【优质文档】高中数学必修一学业分层测评(十四)指数函数及其性质的应用

(1)求 a，b 的值；
(2)证明： f(x)是区间 (b－ 3,2b)上的减函数；
(3)若 f(m－1)＋ f(2m＋1)＞ 0，求实数 m 的取值范围．
a·5x
【解】
(1)∵函数f(x)＝
1－5x
， ＋1
x∈(b－
3,2b)是奇函数，
a ∴f(0)＝1－2＝0，且 b－3＋2b＝0，即 a＝ 2， b＝1.
∞ ，0)．
【答案】 (－∞， 0)
1
1
7．已知函数 f(x)＝a＋4x－1是奇函数，若 f(x)>2，则实数 x 的取值范围为
________.
【导学号： 97030091】
【解析】
函数
f(x)＝
a＋
1 4x－1是奇函数，可得
f(－x)＝－ f(x)，
1
1
4x
1
1
即
a＋
4－x－
＝－ 1
a－4x－
，即 1
4
【解】
(1)由
f(a＋2)＝3a＋2＝81，得
a＋2＝4，故
a＝2，则
1－2x g(x)＝ 1＋2x，
1－2－x 2x－1
又
g(
－
x)＝ 1＋
2－
x＝
2x＋
＝－ 1
f(
x)，
故 g(x)是奇函数．
1－2x1 1－2x2
2 2x2－ 2x1
(2)证明：
设
x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)＝ 1＋2
x
x
0.6
0.6
0.4
0.6
＝ 0.6 的图象在 y＝0.4 的图象的上方，所以 0.6 >0.4 ，所以 0.6 >0.4 .
10． 已知函数
f(x)＝
3x，
f(a＋
2)＝
81，g(x)＝
1－ 1＋
ax ax.
(1)求 g(x)的解析式并判断 g(x)的奇偶性； (2)用定义证明：函数 g(x)在 R 上是单调递减函数； (3)求函数 g(x)的值域．
2a＝
4x
－ －1
4x－1＝
1，解得
a＝2，
1 1 11 ∵f(x)>2，∴2＋4x－1>2?
4x>1，解得
x>0.
【答案】 x>0
ex－e－x
ex＋e－x
8．已知函数 f(x)＝ 2 ，g(x)＝ 2 (其中 e＝2.718… )，有下列命题：
①f(x)是奇函数， g( x)是偶函数；
②对任意 x∈R，都有 f(2x)＝f(x) ·g(x)；
() A．16 小时
B．20 小时
C．24 小时
D．21 小时
【解析】
192＝eb 由题意，
48＝e22k＋b，
192＝ eb
得
1 2＝
e11k，
于是当 x＝33 时，y＝ e33k
＋ b＝ (e11k) 3·eb ＝
1 2
3×192＝24(小时 )．
【答案】 C
4．设
a＝40.9， b＝ 80.48，c＝
1 2
－1.5，则 (
)
A ． c>a> b
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【解析】
a＝ 40.9＝ 21.8， b＝ 80.48＝ 21.44， c＝
1 2
－ 1.5＝ 21.5，因为函数
y＝ 2x
在 R 上是增函数，且 1.8>1.5>1.44，所以 21.8>21.5>21.44，即 a>c>b.
间 (0，＋ ∞ )上递减．
【答案】 D 3．某食品的保鲜时间 y(单位：小时 )与储藏温度 x(单位：℃ )满足函数关系 y ＝ ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数， k，b 为常数 )．若该食品在 0 ℃的保鲜时
1
间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是
【答案】 D
5．设函数 y＝f(x)在(－∞，＋∞ )内有定义，对于给定的正数 K，定义函数
f x ，f x ≤K fK(x)＝
K ，f x >K ，
取函数
f(x)＝2－ |x|，当
1 K＝ 2时，函数
fK(x)的单调递增区间
为( )
A．(－∞， 0)
B．(0，＋∞ )
C．(－∞，－ 1)
D．(1，＋∞ )
3
函数 y＝ ex，y＝－ e－x 在实数集上均为增函数，
∴f(x)在 R 上单调递增，
设 x1＜x2＜0，
1
1
1
则 g(x1)－g(x2)＝2(ex1＋e－x1)－2(ex2＋e－x2)＝ 2
ex1－ex2
1 1－ ex1ex2
，
∵x1＜x2＜0，∴g(x1)－g(x2)＞ 0，即 g(x1)＞g(x2)．
【解】 (1) 由于指数函数 y＝ 1.9x 在 R 上单调递增，而－ π＜－3，所以 1.9－ π<1.9－ 3.
(2)因为函数 y＝0.7x 在 R 上单调递减，
而 2－ 3≈0.267 9<0.3，所以 0.72－ 3>0.70.3.
(3)因为 y＝0.6x 在 R 上单调递减，所以 0.60.4>0.60.6；又在 y 轴右侧，函数 y
________.
【导学号： 97030092】
【解析】 先将三个指数化为同底型： a＝3－1，b＝3－1.2，c＝3－1.1，构造函
x
数 y＝3 ，该函数为
R 上的增函数，且－ 1>－1.1>－ 1.2，∴3－1>3－1.1>3－1.2，∴a>c>b.
【答案】 a>c>b
a 3．函数 f(x)＝ 4－2 x＋2，x≤1
m－1<－ 2m－1 ∴ －2<m－ 1<2
－2<2m＋1<2，
m<0
－1<m<3 即有
31 －2<m<2，
∴－1＜m＜0，
则实数 m 的取值范围是 (－1,0).
7
x
x
1
2
2
∵2
>0,2
＋
1>1，∴0<1＋2x<1,0<1＋2x<2，－
1< 1＋
2x－1<1，故函数
g(x)的值
域பைடு நூலகம் (－ 1,1)．
[能力提升 ]
1．已知 3x－3－y≥5－x－5y 成立，则下列正确的是 (
)
A．x＋y≤0
B．x＋y≥0
C．x－y≥0
D．x－y≤0
【解析】 构造函数 f(x)＝3x－5－x，∵y＝3x 为增函数， y＝5－x 为减函数，
③f(x)有零点， g(x)无零点．
其中正确的命题是 ________．(填上所有正确命题的序号 ) 【解析】 f(－x)＝ 12(e－x－ex)＝－ 12(ex－e－x)＝－ f(x)，故 f(x)为奇函数， g(－
x)＝ 12(e－x＋ex)＝ g(x)，故 g(x)为偶函数，故命题①正确；
f(2x)＝ 12(e2x－ e－2x)＝ 12(ex＋e－x)(ex－e－x)， f(x) ·g(x)＝ 12(ex－e－x)12(e－x＋ex) ＝14(ex＋ e－x)(ex－ e－x)，故命题②不正确；
【解析】
由
f(x)＝2－|x|及
1 K＝ 2，得
fK(x)＝
2－|x|，x≥1或x≤－1 1 2，－ 1<x<1.
∴函数fK(x)的单调递增区间是 (－∞ ，－ 1)． 【答案】 C 二、填空题
2
6．已知 y＝ 21＋ax 在 R 上是减函数，则 a 的取值范围是 ________． 【解析】 ∵y＝ 21＋ax＝ 2× 2ax 在 R 上是减函数，∴a<0，即 a 的取值范围是 (－
∴f(x)是偶函数，图象关于 y 轴对称，故选 D. 【答案】 D 2．指数函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠ 1)在 R 上是减函数，则函数 g(x)＝(a－ 2)x2 在 R 上的单调性为 ( ) 【导学号： 97030090】
A．单调递增 B．单调递减 C．在 (－∞， 0)上递减，在 (0，＋∞ )上递增 D．在 (－∞， 0)上递增，在 (0，＋∞ )上递减 【解析】 因为指数函数 f(x)＝ax 在 R 上是减函数，则 0<a<1，所以－ 2<a － 2<－1，故函数 g(x)＝ (a－2)x2 开口向下，故 g(x)在区间 (－∞ ，0)上递增，在区
2·5x 1－5x
(2)证明 ：由 (1)得
f(
x)
＝1－
5x＋1＝
5x＋
， 1
x∈(－
2,2)，
设任意 x1， x2∈(－2,2)且 x1＜x2，
6
x1
x2
1－5 1－5
∴f(x1)
－f(x2)
＝
5
x1＋
－ 1
5x2＋1
2 5x2－ 5x1
＝ x1
x2
，
5 ＋1 5 ＋1
x1 x2 ∵x1＜x2，∴5 <5 ，
x1－ 1＋ 2x2 ＝
1＋2
x1
1＋2x2 .
∵x1<x2，∴2 x1<2 x2，
又 2x1>0,2x2>0，∴f(x1)－ f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，则函数 g(x)在 R 上是单调递
减函数．
1－ 2x 2－ 1＋2x
2
(3)g(x)＝ 1＋ 2x＝ 1＋2x ＝1＋2x－1，
g(x)在(－∞，0)上单调递减，当 x＝0 时，g(x)有最小值 1，且函数是偶函数， ∴g(x)无零点，由 f(x)＝ 0，即 12(ex－e－x)＝0，得 x＝0，
∴f(x)有零点 0，故命题③正确．
【答案】 ①③ 三、解答题 9．比较下列各组数的大小： (1)1.9－π与 1.9－3； (2)0.72－ 3与 0.70.3； (3)0.60.4 与 0.40.6.
ax，x>1
在 R 上单调递增，则实数
a 的取值范围
为 ________．
【解析】
∵函数f(x)＝
a 4－ 2 x＋ 2， x≤ 1 ax， x>1
在 R 上单调递增，
a 4－2>0 ∴ a>1 a1≥4－a2＋2，
求得 4≤a＜8.
【答案】 [4,8) 4．(2016 ·承德高一检测 )已知函数 f(x)＝1－55xx＋·a1， x∈ (b－3,2b)是奇函数．
学业分层测评（十四） 指数函数及
其性质的应用
(建议用时： 45 分钟 )
[学业达标 ]
一、选择题 4x＋1
1．函数 f(x)＝ 2x 的图象 ( )
A．关于原点对称
B．关于直线 y＝ x 对称
C．关于 x 轴对称
D．关于 y 轴对称
【解析】
4－x＋1 1＋4x f(－ x)＝ 2－x ＝ 2x ＝f(x)，
∴5x2－ 5 x1>0，
x1
x2
又∵5 ＋1>0,5 ＋ 1>0，
2 5x2－5x1
∴ x1
x2 >0，∴f(x1)>f(x2)．
5 ＋1 5 ＋1
∴f(x)是区间 (－2,2)上的减函数．
(3)∵f(m－1)＋f(2m＋1)＞0，
∴f(m－ 1)＞－ f (2m＋1)．
∵f(x)是奇函数，∴f(m－1)＞f(－2m－1)， ∵f(x)是区间 (－2,2)上的减函数，
由函数单调性的性质 “增” －“减 ” ＝“ 增”得到函数 f(x)＝3x－ 5－x 为增
函数． 又∵3x－3－y≥ 5－x－ 5y，即 3x－5－x≥3－y－ 5y，故 x≥－ y，即 x＋ y≥0，故选
B. 【答案】 B
5
2．a＝9－0.5， b＝
1 3
1.2， c＝3－1.1，则
a， b， c 的大小关系为