高中数学专题讲义-直接证明与间接证明
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题型一：综合法
【例1】若
11
0a b
<<,则下列结论不正确的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b a
a b
+> Ｄ．a b a b -=-
【例2】如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。
（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =
【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( )
(A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或
【例4】下列四个命题：①若1
02
a <<
,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a
-1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ，满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7
8；④
若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④
【例5】下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()4
1
1≤
-a a ；③2≥+a
b b a ；④()()()2
2222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠，则在①
ab b a ≥+222；②2≥+b
a
a b ； 典例分析
板块二.直接证明与
间接证明
③2
)2
(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中，恒成立的个数是 （ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
【例7】已知c b a ,,均大于1，且4log log =⋅c
b c
a ，则下列各式中，一定正确的是 （ ）
A b ac ≥
B c ab ≥
C a bc ≥
D c ab ≤
【例8】已知不等式1()()9,a x y x
y
++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是
（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+，sin sin b αβ=+，则a 、b 之间关系为 （ ）
A ．a b >
B ．b a >
C ．a b =
D ．不确定
【例10】设M 是ABC ∆内一点，且AB AC ⋅=u u u r u u u r
30BAC ∠=︒，定义()(,,)f M m n p =，
其中m 、n 、p 分别是MBC ∆，MCA ∆，MAB ∆的面积，若1
()(,,)2
f P x y =，则14x y +
的最小值是 （ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18
【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)4
3(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ）
的大小关系是)4
3(-f )1(2+-a a f .
【例12】设≥++=++>>>c
b
a
c b a c b a 111
,1,0,0,0则若
【例13】函数()y f x =在（0，2）上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则
()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 .
【例14】已知 5,2==b a ρρ，向量b a ρρ与的 夹角为0
120，则a b a ρρρ．)2(-=
【例15】定义运算
()
()
a a b
a b
b a b
≤
⎧
*=⎨
>
⎩
，例如，121
*=，则函数2
()(1)
f x x x
=*-的最大值为_________________．
【例16】若c
b
a>
>，*
N
n∈，且
c
a
n
c
b
b
a-
≥
-
+
-
1
1
恒成立，则n的最大值是。【例17】已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体：
①当)
,0[+∞
∈
x时，函数值为非负实数；
②对于任意的,[0,)
s t∈+∞，都有()()()
f s f t f s t
+≤+
在三个函数)1
ln(
)
(
,1
2
)
(
,
)
(
3
2
1
+
=
-
=
=x
x
f
x
f
x
x
f x中，属于集合M的
是。
【例18】给出下列四个命题：
①若0
a b
>>，则
11
a b
>；
②若0
a b
>>，则
11
a b
a b
->-；
③若0
a b
>>，则
2
2
a b a
a b b
+
>
+
；
④若0
a>，0
b>，且21
a b
+=，则
21
a b
+的最小值为9.
其中正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）【例19】如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件（或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是正方形、菱形等）时，
有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情
形）
图