海东市2022-2023学年高一下学期6月联考数学试题(含答案)

海东市2022-2023学年高一下学期6月联考
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册、必修第二册第六章至第八章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}5A x x =<，{}
31B x x =-<，则A B ⋂=（ ） A ．()2,5-
B ．()4,5
C ．(),2-∞
D ．()2,5
2．若()2i i 6i y x -=+，x ，y ∈R ，则y
x
=（ ） A ．－3
B ．13-
C ．3
D ．
13
3．“249a <”是“a ＜7”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也
不必要条件
4．在平行四边形ABCD 中，2DE EC =，则BE =（ ） A ．1
3
BC CD + B ．23BC CD +
C ．13
BC CD
-
D ．2
3
BC CD -
5．把函数()cos 27f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
的图象向左平移7π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则
()g x =（ ）
A ．3cos 27
x π⎛⎫-
⎪⎝
⎭
B ．cos 27x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
C ．2cos 27
x π⎛⎫-
⎪⎝
⎭
D ．cos 2x
6．已知向量(
)2,1a =，()
22,1b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ）
A ．
3
B
C ．1
3
b
D ．b
7．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，111A B =，13AB AA ==，则该四棱台的体积为（ ）
A ．
B
C D
8．洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周、东汉、魏、西晋、北魏、隋、唐、后梁、后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑．九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1:1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》．如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底B 在同一平面内的两个测量基点C 与D ，现测得∠BCD ＝75.52°，CD ＝66m ，在C 点测得九龙鼎顶端A 的仰角为45°，在D 点测得九龙鼎顶端A 的仰角为26°，则九龙鼎的高度AB ＝（ ）（参考数据：取tan 642︒=，1
cos 75.524
︒=
）
A ．44m
B ．33m
C ．40m
D ．30m
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数142i
1i
z -+=
-，23i z =-+，则（ ） A ．1z 的实部为3
B ．1z 的虚部为－1
C ．1z 与2z 互为共轭复数
D ．12z z -为纯虚数 10．若cos3a =，ln3b =，e c -=，则（ ）
A ．a ＜b
B ．c ＜b
C ．c ＜a
D ．a ＜c
11．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝12，3
B π
=，则c 可能为
（ ）
A ．8
B ．15
C ．10
D ．12．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠ABC ＝∠ACD ＝60°，AB ＝BC ＝2，CD ＝1，且二面角P －BC －A 为60°，则（ ）
A ．PD =
B ．二面角P －D
C －B 为60°
C ．三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为
433
π
D ．P A ＝3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横
线上．
13．已知两个正数m ，n 满足mn ＝25，则m ＋4n 的最小值为______．
14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N 分别是AD ，11A D ，BC ，1CC 的中点，则异面直线EF 和MN 所成角的弧度数为______．
15．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，7a b -=，则a 与b 的夹角为______．
16．《九章算术》中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CE ＝1丈＝10尺），芦苇生长在水池的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？”将芦苇AB ，AC 均视为线段，在芦苇的移动过程中，其长度不变，记BAC α∠=，则t a n t a n 4242παπα⎛⎫
⎛⎫
--+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知向量()1,3a λ=-，()5,1b λ=-． （1）若a b ∥，求λ的值；
（2）若()()
2a b a b +⊥-，且0λ>，求()
a b b -⋅． 18．（12分）
已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()2,3A ，(),4B m -，其中m ∈R ． （1）若m ＝1，求12z z -；
（2）若2z 是关于x 的方程2
2170x x ++=的一个复数根，求m 的值及2z ． 19．（12分）
如图，在底面ABCD 是矩形的四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PC ＝PD ，且
CD D =，M ，N 分别是P A ，BD 的中点．
（1）证明：MN ∥平面PBC ． （2）证明：PC ⊥平面P AD ． 20．（12分）
已知函数()sin()0,03,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+><<<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示．
（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调递减区间； （3）若不等式()f x m ≥在5,2424ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上恒成立，求m 的取值范围． 21．（12分）
ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2
2
2
2s
i n s i n s i n 2s i n 2s i n B A C A C
+=+．
（1）求cos 2B ；
（2）若a ＝c ，ABC △，求ABC △的周长． 22．（12分）
如图，在底面为矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PBC ．
（2）若AB ＝3，AD ＝5，E 为侧棱PB 上一点，且BE ＝2PE ，若CE 与底面ABCD 所成的角大于60°，求P A 的取值范围．
高一数学试卷参考答案
1．D 因为{}2B x x =>，所以()2,5A B ⋂=．
2．C 由(2i)i 2i 6i y y x -=+=+，得x ＝2，y ＝6，则
3y
x
=． 3．C 由249a <，得－7＜a ＜7，所以“249a <”是“a ＜7”的充分不必要条件． 4．A 因为2DE EC =，所以13CE CD =，则1
3
BE BC CE BC CD =+=+． 5．B 因为()cos 2cos 277f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
所以()cos 2cos 2777g x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫=+
-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦． 6．C 由题意可得，3a =，3b =，413a b ⋅=-=，向量a 在向量b 上的投影向量为
1
3
a b b b b b ⋅⋅=． 7．D 如图，连接AC ，11AC ，取O ，1O 分别为AC 和11AC 的中点，连接1OO ． 因为1111ABCD A B C D -为正四棱台，所以11AC AC ∥，且1OO 为1111ABCD A B C D -的高．因为11
1A B =，13AB AA ==，所以1OO =11
11ABCD A
B C D -的
体积为(
22131
3
3
+=
8．B 设m AB x =，由题意得∠DAB ＝90°－26°＝64°，则m BC x =，
tan 642m BD AB x =︒=，在BCD △中，由余弦定理得
2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠，得2111452(44)(33)0x x x x +-=+-=，
得x ＝33． 9．BCD 因为13i z =
=--，所以1z 的实部为－3，1z 的虚部为－1，1z 与2
z 互为共轭复数，12z z -为纯虚数．
10．ABD 因为cos30a =<，ln3ln e 1b =>=，300e e 1c -<=<=，所 a ＜c ＜b ． 11．ACD 在ABC △中，b ＝12，3
B π
=
，由正弦定理得
sin sin c b C B =，
即12
sin sin 3
c C π=
，则c C =．因为20,3
C π⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭
，所以0sin 1C <≤，则0
c <≤c 可能为8，10，
12．BCD 因为AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，所以ABC △为正三角形，取BC 的中点E ，连接PE ，AE ，则AE BC ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BC ⊥，又PA AE A ⋂=，所以
BC ⊥平面P AE ，则P E B C ⊥，则∠PEA 为二面角P －BC －A 的平面角，所以∠PEA ＝60°，所以tan 603PA AE =︒=，D 正确．因为∠ACD
＝60°，AC ＝2，CD ＝1，所以由余弦定理
得AD =则2PD ==，A 错误．因为2
2
2
AD CD AC +=，所以AD CD ⊥，
可证CD PD ⊥，所以∠PDA 即二面角P －DC －B 的平面角，因为
tan
PA
PDA
AD
∠===PDA＝60°，B正确．设O为三棱锥P－ABC外接球的球心，取ABC
△的中心F，连接OF，OA，则FO PA
∥，且
1
2
FO PA
=，OA为三棱锥P－ABC
外接球的半径．因为OA===
棱锥P－ABC
的外接球的表面积为
2
43
4
3
π
π⨯=，C正确．
13．20
由题意可得420
m n
+≥=，当且仅当m＝4n＝10时，等号成立．
14．
4
π
易得
1
EF BB
∥，
1
MN BC
∥，所以异面直线EF和MN所成的角为
114
B BC
π
∠=．15．
2
3
π
（或120°）由7
a b
-=，得27
a b
-=，即22
27
a a
b b
-⋅+=，所以1
a b⋅=-，
1
cos,
2
a b=-，则
2
,
3
a b
π
=．
16．
5
6
-设AB＝x尺，则AC＝x＋1尺，在ACD
△中，由222
AD CD AC
+=，得222
5(1)
x x
+=+，得x＝12，所以
5
tan
12
BC
AB
α==．故
1tan1tan
22
tan tan
42421tan1tan
22
αα
παπα
αα
-+
⎛⎫⎛⎫
--+=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭+-
22
2
1tan1tan4tan
5
222
2tan
6
1tan
1tan1tan
2
22
ααα
α
α
αα
⎛⎫⎛⎫
--+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
===-=-
⎛⎫⎛⎫-
+-
⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
．
17．解：（1）因为a b
∥，所以()115
λλ
--=，解得
1
16
λ=．
（2）由题意得()
23,71
a bλ
+=-，(
)
6,21
a bλ
-=-+，
由()()2a b a b +⊥-，得()()
20a b a b +⋅-=，则3(6)(71)(21)0λλ⨯-+-+=， 即2145190λλ+-=，解得1λ=或19
14
-
（舍去）． 因为()6,3a b -=-，所以()
653030a b b -⋅=-⨯+⨯=-． 18．解：（1）由题意得123i z =+，因为m ＝1，所以214i z =-，
则1217i z z -=+，所以12z z -==． （2）（方法一）由题设得2
(4i)2(4i)170m m -+-+=，
即2
218(1)i 0m m m ++-+=，则2210,8(1)0,
m m m ⎧++=⎨-+=⎩
解得m ＝－1．故214i z =--．
（方法二）由题设得方程22170x x ++=的两根为4i m -，4i m +， 则4i 4i 2m m -++=-，得m ＝－1，故214i z =--． （方法三）由2
2
217(1)160x x x ++=++=，
得14i x +=±，即14i x =-±，所以m ＝－1，故214i z =--． 19．证明：（1）连接AC ，因为ABCD 是矩形，N 是BD 的中点， 所以N 是AC 的中点．因为M 是P A 的中点，所以MN PC ∥， 又MN ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以MN ∥平面PBC ．
（2）因为PC ＝PD ，且CD =
，所以PC PD ⊥，
因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD ＝DC ，
AD DC ⊥，所以AD ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥， 又AD PD D ⋂=，所以PC ⊥平面P AD ．
20．解：（1）由图可知A ＝2，(0)2sin f ϕ==
则sin 2
ϕ=，因为2πϕ<，所以4πϕ=．
由2sin 2884f ππ
πω⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，得2()842k k πππωπ+=+∈Z ，即216()k k ω=+∈Z ， 因为0＜ω＜3，所以2ω=，所以()2sin 24f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
． （2）由
3222()2
4
2k x k k π
π
πππ+≤+
≤
+∈Z ，得5()88
k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，
所以()f x 的单调递减区间为5,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
Z ．
（3）因为不等式()f x m ≥在5,2424ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上恒成立，所以()min f x m ≥， 因为5,2424x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，所以22,463x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
当24
6
x π
π
+
=
时，min ()2sin
16
f x π
==，则1m ≤，即m 的取值范围为(],1-∞．
21．解：（1）由正弦定理得222222b ac a c +=+，即2221
2
a c
b a
c +-=
， 所以2221cos 24a c b B ac +-==．故27
cos 22cos 18
B B =-=-．
（2）由（1）得sin B ==，
因为211sin 2242ABC S ac B a =
=⨯=
△，所以a ＝c ＝2．
由2221
2
a c
b a
c +-=，得b =ABC △的周长为4
22．（1）证明：由四边形ABCD 为矩形，得AB BC ⊥． 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BC ⊥． 因为PA AB A ⋂=，所以BC ⊥平面P AB ．
因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PAB ⊥平面PBC ．
（2）解：过E 作EF PA ∥，EF 交AB 于F ，连接CF ，因为BE ＝2PE ，所以BF ＝2F A ． 因为PA ⊥底面ABCD ，所以EF ⊥ABCD ，
所以∠ECF 为CE 与底面ABCD 所成的角，
所以∠ECF ＞60°，则tan EF
ECF FC
∠=
>
因为CF ==，所以EF >，
则23EF PA =
>PA >，即P A 的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭
．。