【名师伴你行】高考数学二轮复习 圆锥曲线中的综合问题提能专训

提能专训(二十) 圆锥曲线中的综合问题
一、选择题
1．(2014·吉林实验中学模拟)如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2
－y 2
3＝1与椭圆C 2的公共焦
点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )
A.1
3 B.23 C.23或2
5 D.25
[答案] B
[解析] 由C 1：x 2
－y 2
3
＝1知，c ＝2，|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，又∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |
＝2.又由椭圆的定义知2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝6，∴a ＝3，e ＝c a ＝2
3
.
2．(2014·北京朝阳区期末)已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，
C (0,1)，点
D ，
E 分别在线段OC ，AB 上运动，且OD ＝BE ，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨
迹方程是( )
A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)
B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)
C ．y ＝x 2
(0≤x ≤1) D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1) [答案] A
[解析] 设D (0，λ)，E (1,1－λ)(0≤λ≤1)，所以线段AD 方程为y ＝－λx ＋λ(0≤x ≤1)，线段
OE 方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联立方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－λx ＋λx ，
y ＝－λx
x
(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－
x )(0≤x ≤1)，故A 正确．
3．(2014·石家庄质检)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
点O 为坐标原点，点P 在双曲线右支上，△PF 1F 2内切圆的圆心为Q ，圆Q 与x 轴相切于点A ，过F 2作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则|OA |与|OB |的长度依次为( )
A ．a ，a
B ．a ，a 2
＋b 2
C.a 2，3a
2
D.a
2
，a
[答案] A
[解析] 设|AF 1|＝x ，|AF 2|＝y ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，由三角形内切圆的性质得x －y ＝2a ，又∵x ＋y ＝2c ，∴x ＝a ＋c ，∴|OA |＝a .延长F 2B 交PF 1于点C ，∵PQ 为∠F 1PF 2的角平分线，∴|PF 2|＝|PC |，再由双曲线定义得|CF 1|＝2a ，∴|OB |＝a ，故选A.
4．(2014·青岛一模)如图，从点M (x 0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y 2
＝8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x －y －10＝0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 [答案] B
[解析] 由题意可知，p ＝4，F (2,0)，P (2,4)，Q (2，－4)，QN ：y ＝－4，直线QN ，MN 关于l ：x －y －10＝0对称，即直线l 平分直线QN ，MN 的夹角，所以直线MN 垂直于y 轴．
解⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝－4，x －y －10＝0，得N (6，－4)，故x 0等于6.故选B.
5．(2014·石家庄质量检测二)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：
y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )
A.226
B.426
C.
213
D.
4
13
[答案] B
[解析] 由题意可知，c ＝2，由e ＝c a ＝2
a
可知，
e 最大时需a 最小，由椭圆的定义|PA |＋|PB |＝2a ，
即使得|PA |＋|PB |最小，设A (－2,0)关于直线y ＝x ＋3的对称点D (x ，y )，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y －0x ＋2·1＝－1，0＋y 2＝－2＋x 2＋3，
可知D (－3,1)．
所以|PA |＋|PB |＝|PD |＋|PB |≥|DB |＝12＋52
＝26，即2a ≥26， 所以a ≥
262，则e ＝c a ≤2262
＝4
26
. 故选B.
6．(2014·武汉调研)椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直
线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，1 [答案] B
[解析] 椭圆的左顶点为A 1(－2,0)、右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20
3＝1，得
y 20
x 20
－4＝－34
. 而kPA 2＝
y 0x 0－2，kPA 1＝y 0
x 0＋2
，
所以kPA 2·kPA 1＝
y 20
x 20－4
＝－34. 又kPA 2∈[－2，－1]，所以kPA 1∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤38，34.
7．(2014·杭州二检)设F 1，F 2为椭圆C 1：x 2a 21＋y 2
b 21
＝1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2的公共的左、
右焦点，它们在第一象限内交于点M ，△MF 1F 2是以线段MF 1为底边的等腰三角形，且|MF 1|
＝2.若椭圆C 1的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤38，49，则双曲线C 2的离心率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤54，53 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．(1,4] D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，4 [答案] D
[解析] 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2
b 22
＝1(a 2>0，b 2>0)，由已知|MF 1|＝2，|F 1F 2|＝|MF 2|
＝2c ，又根据椭圆与双曲线的定义得到：
⎩
⎪⎨
⎪⎧
|MF 1|＋|MF 2|＝2a 1|MF 1|－|MF 2|＝2a 2⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
2＋2c ＝2a 1
2－2c ＝2a 2⇒a 1－a 2＝2c ，其中2a 1、2a 2分别为椭圆的长轴
长和双曲线的实轴长，∵椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤38，49，∴38≤c a 1≤49，
∴94c ≤a 1≤83c ，而a 2＝a 1－2c ，∴14c ≤a 2≤2
3c ， ∴32≤c
a 2
≤4，故选D. 8．(2014·湖南六校联考)已知双曲线T ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (2,0)，且
经过点R ⎝
⎛⎭
⎪⎫
233，0，△ABC 的三个顶点都在双曲线T 上，O 为坐标原点，设△ABC 三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，P ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k i ≠0，i ＝1,2,3.
若直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为－1，则1k 1＋1k 2＋1
k 3
的值为( )
A ．－1
B ．－12
C ．1 D.12
[答案] B
[解析] 由已知可得c ＝2，a ＝233，b ＝263，双曲线为x 243－y
2
8
3
＝1，令A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，C (x 3，y 3)，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，P (x P ，y P )，由点差法得k 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝2·1
k OM
，
同理可得k 2＝2·1
k ON
，k 3＝2·
1
k OP
，又k OM ＋k ON ＋k OP ＝－1＝2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 1＋1k 2＋1k 3，所以1k 1＋1k 2＋1k 3
＝
－1
2
. 9．(2014·河南豫东、豫北联考一)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、
右焦点，P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
[答案] D
[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，不妨设P 在第一象限，则由已知得
⎩⎪⎨⎪⎧
m －n ＝2a ，m 2＋n 2
＝c 2
，
n ＋2c ＝2m ，
∴5a 2
－6ac ＋c 2＝0，方程两边同除a 2得，即e 2
－6e ＋5＝0，解得e ＝5或e ＝1(舍去)，故选D.
10．(2014·浙江名校联盟联考)过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)上任意一点P ，作与实轴
平行的直线，交两渐近线于M ，N 两点，若PM →·PN →＝2b 2
，则该双曲线的离心率为( )
A.
63 B. 3 C.6
2
D. 2 [答案] C
[解析] 由条件知，双曲线两渐近线方程为
y ＝±b a x ，设P (x 0，y 0)，则x 20a 2－y 20
b 2＝1，
∴x 20
＝a 2y 20b
2＋a 2
，
由y ＝y 0与y ＝±b a
x ，得
M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ay 0b ，y 0，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ay 0b ，y 0，
∵PM →·PN →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫－ay 0b
－x 0，0·ay 0
b
－x 0,0
＝x 20
－a 2y 20b
2＝a 2＝2b 2
，
又b 2＝c 2－a 2
， ∴3a 2
＝2c 2
，∴e ＝c a ＝62
. 二、填空题
11．(2014·唐山一模)过抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |＝________.
[答案]
163
[解析] ∵y 2
＝4x ，∴抛物线的准线为x ＝－1，F (1,0)． 又A 到抛物线准线的距离为4，∴x A ＋1＝4，∴x A ＝3. ∵x A x B ＝p 2
4＝1，∴x B ＝13.∴|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝3＋13＋2＝16
3
.
12．(2014·绵阳诊断)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上的任意一点，
若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝3
5
，则此椭圆的离心率为________．
[答案]
57
[解析] 依题意，|PF 1|sin β＝|PF 2|
sin α
＝
|F 1F 2|α＋β
，|PF 1|＋|PF 2|sin α＋sin β
＝|F 1F 2|α＋β
，
e ＝
|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝α＋β
sin α＋sin β
.由已知得0<α<α＋β≤π，cos α>cos(α＋β)，即
cos(α＋β)<
55，又cos 2(α＋β)＋sin 2
(α＋β)＝1，因此cos(α＋β)＝－45
，sin α＝1－cos 2
α＝255，sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝35×55＋45×255＝11525，sin α＋sin β＝21525，e ＝α＋βsin α＋sin β＝57，即该椭圆的离心率是
5
7
. 13．(2014·成都三诊)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为1＋5
2
，圆C 是
以坐标原点O 为圆心，实轴为直径的圆．过双曲线第一象限内的任一点P (x 0，y 0)作圆C 的
两条切线，其切点分别为A ，B .若直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，则b 22|OM |2－a 2
2|ON |
2
的值为________．
[答案]
5＋1
4
[解析] 由题知P 、A 、O 、B 四点共圆，其方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝14
(x 20＋y 2
0)，又圆
C 的方程为x 2＋y 2＝a 2，两式作差，得公共弦AB 的方程为：x 0x ＋y 0y ＝a 2，分别令x ＝0，y ＝0，得|ON |＝a 2y 0，|OM |＝a 2x 0.又点P (x 0，y 0)在双曲线上，故x 20a 2－y 20b
2＝1，即b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2
.
又e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋522，所以b 2a 2＝1＋52.故b 22|OM |2－a 22|ON |2＝b 22a 4x 20－a 22a 4y 20
＝b 2x 20－a 2y 2
2a 4＝b 22a 2
＝1＋5
4
.
14．(2014·杭州二检)设抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)，A 为抛物线上一点(A 不同于原点O )，过焦点F 作直线平行于OA ，交抛物线C 于P ，Q 两点．若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于B ，则|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝________.
[答案] 0
[解析] 设OA 所在的直线的斜率为k ，
则由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，y 2
＝2px ，得到A ⎝
⎛⎭⎪
⎫2p k 2，2p k ，易知B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，kp 2， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，
y 2＝2px ，
，消去x 得，ky 22p －y －kp
2
＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
由根与系数的关系得，y 1y 2＝－p 2
，根据弦长公式，
|FP ||FQ |＝
1＋1
k
2|y 1|
1＋1
k
2·|y 2|
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2|y 1y 2|＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2p 2
， 而|OA ||OB |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫kp 22 ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2p 2
，
∴|FP |·|FQ |－|OA ||OB |＝0. 三、解答题
15．(2014·贵阳适应性考试)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在
抛物线E ：x 2
＝2py (p >0)上．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上某定点M ，若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，得|OB |＝83，根据对称性知，∠BOy ＝30°. 设点B (x ，y )，则x ＝83×sin 30°＝43，
y ＝83×cos 30°＝12，
所以B (43，12)在抛物线上， 所以(43)2
＝2p ×12，解得p ＝2， 抛物线E 的方程为x 2
＝4y .
(2)设点P (x 0，y 0)(x 0≠0)，因为y ＝14x 2，y ′＝12x ，
直线l 的方程为y －y 0＝1
2x 0(x －x 0)，
即y ＝12x 0x －14x 2
0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12
x 0x －14x 20，
y ＝－1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 2
0－42x 0
，
y ＝－1，
所以Q ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x 2
0－42x 0，－1.
设满足条件的定点M 存在，坐标为M (0，y 1)，
所以MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
0－4
2x 0，－1－y 1， 又MP →·MQ →
＝0， 所以
x 20－4
2
－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 2
1＝0，
又y 0＝14x 2
0(x 0≠0)，联立解得y 1＝1，
故以PQ 为直径的圆过y 轴上的定点M (0,1)．
16．(2014·新疆二次检测)在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点(1,0)的距离与到定直线x ＝2的距离之比为
2
2
，设动点P 的轨迹为C . (1)求出轨迹C 的方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx －1
3
与曲线C 交于A ，B 两点，问在y 轴上是否存在定点G ，使∠
AGB 为直角？若存在，求出G 的坐标，并求△AGB 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设P (x ，y )，则依题意有
x －2＋y 2|x －2|＝22，化简得x 22
＋y 2
＝1.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －13
，x
2
2＋y 2
＝1，
得
(2k 2＋1)x 2
－43kx －169
＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (0，m )， 则x 1＋x 2＝
4k k 2＋
，
x 1x 2＝－
16
9
2k 2
＋1
，
GA →
·GB →
＝x 1x 2＋(y 1－m )(y 2－m )
＝(k 2＋1)x 1x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋m (x 1＋x 2)＋m 2
＋23m ＋19
＝
m 2－
k 2＋m 2＋6m －
k 2＋
，
若对任意k ∈R ，GA →·GB →
＝0恒成立，
则需⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
－1＝0，9m 2
＋6m －15＝0，
解得m ＝1.
因此，存在点G (0,1)，使得∠AGB 为直角． 又点G 到AB 的距离d ＝43k 2
＋1， 所以，S △AGB ＝12|AB |d ＝
2
3x 1－x 2
2
＝8
9
9k 2
＋4k 2＋
2
，
设t ＝2k 2
＋1，t ∈[1，＋∞)， 则S △AGB ＝
8
9
92⎣⎢⎡⎦⎥⎤1t －19⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2≤169
， 当且仅当t ＝1时，上式等号成立． 因此，△AGB 面积的最大值是16
9
.
17．(2014·云南统检)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P
是椭圆E 上的点，以F 1P 为直径的圆经过F 2，PF 1→·PF 2→＝116
a 2
.直线l 经过F 1，与椭圆E 交于
A ，
B 两点，F 2与A ，B 两点构成△ABF 2.
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)设△F 1PF 2的周长为2＋3，求△ABF 2的面积S 的最大值．
解：(1)∵F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 是椭圆E 上的点，以F 1P 为直径的圆经过F 2，∴PF 2⊥x 轴．
∴|PF 2|＝b 2
a
.
又∵PF 1→·PF 2→＝116a 2
，
∴|PF 2|2
＝116a 2，即b 2
a ＝1
4
a .
∴a 2＝4b 2，即a 2＝4(a 2－c 2)，化简得3a 2＝4c 2
， 所以c a ＝
32
. ∴椭圆E 的离心率等于
32
. (2)∵△F 1PF 2的周长为2＋3， ∴2a ＋2c ＝2＋ 3.
解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
2a ＋2c ＝2＋3，c a ＝3
2
，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，c ＝3
2.
∴b 2
＝14
.
∴椭圆E 的方程为x 2＋4y 2
＝1. 当直线l 斜率不存在时，△ABF 2的面积 S ＝12×2b 2
a ×2c ＝3
4
. 当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，由F 2与A ，B 两点构成△ABF 2，得k ≠0. 由已知得直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x ＋32，即2kx －2y ＋3k ＝0. ∴F 2⎝
⎛⎭⎪⎫
32，0到直线l 的距离d ＝3|k |1＋k
2
. 由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，
x 2＋4y 2＝1，
得(1＋4k 2)x 2＋43k 2x ＋3k 2
－1＝0.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝－43k 2
1＋4k
2，
x 1x 2
＝3k 2
－11＋4k 2.
∴|AB |＝1＋k 2
·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝＋k
2
1＋4k
2
. ∴S ＝12|AB |d ＝3|k |1＋k 2
1＋4k 2
＝
3|k |1＋4k
2
×
1＋k
21＋4k
2
≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2
1＋4k 2＋1＋k 2
1＋4k 2＝12
.
∴△ABF 2的面积S 的最大值为1
2.
又∵12>34
，
综上，△ABF 2的面积S 的最大值为1
2
.
18．(2014·南昌一模)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32在椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上，过椭圆C 的右焦点F 2(1,0)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MN ∥AB ，W ＝|AB |
2
|MN |.试判断W 是否为定值？若W
为定值，请求出这个定值；若W 不是定值，请说明理由．
解：(1)椭圆C 的右焦点坐标为(1,0)，∴c ＝1，椭圆C 的左焦点坐标为(－1,0)， 可得2a ＝＋
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－322
＋－
2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－322 ＝52＋3
2＝4， 解得a ＝2，
∴b 2
＝a 2
－c 2
＝4－1＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)①当直线斜率不存在时，|AB |2
＝(2b )2
＝4b 2
，|MN |＝2b 2
a ，∴W ＝|AB |2
|MN |＝4b
2
2b
2a
＝2a ＝4.
②当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3＝1，y ＝k x －，
得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2
－12＝0，
x 1＋x 2＝8k 2
3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2
－123＋4k 2，
|MN |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝＋k
2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]
＝＋k
2
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫8k 2
3＋4k 22－4×4k 2
－123＋4k 2
＝
k 2＋
3＋4k
2
.
设直线AB 的方程为y ＝kx (k ≠0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2
3＝1，y ＝kx
消去y ，并整理，得x 2
＝
12
3＋4k
2， 设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 则|AB |＝1＋k 2
|x 3－x 4|＝4
＋k
2
3＋4k
2
， ∴W ＝|AB |2
|MN |
＝
＋k 2
3＋4k
2
＋k 2
3＋4k
2
＝4. 综上，W 为定值4.。