2018-2019学年江苏省泰兴第一高级中学高二第一次阶段测试数学卷(Word版)

2018-2019年秋学期高二年级阶段测试（一）
数 学 试 卷
命题人：吴光亮 孙美霞 2018.10.6 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1. 命题“012≥++∈∀x x R x ，”的否定是 ▲ ．
2. 已知函数f(x)＝1＋1
x
，则f(x)在区间[1，2]上的平均变化率分别为 ▲ ．
3．设a ∈R ，则a ＞1是1
a
＜1的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充
要”和“既不充分也不必要”)
4. 抛物线y ＝－18
x 2
的焦点坐标是 ▲ ．
5. 双曲线x 24＋y 2
k
＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是 ▲ ．
6. 若“(x －a )(x －a －1)＜0”是“1＜2x
＜16”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
7. 已知抛物线y 2
＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且
AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ▲ ．
8. 若椭圆
19
25
2
2
=+
y x 上一点到左准线的距离为5，则该点到右焦点的距离为
▲ ． 9.若直线b x y +=2
1
是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b= ▲ ．
10. 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2
的两条切线，切点分别
为A 、B .若∠AOB ＝90°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．
11. 椭圆22
162
x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值是 ▲ ．
12. 已知直线0843=-+y x 与椭圆19162
2=+y x 交于A ，B 两点，则线段AB 的长为 ▲ ． 13.已知1F ，2F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点，椭圆
内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15
sin 13
F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是 ▲ ．
14.已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率3
2e =,A 、B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆
上不同于A 、B 的一点,直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β,则
cos()
cos()
αβαβ-+= ▲ ．
二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知命题p ：任意x ∈R ，x 2
＋1≥a ，命题q ：方程
x 2
a ＋2
－y 2
2
＝1表示双曲线． （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若 “p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．
16.(1)若椭圆2222+=1x y a b (>>0)a b 过点)2,3(-，离心率为3
3
，求椭圆的标准方程；
(2)已知双曲线的渐近线方程为x y 4
3
±=，一个焦点的坐标为（5,0），求该双曲线的标准
方程.
17.已知椭圆的右焦点F ()m ，0，左、右准线分别为l 1：x ＝－m －1，l 2：x ＝m ＋1，且l 1、l 2分别与直线y ＝x 相交于A 、B 两点．
(1) 若离心率为2
2
，求椭圆的方程；
(2) 当AF →·FB →
<7时，求椭圆离心率的取值范围．
18. 设直线l ：y ＝k (x ＋1)与椭圆x 2＋3y 2＝a 2
(a >0)相交于A ，B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点．
(1)证明：a 2
>3k 21＋3k
2；
(2)若AC →＝2CB →
，求△OAB 的面积取得最大值时椭圆的方程．
19.如图，已知椭圆2
2:14
x O y +=的右焦点为F ，点B,C 分别是椭圆O 的上下顶点，点P 是直线:2l y =-上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆与另一点M.
⑴当直线PM 过椭圆右焦点F 时，求FBM ∆的面积；
⑵①记直线BM,BP 的斜率分别为212,k k k ∙1k ，求证：为定值；
②求PB PM ∙的取值范围.
20. 已知点P 是椭圆C 上的任一点，P 到直线l 1：x=﹣2的距离为d 1，到点F （﹣1，0）的距离为d 2，且
=
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 都在x 轴上方）， 且∠OFA+∠OFB=180°．
（i ）当A 为椭圆C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；
（ii ）是否存在一个定点，无论∠OFA 如何变化，直线l 总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
l y
x
M C B
F O P
高二数学阶段测试（一）参考答案
1. 01,2<++∈∃x x R x
2.－1
2
3.充分不必要
4.（0，-2）
5.(－12,0)
6. []0,3
7. 2＋1
8. 6
9.ln2-1
10. 2 11. 13
12.3145 13.262(,)262 14.3
5
二．解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.解（1）记f (x )＝x 2
＋1，x ∈R ，则f (x )的最小值为1， ……………………2分
因为命题p 为真命题，所以a ≤f (x )min ＝1，
即a 的取值范围为(－∞，1]． ………………………………7分 （2）因为q 为真命题，所以a ＋2＞0，解得a ＞－2． ………………………9分 因为“p 且q ”为真命题，所以⎩⎨⎧a ≤1，a ＞－2，
即a 的取值范围为(－2，1]．………14分
16. 解：（1）由题意得：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==+33
149
22a
c b a ，又2
22c b a +=，解得⎪⎩⎪⎨⎧==101522b a ， 所以椭圆标准方程为
110152
2=+y x …………… 7分 （2）由题意知双曲线标准方程为：122
22=-b
y a x ，
所以
4
3
=a b ，5c = ， 又2
22b a c +=，解得4,3a b ==，
所以所求双曲线标准方程为
22
1169
x y -=. …………… 14分 17.解：(1) 由已知，得c ＝m ，a2
c ＝m ＋1，
从而a2＝m(m ＋1)，b2＝m. 由e ＝
2
2
，得b ＝c ，从而m ＝1.
故a ＝2，b ＝1，得所求椭圆方程为x2
2＋y2＝1. -------------------------6分
(2)易得A(－m －1，－m －1)，B(m ＋1，m ＋1)， 从而＝(2m ＋1，m ＋1)，＝(1，m ＋1)，
故·＝2m ＋1＋(m ＋1)2＝m2＋4m ＋2<7，得0<m<1. -------------------------8分
由此离心率e ＝c a ＝m m （m ＋1）
＝1
1＋1m ，
故所求的离心率取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，
22. -------------------------14分 18.解：(1)证明：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故y ＝k (x ＋1)可化为x ＝1
k
y －1，
将x ＝1k y －1代入x 2＋3y 2＝a 2，整理得(1k 2＋3)y 2－2k
y ＋1－a 2
＝0，①…………………3分
由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝(－2k )2－4(1k
2＋3)(1－a 2
)>0，化简整理，得
a 2
>3k 2
1＋3k
2.(*)………………………6分
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由①，得y 1＋y 2＝2k
1＋3k
2.②
由题意得C (－1,0)，则＝(－1－x 1，－y 1)，＝(x 2＋1，y 2)， 由＝2，得y 1＝－2y 2.③
由②③联立，得y 2＝－2k
1＋3k
2.④………………………10分
△ABO 的面积S ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝32|y 2|＝3|k |1＋3k 2≤
3|k |23|k |＝3
2
，……………12分 当且仅当3k 2
＝1，即k ＝±3
3
时等号成立． 当k ＝
33时，由④得y 2＝－33； 当k ＝－33时，由④得y 2＝3
3
. 将k ＝
33，y 2＝－33及k ＝－33，y 2＝33
这两组值分别代入①，均可得a 2
＝5， 经验证，a 2
＝5，k ＝±
3
3
满足(*)式．………………………14分 所以当△OAB 的面积取得最大值时，椭圆的方程为x 2
＋3y 2
＝5. ………………………16分 19.
20.解：（1）设P（x，y），∵点P是椭圆C上的任一点，
P到直线l1：x=﹣2的距离为d1，到点F（﹣1，0）的距离为d2，且=，
∴d1=|x+2|，d2=，
==，
化简，得=1．
∴椭圆C的方程为=1．…………………………………………4分
（2）（i）由（1）知A（0，1），又F（﹣1，0），∴kAF==1，
∵∠OFA+∠OFB=180°，∴kBF=﹣1，
∴直线BF的方程为：y=﹣（x+1）=﹣x﹣1，
代入=1，得3x2+4x=0，
解得x1=0，，
代入y=﹣x﹣1，得（舍），或，
∴B（﹣，），kAB==，
∴直线AB的方程为y=．…………………………………………10分（ii）∵∠OFA+∠OFB=180°，∴kAF+kBF=0，
设直线AB的方程为y=kx+b，代入=1，
得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴kAF+kBF=+=+
==0，
∴（kx1+b）（x2+1）+（kx2+b）（x1+1）=2kx1x2+（k+b）（x1+x2）+2b
=2k×﹣（k+b）×+2b=0，
∴b﹣2k=0，
∴直线AB的方程为y=k（x+2），…………………………………………15分∴直线AB总经过定点M（﹣2，0）．…………………………………………16分。