【浙教版】高中数学必修五期末一模试题(及答案)(1)

一、选择题
1．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12
a b
+的最小值为（ ） A ．15
B
．8+C ．16
D
．8+2．已知变量,x y 满足约束条件5021010x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-≥⎩
，则目标函数=21z x y =+-的最大值为
（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
3．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A ．
275
B ．
245
C ．5
D ．6
4．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．在ABC 中，π
6
A =
，1,a b == B =（ ） A ．
4
π B ．
34
π C ．
4π或
34
π
D ．
6π或56
π
6．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°
，三角形的面积S =
A
B
．C ．2 D ．4
7．已知点O 为ABC 的外心，且3
A π
=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是
（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形
C ．直角三角形或等边三角形
D ．钝角三角形
8．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知45A =︒，2a =
，b =B 为（ ） A ．60︒
B ．60︒或120︒
C ．30
D ．30或150︒
9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n n
n S S S n +-+=+≥，
若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52
-
B ．
116
C ．
332
D ．1
10．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且21n n S a =-，若()0,2021n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的和为（ ） A ．1022
B ．1023
C ．2046
D ．2047
11．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810
B ．840
C ．870
D ．900
12．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()11
1212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．
192
B ．
212 C ．
2155
D ．
2366
二、填空题
13．已知对满足4x y xy +=的任意正实数x ，y ，都有22210x xy y ax ay ++--+≥，则实数a 的取值范围为___________.
14．已知x ，y 满足条件10
30,1
x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则32z x y =-+的最小值为___________.
15．在ABC 中，3
B π
=
，AC =
，则4AB BC +的最大值为_______． 16．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC 的面积为S
，若
cos cos 3
S a B b A =+，
cos sin 7tan cos sin 12A A A A π+=-，3c =，则a =__________. 17．在钝角ABC 中，已知2a =，4b =，则最大边c 的取值范围是__________．
18．已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =-的最大值是________________.
19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，则10S =______. 20．数列{}n a 满足：112
a =
，2
12n n a a a n a ++⋯+=⋅，则数列{}n a 的通项公式n a =___________.
三、解答题
21．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤)，调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？
（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 22．设函数()()()2
230f x ax b x a =+-+≠．
（1）若不等式()0f x >的解集()1,1-，求a ，b 的值； （2）若()12f =， ①0a >，0b >，求
14
a b
+的最小值； ②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．
23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；
（2）若ABC
的面积ABC
S
=a 的取值范围.
24．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
()sin 2cos A a B =+. （1）求角B ；
（2）若3b =，且ABC
11a c +的值.
25．已知数列{}n a 的首项为4． （1）若数列{
}2
n
n a -是等差数列，且公差为2，求{}n
a 的通项公式．
（2）在①3248a a -=且20a >，②364a =且40a >，③20212201716a a a =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题，若{}n a 是等比数列，__________，求数列
(){}31n
n a -的前n 项和n
S
．
26．已知正项等比数列{}n a ，24a =， 1232a a a +=；数列{}n b 的前n 项和n S 满足
n n S na =.
（Ⅰ）求n a ，n b ；
（Ⅱ）证明：
31
24
122334
1
2n n n b b b b a a a a a a a a ++++++
<.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】
正实数a ，b 满足231a b +=， 则
(
)121223888348a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+=+ ⎪⎝⎭仅当
34b a b a =
，即a b ==时等号成立，故12a b +
的最小值为8+ 故选：D. 【点睛】 思路点睛：
利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1
）积定，利用x y +≥，求和的最小值；
（2）和定，利用()2
4
x y xy +≤
，求积的最大值；
（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.
2．C
解析：C 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】
由约束条件50
21010x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-≥⎩
作出可行域如图，
联立1
50
x x y =⎧⎨
+-=⎩，解得A （1，4），
化目标函数z ＝x +2y ﹣1为y 1222
x z =-
++，
由图可知，当直线y 1
222
x z =-++过A 时，z 有最大值为8． 故选C ．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
3．A
解析：A 【解析】
正数x ，y 满足35x y xy +=,则
13
155y x
+=，()13493627
43433325555255x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=
⎪⎝⎭
故答案为A.
点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．
4．B
解析：B 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 【详解】
不等式组所表示的可行域如下图所示：
易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得
0a ≥，
令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线
32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，
解得2a =. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
5．C
解析：C 【分析】
由正弦定理解三角即可求出B . 【详解】 在ABC 中，π
6
A =，1,2a b ==, 所以
sin sin a b A B
=, 即121sin 2
B =，解得2sin B =
故4B π
=
或
34
π， 故选：C
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角中的应用，考查了运算能力，属于中档题.
6．C
解析：C 【解析】
1
32sin1202
S c ==⨯︒ ，解得c =2.
∴a2=22+22−2×2×2×cos120°=12，解得23
a=，
∴
23
24
sin3
a
R
A
===
，
解得R=2.
本题选择C选项.
7．B
解析：B
【分析】
取AB、AC的中点E、F，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得222
2a b c
=+，再利用余弦定理得2
bc a
=，由正弦定理得边角互化以及两角差得正
弦公式求出
3
B
π
=，即证.
【详解】
取AB、AC的中点E、F，
则()
CO AB CE EO AB CE AB
⋅=+⋅=⋅
()()()
22
11
22
CB CA CB CA a b
=+⋅-=-，
同理()
22
1
2
BO CA c a
⋅=-，所以222
2a b c
=+，
又
3
A
π
=，由余弦定理，得222
a b c bc
=+-，
即222
b c a bc
+=+，所以2
bc a
=，
由正弦定理，得2
3
sin sin sin
4
B C A
==，
即
23
sin sin
34
B B
π
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，
所以
23131cos23 sin sin sin cos sin2
322444
B
B B B B B B
π⎛⎫-
⎛⎫
-=+=+=
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
2cos 22B B -=，所以2sin 226B π⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 即sin 216B π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
因为20,3B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，
所以26
2
B π
π
-
=
，解得3
B π
=
，
所以3
A B C π
===， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B 【点睛】
本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.
8．C
解析：C 【分析】
根据正弦定理得到1
sin 2
B =，再根据a b >知A B >，得到答案. 【详解】
根据正弦定理：sin sin a b
A B =，即1sin 2
B =，根据a b >知A B >，故30B =︒. 故选：
C . 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.
9．C
解析：C 【分析】
由n S 与n a 的关系得21n
n a =-，则272n max
n λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设272n n n c -=
，利用数列的单调性即可求解． 【详解】
解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n n
n S S S n +-+=+≥， 所以112n
n n n n S S S S +--=+-，
故()12
2n
n n a a n +-=≥，
因为1
212a a -=，所以()12
1n
n n a a n +-=≥，
所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1
212a a -=， 则121
1222n n a a --=++⋯+，
故11
21122
2121
n n n n a --=++⋯+==--， 所以(
)1231
22122222
221
n n n n
S n n n +-=+++⋯+-=-=---，
所以21n
n n S a n -=--，
因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272n
max
n λ-⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭． 设272
n n
n c -=
，则111252792222n n n n n n n n
c c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即53
32c λ≥=，故λ的最小值为332
． 故选：C 【点睛】
本题解答的关键利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出n
a 的通项；
10．D
解析：D 【分析】
由1(2)n n n a S S n -=-≥求出{}n a 的递推关系，再求出1a 后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前n 项和公式求解． 【详解】
当2n ≥时，11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---，∴12n n a a -=， 又11121a S a ==-，11a =，∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1， 所以12n n
a ，由122021n n a -=<得110n -≤，即11n ≤，
∴所求和为11
12204712
S -==-．
故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列新定义，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，解题思路
是由1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推关系后确定数列是等比数列，从而求得通项公式．解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项．
11．B
解析：B 【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为
10(3165)
8402
+= ，选B. 12．C
解析：C 【解析】
依题意有11
111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424
a =，…… 101110112221,,101155
a a a a =
=+=. 二、填空题
13．【分析】利用基本不等式求得的取值范围对不等式分离常数结合函数单调性求得的取值范围【详解】依题意则当且仅当时等号成立由为正实数得令在上递增所以时有最小值所以故答案为：【点睛】利用基本不等式求最值要注意 解析：82
9
a ≤
【分析】
利用基本不等式求得x y +的取值范围，对不等式2
2
210x xy y ax ay ++--+≥分离常数
a ，结合函数单调性求得a 的取值范围.
【详解】
依题意4x y xy +=，则
14
1y x
+=， (
)144559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当
4,26x y
x y y x
===时等号成立. 由2
2
210x xy y ax ay ++--+≥，,x y 为正实数得
()()2
10x y a x y +-++≥，1
a x y x y
≤++
+， 令9t x y =+≥，
1t t +在[)9,
+∞上递增，所以9t =时1t t +有最小值182999
+=， 所以82
9
a ≤
故答案为：829
a ≤ 【点睛】
利用基本不等式求最值，要注意掌握“1”的代换的方法.
14．【分析】作出不等式组所表示的可行域平移直线根据直线在轴上的截距最小找到使得目标函数取得最小值时的最优解代入计算即可【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线当直线经过可行域的顶点时直线在 解析：2-
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =-+，根据直线3
2
z x y =-+在y 轴上的截距最小，找到使得目标函数3
2
z x y =-+取得最小值时的最优解，代入计算即可. 【详解】
作出不等式组10301x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
所表示的可行域如下图所示：
平移直线32z x y =-
+，当直线3
2
z x y =-+经过可行域的顶点()2,1A 时，直线32z x y =-+在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，即min 3
2122z =-⨯+=-.
故答案为：2-. 【点睛】 思路点睛：
求线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法，根据目标函数所对应的直线在坐标轴上的截距取得最值来判断目标函数在何处取得最优解.
15．【分析】利用正弦定理可将表示关于角的三角函数求出角的取值范围利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值【详解】由正弦定理可得则则其中为锐角且所以当时取最大值故答案为：【点睛】求三角形有关代数式的取值范围
【分析】
利用正弦定理可将4AB BC +表示关于角A 的三角函数，求出角A 的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得4AB BC +的最大值. 【详解】
由正弦定理可得21sin sin sin sin 3
BC AB AC
A C
B π
====，则sin BC A =，sin AB C =，
3
B π=
，203A π∴<<，
则
(
)14sin 4sin sin 4sin sin 4sin 22
AB BC C A A B A A A A
+=+=++=+
+()9sin cos 22
A A A ϕ=+=+， 其中ϕ
为锐角，且tan 9
ϕ=，23A πϕϕϕ∴<+<+， 所以，当2
A π
ϕ+=时，4AB BC +取
【点睛】
求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
16．【分析】先根据三角形面积公式以及正弦定理化简条件得再利用弦化切以及两角和正切公式化简条件得即得最后根据余弦定理解得【详解】由可知根据正弦定理知又得因为所以故因此又故故答案为：【点睛】本题考查三角形面
【分析】
先根据三角形面积公式以及正弦定理化简条件cos cos 3
S a B b A =+
得sin b A =再利用弦化切以及两角和正切公式化简条件
cos sin 7tan cos sin 12A A A A π
+=-得3
A π=，即得
4b =，
最后根据余弦定理解得a =. 【详解】
由
cos cos 3S a B b A =+可知1sin cos cos 32
ab C a B b A =+，
根据正弦定理知
1
sin sin sin cos sin cos sin 32
A b C A
B B A
C ⋅⋅=+=，
又0,sin 0C C π<<>，得sin b A =
cos sin 1tan cos sin 1tan A A A A A A ++=--7tan tan 412A ππ⎛
⎫=+= ⎪⎝⎭
，
因为()0,A π∈，所以74
12A π
π
+
=
，故3
A π=，因此4b =，
又2222cos 13a b c bc A =+-=，故a =.
【点睛】
本题考查三角形面积公式、正弦定理、余弦定理，考查综合分析求解能力，属中档题.
17．【分析】利用三角形三边大小关系余弦定理即可得出【详解】因为三角形两边之和大于第三边故解得故答案为：【点睛】本题考查了三角形三边大小关系余弦定理考查了推理能力与计算能力属于中档题
解析：
【分析】
利用三角形三边大小关系、余弦定理即可得出． 【详解】
因为三角形两边之和大于第三边，故6c a b <+=．
222
24
cos 0224
c C +-=<⨯⨯，解得c >
c ∴∈．
故答案为：． 【点睛】
本题考查了三角形三边大小关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【分析】画出可行域再分析直线取最大值的最优解即可【详解】由约束条件作出可行域如图联立目标函数由图可知过A 时直线在y 轴上的截距最小z 有最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题考查
解析：1
2
【分析】
画出可行域，再分析直线2z x y =-取最大值的最优解即可. 【详解】
由约束条件11y x x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
作出可行域如图，
联立11
(,)1
22y x A x y =⎧⇒⎨
+=⎩． 目标函数22z x y y x z =-⇒=-由图可知，过A 时，直线在y 轴上的截距最小，
z 有最大值为12
． 故答案为：12
【点睛】
本题主要考查了线性规划求最大值的问题，考查运算求解能力和数形结合思想，属于基础题.
19．【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为：【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题 10
【分析】
先利用11a S =求出1S ，再利用2n ≥时1n n n a S S -=-可知{}
2
n S 是首项为1，公差为1的
等差数列，即可求出10S .
【详解】 当1n =时，1
111112S a a a ，解得11a =，11S = 当2n ≥时，1
1
1
12
n
n n n n
S S S S S ，整理可得2
2
11n n S S --=，
2n S 是首项为1，公差为1的等差数列， 21
1
1n S n n ，
{}n a 是正项数列，n S ∴=
10
10S .
【点睛】
本题考查等差数列的判断，考查n a 和n S 的关系，属于中档题.
20．【分析】当时作差即可得到再利用累乘法求出数列的通项公式即可；【详解】解：因为①；当时②；①减②得即所以所以所以所以……所以所以又所以当时也成立所以故答案为：【点睛】对于递推公式为一般利用累乘法求出数 解析：
21
n n
+ 【分析】
当2n ≥时，()2
12111n n a a a n a --++⋯+=-⋅，作差即可得到11
1
n n a n a n --=+，再利用累乘法求出数列的通项公式即可； 【详解】
解：因为2
12n n a a a n a ++⋯+=⋅①；
当2n ≥时，()2
12111n n a a a n a --++⋯+=-⋅②；
①减②得()2
211n n n a n a n a -=⋅-⋅-，即(
)
()2
2
111n n n a n a -⋅-⋅-=，所以
()()()2
1111n n n n a n a --+=⋅-⋅，所以()()111n n n a n a -⋅-⋅+=，所以1
1
1n n a n a n --=+
所以
2113a a =，3224a a =，4335
a a =，……，11
1n n a n a n --=+，
所以324
2113123
1345
1n n a a a a n a a a a n --⋅⋅⋅
⨯⨯⨯
=⨯+，所以()121n a a n n =+，又112
a =，所以()11n a n n =
+，当1n =时()11n a n n =+也成立，所以()
1
1n a n n =+
故答案为：()
1
1n n +
【点睛】
对于递推公式为()1
n
n a f n a -=，一般利用累乘法求出数列的通项公式，对于递推公式为()1n n a a f n --=，一般利用累加法求出数列的通项公式； 三、解答题
21．（1）最多75人；（2）存在，{}7m ∈. 【分析】
（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得2125x m ≥+，由②可得100325
x
m x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【详解】
（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为()14%x a +⎡⎤⎣⎦万元， 则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >) 解得075x ≤≤，
4575x ，所以调整后的技术人员的人数最多75人；
（2）①由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛
⎫-
≥ ⎪⎝
⎭，解得2125
x
m ≥+. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
()()210014%25x x x a x m a ⎛
⎫
-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝
⎭
， 两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛
⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
整理得100325
x
m x ≤++， 故有
2100132525
x x m x +≤≤++，
因为
10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤， 又因为4575x ≤≤，当75x =时，
225
x
取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，使得其范围为{}7m ∈.
【点睛】
本题考查不等式的应用，解题的关键是正确理解题中数量关系，建立正确的不等式，进而求解.
22．（1）3
2a b =-⎧⎨=⎩
；（2）①9；
②33a -<+．
【分析】
（1）由已知可得，()2
230ax b x +-+=的两根是1-，1，然后可求出答案；
（2）由条件可得1a b +=，①用基本不等式可求出
14
a b
+的最小值，②()()2
2
231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立，然后可得0
0a >⎧⎨∆<⎩
，结
合1a b +=可求出实数a 的取值范围． 【详解】
（1）由已知可得，()2
230ax b x +-+=的两根是1-，1
所以()21103111b a a
-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩．
（2）①()12321f a b a b =+-+=⇒+=
(
)14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当
4b a
a b
=时等号成立， 因为1a b +=，0a >，0b >，解得13
a =，2
3b =时等号成立，
此时
14
a b
+的最小值是9． ②()()2
2
231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立，
∴()2
02800
a b a >⎧⇒--<⎨
∆<⎩， 又因为1a b +=代入上式可得()2
2180610a a a a +-<⇒-+<
解得：33a -<<+ 【点睛】
本题考查的是一元二次不等式和一元二次方程的关系、利用基本不等式求最值和一元二次不等式的恒成立问题，考查了学生对基本知识的掌握情况，属于典型题. 23．（1）
π
3
；（2）[)4,+∞.
【分析】
（1）由条件和正弦定理化简得到2cos sin sin 0A C C -=，求得1
cos 2
A =
，即可求解； （2）由（1）和三角形的面积公式，求得16bc =，结合余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】
（1）因为22cos b c a C -=，
由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C -=， 又()()sin sin πsin B A C A C =-+⎡=⎤⎦+⎣，
所以()2sin cos cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +-=， 所以2cos sin sin 0A C C -=，
因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1
cos 2
A =， 因为()0,πA ∈，所以，π3
A =. （2）由（1）知π3
A =，
所以11πsin sin 223ABC S bc A bc =
===△16bc =， 由余弦定理得2
2
2
2
2
π
2cos 2cos
3
a b c bc A b c bc =+-=+- 22216b c bc bc bc bc =+-≥-==，
当且仅当4b c ==时取等号，所以216a ≥， 因为0a >，所以a 的取值范围是[
)4,+∞. 【点睛】
对于解三角形问题的常见解题策略：
对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.
24．（1）2π3；（2）
2
. 【分析】
（1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解.
（2）根据三角形的面积公式可得2ac =，再利用余弦定理可得a c +=. 【详解】
解：（1sin (2cos )A a B =+，
sin sin (2cos )A B A B =+.
∵(0π)A ∈，
，∴sin 0A >，
∴
cos 2B B -=，∴π
2sin 26
B ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
，
∴ππ62B -
=，∴2π3
B =. （2
）因为ABC
S =
，
∴12πsin 23ac =
，∴2ac =. 又∵2222
2cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-，
∴a c +=
∴
11a c a c ac ++==
. 25．（1）22n
n a n =+；（2）()132483
n n n S +-+=
【分析】 （1）求出{
}2
n
n a -首项，即可求出{}2n n
a
-通项公式，得出{}n a 的通项公式；
（2）设出公比，建立关系求出公比，再利用错位相减法即可求出n S . 【详解】
解：（1）因为14a =，所以122a -=， 因为数列{
}2n
n a -是等差数列，且公差为2，
所以()2
2212n
n a n n -=+-=，
则22n n a n =+.
（2）选①：设公比为q ，由3248a a -=，得24448q
q -=，
解得4q =或3-，因为20a >，所以4q =. 故4n
n a =.
()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯+
+-⨯，
两式相减得()()231383444314n n n
S n +-=++++--，
即()2114438313414
n n n S n ++--=+⨯+--()1
2348n n +=--，
故()132483
n n
n S +-+=
. 选②：设公比为q ，由364a =，得2
464q
=，
解得4q =±，因为20a >，所以4q =.
故4n
n a =.
()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯+
+-⨯，
两式相减得()()231383444314n n n
S n +-=++++--，
即()2114438313414
n n n S n ++--=+⨯+--()1
2348n n +=--，
故()132483
n n
n S +-+=
. 选③：设公比为q ，由20212201716a a a =，得20211201820181664a a a a ==，
则3
64q =，所以4q =.
故4n
n a =.
()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯+
+-⨯，
两式相减得()()231383444314n n n
S n +-=++++--，
即()2114438313414
n n n S n ++--=+⨯+--()1
2348n n +=--，
故()132483
n n
n S +-+=
. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则
111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，利用裂项相消法求和. 26．（Ⅰ）2n
n a =；()1
12
n n b n -=+⋅；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（1）由题设求出数列{}n a 的基本量，即可确定n a ；再由1n n n b S S -=-确定n b ； （2）用错位相减法整理不等式左侧即可证明. 【详解】
（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由1232a a a +=，得22q q += 解得2q
或1q =-（舍）
又242n
n a a =⇒=
由n n S na =，得12b =
2n ≥时，()()11
121212n n n n n n b S S n n n ---=-=⋅--⋅=+⋅
则()1
12
n n b n -=+⋅
（2）()()1
1112212222n n n n n n n n b n a a +++++⎛⎫
==+ ⎪
⋅⎝⎭
设31
24122334
1
n n n n b b b b
T a a a a a a a a ++=
++++
则()2
3
4
1
111134522222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()3
4
1
2
11111341222222n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
=⨯+⨯+++++ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
两式相减得()2
3
4
1
2
11111131112222222n n n T n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
得()2
111422n n T n +⎛⎫=-+⋅ ⎪
⎝⎭
得()1
12422n n T n +⎛⎫=-+⋅< ⎪
⎝⎭
【点睛】
关键点睛：当数列{}n c 满足n n n c a b =，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列时，数列{}n c 的前n 项求和可用错位相减法.。