江西省上饶市协作体三角函数与解三角形多选题试题含答案

江西省上饶市协作体三角函数与解三角形多选题试题含答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ
<
），08f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ）
A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数
B ．3(0)4
f f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭
C ．ω是奇数
D ．ω的最大值为3
【答案】BCD 【分析】 根据3()8f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案. 【详解】
08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221
T k π
=
+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫
=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，
k Z ∈，
当,1224x ππ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫
+∈++ ⎪⎝⎭
，k Z ∈，
()f x 在区间,1224ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，
024
3
ωπ
π
<
≤
，故
6
2
ωπ
π
≤
，故3ω≤，
综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；
1ω=或3ω=，故8
k ϕπ
π=
+或38
k ϕπ
π=
+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；
当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+
⎪⎝⎭
，33sin sin 4488f k k π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
；
当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫
==+
⎪⎝⎭
， 393sin sin 4488f k k π
πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，B 正确；
故选：BCD. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
2．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π
6
个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．π4g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦
【答案】BC 【分析】
首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】
()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
1sin 462
g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；
0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
π上单调递增，
故C 正确；,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小
值-1，当23
3
x π
π
-=
⎡-⎢⎣
⎦.
故选：BC 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
3．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的1
2
倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期 B ．对123,,
2x x π
π⎛⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
，若12x x <，则()()12f x f x < C ．对,
44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R 成立
D ．当且仅当,4
x k k Z π
π=+∈时，f (x )1
【答案】AC 【分析】
根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭，
()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首
先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】
解：因为()2
()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令
sin cos 4t x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的
1
2
倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以
()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++
()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；
对于B ：因为3,
2
x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
则)
14t x π⎛
⎫⎡=+∈- ⎪⎣
⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪
⎝
⎭
上单调递减，在53,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增， 又()2
215124
f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21
f t t t =+-
在)
1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4
ππ⎛
⎫ ⎪
⎝
⎭
上单调递增，在53,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=----
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭
sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭
c 2424242sin os 2sin cos 4
x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭
+，故C 正确；
因为()2
2
15124
f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值
()
max 1f t =，令4t x π⎛
⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，所以
2,4
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，解得2,4
x k k Z π
π=
+∈，即当2,4
x k k Z π
π=
+∈时，函数
()f x
1，故D 错误；
故选：AC 【点睛】
本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；
4．已知函数()26f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．函数()f x
C ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712
x π
=对称 【答案】BD 【分析】
首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=
- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在x 轴下
方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项. 【详解】
由题意，将()26g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，
可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2
π
，故A 错误；
函数()f x B 正确；
函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的
图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012
f π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
知D 正确， 故选：BD . 【点睛】
思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的性质，并
且知道函数()26g x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，
可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.
5．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．若2
C π
>
，则222sin sin sin C A B >+
C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形
D ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ 【答案】ABC 【分析】
根据大角对大边，以及正弦定理，判断选项A ；利用余弦定理和正弦定理边角互化，判断选项B ；结合诱导公式，以及三角函数的单调性判断CD. 【详解】 A.A B >，a b ∴>，根据正弦定理
sin sin a b
A B
=，可知sin sin A B >，故A 正确； B.
2
C π
>，222
cos 02a b c C ab +-∴=<，即222a b c +<，由正弦定理边角互化可知
222sin sin sin C A B >+，故B 正确；
C.当02A π
<<
时，sin cos cos cos 2A B A B π⎛⎫<⇔-< ⎪⎝⎭
，即
2
2
A B A B π
π
->⇒+<
，即2
C π
>
，则ABC 为钝角三角形，若2
A π
>
，
sin cos cos cos 2A B A B π⎛
⎫<⇔-< ⎪⎝
⎭，即22A B A B ππ->⇒>+成立，A 是钝角，当
2
A π
=
是，sin cos A B >，所以综上可知：若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形，
故C 正确；
D.A B A B ππ+<⇒<-，
0,0A B πππ<<<-<，
()cos cos cos A B B π∴>-=-，
即cos cos 0A B +>，故D 不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：本题考查判断三角形的形状，关键知识点是正弦定理和余弦定理，判断三角形形状，以及诱导公式和三角函数的单调性.
6．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A ．2()2sin 23
f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
B ．(2021)1f π=
C ．函数|()|y f x =为偶函数
D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R
【答案】AD 【分析】
先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12
x π
=-
时取得最大值求得ϕ，得到
解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】
由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω
==,2ω=， 由12
x π
=-
时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫
=⨯-
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，A 正
确；
22
(2021)2sin 22021=2sin 33f ππππ⎛
⎫
=⨯+
⎪
⎝
⎭
B 错误； 由2()2sin 23
y f x x π⎛
⎫==+
⎪⎝
⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛
⎫⎛
⎫-++
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭不是恒成立，
故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π
=
时，22sin 22sin 0663f =πππ
π⎛⎫⎛⎫=⨯+
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫
⎪⎝⎭
，是2()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 方法点睛：
三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.
7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2
C π
>
，则22sin sin sin C A B >+
【答案】ACD 【分析】
A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；
B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；
C 项，显然2
A π
≠，分02
A π
<<
和2
A π
>
两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判
断；
D 项，根据2
A B π
+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】
解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；
对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02
A π
<<，则
2A B π->，则2A B π+<，于是2
C π
>； 若2A π
>
，则cos cos 2A B π⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭，则2A B π->，
于是2
A B π
>
+，故C 选项正确；
对于D 选项，由2
C π
>
，则2A B π+<
，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，
22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B
=+=+>⋅+⋅=+
所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.
8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫
=+<
⎪⎝
⎭
，()()124F x f x f x π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭
为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）
A ．tan 3
ϕ=
B ．()f x 在[]
,a a -上存在零点，则a 的最小值为6
π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2
π
个单位得到 【答案】ABC 【分析】
首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭
的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可. 【详解】
解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以
11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=
=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，所以32
k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<
，所以6
π
=ϕ；
对于A ，tan tan
6
3
π
ϕ==
，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，得26k x ππ=
+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6
π
，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 26
3F x x x π
π⎛⎫
=+
+
=- ⎪⎝
⎭，当3,44x ππ
⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,2
32x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则()F x 在3,
44
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， ()cos 266F x x ππ⎡⎤
⎛⎫=+
+
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6
π个单位得到，故D 错误.
故选：ABC . 【点睛】
关键点点睛：本题解答的关键是先根据()(
)124F x f x f x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭
为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.
二、数列多选题
9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”.则以下结论正确的是（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”
B ．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则数列{}n a 是“T 数列”
C ．若1
2
(1)2n n n a n n ++=
+，则数列{}n a 是“T 数列”
D ．若2
2
41
n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列 【答案】BC 【分析】
写出等差数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断A ；写出等比数列的前n 项和结合“T 数
列”的定义判断B ；利用裂项相消法求和判断C ；当n 无限增大时，n S 也无限增大判断D ． 【详解】
在A 中，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫
=
+- ⎪⎝
⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 错误. 在B 中，因为{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <， 所以()11111112111111n n
n n a q a a q a a q a
S q
q q q q q
-=
=-
+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确. 在C 中，因为11
211
(1)22(1)2n n n n n a n n n n +++=
=-+⋅+⋅，所以
1223
111111
11111
||122222322(1)22(1)22
n n n n S n n n ++=-+-+
+
-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅∣∣
.所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 正确.
在D 中，因为22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222111114342143141n S n n ⎛⎫=+++++ ⎪⨯-⨯--⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 错误.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)(
)1111n n k k n n
k ⎛⎫=-
⎪++⎝⎭；（2）1k
=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）(
)()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
10．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）
A ．若100S =，则50a >，60a <；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；
D ．若89S S <，则78S S <.
【答案】ABD
【分析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】
对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，
所以1101010()02
a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，
所以50a >，60a <，故A 正确；
对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，
所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，
所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022
a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯=
==>，则80a >， 116891616()16()022
a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；
对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，
所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，
故选：ABD
【点睛】
解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.。