专题03+线性规划与三角函数小题-冲刺高考最后一个月之数学(理)名师押题高端精品

专题03 线性规划与三角函数（理）
一.线性规划小题
（一）命题特点和预测：分析近8年的高考试题发现，线性规划8年7考，每年1题，主要考查利用数形结合思想解简单的线性规划问题，是基础题，少数年份考线性规划应用题、斜率型规划问题和规划问题与其他知识的交汇，难度较大.2019年仍将重点考查目标函数为线性的规划问题，也可能考查含参数的线性规划问题、目标函数为斜率型和距离型的规划问题、线性规划应用题及规划与简易逻辑、几何概型的交汇问题，要做好这方面问题的复习和训练．
（二）历年试题比较：
满足约束条件则
满足约束条件，则
，
【解析与点睛】
（2018年）【解析】，将其上下移动，结合B 时，z 取得最大值， 由
，此时
，故答案为6.
（2017年）【解析】不等式组表示的可行域如图所示，易求得
，
由32z x y =-得322
z
y x =
-在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为
.
【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；
③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
（2016年）【解析】设分别生产y x ,件B A ,产品，则
，即，目标函
数为
，作出可行域如图所示，作出直线
，平移直线0l ，当
过A 时，z 取最大值，由
解得)100,60(A ，m ax z =216000.
（2015年）【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，
y
x
是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故
y
x
的最大值为3.
（2014年）【解析】画出可行域，如图所示，设2x y z +=，则
，当直线l 过点(2,1)A -时，
z 取到最小值，
，故2x y +的取值范围为20x y +≥，所以正确的命题是12,p p ，选
B ．
（2012年）【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：2x y -=0，平移直线0l ，有图像知，
:l 2z x y =-，过A （1,2）点时min z =－3，过B(3,0)时，max z =3，故2z x y =-的取值范围为[－3,3].
（2011年）【解析】作出可行域与目标函数，由图知，目标函数过A 点时，2z x y =+取最小值，解
23
9
x y x y +=⎧⎨
-=⎩得A(4，－5)， =－6.
（三）命题专家押题
满足约束条件
满足约束条件
D．4
已知实数满足
，则
满足不等式组
某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐
D．-1
1.【答案】D
【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解
，故选D.
2.【答案】4
【解析】画出可行域如图（阴影部分）
A时，y轴的截距最小，此时z最小．由，
即A（1，2）4．
3.【答案】[1，2]
，可知
平移可知如图，当直线经过点
A(-1,-1)-42，
4,选D.
5.【答案】C
【解析】化简表示的可行域，如图，
由
C.
6.【答案】
【解析】作出可行域如图，
，∴z＝
7.【答案】
【解析】设，，显然点集5
表示的平面区域，如图所示，作
图可知，边界
，所以当B
8.【答案】A
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为
（含边界），所以由几何概型得：
由，由，由，
，
，故选A.
9.【答案】30
，目
作出可行域如图所示，作出直线
，平移该直线，
m ax
z ，所以
.
10..【答案】B
A （2，1），
B （4，5），
C （1，2），化目
标函数z ＝ax +3y 为a ＞0时，由图可知，当直线A 或C 时，直线在y 轴上的
截距最小，z 有最小值．若过A ，则2a +3＝7，解得a ＝2；若过C ，则a +6＝7，解得a ＝1不合题意．
当a ＜0时，由图可知，当直线A 或B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．若过A ，
则2a +3＝7，解得a ＝2，不合题意；若过B ，则4a +15＝7，解得a ＝﹣2，不合题意．∴a 的值为2，故选B ．
二.三角函数小题
（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现，8年14考，每年至少1题，多数年份是2
小、3小，个别年份4小，主要考查三角函数定义、诱导公式、同角三角函数基本关系、和差倍半公式、图象变换、三角函数的图象与性质、利用正余弦定理解三角形，难度一般为1个基础题、2个中档题、有时也会为压轴题.2019年高考仍将坚持至少1小、难度为1基础1（或2）中档、重点考查三角公式、图象变换、三角函数图象与性质、正余弦定理应用，可能在与其他知识交汇处命题，适度创新.
（二）历年试题比较：
）已知曲线，则下面结论正确的是
）=( )
(A)
(C)(D)
设则（
【解析与点睛】
（2018年）【解析】∵，
，函数的增区间为，所以当时，此时，所以.
（2017年）【解析】因为
12
,
C C函数名不同，所以先将
2
C利用诱导公式转化成与
1
C相同的函数名，则
，则由
1
C上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍变为
cos 2y x =，再将曲线向左平移
π
12
个单位长度得到2C ，故选D. 【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重
点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩
后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.
（2016年）【解析】当11=ω时，由，Z k ∈，∴，因为4
||π
ϕ≤
，
所以4
π
ϕ-
=，所以)(x f =
，当时，
，因为x y sin =在
不单调，故A 错；当9=ω时，由，Z k ∈，∴
，因为
4
||π
ϕ≤
，所以4
π
ϕ=
，所以)(x f =)4
9sin(π
+
x ，当
时，
，因为x
y sin =在）
，（
2
343π
π单调，故选B. （2015年）（2）【解析】原式=
=o
sin30=
1
2
，故选D.
(8)【解析】由五点作图知，
，解得=ωπ，=
4
π
ϕ，所以，令
，解得124k -
＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（1
24
k -，324k +），k Z ∈，故选D.
(16)【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，
∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得，即，解得
BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，
∠FCB =30°，由正弦定理知，
，即
，解得BF
AB ）.
（2014年）(4)【解析】如图所示，当02
x π
≤≤
时，在Rt OPM ∆中，
．在
Rt OMD ∆中，MD =s i n O M x
；当
2
x π
π<≤时，在R t O P M
∆中，
，在R t O M D ∆中，MD =
，所
以当0x π≤≤时，()y f x =的图象大致为C ．
(8)【解析】由已知得，
，去分母得，，所以
，，又因为，
，所以
，即22
π
αβ-=
，选C ．
（16）【解析】由2=a ，且
，故
，
又根据正弦定理，得，化简得，，故，所
以0
A 60=，又
，故．
（2013年）【解析】f (x )＝sin x －2cos x ＝
，令cos α
，sin α＝
f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π
2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值
，即θ＝2k π＋
π
2
－α(k ∈Z )，所以cos θ＝＝πcos 2α⎛⎫
-
⎪⎝⎭
＝sin α＝
.
（2012年）【解析】∵ω＞0，x ∈（
2
π
，π），∴4x πω+∈（24ωππ+，4πωπ+）
，∵()f x =sin()4x πω+在（
2π，π）单调递减，∴（24ωππ+，4πωπ+）⊂（2π，32π），∴2
π≤24ωππ
+且4πωπ+≤
32π，解得
12≤ω≤5
4
，故选A. （2011年）（5）【解析】根据题意可知，
.
（11）【解析】∵()f x =
，由题意知
2π
ω
=π且+
4
π
ϕ=2
k π
π+
，解得ω=2，ϕ=4
k π
π+
，
又∵||ϕ＜
2π，∴ϕ=4
π
，∴()f x =2x ，当x ∈（0，
2
π
）时，2x ∈（0，π），故()f x 在（0，
2
π
）单调递减，故选A.
（16）【解析】由正弦定理可知，
则有AB ＋2BC
（三）命题专家押题
的对边分别为，若．则角（
将函数的图象向右平移
轴对称，则
函数的部分图像如图所示，则函数
已知函数，则下列说法不正确的是（
已知函数对任意的都有
ABC
∆C的对边分别为，已知a
=(
∈
C
的取值范围为
【详细解析】
1.【答案】C
【解析】因为将终边按逆时针方向旋得到的角由三角函数的定义，可得
，，所以
，故选C．
2.【答案】A
【解析】∵，故选A
3.【答案】A
【解析】∵，∴由正弦定理可得：
A．
4.【答案】D
【解析】
，故选D.
5.【答案】C
【解析】（
单位长度后，得函数的图象，由该函数图象关于
，解得
C．
6.【答案】D
,
，当时，函数单调递增，化简得，故选D.
7.【答案】D
【解析】故A选项正确.，故B选项正确. 将
的图像向右平行移动，故C选项正
确.D选项说法错误.故选D.
8.【答案】A
【解析】，其中tanϕ
由题意f（x）得（1+a）2＝9，a＞0，∴a＝2，，
所以，且f（x）在[0，π]上的值域为，故选A．9.【答案】
【解析】设，
10.【答案】600
【解析】航标A在正东，俯角为30°，由题意得∠APC＝60°，∠PAC＝30°，航标B在南偏东60°，俯角
为45°，则有∠ACB＝30°，∠CPB＝45°，故有BC＝PC＝600，AC
理知AB2＝BC2+AC2﹣2BC•AC•COS∠ACB＝360000+360000×3﹣2×＝360000，∴AB＝600．。