苏教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 直线与方程 1.2.2 直线的两点式方程

)
答案 (1)A (方法一)因为直线过点(√3,-3)和(0,-4),所以直线的方程为
-(-4)
-3-(-4)
=
-0
,整理得
√3-0
√3
y= x-4.
3
√3
(方法二)因为直线过点(√3,-3)和点(0,-4),所以直线的斜率为 k= ,所以直线
3ห้องสมุดไป่ตู้
√3
√3
的方程为 y+4= 3 x,整理得 y= 3 x-4.
1.由已知条件确定横、纵截距.
2.若两截距为零,则直线过原点,直接写出方程即可;若两截距不为零,则代

入公式

+ =1 ,可得所求的直线方程.

变式训练2
(1)求过点A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程;
(2)已知直线l过点A(1,2),且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4,
所以适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线,故C正确;对D,与坐标轴平行的
直线也不能用截距式表示,故D错误.故选ABC.
3.若点P(6,m)在过点A(3,2),B(4,3)的直线上,则m=
答案 5
.
-2 -3
解析 因为直线过点A(3,2),B(4,3),则直线方程为 3-2 = 4-3 ,整理可得y=x-1,
探究点一 直线的两点式方程
【例1】 如图,△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程;
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
解 (1)由截距式方程,得边 AC
由两点式方程,得边 AB


所在直线的方程为 + 4=1,即
-8
-4
所在直线的方程为
②当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为 0
又直线 l 过点
5
2
A(5,2),∴2 + =1,解得
∴直线 l 的方程为


时,可设方程为2 + =1,
9
a=2.
1 9
y=-2x+2.
综上所述,直线 l 的方程是
2
y=5x
或
2
y= x.
5
1 9
y=-2x+2.
规律方法 求直线的截距式方程的方法
)
A.点斜式方程y-y1=k(x-x1)适用于不垂直于x轴的任何直线
B.斜截式方程y=kx+b适用于不垂直于x轴的任何直线
-1
C.两点式方程 -
2 1

D.截距式方程

=
- 1
适用于不垂直于
2 - 1

+ =1

x 轴和 y 轴的任何直线
适用于不过原点的任何直线
答案 ABC
解析 对A,B,如果直线垂直于x轴,其斜率不存在,故A,B正确;对C,分母不为0,
+1
+3
又B(2,4),∴直线A'B的方程为 4+1 = 2+3,
即x-y+2=0,∴当|PA|+|PB|取最小值时,P为直线x-y+2=0与x轴的交点,
∴P(-2,0).
5.(2021江苏扬州新华中学期中)△ABC的三个顶点分别为
A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)求边AB所在直线的方程;
6-4
=
-0
,即
-2-0
x-2y+8=0.
y=-x+4.
(2)由题意,得点 D 的坐标为(-4,2),
由两点式方程,得中线 BD
-2
所在直线的方程为
6-2
=
-(-4)
,即
-2-(-4)
y=2x+10.
规律方法 利用两点式求直线的方程
1.首先要判断是否满足两点式方程的适用条件,若满足,即可代入两点式方
程.
y-y 1
3.方程
x-x 1
=
y 2 -y 1
y-y 1
和方程
x 2 -x 1
y 2 -y 1
=
x-x 1
表示同一图形吗?
x 2 -x 1
提示 不表示同一图形.第二个方程表示一条直线;在第一个方程中,x≠x1,即该
方程表示直线
-1
2 -1
=
-1
去掉点(x1,y1).
2 -1
重难探究•能力素养全提升
及过 原点 的直线
名师点睛
1.当过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率存在(x1≠x2)且斜率不为0(y1≠y2)时,考虑
用两点式求方程.另外,两点式方程与这两点的顺序无关.
2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即x1,y1是同一个
点的坐标,x2,y2是另一个点的坐标.
3.直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方
名称 两点式
截距式
直线l经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2), 直线l在x轴上的截距为a,在y轴
条件
其中x1≠x2,y1≠y2
上的截距为b,且a≠0,b≠0
示意图
方程
适用
范围
-1
-1
=
2 -1 2 -1
不表示 垂直于 坐标轴的直线


+ =1


不表示 垂直于 坐标轴的直线
=
+2
,即
-4+2
2x-y+10=0.
本 课 结 束
(3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.( √ )
x
y
(4)不经过原点的直线都可以用方程 a + b =1 表示.( × )
2.把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式
(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),对两点的坐标还有限制条件吗?
提示 这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方
②当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为 0
又直线 l 过点 A(5,2),∴5-2=a,解得 a=3.
∴直线 l 的方程为 y=x-3.
综上所述,直线 l 的方程是
2
y=5x
或 y=x-3.
2
y=5x.


时,可设方程为 + =1,即
-
x-y=a.
(2)①当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时,方程为
又P(6,m)在直线上,所以6-1=m,即m=5.
4.(2021江苏常熟中学期中)已知点A(-3,1),B(2,4),若点P在x轴上,则使得
|PA|+|PB|取到最小值时点P的坐标为
.
答案(-2,0)
解析 由题意得,点A(-3,1)关于x轴的对称点A'(-3,-1),
|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|(当且仅当A',P,B三点共线时取等号),
= 2,
= 6,
或
由①②联立方程组,解得
=6
= -2.


所以所求直线的方程为6 + 6=1


或2 + =1,
-2
化简得直线 l 的方程为 y=-x+6 或 y=x-2.
综上,直线 l 的方程为
(2)由题意,可设直线
则
1
y= x
2
或 y=-x+6 或 y=x-2.


l: + =1(a>0,b>0),


1
= 4,
2
2
得
a
-4a+4=0,解得
1
2
+ = 1,

所以直线


l:2 + 4=1,即
y=-2x+4.
a=2,所以 b=4.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)直线的两点式方程;
(2)直线的截距式方程.
2.方法归纳:会应用直线的两点式及截距式解
决问题.
3.常见误区:与坐标轴平行或重合及过原点的直线不能用截距式方程表示.
第一章
1.2.2 直线的两点式方程
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程与截距式
方程;
2.会利用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题.
基础落实•必备知识全过关
知识点 直线的两点式与截距式方程
(2)解由直线经过点 A(1,0),B(m,1),得该直线斜率不可能为零,但有可能不存
在.
①当直线斜率不存在,即 m=1 时,直线方程为 x=1;
②当直线斜率存在,即 m≠1
-0
时,利用两点式,可得直线方程为
1-0
1
1
y= x- .
-1 -1
综上可得,直线方程为 x=1 或
1
1
y= x- .
求直线l的方程.
解 (1)当直线过原点时,它在 x 轴、y 轴上的截距都是 0,
1
此时,直线的斜率为2,所以直线
l 的方程为
1
y=2x.


当直线不过原点时,由题意可设直线方程为 + =1,
又因为过点
2
4
A(4,2),所以 + =1.①


因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,
所以|a|=|b|.②
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
解 (1)∵△ABC 的三个顶点分别为 A(0,4),B(-2,6),C(-8,0),
∴边 AB
-4
所在直线的方程为
6-4
=
-0
,
-2-0
即 x+y-4=0.
(2)∵AC 边的中点为 D(-4,2),故 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程为
-6
2-6
学以致用•随堂检测全达标
1.经过两点(-1,2),(-3,-2)的直线的方程是(
A.x-2y+5=0
B.x-2y-5=0
C.2x-y-4=0
D.2x-y+4=0
)
答案 D
解析
-2
经过两点(-1,2),(-3,-2)的直线的方程为
-2-2
=
+1
,即
-3+1
2x-y+4=0.
2.(多选题)下列说法正确的是(
程求解.
2.在斜率存在的情况下,也可以先应用斜率公式求出斜率,再用点斜式方程
求解.
变式训练1
(1)若直线过点(√3,-3)和(0,-4),则该直线的方程为(
√3
A.y= 3 x-4
√3
B.y= 3 x+4
C.y=√3x-6
√3
D.y= 3 x+2
(2)已知直线经过点 A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程.
-1 -1
=
-1
,即
-1
探究点二 直线的截距式方程
【例2】 (2021江苏海安中学期中)(1)求过点A(5,2),且在两坐标轴上的截距
互为相反数的直线l的方程;
(2)求过点A(5,2),且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程.
解 (1)①当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时,方程为
程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标
轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( √ )
(2)过点(1,3)和(1,5)的直线也可以用两点式方程来表示.( × )