【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.3知能优化训练 新人教B版必修4

1．已知a ＝(－1,3)，b ＝(x ，－1)，且a 、b 共线，则x 等于( )
A ．3
B ．－3
C.13 D ．－13
解析：选C.∵a ∥b ，∴(－1)×(－1)－3·x ＝0，∴x ＝13
. 2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y 的值是( )
A ．9
B ．－9
C ．13
D ．－13
解析：选B.AB →＝(－5－3,2－(－6))＝(－8,8)，
AC →＝(6－3，y －(－6))＝(3，y ＋6)，
∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥AC →，
∴(－8)×(y ＋6)－8×3＝0，
∴－8y －48－24＝0，∴8y ＝－72，∴y ＝－9.
3．下列各组的两个向量，共线的是( )
A ．a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6)
B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7,14)
C ．a 3＝(2,3)，b 3＝(3,2)
D ．a 4＝(－3,2)，b 4＝(6，－4)
解析：选D.D 中(－3)×(－4)－2×6＝0，∴a 4∥b 4.
4．已知向量a ＝(x,1)，b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________.
解析：∵a ，b 方向相反，∴a ∥b ，
∴x 2－1＝0，∴x ＝±1.
当x ＝1时，a ＝(1,1)，b ＝(1,1)，此时a 、b 同向．
当x ＝－1时，a ＝(－1,1)，b ＝(1，－1)，此时a 、b 反向．
答案：－1
一、选择题
1．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，若(a ＋2b )∥(2a －b )，则x 的值是( )
A ．2
B ．1
C.12 D ．－12
解析：选C.a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，
∴(1＋2x )·3－4(2－x )＝0，解得x ＝12
. 2．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，73
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－73 D.⎝
⎛⎭⎪⎫－2，－73 解析：选C.∵2a ＋b －3c ＝0，∴3c ＝2a ＋b ，
∴c ＝23a ＋13b ＝23(5，－2)＋13
(－4，－3) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫103－43
，－43－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－73. 3．(2011年绍兴高一检测)已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共
线，则a ＝( )
A ．0
B ．1－ 2
C ．1＋ 2 D.1＋22
解析：选C.AB →＝(1，a 2＋a )，AC →＝(2，a 3＋a )
∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →、AC →共线，
∴1×(a 3＋a )－2(a 2＋a )＝0，
∴a 3－2a 2－a ＝0，解得a ＝0或a ＝1±2，
∵a ＞0，∴a ＝1＋ 2.
4．若a ，b 是不共线的两个向量，且AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、
C 三点共线的条件为( )
A ．λ1＝λ2＝－1
B ．λ1＝λ2＝1
C ．λ1λ2＋1＝0
D ．λ1λ2－1＝0
解析：选D.A 、B 、C 共线⇔AB →＝mAC →⇔λ1a ＋b ＝m a ＋m λ2b ⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝λ1m λ2＝1⇔λ1λ2＝1⇔λ1λ2－1＝0.
5．(2011年济南高一检测)设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13
)，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60°
C ．75°
D ．45°
解析：选D.∵a ∥b ，∴32×13
－sin αcos α＝0， ∴sin αcos α＝12
，① ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋1＝2，
∵α为锐角，∴sin α＋cos α＝2，②
由①②知α＝45°.
6．在平行四边形ABCD 中，AD →＝(－6，－7)，AB →＝(2，－3)，若平行四边形ABCD 的对称
中心为E ，则CE →为( )
A ．(－2,5)
B ．(－2，－5)
C ．(2，－5)
D ．(2,5)
解析：选D.AC →＝AD →＋AB →＝(－6，－7)＋(2，－3)＝
(－4，－10)，∴CA →＝(4,10)，∴CE →＝12
CA →＝(2,5)，故选D. 二、填空题
7．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于________． 解析：∵a ∥b ，∴3cos α－4sin α＝0，∴4sin α＝3cos α，
∴sin αcos α＝tan α＝34
. 答案：34
8．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析：λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，
∵λa ＋b 与c ＝(－4，－7)共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0，解得λ＝2.
答案：2
9．a ＝(1,1)，b ＝(1，－2)，c ＝(4,1)，若c ＝x a ＋y b ，则x ＋y 的值为________．
解析：c ＝x a ＋y b ＝(x ，x )＋(y ，－2y )
＝(x ＋y ，x －2y )＝(4,1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝1，
∴x ＋y ＝3＋1＝4.
答案：4
三、解答题
10．已知点M (1,0)，N (0,1)，P (2,1)，Q (1，y )，且MN →∥PQ →，求y 的值，并求出向量PQ →的
坐标．
解：∵点M (1,0)，N (0,1)，P (2,1)，Q (1，y )，
∴MN →＝(－1,1)，PQ →＝(－1，y －1)．
∵MN →∥PQ →，∴(－1)×(y －1)－1×(－1)＝0，
解得y ＝2
∴PQ →＝(－1,1)．
11．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，
(1)若u ∥v ，求实数x 的值；
(2)若a ，v 不共线，求实数x 的值．
解：(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，
所以u ＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x ＋1,14)，
v ＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x ，－2)，
又因为u ∥v ，
所以－2(2x ＋1)－14(2－x )＝0，
即10x ＝30，解得x ＝3.
(2)若a ，v 共线，则2(2－x )＝－2，解得x ＝3，所以要使a ，v 不共线，{x |x ∈R 且x ≠3}为所求．
12．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13
BC →，求证：EF →∥AB →.
证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，
依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)．
∵AE →＝13AC →，∴AE →＝13(2,2)＝(23，23
)． ∵BF →＝13BC →，∴BF →＝13(－2,3)＝(－23
，1)． 因为(x 1＋1，y 1)＝(23，23
)， 所以x 1＝－13，y 1＝23，即E (－13，23
)． 因为(x 2－3，y 2＋1)＝(－23
，1)， 所以x 2＝73，y 2＝0，即F (73
，0)． ∴EF →＝(83，－23
)． 又∵4×(－23)－83
×(－1)＝0.
所以EF →∥AB →.。