第一章《解三角形》单元测验
人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案
必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。
九年级数学第一章《解直角三角形》测试卷(含答案)
第一章《解直角三角形》测试卷班级 姓名 得分一、选择题（每小题4分;共40分）1．在Rt △ABC 中;如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的51;那么锐角A 的各个三角函数值（ ） A ．都缩小51B ．都不变C ．都扩大5倍D ．无法确定 ∠A 是锐角;且sinA=32;那么∠A 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° △ABC 中;∠C=90°;tanA=43;BC=8;则AC 等于（ ） A ．6 B ．323C ．10D ．12 4. 如图所示;为了加快施工进度;要在小山的另一边同时施工;从AC 上的一点B;取∠ABD=1450; BD=500m;∠D=550; 要A 、C 、E 成一直线;那么开挖点E 离点D 的距离是 ( )A. 500sin550mB. 500cos550mC. 500tan550mD. 500cot550m α>30°时;则cos α的值是（ ） A ．大于12 B ．小于12C ．大于32D ．小于326. 身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛;三人放出风筝的线长、线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的）;则三人所放的风筝中 ( )同学甲 乙 丙 放出风筝线长（m ） 10010090线与地面夹角040 015 060A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低 D. 丙的最低7．A 、B 、C 是△ABC 的三个内角;则2sinBA +等于（ ） A ．2cos CB ．2sinC C ．C cosD ．2cos BA +8．在Rt △ABC 中;∠C ＝900;32cos =B ;则a ∶b ∶c 为（ ）A ．2∶5∶3B ．2∶5∶3C ．2∶3∶13D ．1∶2∶3 9．如图;小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上;量得CD =8米;BC =20米;CD 与地面成30º角;且此时测得1米杆的影长为2米;则电线杆的高度为( )A ．9米B ．28米C ．()73+米 D ．()3214+米 Rt △ABC 中;∠C ＝900;∠A 、∠B 的对边分别是a 、b ;且满足022=--b ab a ;则tanA 等于（ ）A 、1B 、251+ C 、251- D 、251± 二、填空题（每题5分;共30分） 1. 在Rt △ABC 中;∠ACB=900;SinB=27则cosB . 2．旗杆的上一段BC 被风吹断;顶端着地与地面成300角;顶端着地处B 与旗杆底端相距4米;则原旗杆高为_________米．3．在坡度为1:2的斜坡上;某人前进了100米;则他所在的位置比原来升高了 米． 4．已知△ABC 中;AB ＝24;∠B ＝450;∠C ＝600;AH ⊥BC 于H ;则CH ＝ ．5. 平行四边形ABCD 中;两邻边长分别为4cm 和6cm;它们的夹角为600;则较短的对角线的长为 cm 。
人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1
（1）求 BC 边长； （2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （ ）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（ ）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6
九年级数学(下)第一章解直角三角形测验卷(含答案)
第一章 解直角三角形（一）班级 姓名 学号一、选择题（每小题3分，共30分。
）1.（2013·天津中考）tan 60︒ 的值等于（ ）A.1B.2C.3D.2 2.（2013·重庆中考）计算6tan 452cos 60︒-︒ 的结果是( ) A.43 B.4C.53D.53.（2013·浙江温州中考）如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒== 则sin A 的值是( ) A.34B.34C.35D.454.在ABC △中，90C =︒∠，如果2,1AB BC ==，那么sin A 的值是( ) A.21 B.55C.33 D.23 5.在ABC △中，90C =︒∠，5,3,AB BC ==则sin B = ( )A. 34B. 53 C. 43 D. 456.已知在Rt ABC △中，390sin 5C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A.43 B.45C.54D.347.如图，一个小球由地面沿着坡度12∶i =的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25 mC.45 mD.310m 8.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ ）阶段性学业评价试卷九年级(下)数学 第7题图第3题图ACBA. 5B.37C. 7D. 389.如图，已知：45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是( ) A.sin cos A A = B.sin cos A>A C.sin tan A>AD.sin cos A<A10.如图，在菱形ABCD 中，⊥DE AB ，3cos 5A =，2BE =，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．12B ．2C ．52 D ．55二、填空题（每题3分，共24分）11.（2013·广东中考）在Rt △ABC 中， 90,3,4=︒==ABC AB BC ∠，则sin A =______. 12.（2013·陕西中考）比较大小：8cos 31︒35.（填“＞”“=”或“＜”）13.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，31732.≈）14.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________．15.大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为 ．16.如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_ ．17.如图，在四边形ABCD 中，609069=︒==︒==A B D BC ,CD ∠,∠∠,,则AB =__________. 18.如图，在△ABC 中，已知324530,∠,∠AB B C ==︒=︒，则AC =________． 三、解答题 （本题共有7小题，共46分）ABC第9题图ACB第18题19．（5分）计算：(1)()42460sin 45cos 22+- ； （2）2330tan 3)2(0-+--.20．（5分）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若12sin 13A =,求cosA, sinB, cosB.21．（6分）等腰梯形的一个底角的余弦值是223，腰长是6，上底是22求下底及面积22．（6分）某工程队修建一条高速公路,在某座山处要打通一条东西走向的隧道AB(如图),为了预算造价,应测出隧道AB 的长,为此,在A 的正南方向1500米的C 处,测得∠ACB=620,求隧道AB 的长.(精确到1米,供选用的数:sin620=0.8829,cos620=0.4695,tan620=1.881,cot620=0.5317)23．（6分）已知tanA=2，求AA AA cos 5sin 4cos sin 2+-的值。
第一章三角形单元测试卷（含解析）
〖鲁教版五四制七年级上数学单元测试卷〗第一章《三角形》班级：姓名：得分：（时间90分钟满分100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分,满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.1.如图三角形的个数为() A.4 B. 5 C. 6 D.72．（2016·湖北鄂州）如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（）A. 50°B. 40°C. 45°D. 25°第1题第2题3. （2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是()A．B．C．D．4. （2016•岳阳）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cmC．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm5.若一个三角形三个内角的度数比为1:3:5，则这个三角形中最大内角的度数为()A. 60ºB. 90ºC. 100ºD.110º6.（2016·山东聊城）如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为（）A．28°B．38°C．48°D．88°7. 根据下列条件，不能唯一画出△ABC 的是( )A. AB=12，BC=7，CA=8B. AB=20，BC=30，∠A=50ºC. AB=9， ∠A=60º ，AC=15D. ∠A=50º，∠B=40º，AB=238. （2015•绵阳）如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=( )A ． 118°B ． 119°C ． 120°D ． 121°9. 如图，A 点和B 点之间有一池塘，已知OB=OC ，AC=BD ，若能米尺测出CD=10米，就能知道AB 的距离，它根据( ) A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS10. （2015•宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD=CD ，AB=CB ，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论： ①AC ⊥BD ；②AO=CO=21AC ；③△ABD ≌△CBD ，其中正确的结论有（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分)11. （2015•江苏盐城）如图，在△ABC 与△ADC 中，已知AD=AB ，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC ≌△ADC ，只需再添加的一个条件可以是 ．12. 小明家的椅子坏了， 小明在学校学习了鲁教版五四制七上数学第一章《三角形》的知识后，正在家里帮爸爸妈妈修理椅子，请你告诉大家聪明的小明应用的数学原理： 。
解三角形练习题及答案
第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶ 7∶8，则最大角与最小角的和为() ．A． 90° B ． 120°C．135° D ． 150°2．在△ ABC 中，下列等式正确的是() ．A． a∶ b＝∠ A∶∠ B C． a∶ b＝sin B∶ sin A B．a∶ b＝ sin A∶ sin B D． asin A＝ bsin B3．若三角形的三个内角之比为1∶ 2∶ 3，则它们所对的边长之比为() ．A． 1∶ 2∶3B．1∶ 3 ∶ 2C． 1∶ 4∶9D． 1∶ 2 ∶ 34．在△ ABC 中， a＝ 5 ， b＝15 ，∠ A＝ 30°，则 c 等于 () ．A． 25 B ． 5C．2 5 或 5 D ． 10 或 5 5．已知△ ABC 中，∠ A＝ 60°， a＝ 6， b ＝ 4，那么满足条件的△ABC 的形状大小() ．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ ABC 中，若 a2＋ b2－ c2＜ 0，则△ ABC 是() ．A．锐角三角形 B ．直角三角形C．钝角三角形 D ．形状不能确定7．在△ ABC 中，若 b＝ 3 ， c＝ 3，∠ B＝ 30°，则 a＝() ．A． 3 B ． 2 3C． 3 或 23 D ． 28．在△ ABC 中， a，b， c 分别为∠ A，∠ B，∠ C 的对边．如果a，b， c 成等差数列，∠ B＝ 30°，△ ABC 的面积为3，那么 b＝ () ．213B ． 1＋ 323D ． 2＋ 3A．2C．29．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了 3 km ，结果他离出发点恰好 3 km，那么 x 的值是 () ．A ． 3B ． 2 3C ． 3 或 2 3D ． 310．有一电视塔，在其东南方 A 处看塔顶时仰角为45°，在其西南方 B 处看塔顶时仰角为 60°，若 AB ＝ 120 米，则电视塔的高度为 () ．A ． 60 3 米B ． 60 米C ．60 3 米或 60 米D ． 30 米二、填空题11．在△ ABC 中，∠ A ＝ 45°，∠ B ＝ 60°， a ＝10， b ＝ ．12．在△ ABC 中，∠ A ＝105°，∠ B ＝ 45°， c ＝ 2 ，则 b ＝ ．13．在△ ABC 中，∠ A ＝60°， a ＝ 3，则 a b c ＝．sin Bsin A sin C14．在△ ABC 中，若 a 2＋ b 2＜ c 2，且 sin C ＝3，则∠ C ＝．215．平行四边形 ABCD 中，AB ＝ 4 6 ，AC ＝ 4 3 ，∠ BAC ＝ 45°，那么 AD ＝ ．16．在△ ABC 中，若 sin A ∶sin B ∶ sin C ＝ 2∶3∶ 4，则最大角的余弦值＝ ．三、解答题17． 已知在△ ABC 中，∠ A ＝ 45°， a ＝ 2， c ＝ 6 ，解此三角形．18．在△ ABC 中，已知b＝ 3 ， c＝1，∠ B＝ 60°，求 a 和∠ A，∠ C．19．根据所给条件，判断△ABC 的形状．( 1) acos A＝ bcos B；( 2)a＝b＝c．cos A cos B cos C20．△ ABC 中，己知∠ A＞∠ B＞∠ C，且∠ A＝ 2∠ C， b＝ 4，a＋ c＝ 8，求 a， c 的长．第一章解三角形参考答案一、选择题1． B解析：设三边分别为5k ，7k ， 8k( k ＞0) ，中间角为，由 cos ＝ 25k 2＋64k 2－49k2＝ 1，得 ＝ 60°，2 5k 8k2∴最大角和最小角之和为 180°－60°＝ 120°．2． B 3． B 4． C 5． C 6． C 7． C 8． Ba ＋ c ＝2ba ＋ c ＝2b1ac sin 30 ＝3解析：依题可得：ac ＝62 2b 2＝( a ＋c)2 －2ac － 3ac222b ＝ a ＋c －2ac cos30代入后消去 a ，c ，得 b 2＝ 4＋ 2 3 ，∴ b ＝ 3 ＋ 1，故选 B ．9． C 10．A二、填空题11． 5 6 ． 12． 2．13． 2 3 ．解析：设a ＝b ＝c ＝ k ，则a ＋b ＋c ＝ k ＝ a ＝ 3 ＝ sin Asin Bsin A ＋sin B ＋sin C sin A sin 60sin C2 3 ．14．2．315． 4 3 ．16．－ 1．4三、解答题17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法 1：由正弦定理得sin C ＝6 sin 45°＝ 6 · 2 ＝ 3 ．22 2 2 ∵ csin A ＝ 6 ×2 ＝3 ， a ＝ 2， c ＝ 6， 3 ＜ 2＜ 6 ，2∴本题有二解，即∠ C ＝ 60°或∠ C ＝ 120°，∠ B ＝ 180°－60°－ 45°＝75°或∠ B ＝ 180°－ 120°－45°＝ 15°．故 b ＝a3 ＋ 1 或 b ＝ 3 －1，sin B ，所以 b ＝sin A∴ b ＝ 3 +1 ，∠ C ＝ 60°，∠ B ＝ 75°或 b ＝ 3 － 1，∠ C ＝ 120°，∠ B ＝15°．解法 2：由余弦定理得b 2＋ ( 6 ) 2－ 2 6 bcos 45°＝ 4，∴ b 2－ 2 3 b ＋ 2＝0，解得 b ＝3 ±1．又 ( 6 ) 2＝ b 2＋ 22－ 2× 2bcos C ，得 cos C ＝± 1 ，∠ C ＝60°或∠ C ＝ 120°，2所以∠ B ＝ 75°或∠ B ＝ 15°．∴ b ＝ 3 ＋ 1，∠ C ＝60°，∠ B ＝ 75°或 b ＝ 3 － 1，∠ C ＝ 120°，∠ B ＝15°．18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解．解：∵b ＝c ，sin B sin C∴ sin C ＝c sin B＝1sin 60 ＝ 1．b3 2∵ b ＞c ，∠ B ＝60°，∴∠ C ＜∠ B ，∠ C ＝ 30°，∴∠ A ＝ 90°．由勾股定理 a ＝ b 2＋c 2 ＝ 2，即 a ＝2，∠ A ＝ 90°，∠ C ＝30°．19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． ( 1) 解法 1：由余弦定理得b 2c 2 a 2a 2b 2c 22 24 2 2 4＝ 0，acos A ＝ bcos B a · () ＝ b ·(2ac)a c － a－ b c ＋ b 2bc∴ ( a 2－b 2)( c 2－ a 2－ b 2) ＝ 0，∴ a 2－ b 2＝0 或 c 2－ a 2－ b 2＝ 0，∴ a ＝b 或 c 2＝ a 2＋ b 2．∴△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法 2：由正弦定理得sin Acos A ＝ sin Bcos Bsin 2A ＝ sin 2B2∠A ＝ 2∠B 或 2∠ A ＝ － 2∠ B ，∠ A ，∠ B ∈( 0， )∠ A ＝∠ B 或∠ A ＋∠ B ＝， 2∴△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．( 2) 由正弦定理得 a ＝ 2Rsin A ， b ＝ 2Rsin B ， c ＝2Rsin C 代入已知等式，得2 Rsin A ＝ 2R sin B ＝ 2Rsin C ， cos A cos B cosC ∴sin A ＝ sin B ＝ sin C ， cos A cos B cos C即 tan A ＝ tan B ＝ tan C ．∵∠ A ，∠ B ，∠ C ∈ ( 0， π)， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ，∴△ ABC 为等边三角形．20．解析：利用正弦定理及∠ A ＝ 2∠ C 用 a ， c 的代数式表示 cos C ；再利用余弦定理，用 a ，c 的代数式表示 cos C ，这样可以建立 a ，c 的等量关系； 再由 a ＋ c ＝8，解方程组得 a ，c ．解：由正弦定理a＝c 及∠ A ＝ 2∠C ，得sin Csin Aa＝c ，即 a ＝ c ， sin 2C sin Csin C2sin C cosC∴ cos C ＝a． 2c由余弦定理cos C＝a2b2c2，2ab∵ b＝4， a＋ c＝ 8，∴ a＋c＝ 2b，a2＋( a＋c)2－c2＝ ( 5a－3c)( a＋c) ＝5a－3c，∴ cos C＝4(＋ ) 4 ( ＋ )4aa a c∴ a ＝ 5a－3c ，2c4a整理得 ( 2a－ 3c)( a－ c) ＝ 0，∵a≠c，∴ 2a＝ 3c．又∵ a＋ c＝ 8，∴a＝24， c＝16．55。
第一章 解直角三角形单元测试卷(困难 含解析)
浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（困难）（含答案解析）考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，已知△ABC中，∠B=90°，D，E分别为BC，AC的中点，连结DE，过D作AC的平行线与∠CAB的角平分线交于点F，连结EF，若EF⊥DF，AC=2，则∠DEF的正弦值为( )A. √5−12B. √5+14C. √5−14D. 3+√542. 在△ABC中，已知tanA=tanB，则下列说法不正确的是( )A. 边AB上任意一点P到边AC、BC的距离之和等于点B到AC的距离B. 边AB的垂直平分线是△ABC的对称轴C. △ABC的外心可能在△ABC内部、边上或外部D. 如果△ABC的周长是l，那么BC=l−2AB3. 如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点M处，折痕为AP，再将△PCM，△ADM分别沿PM，AM折叠，此时点C，D落在AP上的同一点N处.给出以下结论：①M是CD的中点；②AD//BC；③∠DAM+∠CPM=90∘；④当AD=CP时，ABCD =√32．其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=12，则sinA的值为( )A. 12B. √22C. √32D. √35. 如图，AB⏜是半径为1的半圆弧，△AOC 为等边三角形，点D 是BC ⏜上的一动点、则△COD 的面积S 的最大值是 ( )A. √34B. √33C. √32D. 126. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90∘，cosB =14，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使∠ADE =∠B ，连接CE ，则CEAD的值为( )A. 32B. √3C. √152D. 27. 已知圆内接正三角形的面积为√3，则该圆的内接正六边形的边心距是( ) A. 2B. 1C. √3D. √328. 如图，在正方形ABCD 中，AB =2，点E 是BC 边的中点，连接DE ，延长EC 至点F ，使得EF =DE ，过点F 作FG ⊥DE ，分别交CD 、AB 于N 、G 两点，连接CM 、EG 、EN ，下列正确的是：①tan∠GFB =12；②MN =NC ；③CMEG =12；④S 四边形GBEM =√5+12( )A. 4B. 3C. 2D. 19. 四巧板是一种类似七巧板的传统智力玩具，它是由一个长方形按如图1分割而成，这几个多边形的内角除了有直角外，还有45°、135°、270°角．小明发现可以将四巧板拼搭成如图2的T字形和V字形，那么T字形图中高与宽的比值ℎl为( )A. √2B. √2+12C. 4+√24D. 3√2210. 如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在⊙O上时，cos∠OQB的值等于( )A. 12B. 13C. 14D. 2311. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；④AP−BP=√2OP；⑤若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47.其中正确的结论有( )个A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图，建筑工地划出了三角形安全区(△ABC)，一人从A点出发，沿北偏东53°方向走50m 到达C点，另一人从B点出发，沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距(tan53°=43)( )A. 30√15mB. 30√17mC. 40√10mD. 130m第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D.给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ.其中正确的结论有______．14. 如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为______．，BE=2，则该菱形的面积是______．15.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=3516.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE=4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是______cm2．三、解答题（本大题共9小题，共72分。
【数学】第一章《解三角形》测试1(苏教版必修5)
第1章 解三角形§1.1正弦定理、余弦定理重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．经典例题：半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R(sin 2A-sin 2C)＝(3a-b)sinB ．(1)求角C ；(2)求△ABC 面积的最大值．当堂练习：1．在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15° 2．在△ABC 中，若a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 3．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a+b+c)·(a+b －c)=3ab, 则∠C=( )(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 5．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )(A) 有 一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定 6．在平行四边形ABCD 中，AC= 3 BD, 那么锐角A 的最大值为 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 7. 在△ABC 中，若cos2a A =cos2b B =cos2c C ，则△ABC 的形状是 ( )(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形 8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 9．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则B= .10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm 和4 3 cm ，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .11.在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。
(完整版)新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题
解三角形一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝23AC ＝( ) A ．3 B ．22 C 332.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75ο视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里 A. 65 B. 35 C. 25 D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为2m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. 3mC. 2mD. 200m 7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3 9.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为3A ＝60°，则BC 的长等于( )A ．5 B.6 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,2C c a ∠=︒=，则（ ） A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。
九年级数学第一章《解直角三角形》单元测试卷(含答案)
第一章《解直角三角形》单元测试卷一、填空题：1、如下图;表示甲、乙两山坡的情况; _____坡更陡。
(填“甲”“乙”)αβ 13 34 甲 乙2、在Rt △ABC 中;∠C ＝90°;若AC ＝3;AB ＝5;则cosB 的值为__________。
3、在Rt △ABC 中;∠C=90°.若sinA=22;则sinB= 。
4、计算：tan 245°－1＝ 。
5、在△ABC 中;AB=AC=10;BC=16;则tanB=_____。
6、△ABC 中;∠C=90°;斜边上的中线CD=6;sinA=31;则S △ABC=______。
7、菱形的两条对角线长分别为23和6;则菱形较小的内角为______度。
8、如图2是固定电线杆的示意图。
已知：CD ⊥AB;CD 33=m;∠CAD=∠CBD=60°;则拉线AC 的长是__________m 。
9、升国旗时;某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼;当国旗升至旗杆顶端时;该同学视线的仰角恰为30°;若双眼离地面;则旗杆的高度为______米。
(用含根号的式子表示)10、如图3;我校为了筹备校园艺术节;要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致;台阶的侧面如图所示;台阶的坡角为30;90BCA ∠=;台阶的高BC 为2米;那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m ;取2 1.414=3 1.732=）11、如图4;如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P ＇B;且BP=2;那么PP ＇的长为____________.(不取近似值. 62-62+)二、选择题：1班级：____________姓名：____________A 、45B 、5C 、15 D 、14513、李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1;你猜想锐角α的度数应是（ ） ° ° ° °14、身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝;他们放出的线长分别为300 m;250 m;200 m;线与地面所成的角度分别为30°;45°;60°(假设风筝线是拉直的);则三人所放的风筝（ ）15、在△ABC 中;若tanA=1;sinB=22;你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形16、如图5;某地夏季中午;当太阳移至房顶上方偏南时;光线与地面成80°角;房屋朝南的窗子高AB=1.8 m;要在窗子外面上方安装水平挡光板AC;使午间光线不能直接射入室内;那么挡光板的宽度AC 为( ) tan80°m °m C.︒80sin 8.1 m D.︒80tan 8.1 m17、如图6;四边形ABCD 中;∠A=135°;∠B=∠D=90°;BC=23;AD=2;则四边形ABCD 的面积是（ ）2B.43三、解答题： 18、计算：(1)3cos30°+2sin45° (2)6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°19、根据下列条件;求出Rt △ABC(∠C=90°)中未知的边和锐角. (1)BC=8;∠B=60°; (2)AC=2;AB=2.20、如图7;在Rt △ABC 中;∠C=90°;AC=8;∠A 的平分线AD=3316;求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.21、等腰三角形的底边长20 cm;面积为33100c m 2;求它的各内角.22、同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园在“六•一”前新增设的一台滑梯;该滑梯高度AC ＝2m;滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4m 。
《解三角形》单元测试题1
《解三角形》单元测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)1．在ABC ∆中，2,45,6000===b C A ，则此三角形的最小边长为（ ）A ．2B ．232-C ．13-D ．)12(2- 2．根据下列条件，确定三角形有两解的是（ ） A ．060,6,3===A b a B ．030,5,4===C b c C ．0120,2,3===B b aD ．060,4,5===C b c3．已知ABC ∆中，030,1,3===B b a ，则其面积等于（ ）A ．23或3 B ．23 C ．23或43 D ．43 4．在△ABC 中，2m :1)(m :m sinC :sinB :sinA +=，则m 的取值范围是（ ） A ．R m ∈ B ．2>m C ．0>mD ．21>m 5．已知三角形的三边长分别是)0(33,2,3222>++++m m m m m m ，则这个三角形的最大角是（ ） A ．0150 B ．0135 C ．0120 D ．0906．在△ABC 中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，则A ∠等于（ ）A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 7. 在△ABC 中，已知0120,4,6===C b a ，则B sin 的值是（ ）A ．1957 B ．721 C ．383- D ．1957- 8. 钝角三角形三边长为2,1,++a a a ，其最大角不超过0120，则a 的取值范围是（ ）A ．)3,23[B ．)25,1[ C ．]3,2( D ．)3,0( 9．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形10．甲、乙两楼相距m 20 ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是（ ） A ．m m 3320,2315 B ．m m 320,310 C ．m m 320,)23(10+ D ．m m 3340,320 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)11．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________． 12．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边，则ca bc b a +++＝________． 13．△ABC 中，A 为锐角，2lg 21sin lg 1lg lg -==+A c b ，则△ABC 为 三角形．14．一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ． 三、解答题(本大题共5小题，共66分)15．(本小题共12分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △． 16.(本小题共12分)在△ABC 中，设,2tan tan bbc B A -=求A 的值． 17．(本小题共14分)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC=600，AC=7，AD=6，S △ADC =2315，求AB 的长. 18．(本小题共14分)在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-． 19. (本小题共14分) 一缉私艇A 发现在北偏东45方向,距离12 nmile的海面上C 处有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东α+45的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.600 2 1DCB A 17题图ABC北 东19题图。
高中数学必修五__第一章___解三角形知识点归纳及测试题
第十二讲 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 63B 62C 12D 322. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形3.△ABC 中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12C 3D 324. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A13 B 12 C 34D 0 5.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
2020年秋浙教版九年级数学下册 第一章 解直角三角形单元强化练习(含解析)
2020年秋浙教版九年级数学下册 第一章 解直角三角形单元强化练习一、选择题1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A 、 ∠B 、 ∠C 所对的边分别为a 、b 、c ， 如果a=3b ， 那么∠A 的余切值为（ ）A. 13 B. 3 C. √24D. √10102.在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2， cosA =34 ，那么AB 的长是（ ） A. 52 B. 83 C. 103 D. 23√73.如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC 的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA 的值为（ ）A. 35B. 45C. 34D. 434.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB= 2√3 ，BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A. 5√34−π2B. 5√34+π2C. 2√3−πD. 4√3−π25.如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为31°，缆车速度为每分钟40米，从山脚下A 到达山顶B 缆车需要15分钟，则山的高度BC 为（ ）A. 600⋅tan31°B. 600tan31°C. 600⋅sin31°D. 600sin31°6.如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于 ⊙O ，则 AD:AB = （ ）A. 2√2:3B. √2:√3C. √3:√2D. √3:2√27.如图，矩形 ABCD 的四个顶点分别在直线 l 3 ， l 4 ， l 2 ， l 1 上．若直线 l 1//l 2//l 3//l 4 且间距相等， AB =4 ， BC =3 ，则 tan α 的值为（ ）A. 38B. 34 C. √52D. √15158.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B ，塔身中心线 AB 与垂直中心线 AC 的夹角为 ∠A ，过点B 向垂直中心线 AC 引垂线，垂足为点D ．通过测量可得 AB 、 BD 、 AD 的长度，利用测量所得的数据计算 ∠A 的三角函数值，进而可求 ∠A 的大小．下列关系式正确的是（ ）A. sinA =BD ABB. cosA =AB ADC. tanA =AD BDD. sinA =ADAB9.如图，点E ，F 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∠ADC=120°，∠BEC=∠CBF=50°，ED 与BF 的延长线交于点M ．则对于以下结论：①∠BME=30° ；②△ADE ≌ABE ；③EM= BC ；④AE+ BM= √3 EM ，其中正确结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）A. 23米B. 24米C. 24.5米D. 25米二、填空题11.如图，一辆小车沿着坡度为i=1:√3的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为________.12.如图，在大楼AB的楼顶B处测得另一栋楼CD底部C的俯角为60度，已知A、C两点间的距离为15米，那么大楼AB的高度为________米．（结果保留根号）13.如图，斜坡AB长为100米，坡角∠ABC=30°，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB改造成坡度i=1:5的斜坡BD（A、D、C三点在地面的同一条垂线上），那么由点A到点D下降了________米（结果保留根号）14.如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________。
第一章 解直角三角形单元测试卷(标准难度 含答案)
浙教版初中数学九年级下册第一单元《解直角三角形》（标准难度）（含答案解析）考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( )A. sinA=√32B. tanA=12C. cosB=√32D. tanB=√32. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F.若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为( )A. 8B. 10C. 12D. 163. 如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tan B=53，则tan∠CAD的值为( )A. √33B. √35C. 13D. 154. 在实数π，13，√2，sin30°中，无理数的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45. 如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，下列三角函数值错误的是( )A. sinB=35B. cosB=45C. tanB=34D. tanA=436. 如图，CD是平面镜，光线从点A出发，经CD上点E反射后照射到点B.若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值为( )A. 113B. 311C. 911D. 1197. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cosA=√32，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD=16，则BC的长为( )A. 6B. 8C. 8√3D. 128. 如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C>sin∠D；②cos∠C>cos∠D；③tan∠C>tan∠D中，正确的结论为( )A. ①②；B. ②③；C. ①②③；D. ①③；9. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为( )A. 95sinα米B. 95cosα米C. 59sinα米D. 59cosα米10. 如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AD⊥BC于点D，BD=√3.若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )A. √33B. √32C. 1D. √6211. 如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=α，则点A到OC的距离等于( )A. a⋅sinα+b⋅sinαB. a⋅cosα+b⋅cosαC. a⋅sinα+b⋅cosαD. a⋅cosα+b⋅sinα12. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45∘方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C的北偏东60∘方向，则这段河的宽度为( )A. 80(√3+1)米B. 40(√3+1)米C. (120−40√3)米D. 40(√3−1)米第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是．14. 在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sin A=3，则菱形ABCD的周长是．515. 若锐角α满足cosα<√2且tanα<√3，则α的范围是．216. 如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=3.如果⊙O的半径为√10cm，且经过点B，5C，那么线段AO=cm．三、解答题（本大题共9小题，共72分。
高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案
高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试卷及答案（2套）单元测试题一一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．在ABC △中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A >B ，则一定有（ ） A ．cos A >cos BB ．sin A >sin BC ．tan A >tan BD ．sin A <sin B3．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2sin sin cos a A B b A +，则ba =（ ）A ．B ．C D4．在△ABC 中，∠A ＝60°，a =，b ＝4．满足条件的△ABC （ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a b c =-， 则角B 的大小是（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -，sin C B =，则A ＝（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°7．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，△ABC sin aA为（ ）A B C D ．8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是（ ）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,6π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,3π⎡⎫π⎪⎢⎣⎭9．在△ABC 中，已知B ＝45°，c =，b =A 的值是（ ） A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°10．在锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（ ）A ．1<a <3B ．1a <<C a <D ．不确定11．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 22A b cc+=，则 △ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形12．如图所示，在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A 等于（ ）A ．13B ．12C ．34D ．0二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2<c 2，且3sin C ，则∠C ＝________． 15．在△ABC 中，a ＝3，26b =B ＝2∠A ，则cos A ＝________．16．某人在C 点测得塔AB 在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10 m 到O ，测得塔A 仰角为30°，则塔高为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知()cos cos 3sin cos 0C A A B +=．（1）求角B 的大小；（2）若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若sin 2cos 6A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求A 的值；（2）若1cos 3A =，b ＝3c ，求sin C 的值．19．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c ，已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =b ＝5，求sin B sin C 的值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222a b c +=． （1）求C ；（2）设cos cos A B =，()()2cos cos cos A B ααα++，求tan α的值．21．(12分)在△ABC 中，2C A π-=，1sin 3B =． （1）求sin A 的值；（2）设6AC =，求△ABC 的面积．22．(12分)如图，已知扇形AOB ，O 为顶点，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 相交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中） 1．【答案】C 【解析】6A π=，3B π=，2C π=，132::sin :sin :sin 3222a b c A B C ===，故选C ． 2．【答案】B【解析】∵A B >，∴a b >，由正弦定理，得sin sin A B >，故选B ．3．【答案】D【解析】本小题考查内容为正弦定理的应用．∵2sin sin cos a A B b A +=，∴22sin sin sin cos A B B A A +=，sin B A =，∴b =，∴ba．故选D ． 4．【答案】A【解析】4sin 60⨯︒=<a <b sin A ，∴△ABC 不存在． 故选A ． 5．【答案】A【解析】∵222a b c =-，∴222a c b +-=，由余弦定理，得222cos 2a c b B ac +-===0°<B <180°，所以B ＝45°． 故选A ． 6．【答案】A【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =，∴2226a b b -=， 即a 2＝7b 2．由余弦定理，2222222cos2b c a A bc +-===，又∵0°<A <180°，∴A ＝30°．故选A ． 7．【答案】B【解析】由1sin 2bc A =c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，故a =sin a A ==B ． 8．【答案】C【解析】本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得：a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-==≥=，∴03A π<≤，故选C ．9．【答案】D 【解析】∵sin sin b cB C =，∴sin sin c B C b ==． ∵0°＜C ＜180°．∴C ＝60°或120°，∴A ＝75°或15°．故选D ． 10．【答案】C【解析】∵b <c ，△ABC 为锐角三角形，∴边c 与边a 所对的角的余弦值大于0，即b 2＋a 2－c 2>0且b 2＋c 2－a 2>0，∴22140140a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩．∴3<a 2<5，∴35a <<． 故选C ． 11．【答案】A【解析】由21cos cos 222A A b c c ++==，整理得cos bA c=．又222cos 2b c a A bc +-=， 联立以上两式整理得c 2＝a 2＋b 2，∴C ＝90°．故△ABC 为直角三角形．故选A ． 12．【答案】C【解析】在△ABC 中，设∠ACD ＝∠BCD ＝β，∠CAB ＝α，由∠A ∶∠B ＝1∶2，得∠ABC ＝2α．∵∠A <∠B ，∴AC >BC ，∴S △ACD >S △BCD ，∴S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴1sin 3212sin 2AC DC BC DC ββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，∴32AC BC =．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，sin 2sin 2sin cos sin AC BC AC BCααααα=⇒=， ∴133cos 2224AC BC α==⨯=，即3cos 4A =．故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．815【解析】设△ABC 中，AB ＝AC ＝12，BC ＝6，由余弦定理222222121267cos 2212128AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯．∵()0,A ∈π，∴15sin A =，∴外接圆半径8152sin BC r A == 14．【答案】23π【解析】∵a 2＋b 2<c 2，∴a 2＋b 2－c 2<0，即cos C <0．又3sin C ，∴23C π∠=． 15．6【解析】∵a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，由正弦定理326sin sin 2A A=， ∴2sin cos 26sin 3A A A =，∴6cos 3A =． 16．【答案】10 m【解析】画出示意图，如图所示，CO ＝10，∠OCD ＝40°，∠BCD ＝80°，∠ACB ＝45°， ∠AOB ＝30°，AB ⊥平面BCO ，令AB ＝x ，则BC ＝x ，3BO x ，在△BCO 中，由余弦定理得)()223100210cos 8040xx x =+-⨯⨯︒+︒，整理得25500x x -=-，解得10x =，5x =-(舍去)，故塔高为10 m ．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．【答案】（1）3B π=；（2）112b ≤<． 【解析】（1）由已知得()cos cos cos 3cos 0A B A B A B -++-=， 即有sin sin 3sin cos 0A B A B =． 因为sin A ≠0，所以sin 30B B =． 又cos B ≠0，所以tan 3B =．又0<B <π，所以3B π=． （2）由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． 因为a ＋c ＝1，1cos 2B =，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又0<a <1，于是有2114b ≤<，即有112b ≤<． 18．【答案】（1）3A π=；（2）1sin 3C =． 【解析】（1）由题设知sin cos cos sin 2cos 66A A A ππ+=．从而sin 3A A ，所以cos A ≠0，tan A =．因为0<A <π，所以3A π=． （2）由1cos 3A =，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2， 故△ABC 是直角三角形，且2B π=．所以1sin cos 3C A ==． 19．【答案】（1）3A π=；（2）5sin sin 7B C =． 【解析】（1）由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得1cos 2A =或cos A ＝－2(舍去)． 因为0<A <π，所以3A π=．（2）由11sin sin 223S bc A bc π====bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a =． 又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．20．【答案】（1）34C π=；（2）tan α＝1或tan α＝4．【解析】（1）因为222a b c +=，由余弦定理有222cos 2a b c C ab +-===34C π=． （2）由题意得()()2sin sin cos cos sin sin cos cos cos A A B B ααααα--，因此()()tan sin cos tan sin cos A A B B αα--=，()2tan sin sin tan sin cos cos sin cos cos A B A B A B A B αα-++=，()2tan sin sin tan sin cos cos A B A B A B αα-++=因为34C π=，4A B π+=，所以()sin A B +=因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，即sin sin 52A B -=，解得sin sin 5210A B =-=．由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4． 21．【答案】（1）sin A ；（2）ABC S =△． 【解析】（1）由2C A π-=和A ＋B ＋C ＝π，得22A B π=-，04A π<<． ∴cos2A ＝sinB ，即2112sin 3A -=，∴sin A =．（2）由（1）得cos A sin sin BC AC A B =，∴sin 31sin 3AC ABC B===∵2C A π-=，∴2C A π=+，∴sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，∴11sin 22ABC S AC BC C =⋅⋅==△． 22．【答案】当θ＝30°时，S (θ)． 【解析】∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ，∠OCP ＝120°． 在△OCP 中，由正弦定理，得sin sin OP CP OCP θ=∠，即2sin120sin CPθ=︒，∴CP θ．又()2sin 60sin120CO θ=︒-︒，∴()60OC θ=︒-．故△POC 的面积是()1sin1202S CP CO θ=⋅⋅︒()()160sin si 2n 60θθθθ=︒-︒-()1sin sin 21cos 2602θθθθ⎫⎤=-︒=-⎪-⎥⎪⎝⎦⎭，()0,60θ∈︒︒， ∴当θ＝30°时，S (θ)单元测试题二一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．在ABC △中，若90C =︒，6a =，30B =︒，则c b -等于（ ）A ．1B ．1-C ．D ．-2．在ABC △中，3AB =，2AC =，BC =BA ·AC 等于（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．323．在△ABC 中，已知a =，b =A ＝30°，则c 等于（ ）A ．BC ．D ．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解 D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解5．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为（ ）A B C D ．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c =A ＝75°，则b 等于（ ）A ．2B -C ．4-D ．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a =7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ ）A B C D ．9．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于（ ）A B C D10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为（ ） A ．43sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B ．43sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=， 则角B 的值为________．15．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，3b =， A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．18．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =． （1）求2sin cos22B CA ++的值； （2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分)如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值； （2）求AE ．20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，3cos 5B =． （1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．21．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ． （1）求A 的大小；（2）若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．22．(12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(),a b m =， ()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ，边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒，tan30b a =︒=2c b ==，c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c = 故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B =︒，即只有一解；B 中，20sin 60sin 18C ︒==c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b = 故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=．∴32sinR θ==，R =C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c b A c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ． 7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒， 由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c )(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==． 在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ，即22217424cos 42aa AMB =+-⨯⨯⋅∠ ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即22216424cos 42aa AMB =++⨯⨯⋅∠ ②①＋②得：22222176442a +=++，∴a =B ．10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b=，∴a cos B ＝b sin A ， ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A,2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ，∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C 选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=，即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ． 12．【答案】D 【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C ===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA ABC ++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=+++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】0 14．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=，∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知，sin 1sin 2a B A b ==．又a <b ．∴6A π=，2C π=．∴sin 1C =． 16．【答案】332a ≤< 【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩，解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时， 则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =． 答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】（1）5950；（2）a = 【解析】（1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =，∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=，∴a = 19．【答案】（1；（2）AE=．【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒= （2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠， 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =． 【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B <π，∴4sin 5B ==． 由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△，∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =．由余弦定理得2222232cos 25225175b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1）得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=， 即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1）A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B) 11sin sin sin 22B B B B B =-=＝sin(B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形．22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】（1）证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。
第1章 三角形的初步认识单元测试(A卷基础篇)(浙教版)(解析版)
第1章三角形的初步认识单元测试(A卷基础篇）【浙教版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019秋•余杭区期末）下列各组线段中（单位：cm），能组成三角形的是（）A．5，15，20 B．6，8，15 C．2，2.5，3 D．3，8，15【思路点拨】根据三角形两边之和大于第三边进行判断即可．【答案】解：A、5+15＝20，不符合三角形的三边关系，故A不合题意；B、8+6＜15，不符合三角形的三边关系，故B不合题意；C、2+2.5＞3，符合三角形的三边关系，故C符合题意；D、8+3＜15，不符合三角形的三边关系，故D不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．2．（3分）（2019秋•下城区期末）已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．正三角形【思路点拨】先求出∠C的度数，进而可得出结论．【答案】解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣20°﹣70°＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3．（3分）（2020•越城区模拟）用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据高线的定义即可得出结论．【答案】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，故选：A．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．4．（3分）（2020春•椒江区期末）下列命题中，是假命题的为（）A．两直线平行，同旁内角相等B．两直线平行，内错角相等C．同位角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行【思路点拨】根据平行线的性质对A、B进行判断；根据平行线的判定方法对C、D进行判断．【答案】解：A、两直线平行，同旁内角互补，所以A选项为假命题；B、两直线平行，内错角相等，所以B选项为真命题；C、同位角相等，两直线平行，所以C选项为真命题；D、同旁内角互补，两直线平行，所以D选项为真命题．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．5．（3分）（2019秋•海曙区期末）如图，△ABC≌△AEF且点F在BC上，若AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论错误的是（）A．AC＝AF B．∠AFE＝∠BFE C．EF＝BC D．∠EAB＝∠F AC【思路点拨】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．【答案】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故A，C正确；∠EAF＝∠BAC，∴∠F AC＝∠EAB，故D正确；∠AFE＝∠C，故B错误；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．6．（3分）（2019秋•桐梓县期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（）A．2 B．4 C．6 D．8【思路点拨】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．【答案】解：解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；∴S△BEF＝S△BEC，同理得，S△EBC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝16，∴S△BEF＝4，即阴影部分的面积为4．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．7．（3分）（2020•温州模拟）如图，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．∠ABD＝∠DCA C．AC＝DB D．AB＝DC【思路点拨】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【答案】解：A、∵在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；B、∵∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB，∴∠ABD+∠DBC＝∠ACD+∠ACB，即∠ABC＝∠DCB，∵在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（ASA），故本选项不符合题意；C、∵在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（SAS），故本选项不符合题意；D、根据∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，AB＝DC不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．8．（3分）（2019秋•余杭区期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连结BF，CE．下列说法：①CE＝BF；②△ACE和△CDE面积相等；③BF∥CE；④△BDF ≌△CDE．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据“SAS”可证明△CDE≌△BDF，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE与DE不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠ECD＝∠FBD，则利用平行线的判定方法可对③进行判断．【答案】解：∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，∵DE＝DF，∠CDE＝∠BDF，∴△CDE≌△BDF（SAS），所以④正确；∴CE＝BF，所以①正确；∵AE与DE不能确定相等，∴△ACE和△CDE面积不一定相等，所以②错误；∵△CDE≌△BDF，∴∠ECD＝∠FBD，∴BF∥CE，所以③正确；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．9．（3分）（2019秋•慈溪市期末）如图，已知，AB＝AD，∠ACB＝∠AED，∠DAB＝∠EAC，则下列结论错误的是（）A．∠B＝∠ADE B．BC＝AE C．∠ACE＝∠AEC D．∠CDE＝∠BAD【思路点拨】由“AAS”可得△ABC≌△ADE，可得∠B＝∠ADE，AC＝AE，BC＝DE，可得∠ACE＝∠AEC，由等腰三角形的性质和外角性质可得∠CDE＝∠BAD，即可求解．【答案】解：∵∠DAB＝∠EAC，∴∠BAC＝∠DAE，且∠ACB＝∠AED，AB＝AD，∴△ABC≌△ADE（AAS）∴∠B＝∠ADE，AC＝AE，BC＝DE，∴∠ACE＝∠AEC，故选项A，C不符合题意，∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝∠ADE，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∴∠CDE＝∠BAD，故选项D不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ABC≌△ADE是本题的关键．10．（3分）（2019秋•临海市期末）有甲、乙、丙三人，甲说乙在说谎，乙说丙在说谎，丙说甲和乙都在说谎，则（）A．甲说实话，乙和丙说谎B．乙说实话，甲和丙说谎C．丙说实话，甲和乙说谎D．甲、乙、丙都说谎【思路点拨】分情况，依次推理可得．【答案】解：A、若甲说的是实话，即乙说的是谎话，则丙没有说谎，即甲、乙都说谎是对的，与甲说的是实话相矛盾，故A不合题意；B、若乙说的是实话，即丙说的谎话，即甲、乙都说谎是错了，即甲，乙至少有一个说了实话，与乙说的是实话不矛盾，故B符合题意；C、若丙说的是实话，甲、乙都说谎是对的，那甲说的乙在说谎是对的，与丙说的是实话相矛盾，故C不合题意；D、若甲、乙、丙都说谎，与丙说的甲和乙都在说谎，相矛盾，故D不合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是推理与论证，通过假设找出条件矛盾之处是本题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019秋•唐河县期末）把命题“三条边对应相等的两个三角形全等”改写成“如果…那么…”的形式，可写为如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．【思路点拨】命题改写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论．【答案】解：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．【点睛】命题由题设和结论两部分组成，命题可写成“如果…那么…”的形式，其中如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论．12．（4分）（2019秋•嘉兴期末）如图，已知AC＝DC，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，需添加的一个条件是AB＝DE．【思路点拨】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【答案】解：添加的条件是AB＝DE，理由是：∵在△ABC和△DEC中∴△ABC≌△DEC（SSS），故答案为：AB＝DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键．13．（4分）（2019秋•正阳县期末）已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是2b﹣2c．【思路点拨】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．【答案】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b﹣2c；故答案为：2b﹣2c【点睛】此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c与，b﹣a﹣c的符号．14．（4分）（2019秋•温州期中）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝16，则图中阴影部分的面积是．【思路点拨】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【答案】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×16＝8，∴S△CGE＝S△ACF＝×8＝，S△BGF＝S△BCF＝×8＝，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．15．（4分）（2019秋•三台县期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝55°．【思路点拨】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案为：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD ≌△CAE．16．（4分）（2019秋•宁都县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于点E，交AC 于点F，∠CDE＝∠ACB＝30°，BC＝DE，则∠ADF＝45°．【思路点拨】证明△ABC≌△CED（ASA），得出AC＝CD，由等腰三角形的性质得出求出∠CDA＝∠CAD ＝75°，即可得出答案．【答案】解：∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠CDE＝30°，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（ASA），∴AC＝CD，∴∠CDA＝∠CAD＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ADF＝∠CDA﹣∠CDE＝45°；故答案为：45°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2019秋•乌鲁木齐期末）如图，已知AB∥DC，AD∥BC，求证：AB＝CD．【思路点拨】根据平行线的性质得出∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA，根据ASA推出△BAC≌△DCA，根据全等三角形的性质得出即可．【答案】证明：∵AB∥DC，AD∥BC，∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA，在△BAC和△DCA中∴△BAC≌△DCA，∴AB＝CD．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，全等三角形的对应边相等，对应角相等．18．（8分）（2019秋•商河县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．【思路点拨】根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据三角形的外角性质得到∠AEC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．【答案】解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝40°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝80°，∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝10°．答：∠DAE的度数是10°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线，垂直的定义等知识点，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．19．（8分）（2019秋•南浔区期末）如图，已知点B，F，E，C在同一条直线上，AB∥CD，且AB＝CD，∠A＝∠D．求证：BE＝CF．【思路点拨】先由平行线的性质得∠B＝∠C，从而利用ASA判定△ABF≌△DCE，再根据全等三角形的性质得BF＝CE，然后利用等量加等量和相等，可得结论．【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE（ASA）∴BF＝CE，∴BF+EF＝CE+EF，即BE＝CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，这属于几何基础知识的考查，难度不大．20．（10分）（2020•温州三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，在边AB上取一点D，使得BD＝AC，过B 作AC的平行线BE，过D作AB的垂线与BE交于点E，连结AE．（1）求证：△ABC≌△BED．（2）若∠BAC＝34°，求∠AED的度数．【思路点拨】（1）由平行线的性质得出∠BAC＝∠EBD，可证明△ABC≌△BED（ASA）；（2）由（1）可知AB＝BE，则∠EAB＝∠AEB，求出∠EAB的度数，则可求出答案．【答案】（1）证明：∵BE∥AC，∴∠BAC＝∠EBD，∵DE⊥AB，∴∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠C，又∵BD＝AC，∴△ABC≌△BED（ASA）．（2）解：∵△ABC≌△BED，∴AB＝BE，∴∠EAB＝∠AEB，∵∠BAC＝34°，∴∠EBD＝34°，∴∠EAB＝＝＝73°，∴∠AED＝90°﹣∠EAB＝90°﹣73°＝17°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21．（10分）（2019秋•苍南县期末）已知：如图，∠ACB＝∠DCE，AC＝BC，CD＝CE，AD交BC于点F，连结BE．（1）求证：△ACD≌△BCE．（2）延长AD交BE于点H，若∠ACB＝30°，求∠BHF的度数．【思路点拨】（1）根据∠ACB＝∠DCE，可以得到∠ACD＝∠BCE，再根据题目中的条件，利用SAS可以证明结论成立；（2）根据题意作出合适的辅助线，然后根据（1）中的结论和三角形内角和可以得到∠BHF的度数．【答案】证明：（1）∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB+∠DCB＝∠DCE+∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠A＝∠B，∵∠BFH＝∠AFC，∴∠BHF＝∠ACB，∵∠ACB＝30°，∴∠BHF＝30°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定与性质、数形结合的思想解答．22．（12分）（2020•玉山县一模）如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1＝∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），使AC＝BD，并给出证明．你添加的条件是：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC．证明：AC＝BD．【思路点拨】要使AC＝BD，可以证明△ACB≌△BDA或者△ACO≌△BDO从而得到结论．【答案】解：添加条件例举：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC等．证明：（1）如果添加条件是AD＝BC时，∵BC＝AD，∠2＝∠1，AB＝BA，在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD，∴AC＝BD；（2）如果添加条件是OC＝OD时，∵∠1＝∠2∴OA＝OB∴OA+OD＝OB+OD∴BC＝AD又∵∠2＝∠1，AB＝BA在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD，∴AC＝BD；（3）如果添加条件是∠C＝∠D时，∵∠2＝∠1，AB＝BA，在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD，∴AC＝BD；（4）如果添加条件是∠CAO＝∠DBC时，∵∠1＝∠2，∴∠CAO+∠1＝∠DBC+∠2，∴∠CAB＝∠DBA，又∵AB＝BA，∠2＝∠1，在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD，∴AC＝BD．故答案为：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质；判定两个三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，本题已知一边一角，所以可以寻找夹这个角的另外一边或者是另外两个角．23．（12分）（2019秋•新昌县期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，（1）若点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠P的度数；（2）若点P是∠CBD与∠BCE平分线的交点，求∠P的度数；（3）若点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，求∠P的度数；（4）若∠A＝β，求（1）（2）（3）中∠P的度数（用含β的代数式表示，直接写出结果）【思路点拨】（1）根据三角形内角和定理和角平分线定义得出∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，根据三角形的内角和定理得出∠P的度数；（2）由三角形内角和定理和邻补角关系得出∠CBD+∠BCE＝360°﹣130°＝230°，由角平分线得出∠PBC+∠PCB＝（∠CBD+∠BCE）＝115°，再由三角形内角和定理即可求出结果；（3）由三角形的外角性质和角平分线的定义证出∠P＝∠A，即可得出结果；（4）由（1）（2）（3），容易得出结果．【答案】解：（1）∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，∴∠BPC＝180°﹣70°＝110°；（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∵P为△ABC两外角平分线的交点，∴∠DBC＝∠A+∠ACB，同理可得：∴∠BCE＝∠A+∠ABC，∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴（∠ACB+∠ABC）＝90°﹣∠A，∵180°﹣∠BPC＝∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，∴180°﹣∠BPC＝∠A+∠ACB+∠ABC，180°﹣∠BPC＝∠A+90°﹣∠A，∴∠BPC＝90°﹣∠A＝70°；（3）∵点P是∠ABC与∠ACF平分线的交点，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCF＝∠ACF，∵∠PCF＝∠P+∠PBC，∠ACF＝∠A+∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，∴∠P＝∠A＝20°；（4）若∠A＝β，在（1）中，∠P＝180°﹣（180°﹣β）＝90°+β；在（2）中，同理得：∠P＝90°﹣β；在（3）中同理得：∠P＝∠A＝β．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、三角形的外角性质、邻补角关系等知识点；熟练掌握三角形内角和定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．。
第1章 三角形的初步知识 单元检测(解析卷)
三角形的初步知识单元检测一、单选题1．下列各组线段的长，能组成三角形的是（ ）A．6，7，14B．5，6，10C．4，4，8D．3，4，8【答案】B【详解】解：A、6+7<14，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；B、5+6>10，故能构成三角形，故此选项符合题意；C、4+4=8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；D、3+4<8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．故选：B．2．下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】解：具有稳定性的图形是三角形构成的，故选：D．3．下列语句中，不是命题的是（）A．如果b<a，那么a>b B．直角都相等C．垂线段最短D．反向延长射线MN【答案】D【详解】解：A、如果b<a，那么a>b，是命题，本选项不符合题意；B、直角都相等，是命题，本选项不符合题意；C、垂线段最短，是命题，本选项不符合题意；D、反向延长射线MN，不是命题，本选项符合题意；故选：D．4．公元前6世纪，古希腊哲学家泰勒斯这样测得轮船到海岸的距离：如图所示，在海边灯塔上进行测量，直立一根可以原地转动的竖竿EF（垂直于地面），在其上一点A处连接一个可以绕A转动并固定在任意位置上的横杆，先转动横杆使其转向船的位置B，再转动竖竿EF，使横杆对准岸上的一点C，然后测量D，C的距离，即得D，B的距离，哲学家得到△ADC≌△ADB的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．SSA【答案】B【详解】由题意知AB =AC ，∠BAD =∠CAD ，在△ADC 和△ADB 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAD AD =AD，∴△ADC≌△ADB(SAS)．故选：B5．如图，△ABC≌△A ′BC ′，过点C 作CD ⊥BC ′，垂足为D ，若∠ABA ′=55°，则∠BCD 的度数为（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．55°【答案】B 【详解】解：∵△ABC≌△A ′BC ′，∴∠ABC =∠A ′BC ′，∴∠AB A ′+∠A ′BC =∠A ′BC +∠CB C ′，∴∠AB A ′=∠CB C ′=55°，∵CD ⊥BC ′，∴∠CDB =90°，∴∠BCD =180°−90°−∠CB C ′=35°；故选B ．6．如图，在ΔABC 中，D 、E 分别足边AC 、BC 上的点，BD 是ΔABC 的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明ΔADB≌ΔEDB 的是（）A ．∠DAB =∠DEB B ．AB =EBC ．∠ADB =∠EDBD ．AD =ED【答案】D 【详解】解：∵BD 是△ABC 的一条角平分线，∴∠ABD=∠EBD ，A.在△ADB 和△EDB 中{∠ABD =∠EBD ∠DAB =∠DEB BD =BD ， ∴△ADB ≌△EDB ，故A 不符合题意；B.在△ADB 和△EDB 中{AB =EB ∠ABD =∠EBD BD =BD ， ∴△ADB ≌△EDB ，故不符合题意；C.在△ADB 和△EDB 中{∠ABD =∠EBD BD =BD ∠ADB =∠EDB， ∴△ADB ≌△EDB ，故不符合题意；D.在△ADB 和△EDB 中，若添加AD =ED ，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB ≌△EDB ，故符合题意；故选D ．7．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO :S △BCO :S △CAO 等于（ ）．A ．1:1:1B ．1:2:3C ．2:3:4D ．3:4:5【答案】C【详解】解：如图，过点O 分别作AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别为点F ，D ，E，由角平分线的性质定理得：OD =OE =OF ，∵△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，∴S △ABO :S △BCO :S △CAO=12AB ⋅OF:12BC ⋅OD:12CA ⋅OE =AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4．故选：C ．8．如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠C =120°，AB =8cm ，BC =12cm ，CD =16cm ，点P 在线段BC 上以4cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时点Q 在线段CD 上由点C 向点D 匀速运动，若△BAP 与△PCQ 在某一时刻全等，则点Q 运动速度为（ ）A ．4cm/sB ．32cm/sC ．4cm/s 或32cm/sD ．4cm/s 或163cm/s 【答案】D 【详解】解：设点P 运动时间为t 秒，点Q 运动速度为vcm/s ，则BP =4tcm ，CQ =vtcm ，∴CP =(12−4t )cm ，∵∠B =∠C =120°，∴△BAP≌△CQP 或△BAP≌△CPQ ，当△BAP≌△CQP 时，CQ =AB =8cm ，BP =CP =12BC =6cm ，∴4t =6，解得：t =32，∴32v =8，解得：v =163cm/s ；当△BAP≌△CPQ 时，BP =CQ =vtcm ，∴4t =vt ，解得：v =4cm/s ；cm/s．综上所述，点Q运动速度为4cm/s或163故选：D．9．如图1，用尺规作图的方法“过直线l外一点P作直线l的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（）A．甲错乙对B．甲对乙错C．甲、乙都对D．甲、乙都错【答案】C【详解】解：利用平行线的判定方法可判断甲同学的作图正确．根据作图可得∠1=∠2，则PD∥l利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作图正确；∵PA=PB∴∠1=∠2，∵PE是角平分线，∴∠3=∠4又∵∠3+∠4=∠1+∠2∴∠1=∠3∴PE∥l故选：C．10．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠E =∠F =90°，∠EAC =∠FAB ，AE =AF ．给出下列结论：①∠B =∠C ；②CD =DN ；③BE =CF ；④△ACN≅△ABM ．其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③④C ．①②③D ．①②④【答案】A【详解】解：∵∠EAC =∠FAB ，∴∠EAB =∠FAC ，在△EAB 和△FAC 中，{∠E =∠F =90°AE =AF ∠EAB =∠FAC，∴△EAB≌△FAC(ASA)，∴∠B =∠C,BE =CF,AB =AC ，∴①③都正确，在△ACN 和△ABM 中，{∠B =∠C AB =AC ∠CAN =∠BAM，∴△ACN≌△ABM(ASA)，故④正确，根据已知条件无法证明②是否正确，故①③④正确，故选：A ．二、填空题11．在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，要使△ABC ≌△DEF ，需添加的条件是【答案】AB =DE 或BC =EF 或AC =DF【详解】解：如图，∵∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E，∴添加AB=DE，利用ASA可以证明△ABC≌△DEF；添加BC=EF，利用AAS可以证明△ABC≌△DEF；添加AC=DF，利用AAS可以证明△ABC≌△DEF故答案为：AB=DE或BC=EF或AC=DF12．已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠2=140°，则∠1= ．【答案】110°/110度【详解】解：∵30°角的直角三角板，∠2=140°，∴∠4=140°−∠3=110°，又∵l1∥l2，根据平行线同位角相等得：∠4=∠5，∵∠5与∠1为对顶角，∴∠5=∠1=110°，故答案为：110°．13．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9,BD=4，则CF=．【答案】5【详解】解：∵AB∥CF，∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F，∵E为DF的中点，∴DE=EF，∴△ADE≌△CFE，∴CF=AD，∵AB=9,BD=4，∴AD=AB−BD=5，∴CF=5．故答案为：5AC的长为半径画弧，两弧14．如图，已知△ABC的周长为20，AC=8，分别以点A和点C为圆心，大于12相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则△BAD的周长为．【答案】12【详解】解：由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，∴AD=CD．∵△ABC的周长为20，AC=8，∴AB+BC=12．∴△BAD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=12．故答案为：12．15．在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于．【答案】225°/225度【详解】解：观察图形可知∠1与∠5所在的三角形全等，二角互余，∠2与∠4所在的三角形全等，二角互余，∠3=45°，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠4=90°，∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=(∠1+∠5)+(∠2+∠4)+∠3=225°．故答案为：225°．16．如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线AE ，BF 相交于点O ，AE 交BC 于E ，BF 交AC 于F 过点O 作OD ⊥BC 于D ，下列四个结论：①∠AOB =90°+12∠C ；②当∠C =60°时，AF +BE =AB ；③若OD =a ，AB +BC +CA =2b ，则S △ABC =ab ．其中正确的是 ．（填写正确的序号）【答案】①②③【详解】解：∵在△ABC 中，∠ABC +∠BAC =180°−∠C ，∴12∠ABC +12∠BAC =90°−12∠C ，∵AE 和BF 是∠BAC 和∠ABC 的平分线，∴12∠ABC +12∠BAC +∠AOB =180°，∴∠AOB =180°−(90°−12∠C )=90°+12∠C ，故①正确；在AB 上截取BH =BE ，∵BF 是∠ABC 的角平分线，∴∠HBO =∠EBO ，∴在△HBO 和△EBO 中，{BH =BE ∠HBO =∠EBO BO =BO，∴△HBO≌△EBO(SAS)，∴∠BOH =∠BOE ，∵∠C =60°，∴∠AOB =180°−(90°−12∠C )=90°+12∠C =120°，∴∠AOF =180°−∠AOB =60°，∴∠BOH =∠BOE =∠AOF =60°，∴∠AOH =180°−∠BOH−∠AOF =180°−60°−60=60°，∴∠AOH =∠AOF ，在△HAO 和△FAO中，{∠HAO =∠FAO AO =AO ∠AOH =∠AOF，∴△HAO≌△FAO(ASA)，∴AF =AH ，∴AB =BH +AH =BE +AF ，故②正确；作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ，∵∠BAC 和∠ABC 的平分线AE ，BF 相交于点O ，OD =a ，∴OM =ON =OD =a ，∵AB +BC +CA =2b ，∴S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC =12×AB ×OM +12×BC ×OD +12×AC ×ON =12×(AB +BC +AC)×OD =12×2b ×a =ab ，故③正确；∴正确的序号为①②③；故答案为①②③．三、解答题17．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．【详解】18．已知△ABC的三边分别为a,b,c．(1)若a=1,b=7,c为整数，求△ABC的周长．(2)化简：|a+b−c|−|b−a−c|+|a+b+c|．【答案】(1)15(2)a+3b−c【详解】（1）解：∵a=1,b=7，∴7−1<c<7+1，即6<c<8，∵c为整数，∴c=7，△ABC的周长为a+b+c=1+7+7=15．（2）解：∵△ABC的三边长为a，b，c，∴a+c>b，a+b>c|a+b−c|−|b−a−c|+|a+b+c|=a+b−c+(b−a−c)+a+b+c=a+b−c+b−a−c+a+b+c=a+3b−c．19．如图，一块三角板ABC，D是AB边上一点，现要求在AC边上确定点E，使DE∥BC．(1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论）(2)请直接写出（1）中的作图理论依据．【详解】（1）解：如图，过点D作∠ADE=∠ABC，交AC于点E，则DE∥BC，则点E即为所求．（2）作图理论依据为：同位角相等，两直线平行．20．如图，△ACE≌△DBF ，AE =DF ，CE =BF ，AD =10，BC =2．(1)试说明：AB =CD ；(2)求AC 的长度．【详解】（1）解：∵△ACE≌△DBF ，∴AC =BD ，∴AC−BC =BD−BC ，∴AB =CD ；（2）∵AD =10，BC =2，∴AB =CD =12×(10−2)=4，∴AC =AB +BC =4+2=6．21．在△ABC 和△ADE 中，AB =AD ，∠1=∠2，∠E =∠C ，求证：BC =DE ．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC =∠2+∠DAC ，即∠BAC =∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，{∠BAC =∠DAE ∠C =∠E AB =AD，∴ △BAC≌△DAE(AAS)，∴BC =DE ．22．如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于点F ，若AC =BD ，AB =ED ，BC =BE ．求证：∠AFB =2∠ACB．【详解】解：在△ABC 和△BDE 中，{AC =BD AB =ED BC =BE∴△ABC≌△DEB （SSS ）∴∠ACB =∠EBD ；∵∠AFB =∠ACB +∠EBD ，∴∠AFB =2∠ACB23．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB =8，AC =6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC ≌△EDB 的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM ⊥DN ，求证：BM +CN >MN ．【详解】（1）解：∵在△ADC 和△EDB中，{AD =DE ∠ADC =∠BDE BD =CD，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故答案为：SAS ；（2）解：∵由（1）知：△ADC ≌△EDB ，∴BE=AC=6，AE=2AD ，∵在△ABE 中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7．（3）证明：延长ND 至点E ，使DE =DN ，连接BE 、ME ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴BD =CD ．在△BED 和△CND 中，{DE =DN ∠BDE =∠CDN BD =CD，∴△BED ≌△CND(SAS)，∴BE =CN ，∵DM ⊥DN ，DE =DN ，∴ME =MN ，在△BEM 中，由三角形的三边关系得：BM +BE >ME ，∴BM +CN >MN．24．【初步探索】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中BE、EF、FD之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明：△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF=BE+FD，请判断∠EAF与∠DAB的数量关系．并证明你的结论．【详解】解：（1）BE+FD=EF．理由如下：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠ADC =90°，∴∠ADG =180°−∠ADC =90°，又∵∠B =90°，∴∠B =∠ADG ，在△ABE 与△ADG 中，{AB =AD ∠B =∠ADG BE =DG，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE =∠DAG ，AE =AG ，∵∠BAD =120°，∠EAF =60°，∴∠BAE +∠DAF =∠BAD−∠EAF =60°，∴∠DAG +∠DAF =60°，即∠GAF =60°，∴∠GAF =∠EAF ；在△AEF 与△AGF 中，{AE =AG ∠EAF =∠GAF AF =AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF =GF ，∵GF =DG +DF ，∴EF =BE +DF ，故答案为：BE +FD =EF ；（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：如图2，延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG，∠B +∠ADF =180°，∠ADG +∠ADF =180°，∴∠B =∠ADG ，又∵AB =AD ，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE =∠DAG ，AE =AG ，∵∠BAD =120° 120°，∠EAF =60°，∴∠BAE +∠DAF =60°，∴∠DAG +∠DAF =60°，∴∠GAF =∠EAF =60°，又∵AF =AF ，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF =FG =DG +DF =BE +DF ；（3）∠EAF =180°−12∠DAB ．证明：如图3，延长DC 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，∵∠ABC +∠ADC =180°，∠ABC +∠ABE =180°，∴∠ADC =∠ABE ，在△ABE 与△ADG 中，{AB =AD ∠B =∠ADG BE =DG，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴AG =AE ，∠DAG =∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DG+FD，∴EF=GF，在△AEF与△AGF中，{AE=AGEF=GF，AF=AF∴△AEF≌△AGF(SSS)，∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∠DAB．∴∠EAF=180°−12。
【易错题】浙教版九年级下《第章解直角三角形》单元试卷(教师用)
【易错题解析】浙教版九年级数学下册第一章解直角三角形单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在中，°, °，AB=5，则BC的长为( )A. 5tan40°B. 5cos40°C. 5sin40°D.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cosB= ，∵AB=5，∠B=40°，∴BC=AB·cosB=5cos40°.故答案为：B.【分析】根据余弦函数的定义得出cosB=，故BC=AB·cosB=5cos40°.2.在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】∵∠C=90°，sinA=，∴sinA==，设AB=5x，BC=3x，∴AC=4x，∴tanB ==.故答案为：A.【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可得出答案.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，根据正切的定义知：tanB=.故选A.4.如图所示,热气球探测器在A点处,点B为楼顶,点C为楼底,AD为水平线,EF为经过点A的铅垂线,则下列说法正确的有( )①∠1为仰角; ②∠2为仰角; ③∠3为俯角; ④∠4为俯角.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【解答】解：正确的说法是②∠2为仰角，③∠3为俯角；故答案为：B【分析】根据仰角与俯角的定义，视线在水平线上方，由视线和水平线所形成的夹角就是仰角；视线在水平线下方，由视线和水平线所形成的夹角就是俯角；根据定义即可一一判定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章《解三角形》单元测验
一、选择题（40分）
1．在△ABC中，若A=30°,B=45°,C =6，则A等于（）
A.2
6- B.2
6
(2-） C.)2
6
(3- D.)2
6
(4- 2．在△ABC中，若a =7,b =4,c =5,则△ABC的面积为（精确到0.１）（） A．7 B．8.2 C．10.3 D．9.8 3．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离D1与第二辆车与第三辆车的距离D2之间的关系为（）
A.d1＞d2
B.d1=d2
C.d1＜d2
D.大小确定不了
4．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(3sin A，sin B)，n＝(cos B，3cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()
A.π
6 B.π
3 C.
2π
3 D.
5π
6
5．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则角A的取值范围是()
A．(π
2，π) B．(
π
4，
π
2) C．(
π
3，
π
2) D．(0，
π
2)
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝()
A.7
25B－
7
25C±
7
25 D.
24
25
7．在△ABC中，若a cos A＋b cos B＝c cos C，则△ABC的形状是()
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
8．已知在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且a＝4，b ＋c＝5，tan B＋tan C＋3＝3tan B tan C，则△ABC的面积为()
A.
3
4B．33 C.
33
4 D.
3
4
二、填空题（15分）
9．在△ABC 中，已知t a n A =
21,t a n B =3
1，试求最长边与最短边的比为________.
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.
11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos C cos B ＝－2a ＋c b ，
则角B 的大小为________．
三、解答题(共45分)
12．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .
(1)求边AB 的长；
(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．
13．如图所示，已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°处，甲船自A 以50海里/时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里/时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？
14．如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠BCD =75°，∠ACB =∠BDC =45°，DC =3，求： (1)AB 的长; (2)四边形ABCD 的面积.。