欣宜市实验学校二零二一学年度九年级数学上册 动手操作题型规类整理 试题

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度23题操作问题专题整理
操作型问题是指通过动手测量、作图〔象〕、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探究研究性活动，这类活动完全模拟以动手为根底的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于理论才能和创新才能的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程HY 特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进展“微科研〞活动，培养学生乐于动手、勤于理论的意识和习惯，实在进步学生的动手才能、理论才能的指导思想．
例1〔09〕如图13-1至图13-5，⊙均作无滑动滚动，⊙1、⊙2、⊙3、⊙4均表示⊙与线段或者相切于端点时刻的位置，⊙的周长为．
阅读理解：
〔1〕如图13-1，⊙从⊙1的位置出发，沿滚动到⊙2的位置，当 = 时，⊙恰好自转1周．
〔2〕如图13-2，∠相邻的补角是°，⊙在∠外部沿--滚动，在点处，必须由⊙1的位置旋转到⊙2的位置，⊙绕点旋转的角∠12=°，⊙在点处自转
360
n
周． 理论应用：
〔1〕在阅读理解的〔1〕中，假设 = 2，那么⊙自转周；假设 = ，那么⊙自转周．在阅读理解的〔2〕中，假设∠ =120°，那么⊙在点处自转周；假设∠ =60°，那么⊙在点处自转周． 〔2〕如图13-3，∠=90°，==
1
2
．⊙从⊙1的位置出发，在∠外部沿--滚动到⊙4的位置，⊙自转周． 拓展联想：
〔1〕如图13-4，△的周长为，⊙从与相切于点的位置出发，在△外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与相切于点的位置，⊙自转了多少周？请说明理由．
〔2〕如图13-5，多边形的周长为，⊙从与某边相切于点的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点的位置，直接．．写出⊙自转的周数． ．解：理论应用
〔1〕2；l c ．16；13
． 〔2〕
54
． 拓展联想
〔1〕∵△的周长为，∴⊙在三边上自转了
l
c
周． 又∵三角形的外角和是360°，
∴在三个顶点处，⊙自转了360
1360
=〔周〕
．
∴⊙一共自转了〔l
c
+1〕周． 〔2〕
l
c
+1． 例2〔08〕在一平直河岸l 同侧有A ,B 两个村庄，A ,B 到l 的间隔分别是3km 和2km ，AB =a k m (a >1)．现方案在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水． 方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d 1，且d 1=PB +BA (km )〔其中BP ⊥l 于点P 〕；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2，且d 2=PA +PB (km )〔其中点A ´与点A 关于l 对称，A ´B 与l 交于点P 〕． 观察计算
〔1〕在方案一中，1
d =km 〔用含a 的式子表示〕
； 〔2〕在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d =km 〔用含a 的式子表示〕
． 探究归纳 〔1〕①当4a =时，比较大小：12_______d d 〔填“＞〞、
“＝〞或者“＜〞〕； ②当6a
=时，
比较大小：12_______d d 〔填“＞〞、“＝〞或者“＜〞〕； 〔2〕请你参考右边方框中的方法指导，就a 〔当1a >时〕的所有取值情
况进
行分析，要使铺设的管道长度较短， 应选择方案一还是方案二？ 答案：观察计算 〔1〕2a +；〔2
探究归纳
〔1〕①<；②>； 〔2
〕2
2
221
2(2)420d d a a -=+-=-．
①当4200a ->，即5a >时，22
12
0d d ->，120d d ∴->．12d d ∴>； ②当4200a -=，即5a
=时，22
12
0d d -=，120d d ∴-=．12d d ∴=； 2m n 2-=
③当4200a -<，即5a <时，22
12
0d d -<，120d d ∴-<．12d d ∴<． 综上可知：当5a >时，选方案二；
当5a
=时，选方案一或者方案二；
当15a <
<〔缺1a >不扣分〕时，选方案一．
例3〔07〕在图14-1—14-5中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．
操作例如
当2b ＜a 时，如图14-1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．
考虑发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH 〔如图14-1〕，过点F 作FM ⊥AE 于点M 〔图略〕，利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的断定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．
理论探究
〔1〕正方形FGCH 的面积是；〔用含a ，b 的式子表示〕
〔2〕类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图． 联想拓展
小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移． 当b ＞a 时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？假设能，请你在图中画出剪拼的示意图；假设不能，简要说明理由． 例4〔06〕 探究
在图12—1至图12—3中，△ABC 的面积为a ．
〔1〕如图12—1，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．假设△ACD 的面积为S 1，那么S 1=______〔用含a 的代数式表示〕； 〔2〕如图12—2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．假设△DEC 的面积为S 2，那么S 2=__________
图14-1
B
C
H
〔2b ＜a 〕
〔用含a的代数式表示〕；
〔3〕在图12—2的根底上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF〔如图12—3〕．假设阴影局部的面积为S3，那么S3=__________〔用含a的代数式表示〕，并运用上述〔2〕的结论写出理由．
发现
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF〔如图12—3〕，此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的倍．
应用
要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进展了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次〔图12—4已给出了前两次扩展的图案〕．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．假设种红花的区域〔即△ABC〕的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：
〔1〕种紫花的区域的面积；〔2〕种蓝花的区域的面积．
探究
〔1〕a；…………………………………………………………………………〔1分〕
〔2〕2a；…………………………………………………………………………〔3分〕
〔3〕6a；…………………………………………………………………………〔5分〕
理由：∵CD=BC，AE=CA，BF=AB
∴由〔2〕得S△ECD=2a，S△FAE=2a，S△DBF=2a，
∴S3=6a．…………………………………………………………〔7分〕
发现7．…………………………………………………………………………〔8分〕
应用
〔1〕〔72－7〕×10=420〔平方米〕；……………………………………………〔10分〕
〔2〕〔73－72〕×10=2940〔平方米〕．………………………………………〔12分〕
例5〔05〕
操作例如
对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图11—1所示的方式摆放，再沿虚线BD，EG剪
开后，可以按图中所示的挪动方式拼接为图11—1中的四边形BNED .
从拼接的过程容易得到结论：
① 四边形BNED 是正方形； ② S 正方形ABCD +S 正方形EFGH =S 正方形BNED .
理论与探究
〔1〕对于边长分别为a ，b 〔a >b 〕的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11—2所示的方式摆放，连结DE ，过点D 作DM ⊥DE ，交AB 于点M ，过点M 作MN ⊥DM ，过点E 作EN ⊥DE ，MN 与EN 相交于点N .
①证明四边形MNED 是正方形，并用含a ，b 的代数式表示正方形MNED 的面积；
②在图11—2中，将正方形ABCD 和正方形EFGH 沿虚线剪开后。

可以拼接为正方形MNED .请简单说明你的拼接方法〔类比图11—1，用数字表示对应的图形〕.
〔2〕对于n 〔n 是大于2的自然数〕个任意正方形，能否通过假设干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由. 解：〔1〕①证明：由作图的过程可知四边形MNED 是矩形.
在Rt △ADM 与Rt △CDE 中，AD =CD ，又∠ADM +∠MDC =90°， ∴∠ADM =∠CDE .∴Rt △ADM ≌Rt △CDE .
∴DM =DE .∴四边形MNED 是正方形. ∵22222
b a CE CD DE
+=+=，∴正方形MNED 的面积为22b a +.
②过点N 作NP ⊥BE ，垂足为P ，如图.
可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，2与1位置的两
个直角三角形也全等.所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED . 〔2〕答：能.
理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，……依次类推.由此可知：对于n 个任意的正方形，可以通过)1(-n 次拼接，得到一个正方形.
〔说明：只要说理清楚，不说出拼接次数不扣分〕
例6〔2021〕州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险〞著称于世．著名的大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直
图11—2
的沪渝高速公路
X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的间隔分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一效劳区P ，向
A 、
B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图〔1〕是方案一的示意图〔AP 与直线X
垂直，垂足为P 〕，P 到
A 、
B 的间隔之和1
S PA PB =+，图〔2〕是方案二的示意图〔点A 关于直线X 的对称点是
A '，连接BA '交直线X 于点P 〕，P 到
A 、
B 的间隔
之和2
S PA PB =+．
〔1〕求1S 、2S ，并比较它们的大小； 〔2〕请你说明2
S PA PB =+的值是最小；
〔3〕拟建的到高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图〔3〕所示的直角坐标系，B 到直线Y 的间隔为30km ，请你在X
旁和Y 旁
各修建一效劳区P 、Q ，使P 、
A 、
B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
例7〔仙桃〕小华将一张矩形纸片〔如图1〕沿对角线CA 剪开，得到两张三角形纸片〔如图2〕，其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△EFD 纸片的直角顶点D 落在△ACB 纸片的斜边AC 上，直角边DF 落在AC 所在的直线上.
〔1〕假设ED 与BC 相交于点G ，取AG 的中点M ，连接MB 、MD ，当△EFD 纸片沿CA 方向平移时〔如图3〕，请你观察、测量MB 、MD 的长度，猜想并写出MB 与MD 的数量关系，然后证明你的猜想；
〔2〕在〔1〕的条件下，求出∠BMD 的大小〔用含α的式子表示〕，并说明当α=45°时，△BMD 是什么三角形？
〔3〕在图3的根底上，将△EFD 纸片绕点C 逆时针旋转一定的角度〔旋转角度小于90°〕，此时△CGD 变成△CHD ，同样取AH 的中点M ，连接MB 、MD 〔如图4〕，请继续探究MB 与MD 的数量关系和∠BMD 的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD 为等边三角形.
【解析】通过动手操作，我们可以测量得到MB=MD ，然后加以证明即可；当α=45°时，△BMD 为一个特殊的三角形，通过观察，此三角形是等腰直角三角形，这就需要证明这个三角形中有90°和45°的角；对于〔3〕，我们可以先假设这个三角形是△BMD 为等边三角形，然后求出α的大小，然后根据α的大小得到△BMD 为等边三角形. 【答案】解：〔1〕MB=MD
证明：∵AG 的中点为M ∴在ABG Rt ∆中，AG MB
2
1
=
在ADG Rt ∆中，AG MD 2
1=，∴MB =MD
〔2〕∵BAM ABM BAM BMG ∠=∠+∠=∠2
同理DAM ADM DAM DMG ∠=∠+∠=∠2
∴BMD ∠=DAM BAM ∠+∠22=BAC ∠2
而α-=∠090BAC
∴α21800-=∠BMD
∴当045=α时，090=∠BMD ，此时△BMD 为等腰直角三角形.
〔3〕当△CGD 绕点C 逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB=MD ，α21800-=∠BMD 故当060=α
时，△BMD 为等边三角形.
例8〔2021年德城〕一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK 、△ACB 做了一个探究活动：将△MNK 的直角顶点M 放在△ABC 的斜边AB 的中点处，设AC ＝BC ＝a ．
〔1
〔2 〔33 1分 (1＋2)a ；…………………………………………………………………2分
〔2〕
2
4
1a ，2a ；…………………………………………………………………………4分 〔3〕猜想：重叠局部的面积为2
4
1a 。

……………………………………………………5分
理由如下：
过点M 分别做AC 、BC 的垂线MH 、MG ，垂足为H 、G 。

……………6分 为说明方便，不妨设MN 与AC 的交点为E ，MK 与BC 的交点为F 。

由于M 是△ABC 斜边AB 的中点，AC ＝BC ＝a 所以MH ＝MG ＝
a 2
1
…………………………………………………………………7分 又因为∠HME ＝∠GMF 所以Rt △MHE ≌Rt △MGF 分
因此阴影局部的面积等于正方形CGMH 的面积。

…………………………………8分 而正方形CGMH 的面积是MG ·MH ＝a 21×a 21
＝24
1a 所以阴影局部的面积是
2
4
1a 。

………………………………………………………9分 例9〔2021年〕我们在解决数学问题时，经常采用“转化〞〔或者“化归〞〕的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或者比较容易解决的问题．
B K
K 图3
图1
图2
譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元〞的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题．
问题提出：如何把一个正方形分割成n 〔n ≥9〕个小正方形？ 为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“根本分割法〞．
根本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的根底上增加了3个正方形． 根本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的根底上增加了5个正方形．
问题解决：有了上述两种“根本分割法〞后，我们就可以把一个正方形分割成n 〔n ≥9〕个小正方形． 〔1〕把一个正方形分割成9个小正方形．
一种方法：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“根本分割法2〞进展分割，就可增加5个小正方形，从而分割成459+=〔个〕小正方形．
另一种方法：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“根本分割法1〞进展分割，就可增加3个小正方形，从而分割成639+=〔个〕小正方形．
〔2〕把一个正方形分割成10个小正方形．
方法：如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“根本分割法1〞进展分割，就可增加32⨯个小正方形，从而分割成43210+⨯=〔个〕小正方形．
〔3〕请你参照上述分割方法，把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形〔用钢笔或者圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法〕 〔4〕把一个正方形分割成n 〔n ≥9〕个小正方形．
方法：通过“根本分割法1〞、“根本分割法2〞或者其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此根底上每使用1次“根本分割法1〞，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成n 〔n ≥9〕个小正方形．
从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种根本分割法，然后通过这两种根本分割法或者其组合把正方形分割成n 〔n ≥9〕个小正方形．
类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n 〔n ≥9〕个小正三角形．
图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥
〔1〕根本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形〔请你在图a 中画出草图〕． 〔2〕根本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形〔请你在图b 中画出草图〕．
〔3〕分别把图c 、图d 和图e 中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形〔用钢笔或者圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法〕
〔4〕请你写出把一个正三角形分割成n 〔n ≥9〕个小正三角形的分割方法〔只写出分割方法，不用画图〕． 答案：解：把一个正方形分割成11个小正方形：
···························· 2分
把一个正三角形分割成4个小正三角形：
···························· 3分
把一个正三角形分割成6个小正三角形：
··························· 5分
把一个正三角形分割成
9个、10个和11个小正三角形：
···················· 8分
把一个正三角形分割成n 〔9n ≥〕个小正三角形的分割方法：通过“根本分割法1〞、“根本分割法2〞或者其组合，把一个正三角形
分割成9个、10个和11个小正三角形，再在此根底上每使用1次“根本分割法1〞，就可增加3个小正三角形，从而把一个正三角形分割成12个、13个、14个小正三角形，依次类推，即可把一个正三角形分割成n 〔9n ≥〕个小正三角形． 10分
例10〔〕三个牧童A 、B 、C 在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原那么是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大间隔．．．．〔看守点到本区域内最远处的间隔〕相等．按照这一原那么，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心〔对角线交点〕，看守自己的一块牧场．
过了一段时间是，牧童B 和牧童C 又分别提出了新的划分方案．
牧童B 的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．
图a 图b
图c 图d 图e
图⑥
图a
图b
图c 图e 图d
牧童C 的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大间隔相等．
请答复：
〔1〕牧童B 的划分方案中，牧童▲〔填A 、B 或者C 〕在有情况时所需走的最大间隔较远；〔3分〕
〔2〕牧童C 的划分方案是否符合他们商量的划分原那么？为什么？〔提示：在计算时可取正方形边长为2〕〔5分〕 例11〔1〕观察与发现 小明将三角形纸片
()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片〔如图①〕
；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △〔如图②〕．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
〔2〕理论与运用
将矩形纸片
ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE 〔如图③〕
；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G 〔如图④〕；再展平纸片〔如图⑤〕．求图⑤中α∠的大小．
A
C D
B
图①
A
C
D
B
图②
F
E
E
D C F B
A
图③
E
D C A
B
F G
C '
D '
A
D
E
C
B F G α
图④
图⑤。