级高考数学系三轮复习 填空题攻略

2009级高考三轮复习
填空题攻略------方法总结与2009年高考预测
（一）方法总结
1. 能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

2．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。

3. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.
（二）2009年高考预测
1. 继续出现创新能力题；
2．应用问题更用可能前移，在填空题中加大考查应用能力
★考点回顾
填空题就是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的“求解题”，它的主要作用是考查考生的基础知识，基本技巧以及分析问题、解决问题的能力，高考试卷中25分．它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。

★数学填空题的特点
填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上。

但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题。

填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型。

填空题不需过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误。

填空题题小,跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一此解题策略，尽量避开常规解法。

★数学填空题的类型
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.
★解数学填空题的原则
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.
填空题快速解答
（一）数学填空题的解题方法
1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.
例1、设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又
)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。

解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴
0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，
而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。

例2、已知函数
21
)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。

解：
22121)(+-+=++=
x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x a x g 在),2(+∞-上
为增函数，∴021<-a ，∴
21
>
a 。

例3、现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。

解：由题设，此人猜中某一场的概率为31
，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为13
31。

例4、在三棱柱ABC —A ’B ’C ’中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB ’C ’F 将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1:V 2＝ 。

解：由题意分析，结论与三棱柱的具体形状无关，因此，可取一个特殊的直三棱柱，其底面
积为4，高为1，则体积V ＝4，而V 1＝13（1＋4＋4）=73，V 2＝V －V 1＝5
3，则V 1:V 2
＝7:5。

例5、已知(1－2x)7
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 7x 7
，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ 。

解：令x ＝1，则有（－1）7
＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1；令x ＝0,则有a 0＝1。

所以a 1＋
a 2＋…＋a 7＝－1－1=－2。

例6、方程log 2(x ＋1)2
＋log 4(x ＋1)＝5的解是 。

解：由换底公式得4log 4(x ＋1)＋log 4(x ＋1)＝5，即log 4(x ＋1)＝1,解得x ＝3。

例7、已知sin θ＋cos θ＝1
5，θ∈(0,π)，则ctg θ的值是 。

解：已知等式两边平方得sin θcos θ＝－12
25，解方程组得sin θ＝45，cos θ＝35，故答案为：－34。

【另解】设tg θ
2＝t ，再利用万能公式求解。

例8、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）.
解：三名主力排有33A 种，其余7名选2名安排在第二、四位置上有27A 种排法，故共有排法数33A 2
7A =252种.
例9、102
(2)(1)x x +-的展开式中10
x 的系数为 .
解：
102010192810102
10101010(2)(1)(242)(1)x x C x C x C x C x +-=+++⋅⋅⋅+-得展开式中10x 的系数为010C -210
4C +=179.
例10、已知函数
21
)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 .
解：22121)(+-+=++=
x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x a x g 在),2(+∞-上
为增函数，
∴021<-a ，∴
21
>
a .
2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）
进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.
例11、已知（1－2ｘ）７＝ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ２＋…＋ａ７ｘ７，那么ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝_____．
解：将已知与求解对照：
ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ２＋…＋ａ７ｘ７=（1－2ｘ）７， ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝？
可见取ｘ＝0时，得ａ0＝1；再取ｘ＝1以求值．有 ａ1＋ａ2＋…＋ａ７＝（1－2）７－ａ0＝－2．
说明：通过对未知变量x 赋以特殊值0和1，十分简洁地求出了问题的答案，收到了事半功倍的效果．
例12、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。

若a 、b 、c 成等差数列，则
=
++C A C
A cos cos 1cos cos 。

解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形，0
cos ,53
cos ==C A ，从而所求值为53。

例13、 过抛物线
)0(2
>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则=
+q p 1
1 。

解：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

设k = 0，因抛物线焦点坐标为
),41,
0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得a x 21±，∴
a FQ PF 21||||=
=，从而a q p 411=+。

例14、 求值
=++++)240(cos )120(cos cos 222 a a a 。

分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令
0=a ，得结果为
23。

已知(1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ 。

解：令x ＝1，则有（－1）7
＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1；令x ＝0,则有a 0＝1。

所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－1=－2。

例15、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则
=
++C A C
A cos cos 1cos cos
解法一：取特殊值a ＝3, b ＝4, c ＝5 ,则cosA ＝,54cosC ＝0, =
++C A C A cos cos 1cos cos 45. 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝600 cosA ＝cosC ＝21,=++C
A C A cos cos 1cos cos 4
5. 例16、如果函数
2
()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么(1),(2),(4f f f 的大小关系是 .
解：由于(2)(2)f t f t +=-，故知()f x 的对称轴是2x =.可取特殊函数2
()(2)f x x =-，
即可求得(1)1,(2)0,(4)4f f f ===.∴(2)(1)(4)f f f <<.
例17、已知SA ，SB ，SC 两两所成角均为60°，则平面SAB 与平面SAC 所成的二面角为 .
解：取SA=SB=SC ，则在正四面体S －ABC 中，易得平面SAB 与平面SAC 所成的二面角
为
1arccos
3.
例18、已知
,m n 是直线，,,αβγ是平面，给出下列命题：①若,αγβγ⊥⊥，则α∥β；
②若,n n αβ⊥⊥，则α∥β；③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；④若
,n m αα
⊂⊂≠≠，且n ∥β，m ∥β，则α∥β；⑤若,m n 为异面直线，
n ⊂≠α，n ∥β，m ⊂
≠β,m ∥α，则α∥β.
则其中正确的命题是 .（把你认为正确的命题序号都填上） 解：依题意可取特殊模型正方体AC1（如图），在正方体AC1中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.
3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来．这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略．
例19、如果不等式
x a x x )1(42
->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 。

解：根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=
和
函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取 值范围是[)+∞∈,2a 。

例20、 求值
=
+)21arctan
3
sin(
π。

解：
=+)21arctan
3
sin(
π
)21sin(arctan 21)21cos(arctan 23+，构造如图所示的直角三角形，
则其中的角θ即为
21arctan
，从而.51)21sin(arctan ,52)21cos(arctan ==所以可得结果为1015
25+。

例21、 已知实数x 、y 满足3)3(2
2
=+-y x ，则1-x y
的最大值是 。

解：1-x y
可看作是过点P （x ，y ）与M （1，0）的直线的斜率，其中点P 的圆3)3(2
2=+-y x 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1-x y
最大，最大值为3tan =θ。

例22、不等式25x +>x ＋1的解集是 。

解：如图，在同一坐标系中画出函数y ＝25x +与y ＝x ＋1的图像，由图中可以直观地得
到：－52≤x<2，所以所求解集是[－5
2,2)。

例23、已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，则|2a －b |的最大值是 解：因|2|||2a b ==，故向量2a 和b 所对应的点A 、B 都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而|2a －b |的几何意义即表示弦AB 的长，故|2a －b |的最大值为4.
例24、设函数 f(x)＝13x3＋1
2ax2＋2bx ＋c ．若当 x ∈（0，1）时，f(x)取得极大值；x ∈（1，
2）时，f(x)取得极小值，则
b-2
a -1
的取值范围 ． 解：f´(x)＝ x2＋ax ＋2b ，令f´(x)＝0，由条件知，上述方程应满足：
一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，
∴⎩⎨⎧f´(1)<0f´(0)>0f´(2)>0 ，得⎩⎨⎧a+2b+1<0b>0a+b+2>0 ，在aob 坐标系中，作出上述区域如图所示，而 b-2a -1 的几何意
义是过两点P(a ，b)与A(1，2)的直线斜率，而P(a ，b)在区域内，由图易知kPA ∈（1
4，1）．
4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.
例25、 求值
=
+)21arctan
3
sin(
π。

解：
=+)21arctan
3
sin(
π
)21sin(arctan 21)21cos(arctan 23+，
构造如图所示的直角三角形，则其中的角θ即为
21
arctan
，从而
.51)21sin(arctan ,52)21cos(arctan ==所以可得结果为101525+。

例26、 已知实数x 、y 满足
3)3(2
2=+-y x ，则1-x y
的最大值是 。

解：1-x y
可看作是过点P （x ，y ）与M （1，0）的直线的斜率，其中点P 的圆3)3(2
2=+-y x 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1-x y
最大，最大值为3tan =θ。

36
,81
==b a 。

例27、 不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线
04222
22=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 。

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆
42)(2
2+=+-a y a x ，∴31≤≤-a 。

例28、函数x x y -+-=
3214单调递减区间为 。

解：易知.0],3,41
[>∈y x ∵y 与y2有相同的单调区间，而
31344112
2-+-+=x x y ，
A
B
D
A1
B1 C1
D1
∴可得结果为]3,813[。

总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

例29、不等式
23
+
>ax x 的解集为),4(b ，则=a _______，=b ________.
解：设t x =，则原不等式可转化为：
,0232<+
-t at ∴a > 0，且2与)4(>b b 是方程
0232=+
-t at 的两根，由此可得：36,81
==b a .
例30、不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆
04222
22=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 .
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆
42)(2
2+=+-a y a x ，∴31≤≤-a .
5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和
解决问题的一种方法. 例31、如图，点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ⊥ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度数为 .
解：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得PA 与BD 所成角为60°.
例32、4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有 种（用数字作答）.
解：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球.因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”），然后从4个盒中选出3个盒放3
堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有
2344144C A =（种）. 例33、椭圆
x29 + y2
4
=1 的焦点F1、F2，点P 是椭圆上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 解：构造圆x2＋y2＝5，与椭圆
x29 + y24 =1 联立求得交点x02 ＝ 95⇒x0∈（－ 355，35
5
） 6、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.
例34、如右图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，当底面四边形满足条件
时，有
1
11AC B
D ⊥（填上你认为正确的一个条件 即可，不必考虑所有可能性的情形）.
解：因四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，故11AC 为1AC 在面1111A B C D 上的射影，从
而要使
111A C B D ⊥，只要11B D 与11AC 垂直，故底面四边形1111A B C D 只要满足条件
11B D ⊥11AC 即可.
例35、以双曲线2
21
3x y -=的左焦点F ，左准线l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线3y kx =+所得的弦恰好被x 轴平分，则k 的取值范围是 .
解：左焦点F 为（－2，0），左准线l ：x ＝－3
2
，因椭圆截直线3y kx =+所得的弦恰好被
x 轴平分，故根据椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线3y kx =+与x 轴的交点3(,0)
k -，由3
2k -
<- ，得0 ＜ k ＜ 32.
（二）减少填空题失分的检验方法 1、回顾检验
例36、满足条件π
απα<≤--=且21
cos 的角α的集合为 .
错解：
,2134cos ,2132cos
-=-=ππ .3432π
πα或=∴
检验：根据题意，答案中的34π不满足条件παπ<≤-，应改为32π
-
；其次，角α的取值要用集合表示.故正确答案为}.
32,3
2{
ππ- 2、赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免
知识性错误.
例37、已知数列}{n a 的前n 项和为
1232
++=n n S n ，则通项公式n a = . 错解：
,16]1)1(2)1(3[123221-=+-+-⋅-++=-=-n n n n n S S a n n n .16-=∴n a n 检验：取n=1时，由条件得611==S a ，但由结论得a1=5.故正确答案为
⎩⎨
⎧≥-==).2(16),
1(6n n n a n 3、逆代检验.若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量
的允许值范围而产生增解致错.
例38、方程i z z 31||3-=+的解是 .
错解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i bi b a a 313)3(2
2
-=+++，根据复数相等的定义得
⎪⎩⎪⎨⎧-==++.33,132
2
b b a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧
-==⎩⎨⎧-==.1,431,0b a b a 或.故.43i z i z -=-=或
检验：若i z -=，则原方程成立；若
i z -=
43
，则原方程不成立.故原方程有且只有一解z=-i.
4、估算检验.当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视
充要条件而产生逻辑性错误. 例39、不等式
x x lg 1lg 1->+的解是 .
错解：两边平行得2
1lg (1lg )x x +>-，即l g (l g 3)0,0l g 3x
x x -<<<
，解得3
110x <<.
检验：先求定义域得
1lg 1,1lg 11.101
<->+>≥
x x x x 则若，原不等式成立；若
x x x lg 1lg 1,1101
-≤+≤≤时，原不等式不成立，故正确答案为x>1.
5、作图检验.当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.
例40、函数||1|log |2-=x y 的递增区间是 . 错解：).,1(∞+
检验：由
⎩⎨
⎧<->-=),1(|)1(log |),1(|)1(log |22x x x x y 作图可知正确答案为).,2[)1,0[∞+和 6、变法检验.一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免
方法单一造成的策略性错误.
例41、若)
,(19
1+∈=+R y x y x ，则y x +的最小值是 .
错解：
,6,6
92911≥=≥+=
xy xy
xy y x
.122=≥+∴xy y x
检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到.
换一种解法
为
：
,
169210910)91)((=⋅+≥++=++=+y x
x y y x x y y x y x y x .16的最小值为y x +∴
7、极端检验.当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全
的错误.
例42、已知关于x 的不等式01)2()4(2
2
≥-++-x a x a 的解集是空集，求实数a 的取值范围 .
错解：由0)4(4)2(2
2
<-++=∆a a ，解得
.
56
2<<-a 检验：若a=-2，则原不等式为01≥-，解集是空集，满足题意；若
56
=
a ，则原不等式为
02580642≤+-x x ，即0)58(2
≤-x ，解得
85=
x ，不满足题意.故正确答案为
.
56
2<≤-a 切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半
解”.
.
56
2<≤-a （三）数学填空题经典例题剖析、点评
例43、不等式0121>+-x x
的解集是______。

解：不等式0121>+-x x 等价于()()1210x x -+>，也就是()1102x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，所以
112x -<<
，从而应填112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩
⎭． 答案：112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 点评：快速解答此题需要记住小结论：应用小结论：00
a
ab b >⇔>
例44、 已知
4
sin 5θ=
，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ=________.
解：由
4sin 5θ=
可以读出3cos 5θ=±．而有条件sin cos 1θθ->，所以知道3
cos 5θ=-
，
24sin 22sin cos 25θθθ==-
.答案：2524
-
点评：记住一些常用的结论，有时可以快速解答问题，如：“当… 时”，看看上面的＂读
出＂，“取舍”，“用公式”，想想解题思维的流程，会有什么启发？ 例45、 已知0<t<1，
)
1(log t m a +=、
)
1(log t n a -=,则m 与n 的大小关系为______.
解：该题几乎在各种数学复习参考书中都出现，是一个很典型的问题，但很多书本都是采用不等式的方法，如作差、作商、不等式的性质等。

其实作为填空题，它的最好解法是数形结合，作出函数
x
y a log =的简图，再根据图形的特征，容易发现a<b.
点评：本题也可以采取另一种作法，首先看一个不等式的性质：a 和b 是两个异号的实数，
当且仅当b a +与a 同号时b a >。

)1(log )1(log )1(log 2t t t a a a -=-++ ，不论a 的值
如何，
)1(log 2
t a -与)1(log t a -同号，所以.n m <答案：.n m < 用数形结合法解填空题，直观，容易懂，不必写出严格的步骤。

这两种作法的最大的优点是
不用对底数是否比1大讨论。

例46、底面边长为2的正三棱锥ABC P -中，E 、F 、G 、H 分别是PA 、AC 、BC 、PB 中点，则四边形EFGH 的面积取值范围是_________。

解：用特例法，当P 点无限远离平面ABC 时显然所求四边形的面积为无穷；
而当P 点无限接近平面ABC
时（如图所示），容易求得面积为
>。

答
案：
> 点评：当有些动点决定问题的结果时，可以让这些动点的位置特殊化。

例47、实数x 、y 满足0123322
2=+--+-y x y xy x 则xy 的最小
值为__________
解：由于这是个轮换对称式，可以大胆地猜想当
y x =时xy 最小。

答案：12
点评：这个题目如果要用严谨方法求解，会显得非常麻烦，解题思路和运算量都是无法预料
的。

例48、 已知函数
21
)(++=
x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。

解：
22121)(+-+=++=
x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x a x g 在),2(+∞-上
为增函数，∴021<-a ，∴
21>
a 。

答案：21
>
a
点评：熟悉)(d b
c a
d cx b ax ≠++型函数的一些性质和结论对解决一些填空题或选择题很有帮助。

例49、不等式
23
+
>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b= 。

解：设t x =，则原不等式可转化为：
,0232<+
-t at ∴a > 0，且2与)4(>b b 是方程
0232=+
-t at 的两根，由此可得：36,81==b a 。

答案：36,81
==b a
点评：“不等式解集中的区间端点值是不等式改为方程后的根或增根”，在已知不等式的根
求其中参数时，经常用这个性质。

例50、 不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线04222
22=--+-+a a ax y x 恒有交点，
则实数a 的取值范围是 。

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆
42)(2
2+=+-a y a x 的圆心的距离不超过半径，∴31≤≤-a 。

答案：31≤≤-a 点评：注意数与形的结合，提高解题的效率。

（四）数学填空题强化练习
例51、已知函数()1+=x x f ，则
()._______31
=-f 讲解 由13+=x ，得
()431==-x f ，应填4.
请思考为什么不必求
()x f 1
-呢？ 例52、集合
⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪
⎨⎧∈-<≤-=N
x x M x ,2110log 11的真子集的个数是.______
讲解
{}{}
N x x x x M ∈<≤=∈<≤=,10010N x 2,lgx 1，显然集合M 中有90个元素，
其真子集的个数是12
90
-，应填1290-.
快速解答此题需要记住小结论;对于含有n 个元素的有限集合,其真子集的个数是.122
-
例53、若函数
()[]b a x x a x y ,,322
∈+-+=的图象关于直线1=x 对称，则._____=b 讲解 由已知抛物线的对称轴为22+-
=a x ,得 4-=a ，而1
2=+b
a ，有6=
b ，故应
填6.
例54、如果函数
()22
1x x x f +=
，那么
()()()()._____4143132121=⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎭
⎫
⎝⎛+
+⎪⎭⎫
⎝⎛++f f f f f f f
讲解 容易发现()1
1=⎪⎭⎫
⎝⎛+t f t f ，这就是我们找出的有用的规律，于是
原式＝
()2731=
+f ，应填.
27
类似题：
设
()221
+=
x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得
()()()()().______650f 45=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-f f f f
例55、已知点P ()ααcos ,tan 在第三象限，则角α的终边在第____象限. 讲解 由已知得
⎩⎨⎧<>⇒⎩
⎨
⎧<<,0cos ,
0sin ,0cos ,0tan αααα 从而角α的终边在第二象限，故应填二.
例56、不等式
()120lg cos 2≥x （()π,0∈x ）的解集为__________.
讲解 注意到120lg >，于是原不等式可变形为.0cos 0cos 2≥⇔≥x x
而π<<x 0，所以
20π
≤
<x ，故应填.20⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤<R x x x ，π
例57、如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线
8π
-
=x 对称，那么._____=a
讲解
()ϕ++=2sin 12
a y ，其中a =ϕtan .
8π
-
=x 是已知函数的对称轴，
282ππϕπ+
=+⎪⎭
⎫
⎝⎛-∴k ， 即
Z k k ∈+
=，43π
πϕ，
于是 .
143tan tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+==ππϕk a 故应填 1-.
在解题的过程中，我们用到如下小结论：
函数()ϕω+=x A y sin 和()ϕω+=x A y cos 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形.
例58、设复数
⎪
⎭⎫ ⎝⎛<<+=24cos sin 21πθπ
θθz 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转43π
后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()ϕϕsin co s 2i r z +=，则.____tan =ϕ
讲解 应用复数乘法的几何意义，得
⎪⎭⎫
⎝⎛
-=43sin
43cos 12ππi z z
()()[]i θθθθcos sin 2cos sin 222
++--
=，
于是
，1tan 21tan 2cos sin 2cos sin 2tan -+=+-=
θθθθθθϕ 故应填 .
1tan 21tan 2-+θθ
例59、设非零复数y x ,满足 02
2=++y xy x ，则代数式 2005
2005
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+y x y y x x 的
值是____________.
讲解 将已知方程变形为 1
12
=+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x ，
解这个一元二次方程，得
.
23
21ω=±-=i y x
显然有
2
31,1ωωω-=+=, 而166832005+⨯=,于是
原式＝()()2005
20052005111ωωω+++
＝()
()
2005
22005
21
ωωω
-+
-
＝.112
=-+ωω
在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，
值得重视. 例60、已知
{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是{}n a 的前n 项和，那么
._____lim
=∞
→n
n
n S na
讲解 特别取
n a n =，有
()
21+=
n n S n ，于是有
().
21
1212lim lim lim
2
=+=+=∞
→∞→∞
→n
n n n S na n n n n n 故应填2.
例61、列{}n a 中，()⎪⎩⎪⎨
⎧-=是偶数）
，（是奇数，
n n a n n n 52
51
n n
a a a S 2212+⋅⋅⋅++=, 则 .
________2lim =∞
→n
n S
讲解 分类求和，得
()()，n n n a a a a a a S 24212312+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=-
∴
8151152
5115
12
222lim =
--
+-=∞
→n
n S
，故应填81．
例62、以下四个命题：
①
()；
〉31
22≥+n n n
②
()；
12
26422≥++=+⋅⋅⋅+++n n n n
③凸n 边形内角和为
()()()；
31≥-=n n n f π
④凸n 边形对角线的条数是
()()
().
42
2≥-=
n n n n f
其中满足“假设
()0,k k N k k n ≥∈=时命题成立，
则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当
0n n =（0n 是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是 .
讲解
①当n=3时，13223
+⨯>，不等式成立；
②当n=1时，21122
++≠，但假设n=k 时等式成立，则
()()()()211122126422
2
++++=++++=++⋅⋅⋅+++k k k k k k ； ③ ()()π133-≠f ，但假设()()π1-=k k f 成立，则
()()()[]；ππ111-+=+=+k k f k f
④
()()22444-≠
f ，假设()()22-=
k k k f 成立，则
()()()()()[].
221131-++≠
-+=+k k k k f k f
故应填②③.
例63、某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .
讲解 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有35P 种方法，偶位数字上排偶数的方法有35，从而中奖号码共有3355⨯P 种，于是中奖面为
%,
75.0%100100000053
35=⨯⨯P
故应填%.75.0
例64、 ()
()7
2
21-+x x 的展开式中3x 的系数是.__________
讲解 由()
()()()7
7
27
2
2221-+-=-+x x x x x
知，所求系数应为()7
2-x 的x 项的系数与
3x 项的系数的和，即有
()()，1008224
4
76
67=-+-C C 故应填1008.
例65、过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球
的表面积是________.
讲解 长方体的对角线就是外接球的直径R 2, 即有
(),505434222222=++==R R
从而
π
π5042==R S 球，故应填.50π
例65、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．
讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面
体的体积分别为： 611,1211 ,1214，故应填.611、1211 、1214
中的一个即可.
例66、直线1-=x y 被抛物线
x y 42
=截得线段的中点坐标是___________. 讲解 由⎩
⎨⎧=-=x y x y 4,12
消去y ，化简得
,0162
=+-x x
设此方程二根为21x x ，，所截线段的中点坐标为
()00y x ，，则
.2132
00
2
10=-==+=
x y x x x ，故 应填 ()2,3.
例67、椭圆12592
2=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点
P 的坐标是_________________. 讲解 记椭圆的二焦点为21F F ，，有
,
10221==+a PF PF
则知 .2522
2121=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+≤⋅=PF PF PF PF m
显然当
5
21==PF PF ，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.
故应填()0,3-或().0,3
例68、一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是()20022
≤≤=y x y ，在
杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，
从而可设大圆的方程为
().2
2
2r r y x =-+
由 ()⎪⎩⎪
⎨
⎧==-+，，22222x y r r y x
消去x ，得
()0122
=-+y r y （*） 解出 0=y 或().12r y -= 要使（*）式有且只有一个实数根0=y ，只要且只需要(),012≤-r 即.1≤r
再结合半径0>r ，故应填.10≤<r
例69、知函数2
2
x 1x )x (f +=，那么)31(f )3(f )21(f )2(f )1(f +++++=+)41(f )4(f 。

讲解 计算之前，应认真观察数式结构特征，因为结构决定了解题的方向。

我们从整体考虑：2
22222
21
11()()111111x x x f x f x x x x x +=+=+=++++（定值），于是
1(2)()12f f +=，1(3)()13f f +=，1(4)()14f f +=，又
1(1)2f =
， 故原式=7
2。

例70、若关于x 的方程)2x (k x 12
-=-有两个不等实根，则实数k 的取值范围是 。

讲解 明确范围，画图分析。

（运用运动变化的观点研究数学问题）
易得：
03AB k k -
=<≤
例71、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，
=
++C cos A cos 1C
cos A cos 。

讲解 由题设可取a=b=c 即三角形ABC 为等边三角形，则
原式=
1
415
14
=
+。

（也可以取a=3，b=4，c=5）
例72、（2007·宁夏/海南）设函数
(1)()
()x x a f x x ++=
为奇函数，则a = .
讲解 由于()f x 是奇函数，则(1)(1)0f f +-=，1a ∴=-。

例73、
)240(cos )120(cos cos 02022+α++α+α的值为 。

讲解 令0α=，则原式=
22113
1()()222+-+-=
例74、（2007·江西）如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过
点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点,M N ， 若,AB mAM AC nAN ==，则m n +的值为 .
讲解 取三角形为正三角形，3AN NC =，则易得
42
,33n m ==
，所以2m n +=。

例75、若函数
()[]b a x x a x y ,,322
∈+-+=的图象关于直线1=x 对称，则._____=b 讲解 由已知抛物线的对称轴为212a --
=,得a ＝0，而12a b
+=，有b ＝2，故应填2.
例76、()
()7
2
21-+x x
的展开式中3x 的系数是.__________
讲解 由
()()()()
7
7
7
2
21222x
x x x x +-=-+-知，所求系数应为()7
2-x 的x 项的系数
与3
x 项的系数的和，即有()()，1008224
4
76
67=-+-C C
故应填1008.
例77、若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．
讲解 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面
体的体积分别为： 611,1211 ,1214，故应填.611、1211 、1214
中的一个即可.
例78、如果随机变量ξ～N (2
,1σ-),且P （13-≤≤-ξ）=0.4，则P （1≥ξ）= 讲解 如果随机变量ξ～N (2
,1σ-),且P （13-≤≤-ξ）=0.4，
P （13-≤≤-ξ）=
5
.0)2
()2(5.0))
1(3(
))
1(1(
-Φ=-Φ-=---Φ----Φσ
σσσ
，
∴
9
.0)2
(=Φσ
， ∴P （1≥ξ）=
1
.0)2
(1))
1(1(
1=Φ-=--Φ-σ
σ。

例79、已知集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-121,,4
1,21,1n ，它的所有的三个元素的子集的和是n S ，则22lim n S
n n ∞→＝ 。

讲解 因为包含了⎭⎬⎫⎩⎨⎧-121,,41,21,1n 任意一个元素)(21
1Z k k ∈-的三元素集合共21-n C 个，所以
在
n
S 中，每个元素都出现了2
1-n C 次，所以
)
211)(2)(1(211)
21
1(12)
2)(1()2
18141211(12
1n n n n n n n n n C S ---=-
-
⨯⨯--=+++++
=
-- ，所以
2
)2
11)(2)(1(2lim
2lim
2
2
=---=∞
→∞
→n
n n n
S n
n n n 。

例80、
点P 为其上的动点，
为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______________________；
讲解 设P(x ，y)
P
P
又当P 在x
P 在y
点P
例81、 若函数()||2[0)f x a x b =-++∞在，上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是____；
讲解 由已知可画出下图，符合题设，故a>0
例82、如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆 子落入圆内的概率是________．
讲解 因为正方形的面积是16，内切圆的面积是4π，所以豆子落入圆内的概率
是
4164ππ=． 例83、有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式”：运算符号紧跟
在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式7)2(3+-⨯x ，其运算为：
+-,7,*,,2,,3x ，若计算机进行运算：lg ,*,,2,,-x x ，那么使此表达式有意义的x 的范围为
_____________ ．
讲解 计算机进行运算：lg ,*,,2,,-x x 时，它表示的表达式是()
lg 2x x -，当其
有意义时，得
()20
x x ->，解得02x x <>或．
例84、某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e －λt ，
其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.09μ0，则当稳定系数降为0.50μ0
时，该种汽车的使用年数为 (结果精确到1，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)． 讲解 μ0＝μ0(e －λ)2，得e －λ＝0.90，于是
0.50μ0＝μ0(e －λ)t ⇒1
2＝(0.90)t ，
两边取常用对数，lg 12＝t
2
lg0.90，
解出 t ＝－2lg22lg3－1＝2×0.602
1－2×0.4771＝13.1．
（五）高考数学填空题分类指导 1、函数与不等式
例85、 已知函数()1+=x x f ，则
()._______31
=-f 讲解 由13+=x ，得
()431==-x f ，应填4.请思考为什么不必求()x f 1-呢？。