2018届江西省九江市高三第一次高考模拟统一考试文科数

九江市2018年第一次高考模拟统一考试
数 学（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．全卷满分180分，时间180分钟．
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共18小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、设集合{
x y A ==
，(){}ln 3x y x B ==-，则A
B =（ ）
A ．{}2x x ≥-
B ．{}3x x ≤
C ．{}23x x -<≤
D ．{}23x x -≤<
2、设复数21i z i
-=+，则z =（ ）
A ．132
2
i - B ．132
2
i + C ．13i - D ．13i +
3、已知双曲线
2214x y a -=的渐近线方程为y =的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．53
D ．
4、已知3tan 5
α=-，则sin 2α=（ ）
A ．1517
B ．1517
- C ．8
17
-
5、已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．
2124
n --
B ．
1122
n --
C ．21n -
D ．122n +-
6、在区间[]0,2π上任取一个数x ，则使得2sin 1x >的概率为（ ）
A ．16
B ．14
C ．13
D ．23
7、在如下程序框图中，输入()0x f x xe =，若输出的()i f x 是()8x x e +，则程序框图中的判断框应填入（ ）
A ．6i ≤
B ．7i ≤
C ．8i ≤
D ．9i ≤
8、已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（ϕπ<）的图象向左平移6
π个单位
后得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，则ϕ的值为（ ）
A ．23
π- B ．3
π- C ．3
π
9、若实数x ，y 满足2x y a -≤≤（()0,a ∈+∞），且2z x y =+的最大值为10，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
18、如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）
A ．
．C ．
．18、过抛物线28y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交抛物线的准线于C ，若F 6A =，C F λB =B ，则λ的值为（ ） A ．3
4
B ．32
C ．
D ．3
18、设函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-，()()12x f x x e -+=．若()()log a g x f x x =-在()0,x ∈+∞有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）
A ．[]3,5
B ．[]4,6
C ．()3,5
D ．()4,6
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第18-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 18、已知()1,0a =，()2,3b =，则()()2a b a b -⋅+= ． 18、在C ∆AB 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
222a b c bc =++
，a =S 为C ∆AB
的面积，则cosC S B 的最大
值为 ．
18、已知矩形CD AB 的顶点都在半径为2的的球O 的球面上，且
3AB =
，C B =D E 垂直于平面CD AB ，交球O 于E ，则棱锥CD E -AB 的体积为 ．
18、已知函数()212ln 2
f x x ax x =+-，若()f x 在区间1,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是增函数，
则实数a 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18、（本小题满分18分）已知等差数列{}n a 中，11a =，其前n 项和n S 满足4242
n N
n S S S +++=+（n +∈N ）．
()1求数列{}n a 的通项公式； ()2令1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18、（本小题满分18分）某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分（采用百分制），剔除平均分在30分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生成绩分为6组，
()1估计男、女生各自的成绩平均分（同一组数据用该组区间中点值作代表），从计算结果看，判断数学成绩与性别是否有关；
()2规定80分以上为优分（含80分）
，请你根据已知条件作出22⨯列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．
附表及公式
()()()()()
2
2n ad bc a b c d a c b d -K =++++．
19、（本小题满分18分）如图，直三棱柱C C '''AB -A B 中，C C 5A =B =，6'AA =AB =，D 、E 分别为AB 和'BB 上的点，且D D λA BE
=='
B
EB ．
()1求证：当1λ=时，C 'A B ⊥E ；
()2当λ为何值时，
三棱锥CD 'A -E 的体积最小，并求出最小体积．
20、（本小题满分18分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为)
F ，A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、
B 的动点，且D ∆A B 面积的最大值为12．
()1求椭圆C 的方程；
()2求证：当点()00,x y P 在椭圆C 上运动时，直线:l 002x x y y +=与圆:O 221x y +=恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．
21、（本小题满分18分）设函数()()21ln 2
f x x a b x ab x =-++（其中e
为自然对数的底数，a e ≠，R b ∈），曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为212
y e =-．
()1求b ； ()2若对任意1,x e ⎡⎫
∈+∞⎪⎢
⎣⎭
，()f x 有且只有两个零点，求a 的取值范围．
请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22、（本小题满分18分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB 是O 的直径，
CD 是O 的切线，C 为切点，D CD A ⊥交O 于点E ，连接C A 、C B 、C O 、C E ，延长AB 交CD 于F ． ()1证明：C C B =E ；
()2证明：CF C ∆B ∆EA ． 23、（本小题满分18分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为1x y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程
是2sin 1sin θρθ
=
-．
()1写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的普通方程；
()2若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最小值，并求出P 点的坐标． 24、（本大题满分18分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()3f x x x a =---．
()1当2a =时，解不等式()1
2f x ≤-；
()2若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范
围．
九江市2018年第一次高考模拟统一考试 数 学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共18小题，每小题5分，共60分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 解：{|2}A x x =≥-，{|3}B x x =< {|23}A B x x ∴=-≤<，故选
D.
2. 解:2(2)(1)1313
1(1)(1)222
i i i i z i i i i -
---=
=
==-++- 故选A.
3. 解:44
3a = 3a
∴=，半焦距c == e ∴=
=故选D. 4. 解：222232()
2sin cos 2tan 155sin 2=3sin cos tan 117
()15
ααααααα⨯-==
=-++-+，故选B.
5. 解:
26=16a a ⋅，35+=10a a ，35=16a a ∴⋅，35+=10a a ，32a ∴=，58a =
2q ∴= 11
2
a = 11
(12)
12
2122n n n S --∴==-- 故选B.
6. 解：2sin 1x >，[0,2]x π∈ 5[,]66
x ππ∴∈ 516623P ππ
π-
∴=
= 故选C.
7. 解：1i =时，
1()(1)x f x x e =+；2i =时，2()(2)x f x x e =+；3i =时，
3()(3)x f x x e =+；…；8i =时，8()(8)x f x x e =+，结束，故选
B.
8. 解：由题意得
()=sin[2()]
6
g x x π
ϕ+
+ 又
2()cos(2)=sin(2)6
3
g x x x π
π
=+
+
2+=23
3
k π
πϕπ∴
+
即=23
k πϕπ+，k Z ∈ ϕπ< =3
πϕ∴ 故选C.
9. 解：依题意，得实数,x y 满足20
200x y x y y a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩
示，
其中(2,0)A ，(2,)B a a +，(2,)C a a -
max 2(2)10z a a ∴=++= 解得2a = 故选
B.
18.
解：直观图如图所示四棱锥P ABCD -
01
602
PAB PAD PBD ABC S S S S ∆∆∆∆====⨯=
故此棱锥的表面积为 A.
18. 解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，3(2,)C x -,则126x +=，
解得14x =，1y =
直线AB 的方程为2)y x =-，令2x =-，得(2,C --
联立方程组282)
y x y x ⎧=⎪
⎨=-⎪⎩，解得(1,B -，123BF ∴=+=，9BC =
3λ∴=
故选D.
18. 解：2(1)()x f x x e -+=在[10]-，
依题意得log 31
log 51
a a <⎧⎨>⎩，35a ∴<<，故选
C.
二、填空题:本大题共4小题，每小题18. 解：2(0,3)a b -=-，(3,3)a b +=，(2)()9a b a b ∴-⋅+=-.
18. 解：
2
2
2
a b c bc =++ 2221cos 22b c a A bc +-∴=
=- 23
A π
∴=
P
A
B
C
D
设ABC
∆外接圆的半径为R
，则22
sin
a
R
A
===1
R
∴=
1
cos sin cos cos
2
S B C bc A B C B C
∴+=+=+
sin cos)
B C B C B C
=+=-
，故cos
S B C
+的最大值
为.
18. 解：如图所示，BE过球心O，
DE
∴=
1
32
3
E ABCD
V
-
∴=⨯=.
18.解：1
()20
f x x a
x
'=+-≥在1[2]
3
，
立
max
18
()
3
x
x
-+=
8
2
3
a
∴≥即4
3
a≥.
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18. 解:(1)4
2
4
2
n n
n
S S
S
+
+
+
=+，42
28
n
n n
S S S
++
∴+=+ 422
8
n n n n
S S S S
+++
∴-=-+
4321
8
n n n n
a a a a
++++
∴+=++………2分
数列{}
n
a为等差数列，设公差为d48
d
∴=即2
d=………4分
又
1
=1
a21
n
a n
∴=-………6分
(2)()()111111
()212+12212+1
n n n b a a n n n n +=
==--- ………9分
111111[(1)()()]2335212+1n T n n ∴=
⋅-+-++-- 11(1)22121
n
n n =-=
++………18分 18.
解:(1)=450.05+550.15+650.3+750.25+850.1+950.15=71.5x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯男 ……2分
=450.15+550.10+650.125+750.25+850.325+950.05=71.5x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯女………
4分
从男、女生各自的成绩平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关………5分
(2)由频数分布表可知：在抽取的180学生中，“男生组”中的优分有18（人），“女生组”中的优分有18（人），据此可得22⨯列联表如下：
………8分 可得()2
210015251545 1.7960403070
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯ ………18分
因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“数学成绩与性别有关”………18分
19. 证明：(1)1λ= .D E ∴分别为AB 和BB '的中点 又AA AB '=，且三棱柱ABC A B C '''—为直三棱柱.
∴平行四边形ABB A ''为正方形，DE A B '∴⊥ (2)
分
AC BC =，D 为AB 的中点，CD AB ∴⊥，且三棱柱ABC A B C '''—为直
三棱柱.
CD ∴⊥平面ABB A '' CD A B '∴⊥ (4)
分 又
CD DE D
=
A B '∴⊥
平面
CDE
CE Ü
平面CDE
A B CE '∴⊥………6分
(2)设=BE x ，则AD x =，
6DB x =-，6B E x '=-.由已知可得C 到面A DE '距离即为ABC ∆的边AB
所对应的高4h =
=………8分
()1
3
A CDE C A DE AA D DBE A
B E ABB A V V S S S S h '''''''--∆∆∆∴==
---⋅四边形 ()11=[363(6)36]32x x x x h -----⋅ 22(636)3x x =-+22
[(3)27]3
x =-+(06x <<) ………18分
∴当3x =时，即1λ=时，A CDE V '-有最小值为
18………18分
∴圆心O 到直线00:=2l x x y y +
的距离d =
=
1=
<(20016x ≤≤)
∴直线00:2l x x y y +=与圆221O x y +=：恒有两个交点 (8)
分
L ==…………18分
20016x ≤≤ 2
07991616
x ∴≤
+≤
L ≤≤…………18分
21. 解:(1)
()()
()()ab x a x b f x x a b x x
--'=-++=
………2分 ()0f e '=，a e ≠ b e ∴=………3分
(2)由（1）得21()()ln 2
f x x a e x ae x =-++，()()()x a x e f x x
--'=
①当1a e
≤时，由()>0f x '得x e >；由()0f x '<得1x e e
<<.
此时()f x 在1(,)e e
上单调递减，在()e +∞，上单调递增.
2211
()()ln 022f e e a e e ae e e =-++=-<，
242221112
()()2(2)(2)(2)()0222f e e a e e ae e e e a e e e e
=-++=--≥-->
（或当x →+∞时，()0f x >亦可）
∴要使得()f x 在1
[,)e
+∞上有且只有两个零点，
则只需2111()ln 2a e f ae e e e e
+=-+222(12)2(1)02e e e a
e --+=
≥，即22122(1+)e a e e -≤…6分
②当1a e e
<<时，由()>0f x '得1x a e
<<或x e >；由()0f x '<得a x e <<.
此时()f x 在(,)a e 上单调递减，在1(,)a e
和()e +∞，上单调递增. 此时
222111
()ln ln 0222
f a a ae ae a a ae ae e a =--+<--+=-<，∴此时()f x 在[)e +∞，至
多只有一个零点，不合题意………9分
③当a e >时，由()0f x '>得1x e e
<<或>x a ，由()0f x '<得e x a <<，此
时
()
f x 在1(,)e e
和()a +∞，上单调递增，在(,)e a 上单调递减，且
21
()02f e e =-<，∴()f x 在1[,)e
+∞至多只有一个零点，不合题意.
综上所述，a 的取值范围为2
2
12(]2(1+)
e e e --∞,………18分
22. 证明：(1)
CD 为O 圆的切线，C 为切点，AB 为O 圆的直径
OC CD ∴⊥ (1)
分
又AD CD ⊥ OC AD ∴// OCA CAE ∴∠=∠………3分 又
OC OA
= OAC OCA
∴∠=∠ OAC CAE ∴∠=∠
BC CE ∴= (5)
分
(2)由弦切角定理可知，FCB OAC ∠=∠ =FCB CAE ∴∠∠ 四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 180ABC CEA ∴∠+∠=………8分
又+=180ABC FBC ∠∠ FBC CEA ∴∠=∠ BCF EAC ∴∆∆∽………18分
23. 解(1)
由1x y ⎧=+⎪⎨
=⎪⎩，得1x y -=………1分
∴直线的极坐标方程为:cos sin 1ρθρθ-=
即
(cos cos
sin sin )144ππθθ-=
cos()14
π
θ+=………3分 2sin 1sin θρθ=- 2
sin cos θ
ρθ∴= 2cos sin ρθθ∴= 2(cos )sin ρθρθ∴= 即曲线C 的普通方程为2y x =………5分 (2)设00(,)P x y ，200y x =
P ∴
到直线的距离d
………8分
∴当01
2
x =时，min d = ∴此时11
()24
P ，
∴
当
P
点为
11
(,)24
时，
P
到直线的距离最小，
最小值为
………18分
24. 解:(1)
2a = 1
(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪
∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩
(1)
分
1()2f x ∴≤-等价于2
112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨
⎪<<⎩或3112
x ≥⎧⎪
⎨-≤-⎪⎩………3分
解得1134
x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为11{|}4
x x ≥………5分 (2)
由
不
等
式
性
质
可
知
()3(3)()=3
f x x x a x x a a =---≤----………8分
∴若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得3
2
a ≤
∴实数a 的取值范围是3
(,]2
-∞ (18)
分。