花山区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

花山区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）
A ．π1492+
B ．π1482+
C ．π2492+
D ．π2482+
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.
2． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞ 3． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．300 4． 在等差数列中，已知，则
（ ）
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
5． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）
A
．(1,1 B
．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 6． 在△ABC 中，b=，c=3，B=30°，则a=（ ） A
．
B ．
2
C
．
或
2
D ．2
7． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为1S 、2S 、3S ，则（ ）
A ．123S S S <<
B ．123S S S >>
C ．213S S S <<
D ．213S S S >> 8． 已知在R 上可导的函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f （x ）•f ′（x ）＜0的解集为（ ）
A ．（﹣2，0）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
D ．（﹣2，﹣1）∪（0，
+∞）
9． 若多项式 x 2+x 10=a 0+a 1（x+1）+…+a 8（x+1）8+a 9（x+1）9+a 10（x+1）10，则 a 8=（ ） A ．45
B ．9
C ．﹣45
D ．﹣9
10．椭圆22
:143
x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的
取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）
A ．3
1,42⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ B ．33,48
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．
11．已知α是三角形的一个内角，且，则这个三角形是（ ）
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．不等腰的直角三角形
D ．等腰直角三角形
12．执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0，1，则输出的
（ ）
A．4 B．16 C．27 D．36
二、填空题
13．已知函数f（x）=有3个零点，则实数a的取值范围是．
14．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为小时．
15．下列结论正确的是
①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.7；
②以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e4；
③已知命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是减函数”是真命题；
④设常数a，b∈R，则不等式ax2﹣（a+b﹣1）x+b＞0对∀x＞1恒成立的充要条件是a≥b﹣1．
16．设x∈（0，π），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是．
17．
如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当四边形P ACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________． 18． 设函数()x f x e =，()ln g x x m =+．有下列四个命题：
①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <； ②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2ln 2m e <-； ③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22
e
m <
-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.
三、解答题
19．已知函数f （x ）=4sinxcosx ﹣5sin 2x ﹣cos 2x+3．
（Ⅰ）当x ∈[0，
]时，求函数f （x ）的值域；
（Ⅱ）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足=，
=2+2cos （A+C ），
求f （B ）的值．
20．已知﹣2≤x ≤2，﹣2≤y ≤2，点P 的坐标为（x ，y ）
（1）求当x ，y ∈Z 时，点P 满足（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
≤4的概率；
（2）求当x ，y ∈R 时，点P 满足（x ﹣2）2+（y ﹣2）2
≤4的概率．
21．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设
，且
，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，
，以
为直径的半圆分别交
于点
，
若
,则
22．（本小题满分12分）
如图（1），在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC =，若沿AB 将三角形PAB 折起，使
PAD θ∠=，构成四棱锥P ABCD -，且
2PC CD
PF CE
==. （1）求证：平面 BEF ⊥平面PAB ； （2）当 异面直线BF 与PA 所成的角为
3
π
时，求折起的角度.
23．已知等比数列中，。

（1）求数列的通项公式;
（2）设等差数列中，，求数列的前项和.
24．已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求f（x）；
（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；
（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．
花山区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 3． 【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队． 各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人， 首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有：++=390．故选：C．
4．【答案】B
【解析】
，所以，故选B
答案：B
5．【答案】A
【解析】
考点：线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为
z
m
，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨
⎧==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m
的范围.
6．【答案】C
【解析】解：∵b=，c=3，B=30°，
∴由余弦定理b2
=a2+c2﹣2accosB，可得：3=9+a2﹣3，整理可得：a2﹣3a+6=0，
∴解得：a=或2．
故选：C．
7．【答案】A
【解析】
考点：棱锥的结构特征．
8．【答案】B
【解析】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，
在（﹣1，0）上小于0，
∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．
故选B．
9．【答案】A
【解析】解：a8 是x10=[﹣1+（x+1）]10的展开式中第九项（x+1）8的系数，
∴a8==45，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式，二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质，属于基础题．
10．【答案】B
11．【答案】A
【解析】解：∵（sinα+cosα）2=，∴2sinαcosα=﹣，
∵α是三角形的一个内角，则sinα＞0，
∴cosα＜0，
∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形．
故选A．
【点评】把和的形式转化为乘积的形式，易于判断三角函数的符号，进而判断出角的范围，最后得出三角形的形状．
12．【答案】D
【解析】【知识点】算法和程序框图
【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是，
则输出的36。

故答案为：D
二、填空题
13．【答案】（，1）．
【解析】解：∵函数f（x）=有3个零点，
∴a＞0 且y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，
∴，
解得＜a＜1，
故答案为：（，1）．
14．【答案】0.9
【解析】解：由题意，=0.9，
故答案为：0.9
15．【答案】①②④
【解析】解：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）则正态曲线关于x=1对称．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率P=2×0.35=0.7；故①正确，
②∵y=ce kx，
∴两边取对数，可得lny=ln（ce kx）=lnc+lne kx=lnc+kx，
令z=lny，可得z=lnc+kx，
∵z=0.3x+4，
∴lnc=4，
∴c=e4．故②正确，
③已知命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，
则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，
若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=e x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≤e x，
∵x＞0，∴e x＞1，
则m ≤1．故原命题是真命题，则命题的逆否命题也是真命题，故③错误， ④设f （x ）=ax 2﹣（a+b ﹣1）x+b ，
则f （0）=b ＞0，f （1）=a ﹣（a+b ﹣1）+b=1＞0， ∴要使∀x ＞1恒成立，
则对称轴x=
，
即a+b ﹣1≤2a ，即a ≥b ﹣1，
即不等式ax 2
﹣（a+b ﹣1）x+b ＞0对∀x ＞1恒成立的充要条件是a ≥b ﹣1．故④正确，
故答案为：①②④
16．【答案】 ．
【解析】解：∵f （x ）=cos 2x+sinx=1﹣sin 2
x+sinx=﹣
+，
故当sinx=时，函数f （x ）取得最大值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，二次函数的性质，属于基础题．
17．【答案】
【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9.
圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，
∴四边形P ACB 的周长为2（P A ＋AC ） ＝2
PC 2－AC 2＋2AC ＝2
PC 2－9＋6.
当PC 最小时，四边形P ACB 的周长最小． 此时PC ⊥l .
∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0x －y －3＝0
，解得点P 的坐标为（4，1），
由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线P A ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行， 即∠ACB ＝90°，
∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×3＝9
2
.
即△ABC 的面积为9
2
.
答案：92
18．【答案】①②④ 【
解
析
】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）=4
sinxcosx ﹣5sin 2
x ﹣cos 2x+3=2sin2x ﹣
+3=2
sin2x+2cos2x=4sin （2x+
）．
∵x ∈[0，]，
∴2x+
∈[，
]，
∴f （x ）∈[﹣2，4]．
（Ⅱ）由条件得 sin （2A+C ）=2sinA+2sinAcos （A+C ）， ∴sinAcos （A+C ）+cosAsin （A+C ）=2sinA+2sinAcos （A+C ）， 化简得 sinC=2sinA ， 由正弦定理得：c=2a ， 又b=
，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4a2cosA，解得：cosA=，
故解得：A=，B=，C=，
∴f（B）=f（）=4sin=2．
【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：如图，点P所在的区域为长方形ABCD的内部（含边界），
满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．
（1）当x，y∈Z时，满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的点有25个，
满足x，y∈Z，且（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4的点有6个，
依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）；
∴所求的概率P=．
（2）当x，y∈R时，
满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：4×4=16，
满足（x﹣2）2+（y﹣2）2≤4，且﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：=π，
∴所求的概率P==．
【点评】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．
21．【答案】
【解析】A
B
22．【答案】（1）证明见解析；（2）23
πθ=． 【解析】
试题分析：（1）可先证BA PA ⊥，BA AD ⊥从而得到BA ⊥平面PAD ，再证CD FE ⊥,CD BE ⊥可得CD ⊥
平面BEF ,由//CD AB ,可证明平面BEF ⊥平面PAB ；（2）由PAD θ∠=,取BD 的中点G ，连接,FG AG ,可得PAG ∠即为异面直线BF 与PA 所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1 试题解析：
（2）因为PAD θ∠=，取BD 的中点G ，连接,FG AG ，所以//FG CD ，1
2
FG CD =
，又//AB CD ，1
2
AB CD =，所以//FG AB ，FG AB =，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以//BF AG ，得；同时，
因为PA AD =，PAD θ∠=，所以PAD θ∠=，故折起的角度23
π
θ=.
考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质．23．【答案】
【解析】
解：（1）设等比数列的公比为
由已知，得，解得
（2）由（1）得
设等差数列的公差为，则，解得
24．【答案】
【解析】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）=0，即=0，解得b=1；
从而有；…
经检验，符合题意；…
（2）由（1）知，f（x）==﹣+；
由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为减函数；…（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x），
即f（1+|x|）＜f（﹣x）；…又因f（x）是R上的减函数，由上式推得1+|x|＞﹣x，…
解得x∈R．…。