人教版七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元测试综合卷学能测试

人教版七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元测试综合卷学能
测试
一、选择题
1．已知x ，y 满足方程组4,
5,
x m y m +=⎧⎨-=⎩则无论m 取何值，x ，y 恒有的关系式是（ ）
A ．1x y +=
B ．1x y +=-
C ．9x y +=
D ．9x y -=-
2．六（2）班学生进行小组合作学习，老师给他们分组：如果每组6人，那么会多出3人；如果每组7人，那么有一组少4人．如果六（2）班学生数为x 人，分成y 组，那么可得方程组为（ ）
A ．6374y x y x =-⎧⎨=+⎩
B ．63
74y x y x =+⎧⎨=+⎩
C ．6374x y x y +=⎧⎨-=⎩
D ．6374y x y x =+⎧⎨+=⎩
3．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了min x ，下坡用了min y ，根据题意可列方程组（ ）
A ．351200
16x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．35 1.2606016x y x y ⎧+=⎪
⎨⎪+=⎩
C ．35 1.216
x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．3
51200606016
x y x y ⎧+=⎪
⎨⎪+=⎩
4．方程组5213
310
x y x y +=⎧⎨
-=⎩的解是（ ）
A ．3
1x y =⎧⎨
=-⎩
B ．1
3
x y =-⎧⎨
=⎩
C ．3
1
x y =-⎧⎨
=-⎩
D ．1
3x y =-⎧⎨
=-⎩
5．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x 斛，1个小桶盛酒y 斛，下列方程组正确的是（ ）．
A ．53
52x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．52
53x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．531
25x y x y +=⎧⎨+=⎩
D ．35
251x y x y +=⎧⎨+=⎩
6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是
32=19
423x y x y +⎧⎨
+=⎩
，在图2所示的算筹图所表示的方程组是（ ）
A ．211
4327x y x y +=⎧⎨
+=⎩
B ．21
437x y x y +=⎧⎨
+=⎩
C ．227
4311x y x y +=⎧⎨
+=⎩
D ．211
4327y x y x +=⎧⎨
+=⎩
7．已知方程组221x y k
x y +=⎧⎨+=⎩
的解满足3x y -=，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．1
D ．1-
8．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A ．(5，44)
B ．(4，44)
C ．(4，45)
D ．(5，45)
9．如图，将正方形ABCD 的一角折叠，折痕为AE ，点B 落在点B ′处，B AD ∠'比
BAE ∠大48︒.设BAE ∠和B AD ∠'的度数分别为x ︒和y ︒，那么x 和y 满足的方程组是
( )
A ．4890
y x y x -=⎧⎨
+=⎩
B ．48
2y x y x
-=⎧⎨
=⎩
C ．48
290
x y y x -=⎧⎨
+=⎩
D ．48
290y x y x -=⎧⎨
+=⎩
10．已知32x y =⎧⎨=-⎩是方程组2
3
ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩的解，则+a b 的值是（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣5
D ．5
二、填空题
11．二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________；整数解有_______个． 12．在某一个学校的运动俱乐部里面有三大筐数量相同的球，甲每次从第一个大筐中取出9个球；乙每次从第二个大筐中取出7个球；丙则是每次从第三个大筐中取出5个球.到后来甲、乙、丙三人都记不清各自取过多少次球了，于是管理人员查看发现第一个大筐中还剩下7个球，第二个大筐还剩下4个球，第三个大筐还剩下2个球，那么根据上述情况可以推知甲至少取了______次.
13．綦江中学初二在数学竞赛活动中举行了“一题多解”比赛，按分数高低取前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，现调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，则调整后一等奖比二等奖平均分数多______分．
14．已知1a 、2a 、3a 、…、n a 是从1或0中取值的一列数（1和0都至少有一个），若
()()()
()222
2
123222281n a a a a ++++++⋯++=，则这列数的个数n 为____.
15．2018年秋，珊瑚中学开启“珊中大阅读”活动,为了充实漂流书吧藏书,号召全校学生捐书,得到各班的大力支持.同时,本部校区的两个年级组也购买藏书充实学校图书室,初二年级组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本,用去8315元;初一年级买了A 、B 两种文学书籍若干本,用去6138元．其中A 、B 的数量分别与甲、乙的数量相等,且甲种书与B 种书的单价相同,乙种书与A 种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多7元,则甲种书籍比乙种书籍多买了_____________本. 16．若（x ﹣y +3）2+
=0，则x +y 的值为______．
17．南岸区近年修建和完善了不少道路，其中一段道路两侧的绿化任务计划由甲、乙、丙、丁四个人完成．道路两侧的植树数量相同，如果乙、丙、丁同时开始植树，丁在道路左侧，乙和丙在道路右侧，2小时后，甲加入，在道路左侧与丁一起植树．这样恰好能保证道路两侧的植树任务同时完成．已知甲、乙、丙、丁每小时能完成的植树数量分别为6、7、8、10棵．实际在植树时，四人一起开始植树，甲和丁在道路左侧、乙和丙在道路右侧，为保证右侧比左侧提前5小时完成植树任务，甲中途转到右侧与乙和丙一起按要求完成了任务，左侧剩下的任务由丁独自完成、则在本次植树任务中，甲比丁少植树_____棵．
18．有甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，则甲堆原来有____个苹果．
19．已知方程组112
2a x y c a x y c +=⎧⎨+=⎩解为5
10x y =⎧⎨=⎩，则关于x ，y 的方程组1112223232a x y a c a x y a c +=+⎧⎨
+=+⎩的解是_______．
20．某“欣欣”奶茶店开业大酬宾推出...A B C D 四款饮料．1千克A 饮料的原料是2千克苹果，3千克梨，1千克西瓜；1千克B 饮料的原料是2千克苹果，3千克梨，1千克西瓜；1千克C 饮料的原料是3千克苹果，9千克梨， 6千克西瓜；1千克D 饮料的原料是2千克苹果，6千克梨，4千克西瓜；如果每千克苹果的成本价为2元，每千克梨的成本价
为1.2元，每千克西瓜的成本价为3.5元．开业当天全部售罄，销售后，共计苹果的总成本为100元，并且梨的总成本为126元，那么西瓜的总成本为_____元
三、解答题
21．阅读以下内容：
已知有理数m ，n 满足m+n ＝3，且3274
232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩
求k 的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m ，n 的方程组3274
232
m n k m n +=-⎧⎨
+=-⎩，再求k 的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k 的值；
丙同学：先解方程组3
232m n m n +=⎧⎨+=-⎩
，再求k 的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；
（2）在解关于x ，y 的方程组()(
)11821a x by b x ay ⎧+-=⎪
⎨
++=⎪⎩①②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数
x ，也可以用①×2+②×5消去未知数y ．求a 和b 的值．
22．如图①，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，直线OC 上所有的点坐标(,)x y ，都是二元一次方程40x y -=的解，直线AC 上所有的点坐标(,)x y ，都是二元一次方程
26x y +=的解，过C 作x 轴的平行线，交y 轴与点B ．
（1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）如图②，点M 、N 分别为线段BC ，OA 上的两个动点，点M 从点C 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N 从点O 以每秒1．5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t 秒，且0＜t ＜4，试比较四边形MNAC 的面积与四边形MNOB 的面积的大小．
23．泉州市某校准备组织教师、学生、家长到福州进行参观学习活动，旅行社代办购买动车票，动车票价格如下表所示： 运行区间 大人票价 学生票 出发站 终点站 一等座
二等座
二等座
泉州
福州
65（元） 54（元） 40（元）
根据报名总人数，若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元，若都买二等座动车票（学生全部按表中的“学生票二等座”购买），则共需8820元；已知家长的人数是教师的人数的2倍．
（1）设参加活动的老师有m 人，请直接用含m 的代数式表示教师和家长购买动车票所需的总费用；
（2）求参加活动的总人数；
（3）如果二等座动车票共买到x 张，且学生全部按表中的“学生票二等座”购买 ，其余的买一等座动车票，且买票的总费用不低于9000元，求x 的最大值．
24．如图，已知∠a 和β∠的度数满足方程组223080
αββα︒
︒
⎧∠+∠=⎨∠-∠=⎩，且CD //EF,AC AE ⊥.
(1)分别求∠a 和β∠的度数；
(2)请判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由； (3)求C ∠的度数。

25．阅读下面资料：
小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1，求S 1的值.
小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A 1C 、B 1A 、C 1B ，因为A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以
11∆∆=A BC B CA S S =11∆∆=A BC C AB S S =2S △ABC =2a ，由此继续推理，从而解决了这个问题.
（1）直接写出S 1= （用含字母a 的式子表示）. 请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积.
（3）如图4，若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求S△APE与S△BPF的比值. 26．每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：
甲型机器乙型机器
价格（万元/台）a b
产量（吨/月）240180
经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元．
（1）求a、b的值；
（2）若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【分析】
由方程组消去m ，得到一个关于x ，y 的方程，化简这个方程即可． 【详解】
解：将5m y =-代入4x m +=，得54x y +-=，所以9x y +=. 故选C. 【点睛】
解二元一次方程组的基本思想是“消元”，基本方法是代入法和加减法，此题实际是消元法的考核．
2．A
解析：A 【分析】
设学生数为x 人，分成y 组，根据组数和总人数的数量关系建立方程组求解即可． 【详解】
设学生数为x 人，分成y 组，
由题意知如果每组6人，那么多出3人，可得出：63y x =-， 如果每组7人，组数固定，那么有一组少4人，可得出：74y x =+，
故有：6374y x y x =-⎧⎨=+⎩
．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
3．B
解析：B 【分析】
根据路程=时间乘以速度得到方程35
1.26060
x y +=，再根据总时间是16分钟即可列出方程组. 【详解】
∵她去学校共用了16分钟， ∴x+y=16，
∵小颖家离学校1200米， ∴
35
1.26060
x y +=，
∴35 1.2606016
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 故选：B. 【点睛】
此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组，注意时间单位，这是解题中容易出现错误的地方.
4．A
解析：A 【分析】
利用代入消元法即可求解． 【详解】 解：5213310x y x y +=⎧⎨
-=⎩①
②
，
由②得：310y x =-③，
把③代入②可得：()5231013x x +-=， 解得3x =，
把3x =代入③得1y =-，
故方程组的解为3
1x y =⎧⎨=-⎩
，
故选：A ． 【点睛】
本题考查解二元一次方程组，根据方程组的特点选择合适的求解方法是解题的关键．
5．A
解析：A 【分析】
根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可. 【详解】
∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛， ∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛， ∴x+5y=2， ∴得到方程组53
52x y x y +=⎧⎨+=⎩
，
故选：A. 【点睛】
此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
6．A
解析：A 【分析】
图2中，第一个方程x 的系数为2，y 的系数为1，相加为11；第二个方程x 的系数为4，y 的系数为3，相加为27，据此解答即可． 【详解】
解：图2所示的算筹图所表示的方程组是211
4327x y x y +=⎧⎨+=⎩
．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、明确图1表示方程组的方法是解题关键．
7．B
解析：B 【分析】
将方程组中两方程相减可得x-y=1-k ，根据x-y=3可得关于k 的方程，解之可得． 【详解】
解：2? 21? x y k x y +=⎧⎨
+=⎩
①② ②-①，得：x-y=1-k ， ∵x-y=3， ∴1-k=3， 解得：k=-2， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解及解法：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．本题用整体代入的方法达到了简便计算的目的．
8．B
解析：B 【分析】
根据跳蚤运动的速度确定：(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第2
25(5)次，到(0,6)是第48(68)次，
依此类推，到(0,45)是第2025次，后退5次可得2020次所对应的坐标． 【详解】
解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第
8(24)次，到(0,3)是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第225(5)次，到
(0,6)第48(68)次，依此类推，到(0,45)是第2025次．
202514
2020，
故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是(4,44)． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
9．D
解析：D 【分析】
根据由将正方形ABCD 的一角折叠，折痕为AE ，∠B'AD 比∠BAE 大48°的等量关系即可列出方程组. 【详解】
解：.设BAE ∠和B AD ∠'的度数分别为x ︒和y ︒
由题意可得：48
290y x y x -=⎧⎨+=⎩
故答案为D. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据翻折变换的性质以及正方形的四个角都是直角寻找等量关系是解答本题的关键.
10．A
解析：A 【分析】
把32x y =⎧⎨=-⎩
代入方程组，可得关于a 、b 的方程组，继而根据二元一次方程组的解法即可求
出答案． 【详解】
将32x y =⎧⎨
=-⎩代入2
3ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩
， 可得：322
323
a b b a -=⎧⎨
-=-⎩，
两式相加：1a b +=-， 故选A ． 【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法.
二、填空题
11．无数 【分析】
把x看做已知数求出y，分析即可确定出正整数解及整数解的情况．【详解】
解：方程3x+8y=27，
解得：,
∵当x、y是正整数时，9-x是8的倍数，
∴x=1，y=
解析：
1
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
无数
【分析】
把x看做已知数求出y，分析即可确定出正整数解及整数解的情况．【详解】
解：方程3x+8y=27，
解得：
3(9
8
)x y
-=,
∵当x、y是正整数时，9-x是8的倍数，∴x=1，y=3；
∴二元一次方程3x+8y=27的正整数解只有1个，即
1
3 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
∵当x、y是整数时，9-x是8的倍数，
∴x可以有无数个值，如-7,-15,-23，……；∴二元一次方程3x+8y=27的整数解有无数个.
故答案是：
1
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；无数.
【点睛】
此题考查了二元一次方程的整数解及正整数解问题，解题的关键是将x看做已知数求出y．
12．30
【分析】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得可列方程k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】
设每框
解析：30
【分析】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得可列方程
k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)，然后根据整除的性质解答即可．
【详解】
设每框球的总数为k，甲取了a次，乙取了b次，丙取了c次．根据题意得：k=9a+7=7b+4=5c+2(k，a，b，c都是正整数)
∴9a+7=5c+2，
∴9a=5(c-1)，
∴a是5的倍数．
不妨设a=5m(m为正整数)，
∴k=45m+7=7b+4，
∴b=4533(1)
6
77
m m
m
++
=+，
∵b和m都是正整数，
∴m的最小值为6．
∴a=5m=30．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了三元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的者方程，会根据整除性进一步设未知数．
13．5
【分析】
设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，根据总分不变，列出方程，求出原来一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2
解析：5
【分析】
设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，根据总分不变，列出方程，求出原来一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案．
【详解】
设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，
由题意可得：5x+15y+40z=10（x﹣3）+20（y﹣2）+30（z﹣1）①，z=y﹣7 ②；
由①得：x+y﹣2z=20 ③，
将②代入③得：x+y﹣2（y﹣7）=20，
解得：x﹣y=6，即原来一等奖比二等奖平均分多6分，
∵调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，
∴（x﹣3）﹣（y﹣2）=（x﹣y）﹣1=6﹣1=5（分），
即调整后一等奖比二等奖平均分数多5分，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的应用．找出等量关系并列出方程是解答本题的关键． 14．14或19
【解析】
【分析】
由、、、…、是从1或0中取值的一列数(1和0都至少有一个)，设有x 个1，y 个0，则(a1+2)2、(a2+2)2、…、(an+2)2有x 个9，y 个4，列不定方程解答即
解析：14或19
【解析】
【分析】
由1a 、2a 、3a 、…、n a 是从1或0中取值的一列数(1和0都至少有一个)，设有x 个1，y 个0，则(a 1+2)2、(a 2+2)2、…、(a n +2)2有x 个9，y 个4，列不定方程解答即可确定正确的答案．
【详解】
解：设有x 个1，y 个0，则对应(a 1+2)2、(a 2+2)2、…、(a n +2)2中有x 个9，y 个4， ∵()()()()2222
123222281n a a a a ++++++⋯++=，
∴9x +4y =81 ∴499y x =-， ∵x ，y 均为正整数，
∴y 是9的倍数，
∴59x y =⎧⎨=⎩，118x y =⎧⎨=⎩
， ∴这列数的个数n =x +y 为14或19，
故答案为：14或19．
【点睛】
本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，得到不定方程然后求整数解即可．
15．311
【分析】
根据已知条件设出甲乙的单价和数量,根据甲乙一共用去8315元, A 、B 一共用去6138元组成方程组,整理方程组即可解题.
【详解】
解：设乙的单价为x 元/本，则甲为（7+x ）元/本
解析：311
【分析】
根据已知条件设出甲乙的单价和数量,根据甲乙一共用去8315元, A 、B 一共用去6138元组
成方程组,整理方程组即可解题.
【详解】
解：设乙的单价为x 元/本，则甲为（7+x ）元/本,甲购买了a 本,乙买了b 本, ∴A 的单价为x 元/本，B 为（7+x ）元/本, A 购买了a 本,B 买了b 本,
依题意得：
①-②得：7a-7b=2177,
∴a-b=311,
即甲种书籍比乙种书籍多买了311本.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用,难度较大,设三个未知数并整理方程是解题关键. 16．1
【解析】
试题分析：根据非负数的性质，可得二元一次方程组，解方程组可得，故x+y=-1+2=1.
故答案为：1.
解析：1
【解析】
试题分析：根据非负数的性质，可得二元一次方程组30{20
x y x y -+=+=，解方程组可得12
x y =-⎧⎨=⎩，故x+y=-1+2=1. 故答案为：1.
17．90
【分析】
首先可设道路一侧植树棵树为x 棵，根据时间的等量关系列出方程求解；实际在植树时，可设甲在左侧植树的时长为y ，根据时间的等量关系列出方程求解；最后进一步求得丁植树的时长，从而可求得甲比丁
解析：90
【分析】
首先可设道路一侧植树棵树为x 棵，根据时间的等量关系列出方程求解；实际在植树时，可设甲在左侧植树的时长为y ，根据时间的等量关系列出方程求解；最后进一步求得丁植树的时长，从而可求得甲比丁少植树的棵树．
【详解】
解：设道路一侧植树棵数为x 棵，则
78x
+＝2+102610
x -⨯+，
解得x ＝180，
实际在植树时，设甲在左侧植树的时长为y ，则
()18061010
y
-+﹣5＝()18078678y -+++， 解得y ＝5， 则丁植树的时长为1805610
-⨯＝15， 所以甲比丁少植树15×10﹣（15﹣5）×6＝90（棵）．
故答案为：90．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是直接求解两人植树棵树较困难时，可通过计算两人的植树时间进行比较．
18．【分析】
可设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙
解析：【分析】
可设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，列出方程即可求解．
【详解】
解：设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，依题意有 ()432x y z x y x y y y z z z x y ++=⎧⎨-+-=+-=+--⎩
， 解得19812688x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
．
故甲堆原来有198个苹果．
故答案为：198．
【点睛】
考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
19．【分析】
根据方程组解的定义，把x ＝5，y ＝10代入即可得出a1，a2，c1，c2的关系，再代入计算即可．
【详解】
解：∵方程组
∵解为：x ＝5，y ＝10，
∴，
∴
∵，
∴，
①−②，得3a
解析：25x y ⎧⎨⎩
＝＝ 【分析】
根据方程组解的定义，把x ＝5，y ＝10代入即可得出a 1，a 2，c 1，c 2的关系，再代入计算即可．
【详解】
解：∵方程组112
2==a x y c a x y c +⎧⎨+⎩ ∵解为：x ＝5，y ＝10，
∴112
2510=510=a c a c +⎧⎨+⎩， ∴()12125a a c c -=-
∵1112
2232=32=a x y a c a x y a c ++⎧⎨++⎩， ∴112
232=61032=610a x y a a x y a ++⎧⎨++⎩①②， ①−②，得3a 1x−3a 2x ＝6a 1−6a 2，
∴x ＝2，
把x ＝2代入①得，y ＝5，
∴方程组1112
2232=32a x y a c a x y a c ++⎧⎨+=+⎩的解是=2=5x y ⎧⎨⎩， 故答案为：=2=5x y ⎧⎨⎩
． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，掌握方程组的解法是解题的关键．
20．5
【分析】
设A 饮料a 千克，B 饮料b 千克，C 饮料c 千克，D 饮料d 千克，根据“苹果的总成本为元，并且梨的总成本为元”列出方程组，在解方程组的时候注意整体
思想的应用，进而可得答案．
【详解】
解：设A
解析：5
【分析】
设A 饮料a 千克，B 饮料b 千克，C 饮料c 千克，D 饮料d 千克，根据“苹果的总成本为100元，并且梨的总成本为126元”列出方程组，在解方程组的时候注意整体思想的应用，进而可得答案．
【详解】
解：设A 饮料a 千克，B 饮料b 千克，C 饮料c 千克，D 饮料d 千克， 根据题意，得：100223221263396 1.2a b c d a b c d ⎧+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩
， 整理得：2()(32)50()(32)35a b c d a b c d +++=⎧⎨+++=⎩
， 解得：153220a b c d +=⎧⎨+=⎩
， ∴3.5(64) 3.5(15202)192.5a b c d +++=⨯+⨯=，
故答案为：192.5．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，解方程组时注意整体思想的应用是解决本题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）a 和b 的值分别为2，5．
【分析】
（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k 的值即可；
（2）根据加减消元法的过程确定出a 与b 的值即可．
【详解】
解：（1）选择甲，3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩
①②， ①×3﹣②×2得：5m ＝21k ﹣8，
解得：m ＝2185
k -， ②×3﹣①×2得：5n ＝2﹣14k ，
解得：n ＝2145
k -，
代入m+n ＝3得：
21821455
k k --+＝3， 去分母得：21k ﹣8+2﹣14k ＝15，
移项合并得：7k ＝21，
解得：k ＝3；
选择乙， 3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩
①②， ①+②得：5m+5n ＝7k ﹣6，
解得：m+n ＝7-65
k ， 代入m+n ＝3得：
7-65
k ＝3， 去分母得：7k ﹣6＝15，
解得：k ＝3；
选择丙， 联立得：3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩①②
， ①×3﹣②得：m ＝11，
把m ＝11代入①得：n ＝﹣8，
代入3m+2n ＝7k ﹣4得：33﹣16＝7k ﹣4，
解得：k ＝3；
（2）根据题意得：1327
a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：52
b a =⎧⎨=⎩， 检验符合题意，
则a 和b 的值分别为2，5．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．（1）(6,0)A ，(0,1)B ，(4,1)C ；（2）见解析．
【分析】
（1）令26x y +=中的0y = ，求出相应的x 的值，即可得到A 的坐标，将方程40x y -=和方程26x y +=联立成方程组，解方程组即可得到C 的坐标，进而可得到B 的坐标；
（2）分别利用梯形的面积公式表示出四边形MNAC 的面积与四边形MNOB 的面积，然后
根据t 的范围，分情况讨论即可．
【详解】
（1）令0y =，则206x +⨯=，解得6x =，
(6,0)A ∴．
4026x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得41x y =⎧⎨=⎩
(4,1)C ∴．
//BC x 轴，
∴点B 的纵坐标与点C 的纵坐标相同，
(0,1)B ∴ ；
（2）(6,0)A ，(0,1)B ，(4,1)C ，
6,4OA BC ∴==．
∵点M 从点C 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点N 从点O 以每秒1.5个单位长度的速度向右运动，
, 1.5MC t ON t ∴==，
4,6 1.5BM t NA t ∴=-=-，
11()(4 1.5)4822
MNOB S BM ON OB t t t ∴=+⋅=⨯-+⨯=+四边形， 11()(6 1.5)41222
MNAC S MC NA OB t t t =+⋅=⨯+-⨯=-+四边形． 当812t t +>-+时，即2t >时，MNOB MNAC S S >四边形四边形；
当812t t +=-+时，即2t =时，MNOB MNAC S S =四边形四边形；
当812t t +<-+时，即2t <时，MNOB MNAC S S <四边形四边形．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程及方程组的应用，数形结合并分情况讨论是解题的关键．
23．（1）购买一等票为 195m ； 购买二等票为162m ；（2）210；（3）180，193．
【分析】
（1）求出教师和家长的总人数，根据一等票和二等票两种情况求出代数式．
（2）设参加社会实践的老师有m 人，学生有n 人，则学生家长有2m 人，根据若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元，若都买二等座动车票（学生全部按表中的“学生票二等座”购买），则共需8820元，可求出解．
（3）由（2）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，所以买学生票共180张，有（x ﹣180）名大人买二等座动车票，（210﹣x ）名大人买一等座动车票，根据票的总费用不低于9000元，可列不等式求解．
【详解】
解：（1）购买一等票为：65•3m ＝195m ；
购买二等票为：54•3m ＝162m ，
（2）设参加社会实践的老师有m 人，学生有n 人，则学生家长有2m 人，依题意得： 1956513650{543408820m n m n +=⨯+=，解得：10{180
m n ==， 则2m ＝20，总人数为：10+20+180＝210（人）
经检验，符合题意；
答：参加活动的总人数为210人．
（3）由（2）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，所以买学生票共180张，有（x ﹣180）名大人买二等座动车票，（210﹣x ）名大人买一等座动车票． ∴购买动车票的总费用＝40×180+54（x ﹣180）+65（210﹣x ）＝﹣11x +11130． 依题意，得：﹣11x +11130≥9000… 解得：7193
11
x ≤， ∵x 为整数，
∴x 的最大值是193.
【点睛】
本题考查理解题意的能力，关键是根据买一等票和二等票的价格做为等量关系求出人数，然后根据实际买票的总费用列出不等式求出解． 24．（1）50130αβ︒
︒⎧∠=⎨∠=⎩
；（2）//AB CD ，理由详见解析；（3）40° 【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法，通过解二元一次方程组可求出∠a 和β∠的度数；
（2）利用求得的∠a 和β∠的度数可得到180αβ∠+∠=︒，于是根据平行线的判定可判断AB ∥EF ，然后利用平行的传递性可得到AB ∥CD ；
（3）先根据垂直的定义得到90CAE ∠=︒，再根据平行线的性质计算C ∠的度数.
【详解】
解（1）解方程组223080αββα︒︒⎧+=⎨∠-∠=⎩
①②， ①-②得：3150α∠=︒ ，解得：50α∠=︒
把50α∠=︒代入②得：5080β∠-︒=︒
解得：130β∠=︒；
（2）//AB CD ，
理由：∵50α∠=︒，130β∠=︒，
180αβ︒∴∠+∠=，
//AB EF ∴(同旁内角互补，两直线平行)，
又 CD//EF ，
//AB CD ∴；
（3）AC AE ⊥，
90CAE ︒∴∠=
//AB CD
180C CAB ︒∴∠+∠=
180905040C ︒∴∠=︒-︒-︒=.
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定、解二元一次方程组，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题关键.
25．（1）19a ；（2）315；（3）23
. 【解析】
【分析】
（1）首先根据题意，求得S △A1BC =2S △ABC ，同理可求得S △A1B1C =2S △A1BC ，依此得到S △A1B1C1=19S △ABC ，则可求得面积S 1的值；
（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC 的面积；
（3）设S △BPF =m ，S △APE =n ，依题意，得S △APF =S △APC =m ，S △BPC =S △BPF =m ．得出
23
APE BPF S S ∆∆=，从而求解．
【详解】
解：（1）连接A 1C ， ∵B 1C=2BC ，A 1B=2AB ，
∴122BCA ABC S
S a ==,122BCA ABC S S a ==,1112A B C BCA S S =， ∴1144A B C ABC S
S a ==， ∴1166A B B ABC S S a ==，
同理可得出：11116A AC CB C S S a ==，
∴S 1=6a+6a+6a+a=19a ；
故答案为：19a ；
（2）过点C 作CG BE ⊥于点G ，
设BPF S x ∆=，APE S y ∆=，
1·702BPC S BP CG ∆==；1·352PCE
S PE CG ∆==， ∴1·7022135·2
BPC
PCE BP CG S S PE CG ∆∆===． ∴2BP EP
=，即2BP EP =． 同理，APB APE S BP S PE
∆∆=． 2APB APE S S ∆∆∴=．
842x y ∴+=．①
8440APB BPD S AP x S PD ∆∆+==，3530
APC PCD S AP y S PD ∆∆+==， ∴84354030
x y ++=．② 由①②，得5670x y =⎧⎨=⎩
， 315ABC S ∆∴=．
（3）设BPF S m ∆=，APE S n ∆=，如图所示．
依题意，得APF APC S S m ∆∆==，BPC BPF S S m ∆∆==．
PCE S m n ∆∴=-．
BPC APB APE PCE S S BP S S PE
∆∆∆∆==， ∴2m m n m n
=-． 2()m m n mn ∴-=，
0m ≠，
22m n n ∴-=． ∴23
n m =． ∴23
APE BPF S S ∆∆=． 【点睛】
此题考查了三角形面积之间的关系．（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．
26．（1）3018a b =⎧⎨=⎩
；（2）有 4 种方案：3 台甲种机器，7 台乙种机器；2 台甲种机器，8 台乙种机器；1 台甲种机器，9 台乙种机器；
10 台乙种机器. （3）最省钱的方案是购买 2 台甲种机器，8 台乙种机器.
【解析】
【分析】
（1）根据购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元这一条件建立一元二次方程组求解即可,（2）设买了x 台甲种机器,根据该公司购买新机器的资金不超过216万元，建立一次不等式求解即可,（3）将两种机器生产的产量相加,使总产量不低于1890吨，求出x 的取值范围,再分别求出对应的成本即可解题.
【详解】
（1）解：由题意得12236a b a b -=⎧⎨-=⎩
, 解得，3018a b =⎧⎨=⎩
； （2）解：设买了x 台甲种机器
由题意得:30＋18(10－x)≤216
解得：x ≤3
∵x 为非负整数
∴x ＝0、1、2、3
∴有 4 种方案：
3 台甲种机器，7 台乙种机器；。