解析】【分析】由0a b >>，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A ，因为110,0a b a b>><<，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为0a b >>，所以2ab b >，故B 错误；对于选项C ，依题意0a b >>，所以10,0a b a b ->>-，所以12a b a b-+≥=-，故C 正确；对于选项D ，因为10,111,1a b a b a >>->->--与11b -正负不确定，故大小不确定，故D 错误；故选：C.8．（2022·山东泰安·模拟预测）已知42244921x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（）A ．2B ．127 C ．52D ．3【答案】A 【解析】【分析】对原式因式分解得()()2222421x y x y ++=，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】由42244921x x y y ++=，得()()222222222222425342122x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222453x y ≤+，所以22532x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即22337y x ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是2. 故选：A.9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数a ，b 满足()2log 1,01a a b a +=<<，则21log 4b a a -的最小值为（） A ．0 B ．1- C ．1 D ．不存在【答案】A 【解析】【分析】由题设条件可得2log 1a b a =-，从而利用换底公式的推论可得21log 1b a a =-，代入要求最小值的代数式中，消元，利用均值不等式求最值【详解】2log 1a a b +=2log 1a b a ⇒=-21log 1b a a ⇒=- 又01a <<，则2011a <-<()()22211log 11441b a a a a -=+---10≥=当且仅当()221141a a =--即a = 故选：A10．（2022·全国·模拟预测）已知正实数x ，y 满足()21x y =，则2x y+的最小值为（） A ．1 B ．2C ．4D ．32【答案】B【解析】【分析】将已知的式子12x y ==()f t t =0t >，的单调性，从而可得12x y =，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果【详解】因为()21x y =，所以12x y ==设()f t t =0t >，易知()f t t =()0,∞+上单调递增，故12x y =，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=，当且仅当2x y =时取等号，所以2x y +的最小值为2．故选：B ．【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题11．（2022·北京·101中学三模）设m 为实数，复数1212i,3i z z m =+=+（这里i 为虚数单位），若12z z ⋅为纯虚数，则12z z +的值为______．【答案】【解析】【分析】先根据12z z ⋅为纯虚数计算出m 的值，再计算12z z + ，最后计算12z z +的值【详解】1212i,3i z z m =+=+，23i z m ∴=-12(12i)(3i)3i 2i 6(6)(23)i z z m m m m m ⋅=+-=-++=++-∴ 12z z ⋅为纯虚数 606m m ∴+=⇒=-12(12i)(63i)55i z z ∴+=++-+=-+12z z ∴+故答案为：12．（2022·全国·模拟预测）已知正数a ，b 满足21a b +=，则2221a b ab++的最小值为______．【答案】4##4+【解析】【分析】根据题意得()222222221a b a b a b ab ab+++++=，再化简整理利用基本不等式求解即可. 【详解】()22222222221246a b a b a b a ab b ab ab ab+++++++==26444a b b a =++≥=，当且仅当2621a bba ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3a =，2b =故答案为：4.13．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知正数,,a b c ，则2222ab bca b c +++的最大值为_________．【解析】【分析】将分母变为222212233a b b c ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别利用基本不等式即可求得最大值.【详解】2222222122233abbc ab bca b ca b b c++=≤++⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当=c=时取等号），2222ab bca b c+∴++14．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：图1，正三角形的边长为1，在各边取两个三等分点，往外再作一个正三角形，得到图2中的图形；对图2中的各边作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形，记第n个图形（图1为第一个图形）中的所有外围线段长的和为n c，则满足12381nc c c c++++>的最小正整数n的值为______.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】9【解析】【分析】根据图形变化规律分析出n c的通项公式，然后求和确定.【详解】由图形变化规律可得11231643,4,,,3()33nnc c c c-===⋅⋅⋅=⨯，12343(1())439(()1)814313nnnc c c c-++++==->-，则有441()10lg()lg108.006332lg2lg3n n n>⇒>⇒>=-，所以最小正整数n的值为9.故答案为：9.15．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若i为虚数单位，复数z满足11iz≤++≤则1i z --的最大值为_______.【答案】【解析】【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤≤1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果. 【详解】复数z 满足11z i ≤++()11i z ≤---≤即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足1d ≤设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值||||AP CP ==故答案为：。

高中数学高考总复习推理与证明