德阳市绵竹市2019届九年级上期末数学试卷含答案解析

德阳市绵竹市2019届九年级上期末数学试卷含答案解析
一、单项选择题（本题满分36分，共有12道小题，每小题3分）
1．向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是（）
A．必然发生B．不可能发生
C．可能发生也可能不发生D．以上都对
2．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
3．如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是
（）
A．垂径定理
B．勾股定理
C．直径所对的圆周角是直角
D．90°的圆周角所对的弦是直径
4．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=（）度．
A．30 B．45 C．60 D．90
5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（80﹣x）+x2=7644
C．（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
6．已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为（）
A．（﹣a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣b，a） D．（b，﹣a）
7．从2，﹣2，1，﹣1四个数中任取2个不同的数求和，其和为1的概率是（）
A．B．C．D．
8．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则﹣a﹣b的值是（）A．2019 B．C．D．
2
A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）10．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B=60°，则∠1的度数是（）
A．15° B．25°C．10°D．20°
11．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回．点P在运动过程中速度大小不变．则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）
A．B．C．D．
12．己知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：（1）abc＞0；（2）2a+b=0；（3）a+b+c＞0；（4）a﹣b+c＜0，则正确的结论是（）
A．（l）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是．
14．把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式
为．
15．小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是．
16．⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围
是．
17．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6=0，当m=时为一元二次方程．
18．如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多出个“树枝”．
三.解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．用公式法解方程：5x2﹣3x=x+1．
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．
22．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次取的小球的标号相同；
（2）两次取的小球的标号的和等于4．
23．已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
24．某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单
（2）若该商品的销售单价在45元～80元之间浮动，
①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4 550元的销售利润，销售单价应定为多少元？
25．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
-学年九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题满分36分，共有12道小题，每小题3分）
1．向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是（）
A．必然发生B．不可能发生
C．可能发生也可能不发生D．以上都对
【考点】随机事件．
【分析】根据事件发生的可能性判断正确选项即可．
【解答】解：向上抛掷一枚硬币，落地后正面向上这一事件是可能发生也可能不发生．故选C．
2．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（）
A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，
配方得（x﹣2）2=2．
故选：A．
3．如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是
（）
A．垂径定理
B．勾股定理
C．直径所对的圆周角是直角
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【考点】垂径定理的应用．
【分析】根据垂径定理的定义判断即可．
【解答】解：因为非直径的弦的垂直平分线必过圆心，
所以用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心应用的道理是垂径定理，
故选A．
4．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C=（）度．
A．30 B．45 C．60 D．90
【考点】圆周角定理．
【分析】首先连接AB，BC，由AC为直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得
∠ABC=90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得
∠CBD=∠CAD，∠ABE=∠ACE，继而求得答案．
【解答】解：连接AB，BC，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠CBD=∠CAD，∠ABE=∠ACE，
∴∠CAD+∠EBD+∠ACE=∠CBD+∠EBD+∠ABE=∠ABC=90°．
故选D．
5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（80﹣x）+x2=7644
C．（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（80﹣x）=7644，
故选C．
6．已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为（）
A．（﹣a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣b，a） D．（b，﹣a）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据旋转的概念结合坐标系的特点，利用全等三角形的知识，即可解答．
【解答】解：设点A（a，b）坐标平面内一点，逆时针方向旋转90°后A1应与A分别位于y轴的两侧，在x轴的同侧，横坐标符号相反，纵坐标符号相同．作AM⊥x轴于M，A′N⊥x轴于N点，
在直角△OAM和直角△A1ON中，OA=OA1，∠AOM=∠OA1N，∠AMO=∠ONA1=90°，∴△OAM≌△A1ON
∴A1N=OM，ON=AM
∴A1的坐标为（﹣b，a）
故选C．
7．从2，﹣2，1，﹣1四个数中任取2个不同的数求和，其和为1的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】列举出所有情况，让和为1的情况数除以总情况数即为所求的概率．
1的有2种情况；
∴和为1的概率==，
故选A．
8．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则﹣a﹣b的值是（）A．2019 B．C．D．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出b的值．【解答】解：∵一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，
∴a+b+5=0，
即a+b=﹣5，
∴﹣a﹣b=﹣（a+b）=﹣（﹣5）=2019，
故选A．
2
A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D．（0，﹣6）【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，
∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．
故选：B．
10．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，若∠B=60°，则∠1的度数是（）
A．15° B．25°C．10°D．20°
【考点】旋转的性质．
【分析】先利用互余计算出∠BAC=90°﹣∠B=30°，再根据旋转的性质得∠ACA′=90°，CA=CA′，∠CA′B′=∠CAB=30°，则可判断△ACA′为等腰直角三角形，则∠CA′A=45°，然后利用∠1=∠CA′A﹣∠CA′B′进行计算即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=90°﹣∠B=30°，
∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴∠ACA′=90°，CA=CA′，∠CA′B′=∠CAB=30°，
∴△ACA′为等腰直角三角形，
∴∠CA′A=45°，
∴∠1=∠CA′A﹣∠CA′B′=45°﹣30°=15°．
故选A．
11．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回．点P在运动过程中速度大小不变．则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．
【解答】解：设点P的速度是1，则AP=t，那么s=πt2，为二次函数形式；
但动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回．
说明t是先大后小，所以s也是先大后小．
故选A．
12．己知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：（1）abc＞0；（2）2a+b=0；（3）a+b+c＞0；（4）a﹣b+c＜0，则正确的结论是（）
A．（l）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，由抛
物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，得到b=2a＞0，于是可对（1）进行判断；利用b=2a可
对（2）进行判断；根据自变量为1时函数值为正数可对（3）进行判断；根据自变量为﹣1时函数值为负数可对（4）进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于（0，c），
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，所以（1）错误；
∵b=2a，即2a﹣b=0，所以（2）错误；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以（3）正确；
∵x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以（4）正确．
故选D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．
【考点】二次函数的性质．
【分析】由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．
【解答】解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，
∴顶点坐标为：（2，5）．
故答案为：（2，5）．
14．把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可．
【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2顶点坐标为（1，2），
绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2．
故答案为：y=﹣（x+1）2﹣2．
15．小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，小李报到
偶数的概率是．
【考点】概率公式．
【分析】根据一共有9个人，其中偶数有4个，利用概率公式求出即可．
【解答】解：∵小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，
∴偶数一共有4个，
∴小李报到偶数的概率是：．
故答案为：
16．⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是4≤OP≤5．【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．
【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM==4，
OM的长即为OP的最小值，
∴4≤OP≤5．
故答案为：4≤OP≤5．
17．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6=0，当m=﹣1时为一元二次方程．【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义列出方程和不等式求解即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6=0，为一元二次方程，
∴，
解得：m=﹣1．
18．如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A6比图A2多出60个“树枝”．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】根据所给图形得到后面图形比前面图形多的“树枝”的个数用底数为2的幂表示的形式，代入求值即可．
【解答】解：∵图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3多出8个“树枝”，…，
∴图形从第2个开始后一个与前一个的差依次是：2¹，22，…，2n﹣1．
∴第5个树枝为15+24=31，第6个树枝为：31+25=63，
∴第（6）个图比第（2）个图多63﹣3=60个．
故答案为：60．
三.解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．用公式法解方程：5x2﹣3x=x+1．
【考点】解一元二次方程-公式法．
【分析】整理后求出b2﹣4ac，再代入公式求出即可．
【解答】解：5x2﹣3x=x+1，
5x2﹣4x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）=36，
x=，
x1=﹣，x2=1．
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向上平移3个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标．
（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A2B2C2，并求点B所经过的路径长（结果保留x）
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）根据△ABC向上平移3个单位，得出对应点位置，即可得出A1的坐标；（2）得出旋转后的△A2B2C2，再利用弧长公式求出点B所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图所示：
A1的坐标为：（﹣3，6）；
（2）如图所示：
∵BO==，
∴==π．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可．
（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠3．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴∥AC．
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切线．
（2）解：过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得：，
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC．
∴．
∴．
∴AC=6．
22．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：
（1）两次取的小球的标号相同；
（2）两次取的小球的标号的和等于4．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）根据题意画出数形图，两次取的小球的标号相同的情况有4种，再计算概率；
（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．
【解答】解：（1）如图：
两次取的小球的标号相同的情况有4种，
概率为P==．
（2）如图，
随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率
P=．
故答案为：．
23．已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；
（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由
AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：
△ABE≌△BCF；
（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE 中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；
（3）首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，继而证得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF．
（2）解：∵正方形面积为3，
∴AB=，
在△BGE与△ABE中，
∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，
∴△BGE∽△ABE，
∴，
又∵BE=1，
∴AE2=AB2+BE2=3+1=4，
∴S△BGE=×S△ABE==．
（3）解：没有变化．
理由：∵AB=，BE=1，
∴tan∠BAE==，∠BAE=30°，
∵AB′=AB=AD，∠AB′E′=∠ADE′=90°，AE′公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，
设BF与AE′的交点为H，
则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共，
∴△BAG≌△HAG（ASA），
=S△AB′E′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE．
∴S
四边形GHE′B′
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化．
24．某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单
（2）若该商品的销售单价在45元～80元之间浮动，
①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4 550元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【考点】一次函数的应用；一元二次方程的应用．
【分析】（1）设出一次函数解析式，把两组值分别代入计算可得k，b的值；
（2）①销售利润=销售量×销售单价，得到二次函数解析式，求得相应的最值即可；
②把y=4550代入①得到的函数解析式，求得合适的解即可．
【解答】解：（1）设y=kx+b（k≠0）
由题意得：；
解得；
∴y=﹣2x+250；
（2）设该商品的利润为W元．
∴W=（﹣2x+250）×（x﹣25）=﹣2x2+300x﹣6 250=﹣2（x2﹣150x+752）+2×752﹣6250=﹣2（x﹣75）2+5000．
∵﹣2＜0，
∴当x=75时，W最大，此时销量为y=﹣2×75+250=100（个）．
（3）（﹣2x+250）×（x﹣25）=4 550
x2﹣150x+5 400=0，
∴x1=60，x2=90．
∵x ＜80，∴x=60．
答：销售单价应定在60元．
25．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A 、B 两点坐标代入求解即可．
（2）平行四边形的面积为三角形OEA 面积的2倍，因此可根据E 点的横坐标，用抛物线的解析式求出E 点的纵坐标，那么E 点纵坐标的绝对值即为△OAE 的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE 的面积与x 的函数关系式进而可得出S 与x 的函数关系式． ①将S=24代入S ，x 的函数关系式中求出x 的值，即可得出E 点的坐标和OE ，OA 的长；如果平行四边形OEAF 是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF 是否为菱形．
②如果四边形OEAF 是正方形，那么三角形OEA 应该是等腰直角三角形，即E 点的坐标为（3，﹣3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E 点．
【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴是x=，
设解析式为y=a （x ﹣）2+k ．
把A ，B 两点坐标代入上式，得，
解得a=，k=﹣．
故抛物线解析式为y=（x ﹣）2﹣，顶点为（，﹣）．
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=（x﹣）2﹣，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OA是OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2××OA•|y|=﹣6y=﹣4（x﹣）2+25．
因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）和（6，0），
所以自变量x的取值范围是1＜x＜6．
①根据题意，当S=24时，即﹣4（x﹣）2+25=24．
化简，得（x﹣）2=．
解得x1=3，x2=4．
故所求的点E有两个，
分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），
点E1（3，﹣4）满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF是菱形；
点E2（4，﹣4）不满足OE=AE，
所以平行四边形OEAF不是菱形；
②当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，
此时点E的坐标只能是（3，﹣3），
而坐标为（3，﹣3）的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
年4月17日。