最新-八年级数学上册 第18章轴对称练习题 人教新课标

第十二章 《 轴对称 》
§12.1 轴对称（一）
一、引入：我们生活在图形的世界中，许多美丽的事物往往是与图形的对称联系在一起的，无论是随风起舞的风筝，凌空翱翔的飞机，还是中外各式风格的典型建筑；无论是艺术间的创造，还是日常生活中的图案设计，都和对称密不可分。

看了下面的这些图片，你还能从日常生活中找出对称的实例吗？
二、新课：
1． 将一张纸对折，剪出一个图案，再打开这张纸，观察得到的图形他们与前面的图案有什么共同特点？位于
折痕两侧的部分有什么关系？ 2． 轴对称图形的定义：（p29）如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫
做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

这时，我们说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

注：①轴对称图形是一个具有特殊特征的图形——对折后能够完全重合，即对称轴两旁的部分是全 等形；②一个轴对称图形的对称轴可能不止一条。

例题1、观察下列各图，判断他们是否为轴对称图形。

（关键：①能够沿着某条直线对折；
②对折后的两部分图形能够完全重合）
答案：（1）、（6）
例2、下列7个汉字：北、目、田、中、吕、材、上，是轴对称图形的有哪些。

例3、判断下列图形哪些是轴对称图形，如果是说出它的所有对称轴。

①三角形、直角三角形、等腰三角形， ②正方形、长方形、等腰梯形， ③圆形，
④五边形，正五边形
观察：
线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

b
注：①轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，包含两层意思：有两个图形，形状、大小完全 相同（全等形）；重合的方式有限制，即他们的位置必须满足一个条件：把他们沿某一条直线折叠 后能够完全重合。

简单说：轴对称必全等，全等不一定轴对称。

轴对称图形与轴对称的区别和联系：
区别：轴对称是两个图形的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特征；
轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在一个图形上；
两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或他们的公共边
（点），而轴对称图形的对称轴一定经过图形的内部。

联系：都是沿着某条直线对折后能够完全重合； 如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对
称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分就是关于这条对称轴轴对称。

课堂作业：
1、在图中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由
.
2、如图所示，下列四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是
( )
课后作业：
1、如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称.
2、某居民小区稿绿化，要在一块菱形空地上建花坛.现征集设计方案， 要求使用设计的图案中包括圆和正方形两种图形（圆和正方形的个数不 限），同时又不改变空地原有的轴对称效果，请你画出一个设计方案，用 一两句话表示你的设计思路. §12.1轴对称（二） 一、提问：
1． 什么是轴对称图形
2． 什么是轴对称
3． 轴对称图形与轴对称的区别和联系 二、新课：
1．引入：如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′、B′、C′分别是点A 、B 、C 的对称点，线段A A′、B B′、C C′与直线MN 有什么关系？
解题方法：1）可以利用直尺、圆规度量
）可以利用轴对称的定义解题．．．．．．．．．．．． 结论：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直这条
线段。

2．线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

也叫这条的线段的中垂线.
注：垂直平分线与线段有两种关系：位置关系——垂直，数量关系——平分
3．、．
图形轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（3）两个图形成轴对称如果它们的对应线段或延长线相交，则交点一定在对称轴上。

类似的，轴对
称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

注：包含两层含义：已知一对对应点就能．．．．．．．．．．．．．．．．
做出它们的对称轴，已知一点和对称轴就能做出该点关于对称轴的对称点。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
4、 线段的垂直平分线的性质 探究：（借助几何画板度量线段的长度，学生可以用直尺，最后用判定两个三角形全等的方法进行证明，得到线段的垂直平分线的性质定理。

）
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条直线的两个端点距离相等.
几何语言：∵直线l 是线段AB 的垂直平分线，点P 在垂直平分线上 ∴PA=PB
反过来，若PA=PB ，那么点P 是否在垂直平分线上？看课本33页的探究。

（通过做辅助线，再利用全等三角形的判定方法证明）
定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
几何语言：∵PA=PB
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上
归纳：在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A 、B 的距离相等；反过来，与两点A 、B 的距离相等的点都在l 上，所以直线l 可以点成与两点A 、B 的距离相等的所有点的集合。

例1、 如图所示，有一块三角形田地，AB=AC=10m ， 作AB 的垂直平分线ED 交AC 于D ，交AB 于E ，
量得△BDC 的周长为17m ，请你替测量人员计算BC 的长.
B'
B
例2、 如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上一点， 且在BD 的垂直平分线上，DE 交AC 于F. 求证：E 在AF 的垂直平分线上
课堂作业： 一、选择题
1.三角形内有一点到三角形三个顶点的距离相等，则这点一定是三角形（ ） A.三条中线的交点 B. 三条中垂线的交点 C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点
2. 点A 、B 关于直线a 对称，P 是直线a 上的任意一点， 下列说法不正确的是（ ）
A.直线AB 与直线a 垂直
B.直线a 是点A 和点B 的对称轴
C.线段PA 与线段PB 相等
D.若PA=PB ，则点P 是线段AB 的中点
3. 已知∠AOB=30°,点P 在∠AOB 内部,P 1与P 关于OB 对称,P 2与P 关于OA 对称,则P 1,O,P 2三点构成的三角形是 ( )
(A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C )等腰三角形 (D)等边三角形 二、填空题
4.如图所示，直线MN 是线段AB 的对称轴，点C 在MN 外， CA 与MN 相交于点D ，如果CA+CB=4 cm ，那么△BCD 的 周长等于__________cm
5. 如图,△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,AE=3cm,△ABD 的周长为13cm,则△ABC 的周长为____________.
课后作业：
1如下图，AD ⊥BC ，BD=DC ，点C 在AE 的垂直平分线上， AB 、AC 、CE 的长度有什么关系？AB+BD 与DE 有什么关系？
F E
D
C
B
A
C
2、如下图，AB=AC ，MB=MC ．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？
3、如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶， M ，N 分别是位于公路AB 两侧的村庄，当汽车行驶到哪个 位置时，与村庄M ，N 的距离相等
4、 如图所示，下图是由一个圆，一个半圆和一个三角形组成的图形，请你以直线AB 为对称轴，把原图形补成轴对称图形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） §12.2.1 作轴对称图形 一、提问：
1． 观察下列各图，你能说出这些图案有什么特征吗？
2
．自己动手在纸上画一个三角形，然后将纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到什么？
问题：1. 上图中的两个三角形有什么关系？
2．在描图过程中，点A 与点A’重合，点B 与点B’重合，设折痕所在的直线为l
，连接点B 与点B’
的线段与直线l 有什么关系？点A 与点A’呢？
3．线段AC 与线段A’C’有什么关系？BC 与B’C’呢？ 二、新课：
1．归纳：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l 成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。

新图形上的每一点，都是原图形上某一点关于直线l 得对称点。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

2．轴对称变换的定义：象上面这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
注：成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作是由另一个图形经过轴对称变换后得到的。

一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的.
例1、两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形. 如图，已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画的三角形可与原来的三角形有重叠的部分）
结论：已知一个三角形，是与直全等的三角形构成轴对称图形，其关键在于确定对称轴，由于有无数条对称轴，所以所作的轴对称图形有无数种情况.
思考：如果有一个图形和一条直线，如何做出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？ 例2、如图，已知△ABC 和直线l ，作出与△ABC
关于直线l 对称的图形。

例3、把下列图形补充成 以MN 为轴的轴对称图形
C'
B'A'C B A l
C B
A
沿虚线剪开
右下方折
右折
上折D
C
B
A
例4、如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角,则展开后所得的图形是（）.
例5、如图1所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？
图1
例6、如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（）.
课堂作业：
1．下列说法正确的是（）
A．任何一个图形都有对称轴; B．两个全等三角形一定关于某直线对称;
C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′;
D．点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO=BO，则点A与点B•关于直线l对称.
2．已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：
①AB=A′B′；②点P在直线1上；③若A、A′是对应点，•则直线1垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应
点，则PB=PB′，其中正确的是（）
A．①③④ B．③④ C．①② D．①②③④
3．由一个平面图形可以得到它关于某条直线对称的图形，•这个图形与原图形的_________、___________完全一样．
4．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立．
①12×231=132×21; ②12×462=___________;③18×891=__________; ④24×231=___________.
课后作业：
1．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B•是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A•球经过的路线，并写出作法．
D
C
B
A
2．如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）
3．如图，仿照例子利用“两个圆、•两个三角形和两条平行线段”设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．
例:一辆小车
4、如图，已知牧马营地在P 处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．
草地
河流
营地
P
§12.2.2 用坐标表示轴对称 一、复习提问：
1．观察：（西直门（-3.5，4））
如图
思考：已知点A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5) D(4,0),在平面直角坐标系中画出这些点及它们关于x 轴和y 轴的对称点,看看每对对称点的坐标有怎样的规律?
二、新课讲解：
1．直角坐标系中关于x 轴、y 轴对称的点的特征： 点（x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x ，—y ） 点（x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标为（—x ，y ）
说明：关于坐标轴对称的点的坐标仅只有符号不同，其绝对值分别相同；根据对称点的特征可知，在直角坐标系中作出一个几何图形关于坐标轴对称的图形只需作出某些点的对称点即可.
例1、如图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别是A （-5，1），B （-2，1），C （-2，5），D （-5，4），分别作出四边形关于x 轴、y 轴对称的图形. 分析：要作出四边形关于y 轴对称的图形，
只需分别作出A 、B 、C 、D 关于y 轴的对称点即可. 同理可作出关于x 轴的对称图形.
结论：做一个多边形关于坐标轴对称的图形，实质是作
各个顶点关于坐标轴的对称顶点.
例2、（1）若点M （2,a ）和点N （a+b,3）关于x 轴对称,试求a,b 的值; （2）若点M （2,a ）和点N （a+b,3）关于y 轴对称,试求a,b 的值.
解: ()()a b 2a 31;a 30b 5
a b 20a 32a 3b 5.
+==-⎧⎧⎨⎨
+==⎩⎩++==⎧⎧
⎨
⎨==-⎩⎩解得解得
结论：关于坐标轴对称的点的特点（横轴横不变,纵轴纵不变） 点A （x 1，y 1）与B （x 2，y 2）关于x 轴对称⇔12
12
x x y y 0=⎧⎨
+=⎩
点A （x 1，y 1）与B （x 2，y 2）关于y 轴对称⇔1212x x 0
y y +=⎧⎨=⎩
点A （x 1，y 1）与B （x 2，y 2）关于原点对称⇔1212
x x 0
y y 0+=⎧⎨⎩＋＝
课堂作业：
1．已知A 、B 两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A 、B 关于x 轴对称；②A 、B 关于y
轴对称；③A 、B 关于原点对称；④若A 、B 之间的距离为4，其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．已知M （0，2）关于x 轴对称的点为N ，线段MN 的中点坐标是（ ） A ．（0，-2） B ．（0，0） C ．（-2，0） D ．（0，4） 3．平面内点A （-1，2）和点B （-1，6）的对称轴是（ ） A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y=4 D ．直线x=-1 4．已知A （-1，-2）和B （1，3），将点A 向______平移________个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称． 5．点M （-2，1）关于x 轴对称的点N 的坐标是________，直线MN 与x•轴的位置关系是___________． 课后作业：
1．已知点P （x+1，2x-1）关于x 轴对称的点在第一象限，试化简：│x+2│-│1-x │.
2．已知A （-1，2）和B （-3，-1）．试在y 轴上确定一点P ，使其到A 、B 的距离和最小，求P 点的坐标．
四、探究题如图:①写出A 、B 、C 三点的坐标．
②若△ABC 各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1，•请你在同一坐标系中描出对应的点A ′、B ′、C ′，并依次连接这三个点，所得的△A ′B ′C ′与原△ABC•有怎样的位置关系？
③在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以-1，•在同一坐标系中描出对应的点A ″、B ″、C ″，并依次连接这三个点，所得的△A ″B ″C ″与原△ABC•有怎样的位置关系？
§12.3.1 等腰三角形 一、引入
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图：△ABC 中AB=AC ，则AB 、AC 是腰，BC 是底边， ∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角
二、新课讲解：
等腰三角形的性质：首先是两腰相等
1）等腰三角形是轴对称图形
2）性质定理1：等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”） 几何语言：∵在△ABC 中AB=AC
∴∠B=∠C （等边对等角）
C
B A
3）性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合。

（等腰三角形“三
线合一”）
几何语言：∵在△ABC 中AB=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D
∴AD ⊥BC 于D ，BD=DC （还可以有在已知高线或中线的条件下的另两种不同的表达方式） 说明：性质1揭示由三角形边的关系推出的角的关系，同时也提供了一种证明角等的新方法.
性质2是知一得二，同时这条性质还说明等腰三角形的对称轴就是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高线）所在的直线。

同时性质．．．．1．、．2．除了可通过动手操作得到外，也可以进行证明。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
例1、如图，在△ABC 中AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求三角形各角的度数.
解题关键是：设∠A=x °，再运用等腰三角形的性质及三角形内角和定理列方程求解，即运用方程思想解决几何问题.注意设未知数时，通常设最小的角为x °，这样能尽可能的避免分数的出现.
00
07236361082222,)(,=∠=∠=∠∆==++=∠+∠+∠∆=∠=∠=∠=∠+∠=∠=∠∠=∠∠=∠=∠∴===C ABC A ABC x x x x C ABC A ABC x BDC C ABC x ABD A BDC x A ABD A BDC C ABC AD BC DB AC AB ，中，在解得中，有
于是在从而则
设等边对等角
图2
例2、如图2，在△ABC 中AB=AC ，点F 在AC 上，在BA 延长线上截取AE=AF 求证：EF ⊥BC 分析：本题是证明两线垂直，常规思路，直接证明夹角为90°，或利用等腰三角 形的“三线合一”的性质。

方法较多，尽量让学生多动脑，多发言，开阔思路，
例3、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 分析：这是一个文字叙述的证明题，作这类题的步骤是：先画图，再改写已知求证，然后再证明.
已知：AD ABC CAB ，的外角，是21∠=∠∆∠∥BC 求证：AB=AC
证明： AD ∥BC
AC
AB C B C B =∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∴2
1)
(2)(1而已知两直线平行内错角相等两直线平行同位角相等
课堂作业：
1、等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿
D
C B
A
F
E D
C
B A
B
2、等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿
3、等腰三角形的一个底角是30度，则它的底角是＿＿＿＿＿＿
4、等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm，则其它两边长为＿＿＿＿
5、等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（）
Ａ．6㎝Ｂ．10㎝Ｃ．6㎝或10㎝Ｄ．14㎝
6、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）
A．过顶点的直线B．底边的垂线C．顶角的平分线所在的直线D．腰上的高所在的直线
课后作业：
1．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数
§12.3.2等边三角形
一、提问：
1．等腰三角形的定义（几何图形回答）
2．看图说出等腰三角形的性质和判定
二、新课：
引入：在等腰三角形中有一类特殊的三角形——三条边都相等，把这样的三角形叫等边三角形.
等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形.
思考：等边三角形是特殊的等腰三角形，因而具有等腰三角形的所有性质，还有没有特殊的性质？
等边三角形的性质：
①三边相等∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC
②性质定理1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个都等于60°.
几何语言：∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°
③等边三角形也是轴对称图形，有三条对称轴，它们是各边中线所在的直线
等边三角形的判定： ①定义
②判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形
几何语言：∵∠A=∠B=∠C ∴△ABC 是等边三角形
③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 几何语言：∵∠A =60°（或∠B 或∠C ），且AB=BC ∴△ABC 是等边三角形
说明：等边三角形的性质揭示了等边三角形的特殊性，所有的边都相等所有的角都相等；等腰三角形的定义和判
定说明了证明一个三角形是等边三角形有三条途径：
①证明三边相等②证明三个角相等③证明三角形是等腰三角形且有一个角是60°
例1、如图，测得∠PAB=60°，AP=BP=200m ，则AB= m.（说明理由）
例2、在等边△ABC 中，在AB 、AC 边上分别截取AD=AE ， 判断△ADE 是否为等边三角形（说明理由）
注：例1、2两题都是等边三角形的性质和
判定的简单综合，帮助学生分析题目的特点， 寻求最佳解题途径，注意规范书写.
直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：∵在RT △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°∴BC=
2
1AB 说明：揭示了含30°的直角三角形的边的数量关系的特殊性；该 性质主要应用于计算和证明线段的倍分，逆命题也成立. 例3、如图，△ABC 、△BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD
课堂作业：
1．等边三角形的周长为6㎝，则它的边长为 ________． 2．等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________． 3．在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C ，则△ABC 是_____三角形． 4．△ABC 中，∠AC B=90°∠B=60°，BC=3㎝，则AB=_______．
5．已知：如图，P ，Q 是△ABC 边上BC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，求∠BAC 的度数．
60
B
P A (2)E D C
B A 21E
C
B
A
A
Q C
P B
课后作业：
1.已知：△ABC 中，∠ACB=90°，AD=BD ，∠A=30°， 求证：△BDC 是等边三角形．
2、如图，点C 是线段AB 上一点，△AMC 、△NBC 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F.
①求证：AN=BM
②求证：△EFC 是等边三角形
第十二章轴对称小结与复习
知识回顾
1、轴对称图形的定义是判断图形是否是轴对称图形的依据。

2、画轴对称图形的对称轴：找出轴对称图形的任一组对称点，连结对称点，画对称点所连线段的垂直平分线，即得到该图形对称轴。

3、轴对称图形对称点的连线被对称轴垂直平分。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2
1N
M
F E C B
A
4、画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法：
(1)将图形对折；(2)用尺规作图；(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后画垂线．
5、由一个平面图形可以得到它关于一条直线l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样．
6、经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分．
7、关于坐标轴对称的点：点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求。

点(x,y)关于x 轴对称的点的坐标为(x,-y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点(x,y)关于y 轴对称的点的坐标为(-x,y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等． 8、线段垂直平分线、角平分线具有的性质：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；角平分线上的点到角两边的距离相等。

9、等腰三角形的性质： 性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)； 性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(可记为“三线合一”)
10、等腰三角形判定定理：若一个三角形有两个角相等，那么两角所对边也相等.它与性质定理互为逆定理，判定也简写成“等角对等边”.
推论1 三个角相等的三角形是等边三角形.
推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
推论3 直角三角形中，若有一个锐角为30°，则该角所对的直角边为斜边的一半. 例1 已知△ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝2
1
BC ，你能找出图中所有的等腰三角形吗？并说明理由？
解 (1)结论：△CED 是等腰三角形．
理由：因为 △ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点．
所以CD ＝
21AC ＝21BC 因为CE ＝2
1
BC 所以CD ＝CE
所以△CED 是等腰三角形．
(2)结论：△BDE 是等腰三角形．
因为△CDE 是等腰三角形且∠ACB ＝60°
所以∠E ＝∠CDE ＝30°
因为BD 是等边三角形的中线，
根据三线合一可得∠DBC
＝
2
1∠ABC ＝30°
所以∠E ＝∠DBC ＝30° ， 所以△BDE 是等腰三角形．
例2 在直角△ABC 中，∠A ＝90°，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E 点，
过E 点作ED ⊥BC 于D 点，已知AC ＝10cm ，△CDE 的周长为16cm ，求CD 的长．
解 因为BE 是∠ABC 的平分线，∠A ＝90°，ED ⊥BC
所以AE ＝ED （角平分线上的点到角两边的距离相等）．
所以CE ＋ED ＝CE ＋AE ＝AC ＝10cm 因为CE ＋ED ＋CD ＝16cm
所以CD ＝16－10＝6cm ．
全章巩固训练：
1．（-2，1）点关于x 轴对称的点坐标为__________．
2．△ABC 中，AB 边上的中线CD 将△ABC 分成两个等腰三角形，则∠ACB =_______度． 3．等腰三角形的顶角为x 度，则一腰上的高线与底边的夹角是___________度．
4．在“线段，角，半圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，是轴对称的图形有__个． 5．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）
6．下列英文字母属于轴对称图形的是（ ）（A ） N （B ） S （C
）
H
（D ） K 7．下列图形中对称轴最多的是（ ）（A ）圆 （B ）正方形 （C ）等腰三角形 D ）线段 8．如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） （A ）锐角三角形． （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形． （D ）不能确定． 9．以下叙述中不正确的是（ ）
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
A 、等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B 、有一内角为 60的等腰三角形是等边三角形
C 、等腰三角形一定是锐角三角形
D 、在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；
反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等。

10．如图，要在公路MN 旁修建一个货物中转站P ，分别向A 、B 两个开发区运货。

（1）若要求货站到A 、B 两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？ （2）若要求货站到A 、B 两个开发区的距离和最小，那么货站应建在那里？ （分别在图上找出点P ，并保留作图痕迹，写出相应的文字说明.）
11．把下列图形补成以直线a 为对称轴的轴对称图形．
12、如图，△ABC 中，边AB 、BC 的垂直平分线交于点O ． （1）求证:PA =PB =PC ．
（2）点P 是否也在边AC 的垂直平分线上?由此你还能得出什么结论?
第（1）题图
M
N
. A .
B 第（2）题图
M
N
. A .
B
13、如图：△ABC 的边AB 的延长线上有一个点D ，过点D 作DF ⊥AC 于F ，交BC 于E ，且BD =BE ，求证：△ABC 为等腰三角形。

中考专题：
1、( 2018年浙江省宁波市,2,3)下列交通标志图案是轴对称图形的是
（A ） （B ） （C ） （D ）
2、(2018重庆，2，4分)下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
3、（2018广东肇庆） 如图5，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于O ，AC =BD ． 求证：（1）BC =AD ； （2）△OAB 是等腰三角形．
A
B C
D
O
图5
A
B
C
D
F
E
4、（2018湖北随州）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上。

求证：（1）△ABD≌△ACD; （2）△BCE是等腰三角形。