高考数学推理与证明
高考数学推理与证明题分析
高考数学推理与证明题分析
高考数学推理与证明题分析
一、基础知识的总结归纳
1.推理一般包括合理推理和演绎推理。
2.合理推理：根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)推断出一定结果的推理过程。
)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉。
归纳和类比是合理推理的常用思维方法。
3.归纳推理：根据一类事物的某些对象具有一定的性质这一事实，推导出这类事物的所有对象都具有这样的性质。
4.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况找到一些相同的性质；Derive 从已知的同一性质中明确地表达了一般命题(猜想)。
5.类比推理：根据两种不同事物之间的一些相似性，推断出一种事物与另一种事物具有相似的性质。
6.类比推理的一般步骤：找出两种事物之间的相似性或一致性；Infer把一种事物的性质从另一种事物的性质中分离出来，并得到一个明确的命题(猜想)。
7.演绎推理：根据一般真命题将特殊命题演绎为真的推理。
8.从原因推导到结果的思维方法。
9.综合方法：从结果到结果原因的思维方法。
10.反证法：确定非Q为假，介绍Q为真的方法。
二、通过归谬法证明命题的一般步骤：
(1)区分命题的条件和结论；
与命题结论相矛盾的Make假设；
(3)从假设出发，运用正确的推理方法，推导出矛盾的结果；
间接证明命题为真。
1。
专题24 推理与证明—三年高考数学真题分项版解析2
一、选择题1. 【2021山东.文4】用反证法证明命题 "设b a ,为实数 ,那么方程02=++b ax x 至|||少有一个实根〞时 ,要做的假设是 ( )A.方程02=++b ax x 没有实根 B.方程02=++b ax x 至|||多有一个实根 C.方程02=++b ax x 至|||多有两个实根 D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【答案】A考点：反证法.【名师点睛】此题考查反证法.解答此题关键是理解反证法的含义 ,明确至|||少有一个的反面是一个也没有.此题属于根底题 ,难度较小.2. 【2021山东.文9】 对于函数)(x f ,假设存在常数0≠a ,使得x 取定义域内的每一个值 ,都有)2()(x a f x f -= ,那么称)(x f 为准偶函数 ,以下函数中是准偶函数的是 ( ) A x x f =)( B 2)(x x f = C x x f tan )(= D )1cos()(+=x x f【答案】D【解析】由()f x 为准偶函数的定义可知 ,假设()f x 的图象关于x a =对称 ,那么()f x 为准偶函数.在D 中 ,()cos(1)f x x =+的图象关于1,x k k z π=-∈对称 ,应选D . 考点：新定义 ,函数的图象和性质.【名师点睛】此题考查函数的概念、函数的奇偶性、新定义问题.此类问题的根本解法是紧扣新定义 ,研究各个函数的图象及特性 ,得出结论.此题是一道新定义问题 ,属于根底题 ,在考查函数的概念、函数的奇偶性、函数的图象等根底知识的同时 ,考查数阅读能力、学习能力、转化与化归思想.3. 【2021高|考浙江 ,文8】设实数a ,b ,t 满足1sin a bt +== ( )A ．假设t 确定 ,那么2b 唯一确定 B ．假设t 确定 ,那么22a a +唯一确定C ．假设t 确定 ,那么sin 2b 唯一确定 D ．假设t 确定 ,那么2a a +唯一确定 【答案】B【考点定位】函数概念【名师点睛】此题主要考查函数的概念.主要考查学生利用条件对其进行处理 ,通过比照选项 ,确定最|||终正确结论的能力.此题属于中等题 ,重点考查学生对条件的处理能力以及分析问题的能力.4. 【2021高|考广东 ,文10】假设集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且 ,(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且 ,用()card X 表示集合X 中的元素个数 ,那么()()card card F E += ( )A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D【解析】当4s =时 ,p ,q ,r 都是取0 ,1 ,2 ,3中的一个 ,有44464⨯⨯=种 ,当3s =时 ,p ,q ,r 都是取0 ,1 ,2中的一个 ,有33327⨯⨯=种 ,当2s =时 ,p ,q ,r 都是取0 ,1中的一个 ,有2228⨯⨯=种 ,当1s =时 ,p ,q ,r 都取0 ,有1种 ,所以()card 642781100E =+++= ,当0t =时 ,u 取1 ,2 ,3 ,4中的一个 ,有4种 ,当1t =时 ,u 取2 ,3 ,4中的一个 ,有3种 ,当2t =时 ,u 取3 ,4中的一个 ,有2种 ,当3t =时 ,u 取4 ,有1种 ,所以t 、u 的取值有123410+++=种 ,同理 ,v 、w 的取值也有10种 ,所以()card F 1010100=⨯= ,所以()()card card F 100100200E +=+= ,应选D ．【考点定位】推理与证明．【名师点晴】此题主要考查的是新符号 ,属于难题．在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决 ,这是解决新符号问题的一个根本方向 ,要注意准确理解试题中给出的新符号的含义．解决新符号这类试题时一定要万分小心 ,除了作理论方面的推导论证外 ,利用特殊值进行检验 ,也可作必要的合情推理．5.【2021高|考广东卷.文.10】对任意复数1w .2w ,定义1212w w w w *=,其中2w 是2w 的共轭复数.对任意复数1z .2z .3z ,有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*； ②()()()1231213z z z z z z z *+=*+*； ③()()123123z z z z z z **=**； ④1221z z z z *=*. 那么真命题的个数是 ( )A .1B .2C .3D .4【答案】B对于命题④,取11z i =+,22z i =+,那么()()12123z z i i i *=+⋅-=+,()()21213z z i i i *=+⋅-=-,命题④错误.应选B .【考点定位】此题考查复数中的新定义运算,考查复数的概念,属于中等偏难题. 【名师点晴】此题主要考查的是新符号 ,属于难题．在新符号的问题中抓住新符号的实质把其转化为我们熟悉的问题加以解决 ,这是解决新符号问题的一个根本方向 ,要注意准确理解试题中给出的新符号的含义．解决新符号这类试题时一定要万分小心 ,除了作理论方面的推导论证外 ,利用特殊值进行检验 ,也可作必要的合情推理．6.【2021年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】<算数书>竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土 ,这是我国现存最|||早的有系统的数学典籍 ,其中记载有求 "盖〞的术：置如其周 ,令相承也.又以高乘之 ,三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3. 那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 ( ) A.227 B.258 C.15750 D.355113【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为r ,高为h ,依题意 ,r L π2= ,h r h r 22)2(75231ππ= , 所以275831ππ=,即π的近似值为258,应选B. 考点：<算数书>中π的近似计算 ,容易题.【名师点睛】以数学史为背景 ,重点考查圆锥的体积计算问题 ,其解题的关键是读懂文字材料 ,正确理解题意 ,建立方程关系.充分表达了方程思想在实际问题中的应用 ,能较好的考查学生运用根底知识的能力和简单近似计算能力.7.【2021高|考湖北 ,文10】集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈ ,那么A B ⊕中元素的个数为 ( )A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C .【考点定位】此题考查用不等式表示平面区域和新定义问题 ,属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域 ,以新定义为背景 ,涉及分类计数原理 ,表达了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性 ,能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.8. 【2021福建,文12】在平面直角坐标系中 ,两点()()111222,,,P x y P x y 间的 "L -距离〞定义为121212.PP x x y y =-+-那么平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的 "L -距离〞之和等于定值 (大于12|||F F )的点的轨迹可以是 ( )【答案】A 【解析】试题分析：不妨设12(1,0),(1,0),F F -(,)P x y 是平面内符合条件的点 ,那么由 "L -距离〞定义得|1||||1|||2x y x y a +++-+= (0a > ,2a > 12|||2F F = ). 即10x y ≤-⎧⎨>⎩时 ,0x y a -+=；10x y ≤-⎧⎨<⎩时 ,0x y a ++=；11x y -<≤⎧⎨>⎩时 ,10y a =->；110x y -<≤⎧⎨>⎩时 ,1y a =-；10x y >⎧⎨>⎩时 ,0x y a +-=；10x y >⎧⎨<⎩时 ,0x y a --=.应选A . 考点：新定义 ,绝|||对值的概念 ,分类讨论思想.【名师点睛】此题是一道信息迁移题 ,通过定义 "L -距离〞 ,考查学生对新定义的理解能力及处理绝|||对值问题时的分类讨论思想.利用零点分区间法正确进行分类 ,做到不重不漏 ,并准确进行运算是求解此题的关键.二、填空题1. 【2021高|考新课标2文数】有三张卡片 ,分别写有1和2 ,1和3 ,2和3. 甲 ,乙 ,丙三人各取走一张卡片 ,甲看了乙的卡片后说： "我与乙的卡片上相同的数字不是2〞 ,乙看了丙的卡片后说： "我与丙的卡片上相同的数字不是1〞 ,丙说： "我的卡片上的数字之和不是5〞 ,那么甲的卡片上的数字是________________.【答案】1和3考点： 逻辑推理.【名师点睛】逻辑推理即演绎推理 ,就是从一般性的前提出发 ,通过推导即 "演绎〞 ,得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于 ,它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.2. 【2021高|考山东文数】观察以下等式：；；； ；…… 照此规律 ,_________． 【答案】考点：合情推理与演绎推理【名师点睛】此题主要考查合情推理与演绎推理 ,此题以三角函数式为背景材料 ,突出了高|考命题注重根底的原那么.解答此题 ,关键在于分析类比等号两端数学式子的特征 ,找出共性、总结规律 ,降低难度.此题能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等.3. 【2021高|考山东 ,文14】定义运算 "⊗〞： 22x y x y xy-⊗=(,0x y R xy ∈≠， ).当00x y >>，时 ,(2)x y y x ⊗+⊗的最|||小值是 .【解析】由新定义运算知 ,2222(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy --⊗==,因为 ,00x y >>， , 所以,22222242(2)22x y y x x y x y y x xy xy xy --+⊗+⊗=+=≥= ,当且仅当x =时 ,(2)x y y x ⊗+⊗的最|||.【考点定位】1.新定义运算；2.根本不等式.【名师点睛】此题考查了根本不等式及新定义运算的理解能力 ,解答此题的关键 ,首|||先是理解新定义运算 ,准确地得到不等式 ,然后根据其特征 ,想到应用根本不等式求解. 此题属于小综合题 ,也是一道能力题 ,在考查考生学习能力的根底上 ,考查考生的计算能力及应用数学知识解决问题的能力.由于近几年考生对新定义运算问题已有准备 ,因此 ,不会对此感到陌生.4. 【2021高|考陕西 ,文16】观察以下等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律 ,第n 个等式可为______________________. 【答案】111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++【考点定位】归纳推理.【名师点睛】此题考查的是归纳推理 ,解题关键点在于发现其中的规律 ,要注意从运算的过程中去寻找.此题属于根底题 ,注意运算的准确性.5．【2021四川 ,文15】以A 表示值域为R 的函数组成的集合 ,B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ ,存在一个正数M ,使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M - .例如 ,当31()x x ϕ= ,2()sin x x ϕ=时 ,1()x A ϕ∈ ,2()x B ϕ∈.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ,那么 "()f x A ∈〞的充要条件是 "b R ∀∈ ,a D ∃∈ ,()f a b =〞；②假设函数()f x B ∈ ,那么()f x 有最|||大值和最|||小值；③假设函数()f x ,()g x 的定义域相同 ,且()f x A ∈ ,()g x B ∈ ,那么()()f x g x B +∉；④假设函数2()ln(2)1xf x a x x =+++ (2x >- ,a R ∈ )有最|||大值 ,那么()f x B ∈. 其中的真命题有 . (写出所有真命题的序号 ) 【答案】①③④ 【解析】试题分析：对① ,假设对任意的b R ∈ ,都a D ∃∈ ,使得()f a b = ,那么()f x 的值域必为R ；反之 ,()f x 的值域为R ,那么对任意的b R ∈ ,都a D ∃∈ ,使得()f a b =.故正确. 对② ,比方函数()(11)f x x x =-<<属于 B ,但是它既无最|||大值也无最|||小值.故错误.对③ ,因为()(,)f x ∈-∞+∞ ,而()g x 有界 ,故()()(,)f x g x +∈-∞+∞ ,所以()()f x g x B +∉.故正确对④ ,211212x x -≤≤+.当0a >或0a <时ln (,)a x ∈-∞+∞ ,()f x 均无最|||大值.所以假设()f x 有最|||大值 ,那么0a = ,此时2()1xf x x =+ ,()f x B ∈.故正确. 【考点定位】1、新定义；2、函数的定义域值域.【名师点睛】新定义问题一般先考察对定义的理解 ,这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用 ,如在某些条件下 ,满足新定义的函数有某些新的性质 ,这也是在新环境下研究 "旧〞性质 ,此时需结合新函数的新性质 ,探究 "旧〞性质.三是考查综合分析能力 ,主要将新性质有机应用在 "旧〞性质 ,创造性证明更新的性质.6.【2021高|考北京文第14题】顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位：工作日 )如下：那么最|||短交货期为工作日.【答案】42考点：本小题以实际问题为背景,主要考查逻辑推理能力,考查分析问题与解决问题的能力.7.【2021福建,文16】 (集合{}{}2,1,0,,=cba ,且以下三个关系：①2≠a②2=b③0≠c有且只有一个正确 ,那么________10100=++cba.【答案】201【解析】试题分析：由,假设2a≠正确,那么0a=或1a= ,即0,1,2a b c===或0,2,1a b c===或1,0,2a b c===或1,2,0a b c===均与 "三个关系有且只有一个正确〞矛盾；假设2=b正确 ,那么2≠a正确 ,不符合题意；所以 ,0≠c正确 ,2,0,1a b c=== ,故20110100=++cba.考点：推理与证明.【名师点睛】此题主要考查集合、推理及分类讨论思想 ,此类题的易错点是：分类不严谨；审题不认真.此题假设对 "有且只有〞这四个字不敏感 ,那么在解题过程中不易找到突破口.因此这类题一定要认真审题 ,分类做到不重不漏 ,才不会陷入命题人设计的陷阱.8. (2021课标全国Ⅰ ,文14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时 ,甲说：我去过的城市比乙多 ,但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为__________． 答案：A名师点睛：此题考查实际问题中的逻辑推理 ,容易题. 逻辑推理的方法有 "归纳推理、演绎推理、类比推理.9.【2021北京 ,文14】某学习小组由学生和教师组成 ,人员构成同时满足以下三个条件：(ⅰ )男学生人数多于女学生人数； (ⅱ )女学生人数多于教师人数； (ⅲ )教师人数的两倍多于男学生人数．①假设教师人数为4 ,那么女学生人数的最|||大值为__________． ②该小组人数的最|||小值为__________． 【答案】6,12【解析】设男生数 ,女生数 ,教师数为,,a b c ,那么2,,,c a b c a b c >>>∈N 第|一小问：max 846a b b >>>⇒=第二小问：min 3,635,412.c a b a b a b c =>>>⇒==⇒++=【考点】1.不等式的性质；2.推理.【名师点睛】此题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙 ,解题时要抓住关键,逐步推断,此题主要考查考生分析问题 ,解决问题的能力 ,同时注意不等式关系以及正整数这个条件.公众号：惟微小筑。
高考数学第十三章推理与证明第84课演绎推理教案
演绎推理一、教学目标1．理解演绎推理的基本方法；2．会运用演绎推理进行一些简单的推理；3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系。
二、基础知识回顾与梳理回顾要求1．阅读教材选修1-2第36~38页（理科：选修2-2第70~72页），熟悉并搞清以下概念：大前提、小前提、结论，试举例说明.2．演绎推理的特点是什么？对比归纳、类比的特点，它们有什么不同？3. 在教材上空白处做以下题目：第39页（理科：第72页）练习第3、4题．要点解析1．演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确．2. 演绎推理的一般模式是三段论：⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结 论---根据一般原理，对特殊情况做出的判断．应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.3. 三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.4. 合情推理和演绎推理在发现、证明每一个数学结论的过程中都起着非常重要的作用．在数学结论及其证明思路的发现中，主要依靠合情推理．而数学结论的证明、数学体系的建立，则主要依靠演绎推理．因此在数学学科的发展中，这两种推理都是不可缺少的．【教学建议】：知识梳理通过指导学生在课前复习回顾教材的内容和典型例题或练习，再由教师在课堂上帮助学生复习相关概念，最后由学生举出具体实例巩固概念。
三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成3道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害．2、诊断练习点评题1：把“函数25y x =+的图象是一条直线”恢复成完全三段论为： .【分析与点评】（1）问学生演绎推理的主要形式是什么?三段论式推理．（2）此题省略了什么？只有结论，无大小前提．大前提: 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条直线； 小前提: 函数25y x =+是一次函数； 结论: 函数25y x =+的图象是一条直线题2：将以下三段论补充完整： （大前提）,a b αα⊥⊥ （小前提）//a b （结论）【分析与点评】（1）大前提提供了一个一般性的原理，比如定义、公理、定理等．此题得大前提是垂直于同一个平面的两条直线平行。
高考数学推理与证明
1.合情推理与演绎推理(1)归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.(2)演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.2.直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.3.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一合情推理及应用例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.跟踪训练1自然数按下表的规律排列则上起第2 014行，左起第2 015列的数为()A.2 0142B.2 0152C.2 013×2 014D.2 014×2 015答案 D解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n 行的第1个数为n 2；②第一行第n 个数为(n －1)2＋1；③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1； ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 014×2 015. 题型二 直接证明与间接证明例2 已知a ＞b ＞0，求证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b .证明 欲证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b ，只需证(a －b )28a ＜(a －b )22＜(a －b )28b ，∵a ＞b ＞0，∴只需证a －b 22a ＜a －b 2＜a －b22b ，即a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b， 欲证a ＋b 2a ＜1，只需证a ＋b ＜2a ，即b ＜a ，该式显然成立.欲证1＜a ＋b2b，只需证2b ＜a ＋b ，即b ＜a ，该式显然成立. ∴a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b成立. ∴(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b成立.反思与感悟 直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用. 跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＞0. (1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列，求正整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列.(1)解 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，d ＝2， ∴a 4＝7，a m ＝2m －1.∵1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列， ∴1492＝1(2m －1)2， 即2m －1＝49.∴m ＝25.(2)证明 假设存在n ∈N *，使1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，即2a 2n ＋1＝1a 2n ＋1a 2n ＋2， ∴2a 2n ＋1＝1(a n ＋1－d )2＋1(a n ＋1＋d )2＝2a 2n ＋1＋2d2(a 2n ＋1－d 2)2， 化简得d 2＝3a 2n ＋1.(*)又∵a 1＞0，d ＞0，∴a n ＋1＝a 1＋nd ＞d ，∴3a 2n ＋1＞3d 2＞d 2，与(*)式矛盾，因此假设不成立，故命题得证. 题型三 数学归纳法及应用例3 已知a i ＞0(i ＝1,2，…，n )，考察： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.解 结论：(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥n 2(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，显然成立. ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即(a 1＋a 2＋…＋a k )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a k≥k 2. 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k＋1ak ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1 ≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1 ≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.由①②可知，不等式对任意正整数n 都成立.反思与感悟 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 跟踪训练3 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *). (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想.(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n 1(n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立. ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立.应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误例4 已知x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，求证x ，y 全为0. 错解 假设结论不成立，则x ，y 全不为0，即x ≠0且y ≠0，∴x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾，故x ，y 全为0.错因分析 x ，y 全为0的否定应为x ，y 不全为0，即至少有一个不是0，得x 2＋y 2＞0与已知矛盾.正解 假设x ，y 不全为0，则有以下三种可能： ①x ＝0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾； ②x ≠0，y ＝0，得x 2＋y 2＞0, 与x 2＋y 2＝0矛盾； ③x ≠0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾. ∴假设是错误的， ∴x ，y 全为0.防范措施 应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.1.下列推理正确的是( )A.把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB.把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC.把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则(x ＋y )n ＝x n ＋y nD.把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则(xy )z ＝x (yz ) 答案 D2.在△ABC 中，若sin A sin C ＞cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定答案 D解析 由sin A sin C ＞cos A cos C ，得cos(A ＋C )＜0，即cos B ＞0, 所以B 为锐角，但并不能确定角A 和C 的情况，故选D.3.猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________.答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析 分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积.4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n ＝__________.答案 3n 2－3n ＋1解析 观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，…，其中第n 个图案中间一行的花盆数为2n －1，往上一侧花盆数依次是2n －2,2n －3，…，它们的和为n (2n －1＋n )2＝n (3n －1)2，往下一侧(含中间一行)花盆数为n (3n －1)2，所以a n ＝2·n (3n －1)2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.5.函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )). (1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明. 解 (1)f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)， f 2(x )＝x 1＋x 21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2， f 3(x )＝x 1＋2x 21＋x 21＋2x 2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x 1＋nx 2(n ∈N *)， 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f k (x )＝x1＋kx 2， 那么f k ＋1(x )＝x 1＋kx 21＋x 21＋kx 2＝x 1＋kx 2＋x 2＝x1＋(k ＋1)x 2.这就是说当n ＝k ＋1时命题也成立. 由①②可知，f n (x )＝x 1＋nx2对所有n ∈N *均成立.故f n (x )＝x 1＋nx2(n ∈N *).转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n 有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.一、选择题1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A.nB.n (n ＋1)2C.n 2－1D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案 C解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.3.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1).故选A.4.设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A.有最大值B.有最小值C.为增函数D.为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值.故选A.5.设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3.则满足关系式(x x A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 当x ＝A 0时，(x xA 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x xA 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立.故选B.6.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、填空题7.已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______.答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .8.α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________. 答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)9.若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一(补集法)：令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二(直接法)：依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 10.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________. 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x－ln x －1，则g ′(x )＝－x －2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 三、解答题11.如图所示，设在四面体P ABC 中，∠ABC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，D 是AC 的中点，求证：PD ⊥平面ABC .证明 要证明PD ⊥平面ABC ，只需证明PD 与平面ABC 内的两条相交直线垂直即可，由于已知△ACP 为等腰三角形，AP ＝PC ，D 为AC 的中点，故PD ⊥AC ，从而有△P AD 为直角三角形，且AD ＝BD ，PD ＝PD ，AP ＝PB ，于是△APD ≌△BPD .因此∠PDA ＝∠PDB ＝90°，∴PD ⊥BD .又知AC 交BD 于D ，可知PD ⊥平面ABC .12.求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立.证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立. 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立.13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立.(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立.。
高考数学技巧如何利用逻辑推理解决数学证明题
高考数学技巧如何利用逻辑推理解决数学证明题高考数学的证明题是考察学生逻辑思维和推理能力的重要部分。
在解决数学证明题时，我们可以通过运用一些数学技巧和逻辑推理方法来提高解题效率和准确性。
本文将介绍一些常用的高考数学技巧，以及如何利用逻辑推理来解决数学证明题。
一、利用代入法验证等式在解决等式证明题时，我们可以使用代入法来验证等式是否成立。
首先，我们假设等式中的变量满足一定的条件，然后代入等式，验证两边是否相等。
如果等式成立，则可以得到证明结论。
例如，对于一个等差数列的前n项和公式"Sn=n(a1+an)/2"，我们可以假设n为任意正整数，然后代入等式进行验证。
如果验证结果成立，则可以得到结论：等差数列的前n项和公式成立。
二、利用反证法证明命题在解决数学证明题时，我们可以运用反证法来证明命题的真假。
反证法的基本思想是假设命题不成立，然后通过推理得出与已知条件矛盾的结论，从而否定假设，证明命题成立。
例如，对于一个要证明的命题“如果一个自然数是素数，那么它不是合数”，我们可以先假设有一个素数同时也是合数，然后通过推理可以得出矛盾的结论，即与已知条件相违背。
由此可见，原命题成立。
三、利用数学归纳法证明等式数学归纳法是证明自然数性质的常用方法。
在解决数学证明题中，我们可以利用数学归纳法来证明等式成立。
数学归纳法的基本思想是首先证明当n为某一特定自然数时等式成立，然后假设当n=k时等式成立，再用这个假设证明当n=k+1时等式也成立。
通过这种逐步推理的方法，可以得出等式对于所有自然数n成立的结论。
例如，对于一个要证明的等式「1+2+3+...+n=n(n+1)/2」，我们首先可以验证当n为1时等式成立，然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
接下来，我们可以利用这个假设证明当n=k+1时等式也成立，即1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
高考数学真题 推理与证明
12.2推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2017课标Ⅱ理,7,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案D本题主要考查逻辑推理能力.由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩;丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D.2.(2014北京理,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人答案B设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n≥4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.因此:n<4,即n≤3.当n=3时,评定结果分别为“优秀,不合格”“合格,合格”“不合格,优秀”,符合题意,故n=3,选B.3.(2012江西理,6,5分)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199答案C解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,代入后三个等式中符合,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故选C. 解法二:令a n=a n+b n,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,……得a n+2=a n+a n+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选C.评析本题考查了合情推理和递推数列,考查了推理论证和运算求解能力.4.(2016北京,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B 解法一:假设袋中只有一红一黑两个球,第一次取出后,若将红球放入了甲盒,则乙盒中有一个黑球,丙盒中无球,A 错误;若将黑球放入了甲盒,则乙盒中无球,丙盒中有一个红球,D 错误;同样,假设袋中有两个红球和两个黑球,第一次取出两个红球,则乙盒中有一个红球,第二次必然拿出两个黑球,则丙盒中有一个黑球,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球,C 错误.故选B.解法二:设袋中共有2n 个球,最终放入甲盒中k 个红球,放入乙盒中s 个红球.依题意知,甲盒中有(n-k)个黑球,乙盒中共有k 个球,其中红球有s 个,黑球有(k-s)个,丙盒中共有(n-k)个球,其中红球有(n-k-s)个,黑球有(n-k)-(n-k-s)=s 个.所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多.故选B.5.(2017北京文,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件: (i)男学生人数多于女学生人数; (ii)女学生人数多于教师人数; (iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ; ②该小组人数的最小值为 . 答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得{x >y,y >z,2z >x,且x,y,z 均为正整数.①当z=4时,8>x>y>4,∴x 的最大值为7,y 的最大值为6, 故女学生人数的最大值为6.②x>y>z>x 2,当x=3时,条件不成立,当x=4时,条件不成立,当x=5时,5>y>z>52,此时z=3,y=4. ∴该小组人数的最小值为12.6.(2016山东文,12,5分)观察下列等式: (sin π3)-2+(sin2π3)-2=43×1×2;(sin π5)-2+(sin 2π5)-2+(sin 3π5)-2+(sin 4π5)-2=43×2×3; (sin π7)-2+(sin2π7)-2+(sin 3π7)-2+…+(sin 6π7)-2=43×3×4; (sin π9)-2+(sin 2π9)-2+(sin 3π9)-2+…+(sin 8π9)-2=43×4×5;…… 照此规律,(sin π2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+(sin 3π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2= .答案4n(n+1)3解析 观察前4个等式,由归纳推理可知(sinπ2n+1)-2+(sin 2π2n+1)-2+…+(sin 2nπ2n+1)-2=43×n×(n+1)=4n(n+1)3. 评析 本题主要考查了归纳推理,认真观察题中给出的4个等式即可得出结论.7.(2015福建理,15,4分)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *),其中x k (k=1,2,…,n)称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组:{x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k 等于 . 答案 5解析 设a,b,c,d ∈{0,1},在规定运算法则下满足:a ⊕b ⊕c ⊕d=0,可分为下列三类情形:①4个1:1⊕1⊕1⊕1=0,②2个1:1⊕1⊕0⊕0=0,③0个1:0⊕0⊕0⊕0=0,因此,错码1101101通过校验方程组可得: 由x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7=0,∴1⊕1⊕0⊕1≠0; 由x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7=0,∴1⊕0⊕0⊕1=0; 由x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7=0,∴1⊕0⊕1⊕1≠0, ∴错码可能出现在x 5,x 7上,若x 5=0,则检验方程组都成立,故k=5.若x 7=0,此时x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7≠0,故k ≠7. 综上分析,x 5为错码,故k=5.评析 本题主要考查推理,考查学生分析、解决问题的能力,属中等难度题. 8.(2015陕西文,16,5分)观察下列等式 1-12=121-12+13-14=13+14 1-12+13-14+15-16=14+15+16 ……据此规律,第n 个等式可为 . 答案 1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n+1+1n+2+ (12)解析 规律为等式左边共有2n 项且等式左边分母分别为1,2,…,2n,分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-12+13-14+…+12n -1-12n ;等式右边共有n 项且分母分别为n+1,n+2,...,2n,分子为1,即为1n+1+1n+2+ (12).所以第n 个等式可为1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n+1+1n+2+ (12). 9.(2014课标Ⅰ,理14,文14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 . 答案 A解析 由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B 城市,乙没有去过C 城市,因此三人去过的同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B 城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A. 10.(2014陕西理,14,5分)观察分析下表中的数据:多面体 面数(F) 顶点数(V)棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E 所满足的等式是 . 答案 F+V-E=2解析 观察表中数据,并计算F+V 分别为11,12,14,又其对应E 分别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2. 11.(2014北京文,14,5分)顾客请一位工艺师把A,B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:原料时间工序粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B621则最短交货期为 个工作日. 答案 42解析 工序流程图如图所示:则最短交货期为6+21+15=42个工作日.12.(2014安徽文,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;…,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= .答案14解析 由BC=2√2得AB=a 1=2⇒AA 1=a 2=√2⇒A 1A 2=a 3=√2×√22=1,由此可归纳出{a n }是以a 1=2为首项,√22为公比的等比数列,因此a 7=a 1×q 6=2×(√22)6=14.13.(2013安徽理,14,5分)如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n =a n .若a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的通项公式是 .答案 a n =√3n -2解析 记△OA 1B 1的面积为S,则△OA 2B 2的面积为4S. 从而四边形A n B n B n+1A n+1的面积均为3S. 即得△OA n B n 的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S.∴a n 2=3n-2,即a n =√3n -2.评析 △OA n B n 的面积构成一个等差数列,而△OA n B n 与△OA 1B 1的面积比为a n 2,从而得到{a n}的通项公式.本题综合考查了平面几何、数列的知识.考点二 直接证明与间接证明1.(2014山东理,4,5分)用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x 3+ax+b=0没有实根 B.方程x 3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x 3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x 3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A 因为“方程x 3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x 3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x 3+ax+b=0没有实根.2.(2015北京理,20,13分)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解析 (1)6,12,24.(2)证明:因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数. 由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36, 所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数. 类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数.从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数. 综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. (3)由a 1≤36,a n ={2a n -1,a n -1≤18,2a n -1-36,a n -1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1-36,a 1>18,所以a 2是2的倍数,从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}, 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 不是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}, 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.考点三 数学归纳法1.(2017浙江,22,15分)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n+1+ln(1+x n+1)(n ∈N *). 证明:当n ∈N *时,(1)0<x n+1<x n ; (2)2x n+1-x n ≤x n x n+12; (3)12n -1≤x n ≤12n -2.证明 本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性基础知识,不等式及其应用,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力. (1)用数学归纳法证明:x n >0. 当n=1时,x 1=1>0.假设n=k 时,x k >0,那么n=k+1时,若x k+1≤0,则0<x k =x k+1+ln(1+x k+1)≤0,矛盾,故x k+1>0. 因此x n >0(n ∈N *).所以x n =x n+1+ln(1+x n+1)>x n+1.因此0<x n+1<x n (n ∈N *).(2)由x n =x n+1+ln(1+x n+1)得,x n x n+1-4x n+1+2x n =x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1).记函数f(x)=x 2-2x+(x+2)ln(1+x)(x ≥0),f '(x)=2x 2+xx+1+ln(1+x)>0(x>0). 函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此x n+12-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1)=f(x n+1)≥0,故2x n+1-x n ≤x n x n+12(n ∈N *). (3)因为x n =x n+1+ln(1+x n+1)≤x n+1+x n+1=2x n+1,所以x n ≥12n -1.由x n x n+12≥2x n+1-x n 得1x n+1-12≥2(1x n -12)>0, 所以1x n -12≥2(1x n -1-12)≥…≥2n-1(1x 1-12)=2n-2, 故x n ≤12n -2.综上,12n -1≤x n ≤12n -2(n ∈N*).方法总结 1.证明数列单调性的方法.①差比法:作差a n+1-a n ,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断其符号. ②商比法:作商a n+1a n ,判断an+1a n与1的大小,同时注意a n 的正负. ③数学归纳法.④反证法:例如求证:n ∈N *,a n+1<a n ,可反设存在k ∈N *,有a k+1≥a k ,从而导出矛盾. 2.证明数列的有界性的方法.①构造法:构造函数,求函数的值域,得数列有界. ②反证法. ③数学归纳法. 3.数列放缩的方法.①裂项法:利用不等式性质,把数列的第k 项分裂成某数列的相邻两项差的形式,再求和,达到放缩的目的. ②累加法:先把a n+1-a n 进行放缩.例:a n+1-a n ≤q n,则有n ≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)≤a 1+q+q 2+…+q n-1.③累乘法:先把a n+1a n 进行放缩.例:an+1a n≤q(q>0), 则有n ≥2时,a n =a 1·a2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1≤a 1q n-1(其中a 1>0).④放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列{a n}放缩成等比数列{b n},求和后,再进行适当放缩.2.(2014重庆理,22,12分)设a1=1,a n+1=√a n2-2a n+2+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{a n}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a2=2,a3=√2+1.由题设条件知(a n+1-1)2=(a n-1)2+1.从而{(a n-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(a n-1)2=n-1,即a n=√n-1+1(n∈N*).解法二:a2=2,a3=√2+1,可写为a1=√1-1+1,a2=√2-1+1,a3=√3-1+1.因此猜想a n=√n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即a k=√k-1+1,则a k+1=√(a k-1)2+1+1=√(k-1)+1+1=√(k+1)-1+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以a n=√n-1+1(n∈N*).(2)解法一:设f(x)=√(x-1)2+1-1,则a n+1=f(a n).令c=f(c),即c=√(c-1)2+1-1,解得c=14.下用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=√2-1,所以a2<14<a3<1,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1.故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=14.解法二:设f(x)=√(x -1)2+1-1,则a n+1=f(a n ). 先证:0≤a n ≤1(n ∈N *).①当n=1时,结论明显成立. 假设n=k 时结论成立,即0≤a k ≤1. 易知f(x)在(-∞,1]上为减函数, 从而0=f(1)≤f(a k )≤f(0)=√2-1<1.即0≤a k+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立. 再证:a 2n <a 2n+1(n ∈N *).②当n=1时,a 2=f(1)=0,a 3=f(a 2)=f(0)=√2-1,有a 2<a 3,即n=1时②成立. 假设n=k 时,结论成立,即a 2k <a 2k+1. 由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得 a 2k+1=f(a 2k )>f(a 2k+1)=a 2k+2, a 2(k+1)=f(a 2k+1)<f(a 2k+2)=a 2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n ∈N *成立.由②得a 2n <√a 2n 2-2a 2n +2-1, 即(a 2n +1)2<a 2n 2-2a 2n +2,因此a 2n <14.③又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a 2n )>f(a 2n+1), 即a 2n+1>a 2n+2,所以a 2n+1>√a 2n+12-2a 2n+1+2-1,解得a 2n+1>14.④综上,由②、③、④知存在c=14使a 2n <c<a 2n+1对一切n ∈N *成立.评析 本题考查由递推公式求数列的通项公式,数学归纳法,等差数列等内容.用函数的观点解决数列问题是处理本题的关键.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》技巧及练习题附答案解析
【高中数学】数学《推理与证明》试卷含答案一、选择题1．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号． 【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y +=B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += 【答案】C【解析】 【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上，故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C. 【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．6．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.7．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.9．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】 【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立． 故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n+，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
高考数学备考推理与证明复习教案
推理与证明【最新考纲透析】1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。
3．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【核心要点突破】要点考向1：合情推理考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；2．呈现方式金榜经，属中档题。
考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。
在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。
例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：① cos2a=22cos a -1;② cos4a=84cos a - 82cos a + 1; ③ cos6a=326cos a - 484cos a + 182cos a - 1;④ cos8a=1288cos a - 2566cos a + 1604cos a - 322cos a + 1;⑤ cos10a= m 10cos a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2cos a - 1.可以推测，m – n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．【思路点拨】根据归纳推理可得．【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，m 12801120n p 11∴-+++-=，m n p 162∴++=，又9p 10550,m 2512=⨯===，n 400∴=-，m n p 962∴-+=．【答案】962．要点考向2：演绎推理考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；2．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。
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第十二章推理与证明考纲解读分析解读本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.五年高考考点一合情推理与演绎推理1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛答案 B2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;②该小组人数的最小值为.答案①6 ②123.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.答案1和34.(2016山东,12,5分)观察下列等式:π-+π-=×1×2;π-+π-+π-+π-=×2×3;π-+π-+π-+…+π-=×3×4;π-+π-+π-+…+π-=×4×5;……照此规律,π-+π-+π-+…+π-= .答案5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式1-=1-+-=+1-+-+-=++……据此规律,第n个等式可为.答案1-+-+…+--=++…+6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案 A教师用书专用(7—11)7.(2014福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.答案2018.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答).答案(1)3,1,6 (2)799.(2013陕西,13,5分)观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.答案(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)10.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数…,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n≤2 014时,求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数, f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.解析(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=.(2)F(n)=---(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*)时,g(n)=0;当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k; 当n=100时,g(n)=11,即g(n)=∈∈同理有f(n)=-∈∈-由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.当n=9时,p(9)=0;当n=90时,p(90)===;当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)==-=,由于y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=.又<,所以当n∈S时,p(n)的最大值为.11.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=--a为常数且a∈(0,1).(1)当a=时,求f;(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值.解析(1)当a=时, f=,f=f=2-=.(2)f(f(x))=当0≤x≤a2时,由x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2<x≤a时,由-(a-x)=x解得x=-∈(a2,a),因f-=·-= -≠-,故x=-为f(x)的二阶周期点;当a<x<a2-a+1时,由-(x-a)=x解得x=-∈(a,a2-a+1),因f-=-·--=-,故x=-不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1≤x≤1时,由-(1-x)=x解得x=-∈(a2-a+1,1),因f-=-·--= -≠-,故x=-为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=-,x2=-.(3)由(2)得A--,B--,则S(a)=·--,S'(a)=·---,因为a∈,a2+a<1,所以S'(a)=·---=·---->0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g'(a)=3a2-4a-2=3---,因a∈(0,1),g'(a)<0,所以g(a)在区间上的最小值为g=>0,故对于任意a∈,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S'(a)=·--->0.则S(a)在区间上单调递增,故S(a)在区间上的最小值为S=,最大值为S=.考点二直接证明与间接证明1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A2.(2013四川,10,5分)设函数f(x)=-(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1+e]C.[e,1+e]D.[0,1]答案 A3.(2016江苏,20,16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义S T=0;若T={t1,t2,…,t k},定义S T=++…+.例如:T={1,3,66}时,S T=a1+a3+a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T=30.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:S T<a k+1;(3)设C⊆U,D⊆U,S C≥S D,求证:S C+S C∩D≥2S D.解析(1)由已知得a n=a1·3n-1,n∈N*.于是当T={2,4}时,S T=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又S T=30,故30a1=30,即a1=1.所以数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.(2)因为T⊆{1,2,…,k},a n=3n-1>0,n∈N*,所以S T≤a1+a2+…+a k=1+3+…+3k-1=(3k-1)<3k.因此,S T<a k+1.(3)下面分三种情况证明.①若D是C的子集,则S C+S C∩D=S C+S D≥S D+S D=2S D.②若C是D的子集,则S C+S C∩D=S C+S C=2S C≥2S D.③若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=C∩∁U D,F=D∩∁U C,则E≠⌀,F≠⌀,E∩F=⌀.于是S C=S E+S C∩D,S D=S F+S C∩D,进而由S C≥S D得S E≥S F.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.由(2)知,S E<a k+1.于是3l-1=a l≤S F≤S E<a k+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.从而S F≤a1+a2+…+a l=1+3+…+3l-1=-≤--=-≤-,故S E≥2S F+1,所以S C-S C∩D≥2(S D-S C∩D)+1,即S C+S C∩D≥2S D+1.综合①②③得,S C+S C∩D≥2S D.教师用书专用(4—5)4.(2014天津,20,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t. 解析(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,x i∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i=1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n-b n)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=-----q n-1=-1<0.所以,s<t.5.(2013湖北,20,13分)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.(1)证明:中截面DEFG是梯形;(2)在△ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中·h来估算.已知V=(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.解析(1)依题意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3,因此四边形A1A2B2B1,四边形A1A2C2C1均是梯形.由AA2∥平面MEFN,AA2⊂平面AA2B2B,且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME,可得AA2∥ME,即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.又M,N分别为AB,AC的中点,则D,E,F,G分别为A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中点,即DE,FG分别为梯形A1A2B2B1,梯形A1A2C2C1的中位线.因此DE=(A1A2+B1B2)=(d1+d2),FG=(A1A2+C1C2)=(d1+d3),而d1<d2<d3,故DE<FG,所以中截面DEFG是梯形.(2)V估<V.证明如下:由A1A2⊥平面ABC,MN⊂平面ABC,可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线,可得MN=BC=a, 即为梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=·=(2d1+d2+d3),即V估=S中·h=ℎ(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=ℎ(d1+d2+d3).于是V-V估=ℎ(d1+d2+d3)-ℎ(2d1+d2+d3)=ℎ[(d2-d1)+(d3-d1)].由d1<d2<d3,得d2-d1>0,d3-d1>0,故V估<V.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一合情推理与演绎推理1.(2018江西上饶一模,7)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生的回答如下:甲说:“我们四人都没考好.”乙说:“我们四人中有人考得好.”丙说:“乙和丁至少有一人没考好.”丁说:“我没考好.”成绩出来后发现,四名学生中有且只有两人说对了,他们是( )A.甲、丙B.乙、丁C.丙、丁D.乙、丙答案 D2.(2018福建六校联考,16)图甲是应用分形几何学作出的一个分形规律图,按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图,我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数(横坐标表示白圈的个数,纵坐标表示黑圈的个数),比如第1行记为(0,1),第2行记为(1,2),第3行记为(4,5),照此下去,第5行中白圈与黑圈的“坐标”为.答案(40,41)3.(2017河北邯郸质检,15)2016年6月23日15时前后,江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击,风力达12级.灾害发生后,有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的:(1)甲轻型救援队所在方向不是C方向,也不是D方向;(2)乙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(3)丙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(4)丁轻型救援队所在方向不是A方向,也不是D方向.此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向,有下列判断:①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.其中判断正确的序号是.答案③4.(2017广东七校第二次联考,15)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行,数字6,5,4(从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行,……,依此类推,则第20行从左到右第4个数字为.答案1945.(人教A选1—2,二,1,例7,变式)证明函数f(x)=-x3+3x在(2,+∞)内是增函数.证明 f '(x)=-3x2+3=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1).当x>2时,(x+1)(x-1)>0,∴f '(x)=-3(x+1)(x-1)<0.∴f(x)=-x3+3x在(2,+∞)内是增函数.考点二直接证明与间接证明6.(2018吉林三校联考,4)用反证法证明“自然数a,b,c中至多有一个偶数”时,假设原命题不成立,等价于( )A.a,b,c中没有偶数B.a,b,c中恰好有一个偶数C.a,b,c中至少有一个偶数D.a,b,c中至少有两个偶数答案 D7.(2017山西大学附中第二次模拟,17)在等比数列{a n}中,a3=,S3=.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2,且{b n}为递增数列,若c n=·,求证:c1+c2+c3+…+c n<. 解析(1)设{a n}的公比为q(q≠0).∵a3=,S3=,∴-·⇒或-∴a n=或a n=6--.(2)证明:由题意知b n=log2=log2-=log222n=2n,∴c n=·==-,∴c1+c2+c3+…+c n=--…-=-=-<.8.(2016河南南阳期中,18)已知数列{log2(a n-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明-+-+…+-<1.解析(1)设等差数列{log2(a n-1)}的公差为d. 由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,故d=1. 所以log2(a n-1)=1+(n-1)×1=n,即a n=2n+1.(2)证明:因为-=-=,所以-+-+…+-=+++…+=--=1-<1,原不等式得证.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018辽宁大连调研,5)如图,A,B,C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯.若开关A控制着2,3,4号灯(即按一下开关A,2,3,4号灯亮,再按一下开关A,2,3,4号灯熄灭),同样,开关B控制着1,3,4号灯,开关C控制着1,2,4号灯.开始时,四盏灯都亮着,那么下列说法正确的是( )A.只需要按开关A,C,可以将四盏灯全部熄灭B.只需要按开关B,C,可以将四盏灯全部熄灭C.按开关A,B,C,可以将四盏灯全部熄灭D.按开关A,B,C,无法将四盏灯全部熄灭答案 D2.(2017辽宁六校期中联考,10)已知整数对按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……,则第60个数对是( )A.(10,1)B.(2,10)C.(5,7)D.(7,5)答案 C二、填空题(共5分)3.(2017山东济宁3月模拟,11)已知a i>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:≥;≥;≥;……照此规律,当n∈N*,n≥2时,…≥.答案…三、解答题(共15分)4.(2017湖北华中师大一附中期中模拟,21)已知函数f(x)=ln x+.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=2时,函数f(x)满足f(x1)=f(x2)(x1≠x2),求证x1+x2>4.参考公式为常数解析(1)∵f(x)=ln x+,∴f '(x)=-=-,x>0,当a≤0时, f '(x)≥0总成立;当a>0时,令f '(x)=0,得x=a.当x∈(0,a)时, f '(x)<0;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0.综上所述,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时, f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(2)当a=2时, f(x)=ln x+.不妨令x1<x2,且x2>x1>0,要证明x1+x2>4,即证x2>4-x1.由(1)知f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则0<x1<2,x2>2,只需证f(x2)>f(4-x1),又f(x1)=f(x2),即证f(x1)>f(4-x1).设g(x)=f(x)-f(4-x)(0<x<2),则g(x)=ln x+-ln(4-x)--,则g'(x)=-----=---<0,所以g(x)在(0,2)内单调递减,所以g(x)>g(2)=0,所以f(x)>f(4-x)(0<x<2),故证得f(x2)>f(4-x1).所以x1+x2>4.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 合情推理与演绎推理1.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+<,1++<,1+++<,……,照此规律,第五个不等式为.答案1+++++<2.(2017上海浦东期中联考,12)在Rt△ABC中,两直角边长分别为a、b,设h为斜边上的高,则ℎ=+,由此类比:三棱锥P-ABC中的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,且长度分别为a、b、c,设棱锥底面△ABC上的高为h,则.答案ℎ=++方法2 直接证明的方法3.(2017皖南八校联考,17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,b n=,且a2·b2=,S5=.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求证:b1+b2+…+b n<.解析(1)设{a n}的公差为d.∵b n=,a2·b2=,S5=,∴·解得∴a n=n+,S n=,∴b n=.(2)证明:b1+b2+…+b n=+++…+=1-+-+-+…+--+-=--<.。