2020高中数学学考冲刺辅导第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
项目一知识概要
1．命题的概念
可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
4．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
项目二例题精讲
任务一四种命题及真假判断问题
【例1】(1) 命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( ) A．若a，b，c成等比数列，则b2≠ac B．若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列
(2)已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则
下列结论正确的是
( )
A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题
B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题
C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题
D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题
分析(1) 注重对四种命题的理解和认识；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真．
答案(1)D (2)D
解析(1) 逆否命题为否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论构成的命题，故选D.
(2)命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命
题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．
思维升华(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，
当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例．
任务二充要条件的判定问题
【例2】(1)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( )
A．x＝－1
2
B．x＝－1 C．x＝5 D．x＝0
(2)设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的
( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案(1)D (2)C
解析 (1)∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x . 又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.
(2)因为A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，
B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，
所以A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2} ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．
即A ∪B ＝C .故“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件. 评注 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；
(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．
任务三 充分条件与必要条件的应用问题 【例3】 (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2x ，x >0，－2x
＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条
件是
( )
A ．a <0
B ．0<a <12 C.1
2
<a <1
D ．a ≤0或a >1
(2)设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是
( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
12，＋∞
D ．(－∞，0)∪
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞ 分析 (1)根据图像交点先求得f (x )有一个零点的充要条件，再利用“以小
推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系． 答案 (1)A (2)A
解析 (1)因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数
y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.
观察选项，根据集合间关系{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，
∴答案选A.
(2)p ：|4x －3|≤1⇒－1≤4x －3≤1， ∴1
2
≤x ≤1； q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒(x －a )[x －(a ＋1)]≤0， ∴a ≤x ≤a ＋1.
由题意知p 是q 的充分不必要条件，故有⎩⎨
⎧
a ≤12，
a ＋1>1，
或⎩⎨⎧
a <12a ＋1≥1
，
则0≤a ≤1
2
.
评注 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．
任务四 等价转化思想在充要条件中的应用问题
【例4】已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[3
4
，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．p ：x ∈
A ，q ：x ∈
B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 分析 (1)先对集合进行化简；
(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系；
(3)利用集合间的关系列出关于m 的不等式，求出实数m 的范围． 解析 化简集合A ，由y ＝x 2
－32x ＋1. 配方，得y ＝
⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －342＋716
.
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
34，2，∴y min ＝716，y max ＝2.
∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
716，2. ∴A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
y ⎪⎪⎪
716
≤y ≤2
. 化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}． ∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .
∴1－m 2
≤716，解得m ≥34，或m ≤－3
4
.
∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34，＋∞.
评注 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏
的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关
系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．
项目三 感悟提高
1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定． 2．充要关系的几种判断方法
(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．
(2)等价法：即利用A ⇒B 与非B ⇒非A ；B ⇒A 与非A ⇒非B ；A ⇔B 与非B ⇔非
A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，
B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件． 3．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．
4． 判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改
写成“若p 则q ”的形式．
5． 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分
而不必要条件是q ”等语言．
项目四 冲刺必练
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟) 一、选择题
1． 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是
( )
A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案 B
解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 2． 下列命题中为真命题的是
( )
A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题
B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题
C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A
解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝
⎩⎨
⎧
y y ≥0－y y <0
，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如
x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.
3． 已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的
( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析因为M N，所以a∈M⇒a∈N，反之，则不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件．故选B.
4．与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是
( )
A．若a，b，c成等比数列，则b2≠ac
B．若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列
答案 D
解析因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．5．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析当m＝－3时，a＝(9，－9)，b＝(1，－1)，则a＝9b，
所以a∥b，即“m＝－3”⇒“a∥b”；
当a∥b时，m2＝9，得m＝±3，
所以不能推得m＝－3，即“m＝－3”D⇐/“a∥b”．
故“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．
6．已知集合M＝{x|1<x<a}，N＝{x|1<x<3}，则“a＝3”是“M⊆N”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析a＝3⇒M⊆N；反之，若M⊆N，则1<a≤3.所以“a＝3”是“M⊆N”的
充分不必要条件． 二、填空题
7． 给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图像不过第四象限，
在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．
答案 1个
解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题； 它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限， 则函数y ＝f (x )是幂函数”，
显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．
因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个． 8． 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝________．
答案 －2
解析 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图像关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．
所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 9． 若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
答案 [－3,0]
解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立； 当a ≠0时，得⎩⎨⎧
a <0Δ＝4a 2
＋12a ≤0，
解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.
10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正
确命题的个数是________． 答案 2
解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 二、解答题
11．“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2,1)与向量b ＝(2,2－x )共线”的什么条件？
答案 充分不必要条件
解析 若a ＝(x ＋2,1)与b ＝(2,2－x )共线， 则有(x ＋2)(2－x )＝2，解得x ＝±2，
所以“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2,1)与向量b ＝(2,2－x )共线”的充分不必要条件．
12．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
答案 [0,2]
解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}
{x |x <m －1或x >m ＋1}，
又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}， ∴⎩⎨
⎧
－1≤m －1m ＋1<3
或⎩⎨
⎧
－1<m －1m ＋1≤3
，∴0≤m ≤2.
B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)
1． 若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，满足A ∩B ＝∅；
反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．
2．“λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N +)是递增数列”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N +)为递增数列， 则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N +都成立， 于是可得3>2λ，即λ<32
.
注意到由λ<1可得λ<3
2；
但反过来，由λ<3
2
不能得到λ<1，
故“λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N +)是递增数列”的充分不必要条件． 3．设x ＝a ＋2b 3，y ＝2a ＋b
3，已知p ：a ≠b ，q ：ab<xy ，则p 是q 成立的________
条件．
答案 充要
解析 xy ＝（a ＋2b ）（2a ＋b ）9＝2（a 2＋b 2）＋5ab 9≥4ab ＋5ab
9＝ab ，其中等
号成立的充要条件是a ＝b ，因此a ≠b 是ab <xy 的充要条件．
4． “m <1
4
”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．
答案 充分不必要
解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0， 即m ≤14，∵m <14⇒m ≤1
4
，反之不成立．
故“m <1
4”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．
5． 问“a ＝－1”是“过点P(2，1)有且只有一条直线与圆R ：x 2＋y 2＋2ax ＋ay
＋2a 2＋a －1＝0相切”的什么条件？ 答案 充要
解析 将圆R 的方程配方得(x ＋a )2＋(y ＋a 2)2＝1－a －3
4
a 2，当a ＝－1时，圆
心R 的坐标为(1，12)，半径r ＝5
2
，而|PR |＝
（2－1）2＋（1－12）2＝
5
2
＝r ，即点P 在圆上，则过点P 有且只有一条直线和圆R 相切；当过点P 有且只有一条直线和圆相切时，点P 在圆上，将点P 的坐标代入圆的方程得2(a 2
＋3a ＋2)＝0，故a ＝－1或a ＝－2.当a ＝－2时，r 2
＝1－a －34
a 2
＝0，不符
合题意，舍去．故“a ＝－1”是“过点P (2，1)有且只有一条直线和圆R ：x 2
＋y2＋2ax＋ay＋2a2＋a－1＝0相切”的充要条件．
6．下列四个结论中：
①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．
正确的命题有哪几个？请说明理由．
答案①④
解析由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．
由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．
由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；
反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，
所以③不正确，④正确．。