2021-2022学年寒假高二数学选择性必修一第1章基础卷(新人教)

2021-2022学年寒假高二数学选择性必修一第1章测试卷
姓名：___________班级：___________学号：___________
试卷说明：
1.试题范围：选择性必修一第1章；建议时长：60分钟2．答题前填写好自己的姓名、班级、学号等信息3．请将答案正确填写到相应的答题区域
一、选择题：本题共8小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在空间直角坐标系中，(1AB = ，2，3)，(4AC = ，5，6)，则向量(BC =
)A ．(3-，3-，3)
-B ．(3，3，3)C ．(5，7，9)D ．(4，10，18)
2．在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB ，}OC
是空间的一个基底，则下列命题不正确的是(
)
A ．O ，A ，
B ，
C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点不共面
D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线
3．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n
，能使//l α的是(
)A ．(1a = ，0，0)，(2n =- ，0，0)B ．(1a = ，3，5)，(1n = ，0，1)
C ．(0a = ，2，1)，(1n =- ，0，1)-
D ．(1a = ，1-，3)，(0n = ，3，1)
4．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(3A ，1-，0)，向量(4,10,6)AB =-
，则线段AB 的中点坐标为(
)
A ．(1，6-，3)
B ．(1-，6，3)-
C ．(5，4，3)
-D ．(2，5，3)
-5．已知(2a = ，1-，2)，(b x = ，y ，6)，a
与b 共线，则(x y +=)
A ．5
B ．6
C ．3
D ．9
6．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的
余弦值为()
A ．
1
5B C D ．
2
7．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于(
)A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
8．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成大小为60︒的二面角A BD C --，点P 为线段AC 上的一动点，下列结论正确的是(
)
A ．异面直线AC 与BD 所成的角为60︒
B ．ACD ∆是等边三角形
C ．BDP ∆
D ．四面体ABCD 的外接球的体积为
43
π
二、填空题：本题共2小题。

9．已知(2,1,2)a =- ，(2,2,1)b = ，则a
在b 上的投影向量为（用坐标表示）．10．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱BC 的中点．当
平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M =
．
三、解答题：本题共2小题。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．已知空间三点(0A ，2，3)，(2B -，1，6)，(1C ，1-，5)．
（1）若点D 在直线AC 上，且BD AC ⊥
，求点D 的坐标；（2）求以BA ，BC 为邻边的平行四边形的面积．
12．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，2
43
AE EB AF FD ====．沿直线EF 将AEF ∆翻折成△A EF '，使平面A EF '⊥平面BEF ．（1）求二面角A FD C '--的余弦值；
（2）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A '重合，求线段FM 的长．
2021-2022学年寒假高二数学选择性必修一第1章测试卷
姓名：___________班级：___________学号：___________
试卷说明：
1.试题范围：选择性必修一第1章；建议时长：60分钟2．答题前填写好自己的姓名、班级、学号等信息3．请将答案正确填写到相应的答题区域
一、选择题：本题共8小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在空间直角坐标系中，(1AB = ，2，3)，(4AC = ，5，6)，则向量(BC =
)A ．(3-，3-，3)-B ．(3，3，3)C ．(5，7，9)D ．(4，10，18)
【答案】B
【解析】因为(1AB = ，2，3)，(4AC =
，5，6)，
所以向量(3BC AC AB =-=
，3，3)．
故选：B ．2．在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB
，}OC 是空间的一个基底，则下列命题不正
确的是(
)
A ．O ，A ，
B ，
C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点不共面
D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线【答案】B
【解析】因为{,,}OA OB OC
为基底，
所以非零向量,,OA OB OC
不在同一平面内，
即O ，A ，B ，C 四点不共面，
所以A 、C 、D 选项说法正确，B 错误．故选：B ．
3．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n
，能使//l α的是(
)A ．(1a = ，0，0)，(2n =- ，0，0)B ．(1a = ，3，5)，(1n = ，0，1)
C ．(0a = ，2，1)，(1n =- ，0，1)-
D ．(1a = ，1-，3)，(0n = ，3，1)
【答案】D
【解析】解：若//l α，则0a n ⋅=
．
而A 中2a n ⋅=-
，
B 中156a n ⋅=+=
，
C 中1a n ⋅=- ，只有
D 选项中330a n ⋅=-+=
．故选：D ．
4．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(3A ，1-，0)，向量(4,10,6)AB =-
，则线段AB 的中
点坐标为()
A ．(1，6-，3)
B ．(1-，6，3)
-C ．(5，4，3)
-D ．(2，5，3)
-【答案】C
【解析】空间直角坐标系Oxyz 中，点(3A ，1-，0)，所以(3OA =
，1-，0)，
又向量(4,10,6)AB =-
，且OB OA AB -= ，
所以(7OB OA AB =+=
，9，6)-，即点(7B ，9，6)-；
所以线段AB 的中点坐标为37(
2+，192-+，06
)2
-，即(5，4，3)-．故选：C ．
5．已知(2a = ，1-，2)，(b x = ，y ，6)，a
与b 共线，则(x y +=)
A ．5
B ．6
C ．3
D ．9
【答案】C
【解析】因为(2a = ，1-，2)，(b x = ，y ，6)，a
与b 共线，
则存在实数k ，使得ka b =
，
则有262x k y k k =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
，解得3k =，6x =，3y =-，
所以3x y +=．故选：C ．
6．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为(
)
A ．
15
B
．
6
C
．
5
D
．
2
【答案】C
【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，
1AA =，
(1A ∴，0，0)，1(0D ，0
，(0D ，0，0)，1(1B ，1
，1(1AD =- ，0
，，1(1DB =
，1
，
设异面直线1AD 与1DB 所成角为θ，
则1111||cos ||||AD DB AD DB θ⋅===
⋅ ，∴异面直线1AD 与1DB
所成角的余弦值为
5
．故选：C ．
7．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于()
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
【答案】C
【解析】设正四棱锥V ABCD -的底面边长为a ，斜高为VE h =，VEO ∠为侧面与底面所成锐二面角的平面角．
211112224
OBC S BC EO a a a ∆=
⨯⨯=⨯⨯=侧面中111
222VBC S BC VE a h ah
∆=⨯=⨯⨯=若正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，得
21
2214
ah
a =，所以1h a =，则侧面与底面所成的角为：VEO ∠，
112cos 2
a
VEO h ∠==，60VEO ∴∠=︒．故选：C ．
8．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成大小为60︒的二面角A BD C --，点P 为线段
AC 上的一动点，下列结论正确的是(
)
A ．异面直线AC 与BD 所成的角为60︒
B ．ACD ∆是等边三角形
C ．BDP ∆
D ．四面体ABCD 的外接球的体积为43
π【答案】C
【解析】如图所示，设M 为BD 的中点，则AM MD =，
对于A ，AM BD ⊥ ，CM BD ⊥，AM CM M = ，AM ，CM ⊂平面AMC ，
BD ∴⊥平面AMC ，
又AC ⊂平面AMC ，
BD AC ∴⊥，故选项A 错误；
对于B ，AM BD ⊥ ，CM BD ⊥，
AMC ∴∠即为二面角A BD C --的平面角，则60AMC ∠=︒，AM MC =，AMC ∴∆为等边三角形，
∴AC MC ==，
而2AD CD ==，由此ACD ∆不是等边三角形，故选项B 错误；对于C ，BD ⊥ 平面AMC ，
BD PM ∴⊥，
∴11
22
BDP S BD PM PM ∆=⋅⋅=⨯=，
而当PM AC ⊥时，PM 最小，故()cos3022
min PM AM =⋅︒==，于是
()BDP min S ∆==，故选项C 正确；
对于D ，由于MA MB MD MC ====，故M 是外接球的球心，且半径为r =∴3482
33V r π==
，故选项D 错误．故选：C ．
二、填空题：本题共2小题。

9．已知(2,1,2)a =- ，(2,2,1)b = ，则a
在b 上的投影向量为
（用坐标表示）．
【答案】884
(,,)
999
【解析】 (2,1,2)a =-
，(2,2,1)b = ，
∴22(1)2214a b ⋅=⨯+-⨯+⨯=
，||3b == ，
设a
在b 上的投影向量为884(,,)999||||a b b m b b ⋅=⋅= ．
故答案为：884
(,,)999
．
10．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱BC 的中点．当平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M =
．
【答案】
85
【解析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设MA k =，则1(0D ，0，4)，(0C ，4，0)，(2N ，4，0)，(4M ，0，)k ，
所以11(4,0,4),(2,4,4)D M k D N =-=-
，
设平面1D MN 的法向量为(,,)n x y z =
，
则有1
100
n D M n D N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即4(4)02440x k z x y z +-=⎧⎨+-=⎩，
令8z =，则82x k =-，4y k =+，故(82,4,8)n k k =-+
，
平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =
，
设平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角为α，
则||cos ||||n m n m α⋅===
，锐二面角α越小，则cos α越大，所以求2524144k k -+的最小值，令2212576
()5241445()55
f k k k k =-+=-+
，所以当125k =
时，α有最小值，此时1128
4455A M k =-=-=．故答案为：8
5
．
三、解答题：本题共2小题。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．已知空间三点(0A ，2，3)，(2B -，1，6)，(1C ，1-，5)．
（1）若点D 在直线AC 上，且BD AC ⊥
，求点D 的坐标；
（2）求以BA ，BC 为邻边的平行四边形的面积．
【答案】（1）11
(,,4)22D ；（2
）【解析】（1）(1,3,2)AC =- ，(1,3,2)AD AC λλ==-
，(1,3,2),(1,3,2)(,23,32)OD OA OD OA λλλλλ-=-=+-=-+
，(,23,32)(2,1,6)(2,13,23)BD OD OB λλλλλλ=-=-+--=+--
，(1,3,2)(2,13,23)239461470AC BD λλλλλλλ=-+--=+-++-=-=
，
解得：12λ=，故1111
(,,4),(,,4)2222
OD D = ．
（2
）(2,1,3),(3,2,1),|||BA BC BA BC =-=--==== ，
231(2)(3)(1)7BA BC =⨯+⨯-+-⨯-=
，1
cos cos ,2||||BA BC B BA BC BA BC =〈〉===
，sin 2B =
，2
S ==，所以以BA ，BC
为邻边得平行四边形的面积为．
12．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，2
43
AE EB AF FD ====．沿直线EF 将AEF ∆翻折成△A EF '，使平面A EF '⊥平面BEF ．（1）求二面角A FD C '--的余弦值；
（2）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A '重合，求线段FM
的长．
【答案】（1
；（2）21
4
FM =【解析】（1）取线段EF 的中点H ，连接A H '，因为A E A F '='及H 是EF 的中点，所以A H EF '⊥，又因为平面A EF '⊥平面BEF ．如图建立空间直角坐标系Axyz
则(2A '，2
，，(10C ，8，0)，
(4F ，0，0)，(10D ，0，0)．故(2FA '=- ，2
，，(6FD =
，0，0)．设(n x =
，y ，)z 为平面A FD '
的一个法向量，220
60x y x ⎧-++=⎪⎨
=⎪⎩
，
取z =
，则(0,n =-
．
又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =
，
故cos ,||||n m n m n m ⋅=⋅
．
.（2）设FM a =，则(4M a +，0，0)，
因为翻折后，C 与A '重合，所以CM A M ='，
故，222222(6)80(2)2a a -++=--++，得214
a =，经检验，此时点N 在线段BC 上，所以214
FM =
．。