上半连续和下半连续教案

函数的上、下半连续性
一、上、下半连续性的定义
设函数()f x 在集合E 上有定义，0x E ∈为E 的一个聚点。

()f x 在0
x 处连续，用εδ-语言描述，即：0,0,εδ∀>∃>当0,x E x x δ∈-<时，有
()()()00f x f x f x εε-<<+ ()A 若将此条件减弱，在不等式()A 中，只使用其中的一个不等式，那么就得到半连续。

定义 设()f x 在0x 及其附近有定义，所谓()f x 在0x 处上半连续，是指：0,0,εδ∀>∃>当0,x E x x δ∈-<时，恒有()()0f x f x ε<+。

()f x 在0x 处下半连续，是指：0,0,εδ∀>∃>当0,x E x x δ∈-<时，
恒有()()0f x f x ε>-。

推论 ()f x 在0x 及其附近有定义，则()f x 在0x 处连续的充要条件是，()f x 在0x 处既上半连续又下半连续。

例1 Dirichlet 函数()1,0,\x Q D x x R Q
⎧∈⎪=⎨
∈⎪⎩ ① 在有理点处上半连续，但不下半连续。

② 在无理点的情况恰恰相反。

例2 考虑函数()(),f x xD x x R =∈。

① 当0x >时，跟()D x 的结论一样， ② 当0x <时，跟()D x 的结论相反，
③ 当0x =时，既上半连续又下半连续，因而在0x =处连续。

例3 Riemann 函数
()1,00,p x q q q R x x ⎧=>⎪
=⎨⎪=⎩
当为既约整数，当无理数
① 在无理点处既上半连续又下半连续。

② 在有理点处上半连续，但不下半连续。

二、上、下半连续性的等价描述
定理1 设()f x 在集合E 上有定义，0x 为E 的一个聚点且0x E ∈。

则如下断言等价：
()1、()f x 在0x 处上半连续（即：0,0,εδ∀>∃>当0,x E x x δ∈-<时，
恒有()()0f x f x ε<+）
()2、()()0
_____
0lim x x
f x f x →≤ ()3、{}0:,n n n x x E x x ∀∈→，必有()()_____
0lim n x f x f x →∞
≤ 证明：()()()12⇒
明显，因0,0,εδ∀>∃>当0,x E x x δ∈-<时，有 ()()0f x f x ε<+
对上式取极限，并注意0ε>的任意性，即得()2。

()()()23⇒
由 ()()()0
_____
_____00lim max lim ,n n n n x x n f x f x x E x x x x →→∞⎧⎫
=∈→≠⎨⎬⎩⎭
， ()()(){}
00lim min lim ,n n n n x x n f x f x x E x x x x →→∞
=∈→≠
直接可得。

()()()31⇒（用反证法）
设()f x 在0x 处不上半连续，则
00110,0,,0n n n n x E x x n n
εδδ∃>∀=
>∃∈<-<=， 使得()()00n f x f x ε≥+。

这与已知条件()3矛盾。

当且仅当()f x 集合E 中处处上（下）半连续时称()f x 在E 中上（下）半连续。

定理2 设E 为闭集，()f x 在E 上有定义，则()f x 在E 中上半连续的充要条件是：(),c ∀∈-∞+∞，集合()(){}:F c x E f x c ≡∈≥为闭集。

证明 必要性 为了证明()F c 为闭集，即要证明()0,n n x F c x x ∀∈→，必有()0x F c ∈，此时n x E ∈，而E 为闭集，所以0x E ∈。

要证()0x F c ∈，只要证()0f x c ≥。

事实上，由()n x F c ∈知()n f x c ≥()1,2,n =⋅⋅⋅，从而有
()____
lim n f x c ≥。

因()f x 在上半连续，根据定理1有
()()()0
0lim lim n x x n f x f x f x c →→∞
≥≥≥
充分性（反证法）
若()f x 不在E 中上半连续，则至少存在一点0x E ∈，()f x 在0x 不上半连续，即
01
0,,,n n x E n
εδ∃>∀=∃∈01
n x x n
-<
，但()()00n f x f x ε≥+。

取数c ，使()()000f x c f x ε+>>，于是根据()F c 的定义 ()()0,n x F c x F c ∈∉
但0n x x →（当n →∞），F 为闭集，应有()0x F c ∈矛盾，证毕。

注（1）上半连续与下半连续是对偶的概念。

一方有什么结论，另一方也有相应的结论。

定理2的对偶结论留给学生做为习题。

（2）定理2给出了半连续的又一等价形式，其中未用εδ-语言，只用了闭集的概念。

这为半连续推广到一般拓扑空间，作了准备。

三、上、下半连续的性质 1、运算性质
定理3（1）若在[],a b ，函数()f x ,()g x 上、下半连续，则它们的和()()f x g x +亦在[],a b 中上、下半连续。

（2）若在[],a b 上()f x 上下半连续，则-()f x 在[],a b 中为下、上半连续。

（3）若在[],a b 上，函数()f x 及()g x 0>，且上半连续（或()f x 及
()g x 0<，且下半连续）则它们的积()f x ·()g x 在[],a b 上为上半连续。

若()f x 0>上、下半连续，()g x 0<为下（上）半连续，则()f x ·()g x 下（上）半连续。

（4）若在[],a b 上，()f x 0>上（下）半连续，则()
1
f x 在[],a b 上为下（上）半连续。

这里只对（1）中上半连续的情况进行证明，
证法1 （利用半连续的定义）
因()f x ,()g x 上半连续，[]0,,0,0,x a b εδ∀∈∀>∃>当[]0,,x x x a b δ-<∈时有
()()()()00,22
f x f x
g x g x εε
<+<+
所以 ()()()()00f x g x f x g x ε+<++ 故 ()()f x g x + 在[],a b 上上半连续。

证法2 （利用上半连续的等价描述）
因()f x ,()g x 在[],a b 中上半连续，[]0,x a b ∀∈有
()()()()0
__________
00lim ,lim x x x x f x f x g x g x →→≤≤（定理1）
但
()()()()()()()0
_______________
00lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x f x g x →→→+≤+≤+
故()()f x g x +在[],a b 中上半连续。

2、保号性
上半连续函数有局部保负性（即：若()f x 在0x 处上半连续，()0f x 0<，则0δ∃>，使得()00,x x x δδ∈-+时有()f x 0<）。

同样，下半连续函数有局部保正性，这些由定义直接可得。

3、无介值性
半连续函数，介值定理不成立。

例如：
()11,02
10,12
x f x x ⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩当当
在[]0,1上()f x 是上半连续的，但()()()()0,11,0a f f ∀∈=，无()0,1x ∈使得
()f x =a 。

4、关于()f x 的界
定理4 有界闭区间上的上半连续函数，必有上界，且达到上确界，具体来说，若()f x 在[],a b 上上半连续，则
（1）()f x 在[],a b 上有上界（0M ∃>使()f x [],,M x a b ≤∀∈）。

（2）()f x 在[],a b 上达到上确界（即[]0,x a b ∃∈使得()[]
()0,sup x a b f x f x ∈=）
证明 先证明（1）（反证法）
若()f x 无界，则[],n x a b ∃∈，使得()()1,2n f x n n >=⋅⋅⋅由致密性原理，在{}n x 中存在收敛的子序列{}k
n x ，使0k
n x x →（当k →+∞）。

因[]
,a b 为闭的，故[]0,x a b ∈，但()k
n k f x n >，当k →+∞时，()k
n f x →+∞，
所以 ()0
_____
lim x x
f x →=+∞。

但()f x 在[],a b 上上半连续，应有()()0
_____
0lim x x
f x f x →≤，故()0f x =+∞矛盾。

下证（2）
因()f x 上有界，()sup x E
f x M ∈=<+∞，若()f x 在[],a b 上达不到上确界，
则[]()(),,,0x a b f x M M f x ∀∈<->所以
()
1
M f x -在[],a b 上上半连续（定
理3），从而有上界，即0,M '∃>使[],x a b ∀∈有
()
1
M M f x '<-
即： ()1f x M M <-'
这与()sup x E
M f x ∈=矛盾。

证法2 利用有限覆盖定理进行证明。

思考题：对于下半连续相应的定理如何叙述？若把闭区间改为任意的闭集合，结论是否正确。

事实上，上面的定理4可做如下推广。

定理：假定X 为紧集，f 是上半连续的，则f 在X 上必有最大值。

证明：因f 是上半连续的实值函数
故∀X x ∈1，)(x f 必在1x 的某一邻域)(1x N δ内有上界， 故∀X x ∈1，)(x f 必在1x 的某一邻域)(1x N δ内有上确界，
设)(x f 在1x 的邻域)(1x N δ内的上确界为1
x M
构造邻域簇 ....}3,2,1),({=i x N i δ， 显然 )(i i
x N X δ ⊆
而由条件X 为紧集，
故存在自然数k 使得： )(1i k
i x N X δ=⊆
用i
x M 分别表示)(x f 在)(i x N δ中的上确界，其中k i ,...3,2,1=
令 }......,max {2
1
k
x x x M M M M =
显然M 必为)(x f 在X 上的最大值。

定理 5 若函数()f x 在(),a b 内半连续，则必存在内闭区间
[](),,a b αβ⊂，使()f x 在[],αβ上保持有界。

证：以下半连续为例进行证明。

设()f x 在(),a b 内下半连续，来证[][],,a b αβ∃⊂使得()f x 在[],αβ上
有界，用反证法，设[](),,a b αβ∀⊂，()f x 总在[],αβ上无上界，于是： 1、()1,x a b ∃∈使得()11f x >，因()f x 下半连续，故10δ∃>（不妨令112
δ<
），使得[]()11111,,x x a b δδ∆≡-+⊂且1x ∀∈∆有()1f x >
2、因()f x 在任何内闭区间上无上界，所以对1∆，
21x ∃∈∆使得()22f x >进而由()f x 的下半连续性，知20
δ∃>（不妨令221
2
δ<
）使得[]222221
,x x x δδ∈∆≡-+⊂∆时，有()2f x >。

3、如此继续下去，我们得到一串闭区间：123n ∆⊃∆⊃∆⋅⋅⋅⊃∆⊃， 区间长2
202
n n n δ∆=<
→（当n →∞时）且在每个区间n ∆上，恒有()f x n >。

4、根据区间套定理()1,2n n ξ∃∈∆=⋅⋅⋅。

因此()f ξ=+∞，矛盾。

我们已经知道，连续函数单调序列的极限不一定是连续的。

例如
()n n f x x =在[]0,1上连续，当n 增加时单调下降有极限
()1,1
0,01
x f x x =⎧=⎨
≤<⎩ 但极限函数()f x 在[]0,1上不连续。

定理6（保半连续性）设函数()n f x 在E 上有定义，且上半连续
()()()1,2,n n f x f x =⋅⋅⋅↓，即：
()()()()121n n f x f x f x f x +≥≥⋅⋅⋅≥≥⋅⋅⋅x E ∀∈ 且()()lim n n f x f x →∞
=。

则()f x 在E 上上半连续。

证明（我们的任务在于证明：0,0,0x E εδ∀∈∀>∃>，当0
,x E x x δ∈-<时有()()0f x f x ε<+）
1、0x E ∀∈，因()()00lim n n f x f x →∞
=，所以0ε∀>，0N ∃>，当n N >时有
()()00n f x f x ε<+
2 、 将n 固定，因()n f x 在E 上上半连续，所以0δ∃>，当0,x E x x δ∈-<时
有()()0n f x f x ε<+。

3、 又 ()()n f x f x ↓ ，()()n f x f x ≤，故更有
()()0f x f x ε<+
这就证明了()f x 在E 上上半连续。

下面，我们提出相反的问题：是否半连续函数一定可以作为连续函数的单调极限呢？回答是肯定的。

定理7 设()f x 在[],a b 上有定义，且上半连续，则存在一个递减的连续函数序列
()()()121n f x f x f x +≥≥⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅
使得 ()()lim n n f x f x →∞
=（即：上半连续函数，总可用连续函数从上方逼近）
证明
首先构造函数序列(){}n f x ，然后证明()n f x 连续，↓，有下界，从而
()()lim n n f x x →∞
存在记为g ，然后证明()()g x f x =。

1、 构造（()n f x ）
对于固定的x 与n ，函数n x x '--是x '的连续函数，所以上半连续，已知()f x '是上半连续的，()f x n x x ''--是x '的上半连续函数（定理3），从而在[],a b 上有上界，且达到上确界（定理4），即[]*,x a b ∃∈使得
()[]
(){}**,max x a b
f x n x x f x n x x '∈''--=-- （1） （注意*x 实际与,n x 有关，()**n x x x =）
今定义 ()[](){},m a x n x a b
f x f x n x x '∈''=-- （2） 下面证明n f 满足各项要求。

2
(证明()n f x 连续）由（1）、（2）式知
()()()[]*,,n f x f x n x x f x n x x x a b *'''=--≥--∀∈ （3）
从而
()()()()()()()()**
**n n n n n n f x f x x n x x x f x x n x x x n x x f x n x x
''≥--''''≥----''=--
所以 ()()n n f x f x n x x ''-≤-
此式对任意的[],,x x a b '∈都成立，x '，x 互换也成立，因而得 ()()n n f x f x n x x ''-≤-
此式表明()n f x 在[],a b 上连续。

3、（证明n f ↓） 设m n >，则
()()()()**n m m f x f x x n x x x ≥--（由式3） ()()()**m m f x x m x x x ≥--（因m n >）
()m f x = 所以n f ↓。

4、（(){}n f x 序列有下界）
对任一固定的x ，在（3）式中令x 'x =，可知()()n f x f x ≥（对一切n N ∈成立），故[],x a b ∀∈，(){}n f x 有下界。

5、由3、4知;()()lim n n g x f x →∞
≡存在且()f x ≥。

6、（证明()()g x f x ≤）因()f x 上半连续，0,0εδ∀>∃>，当x '[],a b ∈，
x x δ'-<时有
()()f x f x ε'<+ (4) 又因为()f x 上半连续，所以在[],a b 上上有界，因此对固定的x ，当n →∞时有
*n x x →。

这是因为()()()**
n n n f x f x x n x x x ⎡⎤=--⎣⎦
若()*n x x 不收敛于x ，则x ∃的邻域()1,x x δδ-+，使得()*
k
n x x 在此邻域之
外（这里(){}*k
n x x 是(){}*n x x 的某一子序列）。

但()f x 在[],a b 上有上界，即：0M ∃>，使得()f x M ≤（当[],x a b ∈时），因此
()()()()**
*
1k k k k
n n n k n k f x f x x n x x x M n x
x x M n δ⎡⎤=--⎣⎦
≤--≤-→-∞
这与()()n f x g x →（当n →∞时矛盾 。

.
Word 专业资料 由此可知0N ∃>，当n N >时，()*n x x x δ-<，于是由（4）式
()()()*n f x x f x ε<+
但 ()()()()()()***n n n n f x f x x n x x x f x x =--≤
从而更有 ()()n f x f x ε<+ 令n →∞取极限，得()()g x f x ε≤+ 由0ε>的任意性，知()()g x f x ≤ 再由5的结论可得()()g x f x =。