福建省南平希望高级中学2011届高三第二次月考(数学理)

福建省南平希望高级中学
2011届高三年级第二次月考
数学（理)试题
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为是正确的选项前面的代号填入答题卡相应的空格中。

1．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A
B =R R ，则实数a 的取值范围是
（ ） A ．1a ≤
B ．1a <
C ．2a ≥
D ．2a >
2．函数()24f x mx =+．若在[2,1]-上存在x ，使得()0f x =，则实数m 的取值
范围是
（ ）
A ．5[,4]4
- B ．(,2][1,)-∞-+∞
C ．[1,2]-
D ．[2,1]- 3．双曲线112
42
2=-y x 的焦点到渐近线的距离为
( ）
A ．32
B ．2
C ．3
D ．1
4．方程2
)1(11--=
-y x 所表示的曲线是
（ ）
A ．一个圆
B ．两个圆
C ．半个圆
D ．两个半圆
5．已知直线n m l 、、及平面α,下列命题中的假命题是 ( ）
A ．若//l m ，//m n ，则//l n
B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥
C ．若l m ⊥,//m n ，则l n ⊥
D ．若//l α,//n α,则//l n
6．x
x x
x
e e y ---=的图像大致为
（ ）
7．下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm ）,可求得
该物体的体积为（ ）
A ．256+64πcm 3
B ．256+32πcm 3
C ．128+32πcm 3
D ．128+64π cm 3
8．函数)0(cos sin ≠-=ab x b x a y 的一条对称轴的方程为4
π=x ，则以向量),(b a c
=
为方向向量的直线的倾斜角为 （ ）
A ．
45
B ．
60 C ．
120
D ．
135
9．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等
等,如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件: (1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -；
（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；
（3）传递性：对于a b c A ∈，，,若a b -，b c -,则有a c -则称“-"是集合A
正视图
侧视图
俯视图
A
D
的一个等价关系以下四种关系中不是．．等价关系的是 （ ）
A ．数的相等
B ．向量的共线
C ．图形的相似
D ．命题的充要条件
10．已知O 为平面上的一个定点，A,B ，C 是平面上不共线的三个点，
动点P 满足AB AC OP OA (),(0,)
AB sin B
AC sin C
=+λ+
λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定
通过△ABC 的
（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
二、填空题：本大题共5小题,每小题4分，满分20分。

把答案填
写在答题卡上相应的位置.只须写出最后结果，不必写出解题过程。

11．已知直线:120()l kx y k k R -++=∈，则该直线过定点 12．已知1t >，若()2
1
21d t
x x t +=⎰，则t = ．
13．一动圆与圆2
2680x
y x +++=外切,同时与圆226720x y x +--=内切,求动圆
圆心M 的轨迹方程
14．点P(x,y)是椭圆
22
22
1x y a b +=（0a b )>>上的任意一点，1
2
F ,F 是椭圆的两个
焦点,且∠1
2
FPF 90≤︒，则该椭圆的离心率的取值范围是 15．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形
面积的取值范围是
三、解答题:本大题共6小题，满分80分。

解答
应写出必要的文字说明、推理过程或演算步
骤。

16．平面内给定三个向量()()()
==-=，回
a b c
3,2,1,2,4,1
答下列问题：
（Ⅰ）求满足a mb nc
=+的实数m,n；
（Ⅱ)若()()
a kc
b a
+-，求实数k；
//2
17．如图，在棱长为
2．的正方体ABCD -A1B1C1D1中,E、F分别为AA1，．．．
和CC1的中点．
（I）求证：EF∥平面ACD1
(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成角的余弦值；
(Ⅲ)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC—B的大小为30°?若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．
18．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告
宣传,经调查，每投入广告费t(百万元）可增加的销售额约为2
5t
t-（百万元）.
（I ）若该公司将当年的广告宣传费控制在3百万元之内，则应
投入多少广告费才能使公司由此．．
获得的收益最大.
（II ）现该公司准备投入3百万元，分别用于广告宣传和技术改
造,经预测，每投入技术改造费x （百万元）可增加的销售额约为x x x
33
123
++-（百万元)，请设计资金分配方案,使该公
司由此．．
获得的收益最大.（注：收益=销售额—投入）
19．设圆C 满足：(1）截y 轴所得弦长为2;（2）被x 轴分成两段圆弧，
其弧长的比为5∶1．
在满足条件(1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l :3x －4y =0的距离最小的圆的方程．
20．已知f （x)=2
22+-x a x (x ∈R）在区间[－1，1］上是增函数．
(Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A;
（Ⅱ）设关于x 的方程f （x)=x
1的两个非零实根为x 1、x 2．
试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2｜对任意
a ∈A
及t∈［－1，1]恒成立?
若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．已知椭圆C :122
22=+b
y a x （a 〉b 〉0）的中心在原点，焦点在x 轴上，
离心率为
2
2，点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x =2
上的点P （2,
3
）满足|PF 2｜=|F 1F 2｜,直线l ：y =kx +m 与椭圆
C 交于不同的两点A 、
B ．
(Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若在椭圆C 上存在点Q ，满足OQ OB OA λ=+(O 为坐标原点），
求实数 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为是正确的选项前面的代号填入答题卡相应的空格中。

题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
F 1
F 2
O
A
P
y
l
B
号答
案
C B A C
D C A D B A
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

把答案
填写在答题卡上相应的位置.只须写出最后结果,不必写出解题过程。

11．（—2,1） 12．2 13．2
2
12516
x
y += 14．20e <≤
15．⎥⎦⎤⎢⎣
⎡21,42
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答应写出必要的文字
说明、推理过程或演算步骤.
16．解析:（1)由题意得()()()1,42,12,3n m +-=,
所以⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m ，得⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=9895n m (6)
（2）()()34,2,25,2a kc k k b a +=++-=-，
()()()13
16
,025432-
=∴=+--+⨯∴k k k …．．13分
17．解：如图分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z
轴建立空间直角坐标系D-xyz ，由已知 得D （0，0,0)、A （2，0，0）、B （2,2,0）、C （0,2,0）、B 1（2，2，2）、D 1(0，0,2)、E
（1,0,2 ）、F （0,2，1）．…………(2分) （空间直角坐标系的建立和相关点的坐标
描述各1分！）
（Ⅰ）易知平面ACD 1的一个法向量是1
DB =（2，2,2)．………（4
分)
又∵EF =(—1,2，—1），由EF ·1
DB = —2+4-2=0,
∴EF ⊥1
DB ，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1………………(6
分)
（Ⅱ） ∵AB =（0,2，0)， cos 〈EF ,AB 〉
=
||||2EF AB EF AB
⋅==⋅ ∴异面直线EF 与AB 9分)．
（Ⅲ）设点P (2，2，t ）(0<t ≤2），平面ACP 的一个法向量为n =（x ，y ,z ）,
则0,0.
n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∵AP =（0，2,t ）， AC =(-2，2，0），
∴220,20,
x y y tz -+=⎧⎨
+=⎩取2
(1,1,)n t
=-． 易知平面ABC 的一个法向量1
(0,0,2)BB =,
依题意知，〈1
BB ,n 〉=30°或〈1
BB ,
n 〉=150°，
∴|cos<1
BB ,n 〉｜4
||-11分)
即2
2434(2)4
t t =
+,解得3
t =
∵(0,2]3, ∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP , 二面角P -AC —B 的大小为30°．………（13分）
18．解：（I)设通过广告费获得的收益为y 百万元，则
t t t y --=25 (1)
分
4)2(422+--=-=t t t ……………3分
则当4,2==最大时y t ……………4分，
因此投入广告费2百万元时其收益最大………5分． （II ）设收益为y 百万元,则
3223211
35(3)(3)34 3 (733)
4,0,2(),02,0,23,0, (925)
2,.........100,3,3,6,
3
2[0,3].............y x x x x x x x y x y x x y x y x y x y x y x =-+++----=-++''''=-+==<<><<<=======分
令则舍去负值当时当时分
因此时函数取得极大值分,而时时故时函数在取得最大值12,,2,1,............13.
分因此当投入百万元用于技术改造费百万元用于广告费其收益最大分 19．解:设所求圆的圆心为P (a ，b ）,半径为r ，则P 到x 轴、y 轴的距
离分别为|b ｜、|a ｜．
由题设圆P 截x 轴所得劣弧所对圆心角为60°……2分，圆P 截
x 轴所得弦长为r ,故
3r 2＝4b 2，
又圆P 截y 轴所得弦长为2，所以有r 2＝a 2＋1，…………5分 从而有4b 2－3a 2＝3
又点P （a ，b )到直线3x －4y =0距离为d ＝|34|5
a b -，…………7分
所以25d 2＝｜3a －4b |2
＝9a 2＋16b 2－24a b ≥9a 2＋16b 2－12（a 2＋b 2）………10分
＝4b 2－3a 2＝3
当且仅当a =b 时上式等号成立，此时25d 2＝3，从而d 取得最小值,
由此有22
433
a b
b a =⎧⎨-=⎩
，解方程得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或a b ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ ………12分
由于3r 2＝4b 2,知r ＝2，于是所求圆的方程为 （x
2＋（y
2＝4或（x
2
＋（y
＝4………．13
分
20．解：（Ⅰ)f ＇（x ）=2
22
)
2(224+-+x x ax =
2
22)2()2(2+---x ax x (2)
∵f （x ）在［－1，1］上是增函数， ∴f ＇（x)≥0对x ∈［－1，1]恒成立，
即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1］恒成立． ①………．．3
分
设ϕ(x ）=x 2－ax －2，
ϕ(1)=1－a －2≤0，
①
⇔
…………4分
⇔
－
1≤a ≤1 (5)
ϕ（－1)=1+a －2≤0．
∵对x ∈［－1,1］，f(x ）是连续函数，且只有当a=1时，f ＇（-1)=0
以及当a=－1时，f ＇（1）=0
∴A=｛a ｜－1≤a ≤1｝． ………………6分 （Ⅱ）由2
22+-x a x =x
1，得x 2－ax －2=0, ∵△=a 2+8〉0
∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根， x 1+x 2=a,
∴ 从而|x 1－x 2｜=2
12214)(x x x x -+=82+a ．
x 1x 2=－2，
∵－1≤a ≤1,∴|x 1-x 2|=
82+a ≤3．
要使不等式m 2+tm+1≥｜x 1－x 2|对任意a ∈A 及t∈[－1,1]恒成
立，
当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m 2+tm －2≥0对任意t∈［－1，1]恒成立． ② 设g （t)=m 2+tm －2=mt+（m 2－2），
g （－1）=m 2－m －2≥0， ② ⇔
g(1）=m 2+m －2≥0，
⇔m≥2或m≤－2．
所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2｜对任意a ∈A
及t∈[－1，1］恒成立，其取值范围是｛m ｜m≥2，或m≤－2｝．
21．解：（Ⅰ）依题意有
⎪⎩⎪⎨⎧+-==.3)2()2(,2222c c a c 解得⎩⎨⎧==.2,1a c 1b ∴=． ∴所
求椭圆方程为1222
=+y x ． ………………………………………………5分
（Ⅱ)由⎩⎨⎧=++=,
22,22y x m kx y 得0224)21(222=-+++m kmx x k ． 设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，
则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+.2122,2142221221k m x x k km x x ………………7分,221212122)(k m m x x k y y +=++=+．
（1）当0=m 时,点A 、B 关于原点对称，则0=λ．
（2）当0≠m 时，点A 、B 不关于原点对称,则0≠λ，
由OQ OB OA λ=+，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=).(1),
(12121y y y x x x Q Q λλ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.
)21(2,
)21(422k m
y k km
x Q Q λλ
点Q 在椭圆上，∴有2])21(2[2])21(4[2222=+++-k m
k km
λλ,
化简，得22222)21()21(4k k m +=+λ．
0212≠+k ,∴有)21(4222k m +=λ……①…10分 又)21(8)22)(21(416222222m k m k m k -+=-+-=∆ ， ∴由0>∆，得2221m k >+……② …12分 由①、②两式得2224m m λ>．0≠m ，42<∴λ,则22<<-λ且0≠λ． 综合（1）、(2）两种情况，得实数λ的取值范围
是22<<-λ．…………………14分。