湖北黄冈中学八校2013高三第一次联考(12月)-数学文(word)

湖北省 鄂南高中 荆州中学 华师一附中 孝感高中 黄冈
中学 襄阳四中 黄石二中 襄阳五中八校
2013届高三第一次联考
数学试题（文）
命题学校：黄石二中
考试时间：2012年12月21日下午15:00——17:00 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.
1、复数1i
z i
=-的实部为（ ）
A 、12
B 、2i
C 、－12
D 、－2
i
2、集合A={}
1610-2-+=x x y x ，集合B ={}
A x x y y ∈=,log 2，则=⋂
B
C A R ( )
A .[]32，
B .(]21，
C .[]83， D.(]83， 3、若命题p:[]012,3,3-02
00≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是（ ）
A []012,3,3-02
0>++∈∀x x x B ()()2000-,-33,,210x U x x ∀∈∞+∞++> C . ()()2000-,-33,,210x U x x ∃∈∞+∞++≤ D. []012,3,3-02
0<++∈∃x x x 4、某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（ ）
A .π236+
B .π436+
C .π836+
D .π1036+
5、函数
的图象如上图所示，为了得到g （x ）＝sin2x
的图象，则只要将f （x0）的图象（ ）
A 、向右平移
6
π
个单位长度 B 、向右平移12π个单位长度
C 、向左平移6
π
个单位长度 D 、向左平移12π个单位长度
6、已知两个正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为 A 、1 B 、2 C 、4 D 、22
7、等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，则
3
6
S S =（ ） A .2 B .87 C .89 D .4
5
8、任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P （a ，b ）落在区域｜x ｜＋｜y ｜≤3
中的概率为 A 、
25
36
B 、16
C 、14
D 、112
9、如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD ，若双曲线以A ，B 为焦点且过C ，
D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为 A 、2＋1 B 、3＋1 C 、2 D 、3
10、已知函数(0)
()lg()(0)
x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程
2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的（ ）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（一）必做题（11-14题）
11、已知抛物线2
2y ax =的准线为x ＝－14
，则其焦点坐标为＿＿＿
12、三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a =，b ＝1，∠A ＝
3
π，则∠B ＝＿＿＿
13、已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为＿＿
14、超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过70km/h,否则视为违规。

某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规的汽车大约为＿＿＿辆。

15.阅读如图所示程序框图，运行相应程序，输出结果n = .
16、已知扇形OAB 的半径为1，面积为
3
，设弧AB 上有异于A ，B 的动点C ，线段OC 与线段AB 交于点M ，N 为OM 的中点，则∠AOB ＝＿＿＿＿ 若
则x ＋y ＝＿＿＿＿
17、已知点P （a ，b ）与点Q （1,0）在直线2x －3y ＋1＝0的两侧，则下列说法正确的序号是＿＿＿＿
有最小值，无最大值
的取值范围为
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18、（本小题满分12分）已知
(1)求函数)(x f 的单调递增区间； (2)若关于x 的方程f （x ）＝a 在 上有且仅有一个根，求a 的值.
19.（本小题满分12分）如图．在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底 面ABCD, PD = DC = 2，E 是PC 的中点． (1)证明：PA ／／平面EDB ；
（2）证明：平面PAC ⊥平面PDB ； （3)求三梭锥D 一ECB 的体积．
20.（本小题满分13分）大学生自主创业已成为当代潮流．长红学院大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品．银行贷款的年利率为6%，约定一年 后一次还清贷款．已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投人资金的15％，每月月底需要 交纳个人所得税为该月所获利润的20%,当月房租等其他开支1500元，余款作为资金全 部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出． （1)设夏某第n 个月月底余n a 元，第n+l 个月月底余1n a +元，写出a 1的值并建立1n a +与
n a 的递推关系；
（2）预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入．
21、（本小题满分14分）已知椭圆C ：
1(a ＞b ＞0)经过点
，F 1，F 2是椭圆
C 的两个焦点，且｜MF 1｜＋｜MF 2｜＝4. O 为椭圆C 的中心。

（1)求椭圆C 的方程；
（2）设P ，Q 是椭圆C 上不同的两点，且D 为△MPQ 的重心，试求△MPQ 的面积． 22.（本小题满分14分）已知函数
（1）求f (x)的单调区间和极值点； （2）求使
恒成立的实数a 的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n ，不等式
恒成立．
湖北省八校2013届高三第一次联考
数学（文科）参考答案
命题学校：黄石二中 命题人：王付繁 审题人：黄金龙 张晓华
一 、选择题
1-10 CDAAA CCDBC
二、填空题 11.)0,41
( 12.6
π 13.
2
25 14.110 15.3 16.2
1
;32π 17.③④
三、解答题 18、（本小题12分） 解：（1）1
)4
sin(21cos sin )(++
=++=π
x x x x f ……………………………2分
令
)
(2
24
2
2Z k k x k ∈+
≤+
≤-
π
ππ
π
π得)(x f 的单调增区间为
)(42,432Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-ππππ ……………………………6分
（2）由)(x f 在[]π2,0上的图象分析可知 当
4
2
4
ππ
π
=
=
+
x x 即时，12+=a ……………………………9分
或当
4
5234πππ
=
=+x x 即时，21-=a
综上21±=a ……………………………12分
19（本小题12分）
（1）证明：设O BD AC =⋂,连结EO
Q 底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点
在PAC ∆中，EO 是中位线，PA EO ∴∥. ………………2分 而EO ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，
所以PA ∥平面EDB . ………………4分
（2）证明：Q 底面ABCD 是正方形
BD AC ⊥， ………………5分
又⊥PD 底面ABCD
PD AC ⊥∴，又D BD PD =⋂ ………………7分 ⊥∴AC 面PDB ，而PAC AC ⊂
故⊥PAC 面PDB ………………8分
（3）DCB
E ECB D V V
--= ………………9分
故作DC EF ⊥于F .
PD ⊥Q 底面ABCD ,.PD DC ∴⊥ ,EF PD F ∴∥为DC 的中点.
EF ∴⊥底面ABCD ………………10分
3
21222131=⨯⨯⨯⨯=-DCB
E V ………………12分
20、（本小题13分）解：（1）151(200001
+=a ％)-20000⨯15％⨯20％-1500=20900（元）
………………………………………2分
151(1+=+n n a a ％）-n a ⨯15％⨯20％-1500=1.12n a -1500（111,≤≤∈*n N n ）
………………………………………6分
（2）方法1：（构造）
令)(12.11
λλ+=++n n a a
，则1+n a =λ12.012.1+n a ，对比得12500-=λ
………………………………………8分
则
112.1)1250020900(12500--=-n n a ，即1250012.184001+⨯=-n n a
则1250012.184001112+⨯=a ≈41732（元） ……………………………11分
又年底偿还银行本利总计20000（1+6％）=21200（元）…………………………12分 故该生还清银行贷款后纯收入41732-21200=20532（元） ………………………13分
方法2：（列举）
150012.112-=a a
1500150012.112.11500)150012.1(12.1150012.112123-⨯-=--=-=a a a a
…… ……
1500150012.1150012.1150012.112.191011112-⨯-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯-⨯-=a a
B
P
41732
112.11
12.115002090048.311=--⨯-⨯=（元） …………………………11分 又年底偿还银行本利总计20000（1+6％）=21200（元）…………………………12分 故该生还清银行贷款后纯收入41732-21200=20532（元） ………………………13分
21、（本小题14分）解：（1）由椭圆的定义知2,42=∴=a a ，……………………3分 椭圆C 的方程为1
422
2
=+b
y x ，带入点)23,1(M ，求得32=b ……………………5分 故椭圆
1
3
4:22=+y x C …………………6分
（2）方法1：
若O 点为MPQ ∆的重心，设PQ 的中点为N ，则ON MO 2=， 则
)
4
3,21(--N ， ……………………8分
显然直线PQ 的斜率存在，不妨设为,k 联立
⎪⎩⎪⎨⎧=++=+1
34
)21(4322y x x k y 消去y 得：0
4393)64()43(222=--+-++k k x k k x k )(* ………………………9分
点N 在椭圆内，0>∆恒成立，设),(),,(2211y x Q y x P ，则
由)(*式
22143)64(k k k x x +--=+，则=+=221x x x N 2
1)43(2)64(2
-=+--k k k
2
1-
=∴k ， ……………………11分
即)(*式化简为2,022-=∴=-+x x x 或1=x 不妨
)23,1(),0,2(--Q P ，由椭圆对称性知2
9233212=
⨯⨯⨯=∆MPQ S .
……………………14分
（注：若联立方程组但)(*式未化简完全正确而后面由两根之和正确计算出2
1-
=k 时，统一扣2分.） （2）方法
2：
另一方面，当Q P ,在椭圆上时，不妨),(),,(2
211y x Q y x P ，则有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+134
13422222
121y x y x ，两式相减得3
))((4
)
)((21212
121y y y y x x x x -+-
=-+
则
2
122434*********-=⨯-=++⨯-=--N N y x y y x x x x y y
即
2
1-
=PQ
k ， ……………………11分
∴直线PQ 的方程为
)21(2143+-=+x y 即1
2
1
--=x y ， 联立
⎪⎩⎪⎨⎧
=+--=1
34
12122y x x y 消去y 得2,022-=∴=-+x x x 或1=x
不妨
)23,1(),0,2(--Q P ，由椭圆对称性知2
9233212=
⨯⨯⨯=∆MPQ S .
……………………14分
22、（本小题14分）解：（1）令0)(/=x f ，得
e
x 1=
，
当
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛∈e x 1,0时，0)(/<x f 则)(x f 在)1,0(e 递减， 当
⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞∈,1e x 时，0)(/>x f ，)(x f 在
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1
e 递增
综上)(x f 在
)1,0(e 递减，在⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+∞,1e 递增，
)(x f 的极小值点为
e
x 1=
………………………3分 （注：极值点未正确指出扣1分）
（2）方法
1：
问题转化为1ln +≥x ax ， …………………………4分 令1ln )(--=x ax x h 则
x
ax x a x h 11)(/
-=
-=
ⅰ）当0≤a 时，0)(/<x h ，)(x h 在0>x 单调递减，)(x h 无最小值，舍去；
…………………………5分
ⅱ）当0>a 时，令0)(/=x h ，得
a
x 1=
，
且
a
x 10<
<时，0)(/<x h ，)(x h 递减；
a x 1≥，0)(/≥x h ，)(x h 递增，故故a
a
h x h ln )1
()(min == 只须0ln ≥a ，即1≥a ………………………8分
方法2：
问题转化为1ln +≥x ax 即
x
x x a 1ln +
≥对0>∀x 恒成立 令
x x x x h 1ln )(+=，则2
/ln )(x
x x h -=， …………………………4分 当10<<x 时，0ln <x ，则0)(/>x h ，故此时)(x h 单调递增
当1≥x 时，0)(/≤x h ，故此时)(x h 单调递减 …………………………6分 故1)1()
(max
==h x h
故只须1≥a
综上1≥a ………………………8分 （3）要证明
n
n
e
n e 1)1ln(+<+
令e t e n ≥=，即证明
t
t t 1ln )1ln(+
<+
即证明
t t t 1)1ln(<+，即证t
t 1)11ln(<
+ 即证1ln -<x x …………………………12分 而由（2）可知1=a 时，x x x x -≤2ln ， 当1>x 时，1ln -<x x 故
n
n
e
n e 1)1ln(+<+是成立的，证毕。

…………………………14分。