高考数学一轮总复习 31导数的概念及运算课后强化作业 新人教B版

高考数学一轮总复习 31导数的概念及运算课后强化
作业 新人教B 版
基础巩固强化
一、选择题
1．(文)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x
[答案] A
[解析] ∵y ′＝－3x 2＋6x ，∴曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝－3＋6＝3，∴切线方程为y －2＝3(x －1)．
即y ＝3x －1.
(理)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π
4，0)处的切线的斜率为( )
A ．－1
2
B.12 C ．－
22
D.22
[答案] B
[解析] ∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )
(sin x ＋cos x )2
＝
1(sin x ＋cos x )2
，∴y ′|x ＝π4＝1
2.
2．(文)(2013·山东东营一模)设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )
[答案] C
[解析]根据题意得g(x)＝cos x，∴y＝x2g(x)＝x2cos x为偶函数．
又x＝0时，y＝0，故选C.
(理)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()
[答案] C
[解析]由f(x)在x＝－2处取极小值知f′(－2)＝0且在x＝－2的左侧f′(x)<0，而x
＝－2的右侧f ′(x )>0，因此，x <－2时，y ＝xf ′(x )>0，x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0，－2<x <0时，y ＝xf ′(x )<0，x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0，x >0时，y ＝xf ′(x )>0，故选C.
[点评] 函数、导数、不等式综合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求． 3．(文)(2013·浙江余姚)若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )
A ．4x －y －3＝0
B ．x ＋4y －5＝0
C ．4x －y ＋3＝0
D ．x ＋4y ＋3＝0
[答案] A
[解析] ∵直线x ＋4y －8＝0的斜率为－1
4
，y ′＝4x 3，
∴4x 3＝4，∴x ＝1，即切点为(1,1)，所以过切点的切线方程为y －1＝4(x －1)，整理得4x －y －3＝0.
(理)(2013·海口模拟)下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A ．f (x )＝e x
B ．f (x )＝x 3
C ．f (x )＝ln x
D ．f (x )＝sin x
[答案] D
[解析] 对于f (x )＝e x ，有f ′(x )＝e x >0恒成立；对于f (x )＝x 3，有f ′(x )＝3x 2≥0；对于f (x )＝ln x ，∵x >0，
∴f ′(x )＝1
x >0.因此在f (x )＝e x ，f (x )＝x 3，f (x )＝ln x 的曲线上，都不存在x 1，x 2使
f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，对于f (x )＝sin x ，∵f ′(x )＝cos x ，若f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，即cos x 1cos x 2＝－1，则只需x 1＝2k π，x 2＝(2k ＋1)π，k ∈Z 即可，故选D.
4．(文)已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( )
A.12 B ．1 C.3
2 D ．2 [答案] D
[解析] 由条件知，y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率f ′(1)＝1
2，又点(1，f (1))在切线x
－2y ＋1＝0上，
∴f (1)＝1，∴f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×1
2
＝2.
(理)(2013·河北教学质量监测)若函数f (x )＝2x ＋ln x ，且f ′(a )＝0，则2a ln2a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－ln2 D ．ln2
[答案] B
[解析] f ′(x )＝2x ln2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln2＋1a ＝0，得2a ln2＝－1
a ，则a ·2a ·ln2＝－1，
即2a ln2a ＝－1.
5．(文)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( ) A ．－3 B ．9 C ．－15 D ．－7 [答案] C
[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x 3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3. 又k ＝y ′|x ＝2＝(3x 2－3)|x ＝2＝9， ∴b ＝3－2k ＝3－18＝－15.
(理)(2013·河北质检)已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是( ) A ．e B ．－e C.1
e D ．－1e
[答案] C
[解析] 依题意，设直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 切于点(x 0，kx 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧
kx 0＝ln x 0，
k ＝1
x 0.
由此得ln x 0＝1，x 0＝e ，k ＝1
e
，选C.
6．(2013·辽宁大连二十四中期中)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )
A ．x ＝π
9
B ．x ＝π
6
C ．x ＝π
3
D ．x ＝π
2
[答案] A
[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
6的最大值为3， 即ω＝3，
∴f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π
6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π
3 (k ∈Z )．
故A 正确． 二、填空题
7．设θ为曲线y ＝x 3＋3x 2＋ax ＋2的切线的倾斜角，且所有θ组成的集合为[π4，π
2)，则
实数a 的值为________．
[答案] 4
[解析] 设切线的斜率为k ， 则k ＝y ′＝3x 2＋6x ＋a ， 又∵k ＝tan θ，θ∈[π4，π
2)，
∴k ∈[1，＋∞)． 又k ＝3(x ＋1)2＋a －3，
∴当x ＝－1时，k 取最小值为a －3＝1. ∴a ＝4.
8．(文)(2013·湖北黄冈一模)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则f ′(0)＝________.
[答案] －120
[解析] f ′(x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋x [(x －1)(x －2)(x －3)(x －4x )(x －5)]′， ∴f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
(理)(2013·江西理，13)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. [答案] 2
[解析] ∵f (e x )＝x ＋e x ， ∴f (x )＝x ＋ln x ，f ′(x )＝1＋1x ，
∴f ′(1)＝1＋1＝2.
9．(2013·陕西模拟)设曲线y ＝x n ＋
1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．
[答案] －2
[解析] 点(1,1)在曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)上，点(1,1)为切点，y ′＝(n ＋1)x n ，故切线的斜率为k ＝n ＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得切点的横坐标为x n ＝
n n ＋1，故a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg(x 1x 2…x 99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1
100＝－2.
三、解答题
10．(文)设函数f (x )＝ax ＋b
x 的图象在点M (3，f (3))处的切线方程为2x －3y ＋23＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)求函数f (x )的单调递减区间；
(3)证明曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[解析] (1)因为切点在切线上，
所以将点M 坐标代入切线方程解得f (3)＝43
3
. ∵f (x )＝ax ＋b x ，∴f ′(x )＝a －b
x
2，
根据题意，得关于a ，b 的方程组⎩
⎨
⎧
a －
b 3＝23，3a ＋b 3
＝433，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝1.
所以f (x )的解析式为f (x )＝x ＋1x .
(2)由f ′(x )＝1－1
x
2(x ≠0)，
令f ′(x )<0，解得－1<x <0或0<x <1. 所以f (x )的单调递减区间为(－1,0)，(0,1)． (3)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，
由y ′＝1－1
x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为
y －y 0＝(1－1
x 20
)(x －x 0)，
即y －(x 0＋1x 0)＝(1－1
x 20
)(x －x 0)．
令x ＝0，得y ＝2x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，2
x 0)．
令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪
2x 0|2x 0|＝2.
(理)已知函数f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，(0<a <b )．
(1)若函数f (x )在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π
4，求a 、b 的值；
(2)在(1)的条件下，求f (x )在区间[0,3]上的最值； (3)设f (x )在x ＝s 与x ＝t 处取得极值，其中s <t ， 求证：0<s <a <t <b .
[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，tan 3π
4
＝－1.
由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0f ′(1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧
1－(a ＋b )＋ab ＝0
3－2(a ＋b )＋ab ＝－1
，
解得a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1， 因为a <b ，所以a ＝1，b ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，f ′(x )＝3x 2－6x ＋2， 令f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0，解得x 1＝1－
33，x 2＝1＋3
3
. 在区间[0,3]上，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
(3)证明：f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，
依据题意知s ，t 为二次方程f ′(x )＝0的两根． ∵f ′(0)＝ab >0，f ′(a )＝a 2－ab ＝a (a －b )<0， f ′(b )＝b 2－ab ＝b (b －a )>0，
∴f ′(x )＝0在区间(0，a )与(a ，b )内分别有一个根．
∵s <t ，∴0<s <a <t <b .
能力拓展提升
一、选择题
11．(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数y ＝x 33－x 2
＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线
的倾斜角为α，则α的最小值是( )
A.π4
B.π
6 C.5π6 D.3π4
[答案] D
[解析] y ′＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∵0<x <2，∴－1≤y ′<0，
由题意知－1≤tan α<0，∴3π
4
≤α<π，故选D.
12．(文)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [答案] C
[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 2
4a )在第三象限，
故选C.
(理)(2013·潍南二模)若曲线f (x )＝13ax 3＋1
2bx 2＋cx ＋d (a ，b ，c >0)上存在斜率为0的切线，
则f ′(1)
b
－1的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞) [答案] A
[解析] 因为函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数f (x )图象上不存在斜率为0的切线，也就是f ′(x )＝0无解，故Δ＝b 2
－4ac <0，即ac >b 2
4，所以a ＋c b ≥2ac b >2b 2
4b ＝1，即f ′(1)b －1＝
a ＋c b
的取值范围是(1，＋∞)．
13．(2013·山东理，11)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2
＝1的右焦
点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )
A.3
16
B.38
C.233
D.433
[答案] D
[解析] 由已知抛物线
x 2＝2py (p >0)的焦点为
A (0，p 2)，双曲线x 23
－y 2
＝1的右焦点为
B (2,0)，渐近线方程为y ＝±3
3
x .
设M (x 0，y 0)，则y 0＝x 20
2p ，
由k MA ＝k AB 得x 202p －
p 2x 0＝p 2
－2
，(1)
由y ＝x 22p 知，y ′＝x p ，则y ′|x ＝x 0＝x 0p ＝3
3，
代入(1)式中消去x 0并解之得p ＝433.
二、填空题
14．(文)(2013·广东理，10)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.
[答案] －1
[解析] y ′＝k ＋1
x
，y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.
(理)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－∞，0)
[解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1
x ＝
0⇒a ＝－1
3x
3(x >0)⇒a ∈(－∞，0)．
15．(2013·宁波四中月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0
在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π
2)上不是凸函数的是
________(把你认为正确的序号都填上)．
①f (x )＝sin x ＋cos x; ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1; ④f (x )＝x e x . [答案] ①②③
[解析] 对于①，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin(x ＋π
4)<0在区间(0，
π2)上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x >0)，f ″(x )＝－1x 2<0在区间(0，π
2)上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间(0，π
2)上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x )＝e x ＋
x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x (x ＋2)>0在区间(0，π
2
)上恒成立，故④中函数不是凸函数．
三、解答题
16．(2013·河北冀州中学检测)已知函数f (x )＝x 3－3x . (1)求曲线y ＝f (x )在点x ＝2处的切线方程；
(2)若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3，f ′(2)＝9，f (2)＝23－3×2＝2，∴曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0.
(2)过点A (1，m )向曲线y ＝f (x )作切线，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，
则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)．
∵切线过点A (1，m )，
于是得2x 30－3x 20＋m ＋3＝0，(*)
∵过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，∴方程(*)有三个不同实数根． 记g (x )＝2x 3－3x 2＋m ＋3，g ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)， 令g ′(x )＝0，x ＝0或1.
则x ，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：
当x ＝0时，g (x )有极大值m ＋3；当x ＝1时，g (x )有极小值m ＋2.
由g (x )的简图知，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)>0，g (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋3>0，
m ＋2<0，
－3<m <－2时，函数g (x )有三个
不同零点，过点A 可作三条不同切线．
所以所求m 的范围是(－3，－2)．
考纲要求
1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．
3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1
x 的导数．
4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 补充材料
1．注意一个区别——曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点；走出一个误区——直线与曲线相切不一定仅有一个公共点，除切点外还可以有其他公共点．
2．准确理解导数及其几何意义
3．注意f ′(x 0)与(f (x 0))′的区别，f ′(x 0)是f ′(x )在x ＝x 0时的函数值，而(f (x 0))′＝0. 4．易错警示
(2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等
于( )
A ．－1或－25
64
B ．－1或－3
8
C ．－74或－2564
D ．－74
或7
[答案] A
[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 2
0(x －x 0)，
即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32
， 当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－25
64
；
当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋15
4
x －9相切可得a ＝－1，所以选A.
本题常犯的错误是，不对点(1,0)的位置作出判断，直接由y ＝x 3，得出y ′|x ＝1＝3，再由y ＝ax 2＋154x －9，得y ′|x ＝1＝2a ＋154＝3求出a ＝－3
8
，错选B.
备选习题
1．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )
A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )
B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )
C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )
D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )
[答案] C
[解析] 因为f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′，所以[f (x )g (x )]′<0，所以函数y ＝f (x )g (x )在给定区间上是减函数，故选C.
2．(2013·济南质检)若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )
A ．0
B ．锐角
C ．直角
D ．钝角
[答案] D
[解析] 由已知得：
f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )． ∴f ′(1)＝e(cos1－sin1)． ∵π2>1>π
4
， 而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1. ∴f ′(1)<0.
即f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率k <0. ∴切线的倾斜角是钝角．
3．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝2x ＋1
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝－2x －3
D ．y ＝－2x －2
[答案] A
[解析] ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2
(x ＋2)2
，
∴k ＝y ′|x ＝－1＝
2
(－1＋2)2
＝2，
∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.
4．(2013·济南模拟)已知a 是实数，则函数f (x )＝sin ax 的导函数的图象可能是( )
[答案] C
[解析] f ′(x )＝a cos ax ，为偶函数，排除A 、D ；若f ′(x )的最大值为1，则其周期应为2π，排除B ，若f ′(x )的最大值为2，其周期应为π，故C 适合．
5．(2013·广州模拟)已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f (π4)＝________.
[答案] 0
[解析] 由已知得，f ′(x )＝f ′(π
2)cos x －sin x .则
f ′(π2)＝－1，因此f (x )＝－sin x ＋cos x ，f (π
4
)＝0.。