列二元一次方程组解等腰三角形
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Ｅ Ｂ， 从 而船 ＋ Ｃ Ｃ， 因此 设Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ ＝ ｘ ， Ｂ Ｃ ＝ ｙ ， 可 列 二 元
一
图 ｌ
次 方程 组求 得 ＡＡ Ｂ Ｃ 的周 长 ．
解 ： 由 上 述 分 析 可 得 ｊ ２ ｘ ＋ ｙ ２ ６ ， 解 得 ｆ ＝ ８ ，
【 ｘ ＋ ｙ ＝１ ８ ． １ ｙ ＝１ ０，
下：
例 １ 在 △Ａ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｂ＝ ＡＣ ， Ａ Ｂ的 垂 直 平 分 线Ｄ Ｅ交
Ａ Ｃ 于 ，若 ＡＡＢ Ｃ 和 △Ｂ Ｅ Ｃ的周 长 分别 为 ２ ６ ｅ ｍ 和１ ８ ｃ ｍ， 求 ＡＡＢ Ｃ 各边 的长． 分析： 如 图１ ， 由于Ｄ Ｅ 是ＡＢ的垂 直 平 分 线 ， 故 知 ＝
ｏ一
ｔ
ｌ
焱 嶷
究竟哪一部分是ｌ ２ ， 哪一部分是９ ， 题 目没 有 说 ， 但
从 下 面 图２ 和 图３ 中可 以看 出 ， 存在两种可能 ， 所 以我 们
＋ 求解 ＋ 应 当分 两种 情形 分析 ．
２ ２
ｙ
＋
ｙ ＋
解： 设这 个等１ 腰三 角形 为 ， 底边 长 为Ｙ ， 则 有 ２ ９． 的腰 长 一 ２ ～ ２
冽 二 元 一 次 方 程 解 等 腰 三
口 江苏 于志 洪
列方 程 组 解 等腰 三 角 形 问题 是 一种 数 形 结 合 的 思 维 方法 ． 由于这 种
以形 判 数 、 以数 论 形 的 思想 方 法 ， 既 具有 几 何 图形 的直 观 性 ， 又 具 有代 数
解 题 的规律 性 ， 因 而深受 师 生青 睐 ． 现 仅 就 二 元 一 次 方 程 组 在 解 等腰 三 角形 问 题 中 的 应 用 举 说 明如
＝ ＝
９ ＝
，
１ ＝
２
解
得
ｙ
８
解
得
Ｉ ｌ ６ ｙ Ｉ Ｉ
９
＝
５
＝
或
由三角 形三 条边 之 问的关 系 ， 可知 这两 组解 均符 合题 意． 答： 腰长 为８ ｏ ｎ， 底 边 长为５ ｏ ｍ或腰 长 为６ ｏ ｍ， 底 边长 为９ ｏ ｎ ． 例３ 如 图４ ，在 ＡＡＢ Ｃ 中， Ａ Ｂ ＝ ＡＣ， Ｄ是ＡＢ的 中 点 ， Ｄ Ｅ上 交４ Ｃ 于Ｅ， 已知 △Ｂ Ｃ Ｅ的周 长 为 ｌ ０ ， 且 Ｃ — Ｂ Ｃ ＝ ２ ，
ｙ
解之， 得
图 ６
９ ＼ 、 Ｊ 所以， 此 三角 形 的腰长 与底 长 分别 为７ ’ ６ ９ ￣ －１ ， 了 ２ ２
．
３
我 们还 可 以列 三元 一 次方 程 组解 等 腰三 角
形 的角度 问题 ， 现 再举 一列 供 同学 们参考 ． １ 歹 ０ ５ 如 图７ ， Ａ Ｃ ＝ Ｂ Ｃ ＝ 曰 Ｄ ， ＡＤ ＝ ＡＥ ， Ｄ Ｅ＝ Ｃ Ｅ， 求 、 ／Ｂ Ｃ Ｄ、 ／Ｅ Ｃ Ｄ的度 数． 分析 ： 由 已知 条 件 和 图 ７ 可发 现 ， 图 中共 有 Ａ
即ＡＢ － ， ４ Ｃ＝ ８ ｅ ｌ Ｔ ｌ ， ＢＣ ＝Ｉ Ｏ ｃ ｍ．
例２ 已知 一个 等 腰 三角 形 一腰 上 的中线 将 这 个 三 角 形 的 周长 分 为 １ ２ ｅ ｌ Ｔ Ｉ 和９ ｅ ｍ两 部分 ， 求这 个 等腰三 角 形各 边 的长 ． 分析 ： 本 题题 设 中一 条腰 上 的 中线 将 等腰 三角 形 分成 的两 部分 中， 一 部 分是 由底 边和 一条 腰 的一 半组成 的 ，另 一 部分 是 由这 条腰 的另 一半 和 另 一条腰 组 成．
解： Ｃ ＝ ｘ ｏ ｍ， Ｂ Ｃ ＝ ｙ ｏ ｎ，
ｉ ＋ ｖ ＝１ ０。 【 Ｉ ｙ ＝２ ．
则有 ｛
’ 解得 ｛
ｆ ｘ ＝６． ｔ ｙ＝ ４．
从而 ＡＡＢ Ｃ 的周长 等于 ＋ ｙ ＝ ２ × ６ ＋ ４ ＝ ｌ ６ （ ｅ ｍ ） ． 例４ 己知等腰 三 角形 的周 长为 ２ ０ ， 一腰 上 的 中线 把 这个 三角 形 分成
— — —
ｏ
纛
的两 个 三角 形 周长之 差 为 １ ， 求此 三 角形 的腰 长与 底长 ．
分析： 由于 不知 道底 与腰 哪 一个较 长 ， 因而被 一腰 上 的 中线 所 分成 的 两 三 角形周 长谁 长谁 短 也就 无法 确 定．
解： 设 此 等 腰 三 角 形 的 腰 长 为 ， 底 边 长 为ｙ ， 甲线
长 为ｚ ， 则 由题意 ， 可得
＝ 一 ３ ｙ ＝ 一 ３
或
ｌ Ｉ ７ ＝
６
ｆ ２ ｘ ＋ ｙ ＝ ２ ０ ，
！ （ 詈 ＋ ｙ ） 一 （ ＋ 詈 ） ： ；
ｆ ２ ｘ ＋ ｙ ＝ ２ ０ ，
或 １ （ ＋ 詈 ＋ ｚ ） 一 （ 詈 ＋ ｙ ＋ ｚ ） ： － ．
求 △Ａ Ｂ Ｃ的周 长 ．
分析 ： 要 求 △４ Ｂ Ｃ 的周 长 ， 只 需求 出腰 和 底边 的长 即 可． 因为４Ｃ — Ｂ Ｃ ＝ ２ ，所 以我 们 只要 再 找 出ＡＣ 与Ｂ Ｃ 之 间 的 数量 关 系 ，通 过 列关 于Ａ Ｃ 、 Ｂ Ｃ 为未 知数 的二 元 一次 方程 组 即可 求解 ． 而Ｄ Ｅ 是 的垂直 平 分线 ，故Ｅ Ａ ＝ 因此 △Ｂ Ｃ Ｅ的周长 等 于 邪 ＋ Ｅ Ｃ ＋ Ｂ Ｃ ＝ （ 把Ｃ ） ＋ Ｂ Ｃ ＝ Ａ Ｃ ＋ Ｂ Ｃ ＝ Ｉ Ｏ ， 从 而 问题 得 到解 决．
ｃ
Ｄ 图７
Ｂ
四个 等 腰三 角 形 ， 故 启 发我 们 可 根据 所 求 ， 设 三 个 未知 数 ， 再 结 合 三角 形
内角 和为 １ ８ ０ 。 求解 ． 解： 设Ｚ ． Ｂ ＝ ｘ ， ／ ＿Ｂ Ｃ Ｄ＝ ｙ ， ／ ＿ ＿ Ｅ Ｃ Ｄ ＝ ｚ ， 则有
ｆ 肘２ ｙ ＝ １ ８ ０ 。 ， ①
一
图 ｌ
次 方程 组求 得 ＡＡ Ｂ Ｃ 的周 长 ．
解 ： 由 上 述 分 析 可 得 ｊ ２ ｘ ＋ ｙ ２ ６ ， 解 得 ｆ ＝ ８ ，
【 ｘ ＋ ｙ ＝１ ８ ． １ ｙ ＝１ ０，
下：
例 １ 在 △Ａ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｂ＝ ＡＣ ， Ａ Ｂ的 垂 直 平 分 线Ｄ Ｅ交
Ａ Ｃ 于 ，若 ＡＡＢ Ｃ 和 △Ｂ Ｅ Ｃ的周 长 分别 为 ２ ６ ｅ ｍ 和１ ８ ｃ ｍ， 求 ＡＡＢ Ｃ 各边 的长． 分析： 如 图１ ， 由于Ｄ Ｅ 是ＡＢ的垂 直 平 分 线 ， 故 知 ＝
ｏ一
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究竟哪一部分是ｌ ２ ， 哪一部分是９ ， 题 目没 有 说 ， 但
从 下 面 图２ 和 图３ 中可 以看 出 ， 存在两种可能 ， 所 以我 们
＋ 求解 ＋ 应 当分 两种 情形 分析 ．
２ ２
ｙ
＋
ｙ ＋
解： 设这 个等１ 腰三 角形 为 ， 底边 长 为Ｙ ， 则 有 ２ ９． 的腰 长 一 ２ ～ ２
冽 二 元 一 次 方 程 解 等 腰 三
口 江苏 于志 洪
列方 程 组 解 等腰 三 角 形 问题 是 一种 数 形 结 合 的 思 维 方法 ． 由于这 种
以形 判 数 、 以数 论 形 的 思想 方 法 ， 既 具有 几 何 图形 的直 观 性 ， 又 具 有代 数
解 题 的规律 性 ， 因 而深受 师 生青 睐 ． 现 仅 就 二 元 一 次 方 程 组 在 解 等腰 三 角形 问 题 中 的 应 用 举 说 明如
＝ ＝
９ ＝
，
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２
解
得
ｙ
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Ｉ ｌ ６ ｙ Ｉ Ｉ
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由三角 形三 条边 之 问的关 系 ， 可知 这两 组解 均符 合题 意． 答： 腰长 为８ ｏ ｎ， 底 边 长为５ ｏ ｍ或腰 长 为６ ｏ ｍ， 底 边长 为９ ｏ ｎ ． 例３ 如 图４ ，在 ＡＡＢ Ｃ 中， Ａ Ｂ ＝ ＡＣ， Ｄ是ＡＢ的 中 点 ， Ｄ Ｅ上 交４ Ｃ 于Ｅ， 已知 △Ｂ Ｃ Ｅ的周 长 为 ｌ ０ ， 且 Ｃ — Ｂ Ｃ ＝ ２ ，
ｙ
解之， 得
图 ６
９ ＼ 、 Ｊ 所以， 此 三角 形 的腰长 与底 长 分别 为７ ’ ６ ９ ￣ －１ ， 了 ２ ２
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我 们还 可 以列 三元 一 次方 程 组解 等 腰三 角
形 的角度 问题 ， 现 再举 一列 供 同学 们参考 ． １ 歹 ０ ５ 如 图７ ， Ａ Ｃ ＝ Ｂ Ｃ ＝ 曰 Ｄ ， ＡＤ ＝ ＡＥ ， Ｄ Ｅ＝ Ｃ Ｅ， 求 、 ／Ｂ Ｃ Ｄ、 ／Ｅ Ｃ Ｄ的度 数． 分析 ： 由 已知 条 件 和 图 ７ 可发 现 ， 图 中共 有 Ａ
即ＡＢ － ， ４ Ｃ＝ ８ ｅ ｌ Ｔ ｌ ， ＢＣ ＝Ｉ Ｏ ｃ ｍ．
例２ 已知 一个 等 腰 三角 形 一腰 上 的中线 将 这 个 三 角 形 的 周长 分 为 １ ２ ｅ ｌ Ｔ Ｉ 和９ ｅ ｍ两 部分 ， 求这 个 等腰三 角 形各 边 的长 ． 分析 ： 本 题题 设 中一 条腰 上 的 中线 将 等腰 三角 形 分成 的两 部分 中， 一 部 分是 由底 边和 一条 腰 的一 半组成 的 ，另 一 部分 是 由这 条腰 的另 一半 和 另 一条腰 组 成．
解： Ｃ ＝ ｘ ｏ ｍ， Ｂ Ｃ ＝ ｙ ｏ ｎ，
ｉ ＋ ｖ ＝１ ０。 【 Ｉ ｙ ＝２ ．
则有 ｛
’ 解得 ｛
ｆ ｘ ＝６． ｔ ｙ＝ ４．
从而 ＡＡＢ Ｃ 的周长 等于 ＋ ｙ ＝ ２ × ６ ＋ ４ ＝ ｌ ６ （ ｅ ｍ ） ． 例４ 己知等腰 三 角形 的周 长为 ２ ０ ， 一腰 上 的 中线 把 这个 三角 形 分成
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纛
的两 个 三角 形 周长之 差 为 １ ， 求此 三 角形 的腰 长与 底长 ．
分析： 由于 不知 道底 与腰 哪 一个较 长 ， 因而被 一腰 上 的 中线 所 分成 的 两 三 角形周 长谁 长谁 短 也就 无法 确 定．
解： 设 此 等 腰 三 角 形 的 腰 长 为 ， 底 边 长 为ｙ ， 甲线
长 为ｚ ， 则 由题意 ， 可得
＝ 一 ３ ｙ ＝ 一 ３
或
ｌ Ｉ ７ ＝
６
ｆ ２ ｘ ＋ ｙ ＝ ２ ０ ，
！ （ 詈 ＋ ｙ ） 一 （ ＋ 詈 ） ： ；
ｆ ２ ｘ ＋ ｙ ＝ ２ ０ ，
或 １ （ ＋ 詈 ＋ ｚ ） 一 （ 詈 ＋ ｙ ＋ ｚ ） ： － ．
求 △Ａ Ｂ Ｃ的周 长 ．
分析 ： 要 求 △４ Ｂ Ｃ 的周 长 ， 只 需求 出腰 和 底边 的长 即 可． 因为４Ｃ — Ｂ Ｃ ＝ ２ ，所 以我 们 只要 再 找 出ＡＣ 与Ｂ Ｃ 之 间 的 数量 关 系 ，通 过 列关 于Ａ Ｃ 、 Ｂ Ｃ 为未 知数 的二 元 一次 方程 组 即可 求解 ． 而Ｄ Ｅ 是 的垂直 平 分线 ，故Ｅ Ａ ＝ 因此 △Ｂ Ｃ Ｅ的周长 等 于 邪 ＋ Ｅ Ｃ ＋ Ｂ Ｃ ＝ （ 把Ｃ ） ＋ Ｂ Ｃ ＝ Ａ Ｃ ＋ Ｂ Ｃ ＝ Ｉ Ｏ ， 从 而 问题 得 到解 决．
ｃ
Ｄ 图７
Ｂ
四个 等 腰三 角 形 ， 故 启 发我 们 可 根据 所 求 ， 设 三 个 未知 数 ， 再 结 合 三角 形
内角 和为 １ ８ ０ 。 求解 ． 解： 设Ｚ ． Ｂ ＝ ｘ ， ／ ＿Ｂ Ｃ Ｄ＝ ｙ ， ／ ＿ ＿ Ｅ Ｃ Ｄ ＝ ｚ ， 则有
ｆ 肘２ ｙ ＝ １ ８ ０ 。 ， ①