二次函数复习课件81298
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没有交点
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
△= b2-4ac > 0
△= b2-4ac = 0
△= b2-4ac < 0
y
0
x
a 0 Δ 0
x无论取何值,y总是大于零
y 0
x
a 0 Δ 0
x无论取何值,y总是小于零
4.一元二次方程根的分布.
(1)方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根：
方程有两个不等的实数根
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
663源自3 + 153 15
即
x1
3 , x2
. 3
练习： x2 3x 1 0 4
1 解： a 1,b 3, c .
4
∆=
b2 4ac
3
2
4
x
＝
－
b 2a
时
，
f(x)max
＝
__4_a_c_－__b_2____.
4a
3.二次函数在闭区间上的最值
在闭区间的端点或二次函 数的顶点处取得
y -1 0 1 x
y -1 0 1 x
y
-1 0 1
x
(1)抛物线与x轴的交点情况
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
有两个交点
有一个交点 顶点
一正一负
Δ>0
x1·x2=
c a
<0
ac<0;
两正根
Δ>0
xx11+·xx22==ac-ba
>0 >0;
Δ>0
两负根
xx11+·xx22==ac-
b <0 a>0;
一零根 C=0
例1.m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx + (3 + m) 0
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
例题解析
例1解下列方程：
1 x x 2 + x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x + 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)=0.
(1)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对
称轴方(2)程顶为点_坐__x标_＝_是_－_____2－_b_a___2_b_a__，_____4___a__c4，_－a__b_2______；
向上 (3) 开口方向；当 a＞0 时，开口_____ ，当 a＜0 时，开
1 4
4.
>0
方程有两个不同的实数
根
x 3 4 32,
21
2
即
2+ 3
32
x1 2 , x2 2 .
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
口__向___下___．
(4)值域：当a＞0时，值域为
，
当a＜0时，值域为
，
(5)二次函数的单调性及最值
当 a＞0 时单调减区间为
，
增区间为
；
并且当 x＝－2ba时，f(x)min＝___4_a_c4_－a__b.2
.当 a＜0 时，函数在－∞，－2ba上___递__增_，
在 －2ba，＋∞ 上 _递__减___ ， 当
解： 寻求等价条件
(1) m2 4(3 + m) 0 ，m2 4m 12 0 得：m 6或m 2.
0
m 6或m 2
(2)
x1
+
x2
0
得
m 0
得：m 6
x1x2 0
m + 3 0
(3)
0
x1
x2
2.y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质： 定义域为R.
二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方法的步骤是
f(x)＝______a_x_2_＋___ba_x__＋__c___； f(x)＝_a__x_＋___2b_a__2_－__4b_a2_＋___c___＝ax＋2ba2＋4ac4－a b2.
0
得
m 6或m 2 m + 3 0
得：m 3.
第7讲│ 知识梳理
(7)．根与系数的关系 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝b2－4ac ＞0 时，图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0)， 这里的 x1，x2 是方程 f(x)＝0 的两根，则根与系数的 关系是__xx_11＋·_x_2x＝_2＝_ac _－_ba_，__．
二次方程 ax2 + bx + c 0
式：x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
： 0,方程有两个不同实根；
0,方程有两个相同实根；
0,方程没有实根；
理：x1
+
x2
b a
,
x1
x2
c a
为根一元二次方程为
1 + x2 )x + x1x2 0 解ax2 + bx + c a(x x )(x x )
二次函数
1、二次函数的解析式 顶点
对称轴
(a≠0)
y=ax2+bx+c(一般式)
(
b 2a
,4
a
c 4a
b2
)
直线x
b 2a
y=a(x-h)2+k(顶点式) (h,k)
x=h
y a(x x1)(x x2)(交点式） x
x1 + x2 2
b 2a
主要用于待定系数法求二次函数解析式
方程的两根为 x1 =－3,
x1 =－9.
① 先化为一般形式； ②再确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x=
- b±
b2 2a
4ac
若b2-4ac＜0,方程没有实数根.
例. 3x2 6x 2 0
解： a 3,b 6, c 2.
∆= b2 4ac 62 432 60.>0
解一元二次方程的方法有几种?
方程的左边是完全平方式,右边是非负数; 即形如
x2 p或(mx + n)2 p( p 0)
可得
x p或mx + n p.
练习
例. x + 62 9 0
解：移项 x + 62 9
x + 6 3,
x＋6=3 x＋6=－3,
于是得
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
△= b2-4ac > 0
△= b2-4ac = 0
△= b2-4ac < 0
y
0
x
a 0 Δ 0
x无论取何值,y总是大于零
y 0
x
a 0 Δ 0
x无论取何值,y总是小于零
4.一元二次方程根的分布.
(1)方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根：
方程有两个不等的实数根
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
663源自3 + 153 15
即
x1
3 , x2
. 3
练习： x2 3x 1 0 4
1 解： a 1,b 3, c .
4
∆=
b2 4ac
3
2
4
x
＝
－
b 2a
时
，
f(x)max
＝
__4_a_c_－__b_2____.
4a
3.二次函数在闭区间上的最值
在闭区间的端点或二次函 数的顶点处取得
y -1 0 1 x
y -1 0 1 x
y
-1 0 1
x
(1)抛物线与x轴的交点情况
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
有两个交点
有一个交点 顶点
一正一负
Δ>0
x1·x2=
c a
<0
ac<0;
两正根
Δ>0
xx11+·xx22==ac-ba
>0 >0;
Δ>0
两负根
xx11+·xx22==ac-
b <0 a>0;
一零根 C=0
例1.m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx + (3 + m) 0
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
例题解析
例1解下列方程：
1 x x 2 + x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x + 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)=0.
(1)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对
称轴方(2)程顶为点_坐__x标_＝_是_－_____2－_b_a___2_b_a__，_____4___a__c4，_－a__b_2______；
向上 (3) 开口方向；当 a＞0 时，开口_____ ，当 a＜0 时，开
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4.
>0
方程有两个不同的实数
根
x 3 4 32,
21
2
即
2+ 3
32
x1 2 , x2 2 .
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
口__向___下___．
(4)值域：当a＞0时，值域为
，
当a＜0时，值域为
，
(5)二次函数的单调性及最值
当 a＞0 时单调减区间为
，
增区间为
；
并且当 x＝－2ba时，f(x)min＝___4_a_c4_－a__b.2
.当 a＜0 时，函数在－∞，－2ba上___递__增_，
在 －2ba，＋∞ 上 _递__减___ ， 当
解： 寻求等价条件
(1) m2 4(3 + m) 0 ，m2 4m 12 0 得：m 6或m 2.
0
m 6或m 2
(2)
x1
+
x2
0
得
m 0
得：m 6
x1x2 0
m + 3 0
(3)
0
x1
x2
2.y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质： 定义域为R.
二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方法的步骤是
f(x)＝______a_x_2_＋___ba_x__＋__c___； f(x)＝_a__x_＋___2b_a__2_－__4b_a2_＋___c___＝ax＋2ba2＋4ac4－a b2.
0
得
m 6或m 2 m + 3 0
得：m 3.
第7讲│ 知识梳理
(7)．根与系数的关系 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 Δ＝b2－4ac ＞0 时，图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0)、M2(x2,0)， 这里的 x1，x2 是方程 f(x)＝0 的两根，则根与系数的 关系是__xx_11＋·_x_2x＝_2＝_ac _－_ba_，__．
二次方程 ax2 + bx + c 0
式：x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
： 0,方程有两个不同实根；
0,方程有两个相同实根；
0,方程没有实根；
理：x1
+
x2
b a
,
x1
x2
c a
为根一元二次方程为
1 + x2 )x + x1x2 0 解ax2 + bx + c a(x x )(x x )
二次函数
1、二次函数的解析式 顶点
对称轴
(a≠0)
y=ax2+bx+c(一般式)
(
b 2a
,4
a
c 4a
b2
)
直线x
b 2a
y=a(x-h)2+k(顶点式) (h,k)
x=h
y a(x x1)(x x2)(交点式） x
x1 + x2 2
b 2a
主要用于待定系数法求二次函数解析式
方程的两根为 x1 =－3,
x1 =－9.
① 先化为一般形式； ②再确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x=
- b±
b2 2a
4ac
若b2-4ac＜0,方程没有实数根.
例. 3x2 6x 2 0
解： a 3,b 6, c 2.
∆= b2 4ac 62 432 60.>0
解一元二次方程的方法有几种?
方程的左边是完全平方式,右边是非负数; 即形如
x2 p或(mx + n)2 p( p 0)
可得
x p或mx + n p.
练习
例. x + 62 9 0
解：移项 x + 62 9
x + 6 3,
x＋6=3 x＋6=－3,
于是得