西安交大阳光中学必修第二册第五单元《概率》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲、乙同时击中目标的概率为（）
A．21
44
B．
12
23
C．
12
25
D．
21
11
2．早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”．18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率π，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图就是利用随机模拟方法估计圆周率π，（其中()
rand是产生[0,1]内的均匀随机数的函数，*
k N
∈），则π的值约为（）
A．m
k
B．
2m
k
C．4
m
k
-D．
4m
k
3．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（）
A．5
81
B．
14
81
C．
22
81
D．
25
81
4．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和
黄球的概率分别为111
,,
236
，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则
记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为（）
A．5
36
B．
5
6
C．
5
12
D．
1
2
5．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合{}
1,2,3,4中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（）
A．2
3
B．
1
12
C．
1
6
D．
1
3
6．某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率是（）
A．1
3
B．
2
3
C．
1
4
D．
3
4
7．设A，B，C是三个事件，给出下列四个事件：
（Ⅰ）A，B，C中至少有一个发生；
（Ⅱ）A，B，C中最多有一个发生；
（Ⅲ）A，B，C中至少有两个发生；
（Ⅳ）A，B，C最多有两个发生；
其中相互为对立事件的是（）
A．Ⅰ和ⅡB．Ⅱ和ⅢC．Ⅲ和ⅣD．Ⅳ和Ⅰ
8．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖，按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（）
A．1
3
B．
17
45
C．
2
45
D．
17
100
9．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（）
A．
91
216
B．
31
216
C．
25
216
D．
5
216
10．下列说法正确的是（）
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
11．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（）
A．0.24B．0.36C．0.6D．0.84
12．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气
温在37摄氏度以上的概率是3
5
.用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，
3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
A．3
5
B．
1
2
C．
13
20
D．
2
5
13．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（）
A．1
9
B．
2
9
C．
3
9
D．
4
9
二、解答题
14．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.
（1）记事件A为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”.求()
P A；
（2）记事件B为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件C为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个
球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：
1
()()()
5
P C P B P A
-=.
15．袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.
（1）求甲、乙成平局的概率；
（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.
16．2020年9月份，南京出台了<南京市生活垃圾管理条例>，提出2020年11月1日起，实现单位生活垃圾强制分类全覆盖，居民区普遍推行生活垃圾分类制度.为加强社区居民的垃圾分类意识，推动社区垃圾分类正确投放，某社区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，为此需征集一部分垃圾分类志愿者.已知某垃圾站的日垃圾分拣量y (千克)与垃圾分类志愿
者人数x (人)满足线性回归直线方程ˆy
bx a =+，数据统计如下： 志愿者人数x (人) 2 3
4 5 6 日垃圾分拣量y (千克)
25
30
40
45
t
（1）已知5
1
1405i i y y ===∑，
1
20i
i x
==∑，1
885i i i x y ==∑，根据所给数据求t 和线性回归直
线方程ˆy
bx a =+. （2）用（1）中所求的线性回归方程得到与i x 对应的口垃圾分拣量的估计值ˆi y
.当分拣数据i y 与估计值ˆi y
满足ˆi i y y -≤2时，则将分拣数据(i x ，i y )称为一个“正常数据”.现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率.
参考公式：()()
(
)
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x
==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-. 17．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照
[)50,60，[)60,70，…[]90,100分成5组，制成如图所示频率分布直方图.
（1）求图中x 的值； （2）求这组数据的平均数；
（3）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值
为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率.
18．海关对同时从,,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测． 地区 A B C 数量/件
50
150
100
（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
19．某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言. （Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间； （Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率； （Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.
20．甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2
3
，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
21．为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长（单位cm ），得到如下频数分布表和频率分布直方图： 分组 [)85,95
[)95,105
[)105,115
[)115,125
[]125,135
频数
2
7
a
b
2
（1）请求出频数分布表中a ，b 的值；
（2）估计这片经济林树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）；
（3）从样本中底部周长在115cm 以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm 以上的概率.
22．某综艺节目邀请嘉宾进行答题闯关挑战，每位嘉宾挑战时，节目组用电脑出题的方式，从题库中随机出4道题，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，电脑依次出题，嘉宾按规则作答，挑战规则如下：
①嘉宾每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；
②嘉宾若答对第i A 题，则继续作答第1i A +题；嘉宾若答错第i A 题，则失去第1i A +题的答题机会，从第2i A +题开始继续答题；直到4道题目出完，挑战结束；
③每位嘉宾初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则嘉宾闯关成功，否则闯关失败．
嘉宾小源即将参与挑战，已知小源答对题库中每道题的概率均为2
3
，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （Ⅰ）挑战结束时，小源共答对3道题的概率1P ； （Ⅱ）挑战结束时，小源恰好作答了3道题的概率2P ； （Ⅲ）小源闯关成功的概率3P ．
23．5月4日，修水第二届“放肆青春放肆跑”全民健身彩跑活动在信华城举行，全程约
5.4km ，共有2500余名参与者.某单位为了解员工参加彩跑活动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行问卷调查，得到了如下22⨯列联表：
已知在这30人中随机抽取1人抽到参加彩跑活动的员工的概率是
815
. （1）完成答题卡上的22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关？
（2）已知参加彩跑的女性中共有4人跑完了全程，若从参加彩跑的6名女性中任选两人，求选出的两人均跑完了全程的概率.
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
()
2
≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 P K k
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
24．某高校为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生
的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的
频率分布直方图.
（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数a（a的值精确到0.01）；
6.5,
7.5，
（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[)
[)
7.5,8.5的学生中抽取6名参加座谈会.
()i你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；
7.5,8.5的概率.
()ii从这6名学生中随机抽取2人，求至多有一人每周读书时间在[)
25．2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.某乡镇
在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项
精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下表
年份2015201620172018209
年份代码x12345
脱贫户数y55688092100
=+，并预测到2020
（1）根据2015-2019年的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a
年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；
（2）2019年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户.该乡镇某干部打算
按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展
情况.为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的
2户中至少有1户是扶贫户的概率.
参考数据：
5
1
15526838049251001299 i i
i
x y
=
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
∑
参考公式：()() ()
11
2
2
2
11
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x y nx y x x y y
b
x nx x x
==
==
---
==
--
∑∑
∑∑
，a y bx
=-
26．某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，这200人的年龄区间为[]
15,65并将这200人按年龄分组:第1组[)
15,25，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求出a的值；
（2）求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求从第2组恰好抽到2人的概率.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.
【详解】
根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,
则()()()()()
1110.610.80.92
P C P A P B
=-=--⨯-=；
则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.80.9212
23
P ⨯==. 故选：B. 【点睛】
本题考查条件概率的计算,是基础题,注意认清事件之间的关系,结合条件概率的计算公式正确计算即可.属于基础题.
2．D
解析：D 【分析】
根据[0,1]x ∈，[0,1]y ∈，而2
2
1x y +<表示14个圆，则4m k π=，故4m
k
π=
. 【详解】
根据程序框图，知[0,1]x ∈，[0,1]y ∈，而2
2
1x y +<表示
1
4
个圆，如图所示：
则落在阴影部分的面积与正方形面积比为4
m k π
=
，得4m
k
π=
. 故选：D. 【点睛】
本题考查了程序框图，几何概型，频率的理解与应用，属于中档题.
3．B
解析：B 【分析】
恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果． 【详解】
分两种情况3，1，1及2，2，1
这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率， 当取球的个数是3，1，1时，
试验发生包含的基本事件总数事件是53， 满足条件的事件数是1
3
1
342C C C
∴这种结果发生的概率是1313425
8
381C C C = 同理求得第二种结果的概率是1223425
6
381
C C C = 根据互斥事件的概率公式得到8614818181
P =+=. 故选：B ． 【点睛】
此题考查根据古典概型求解概率，关键在于准确分类，求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.
4．C
解析：C 【分析】
概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率，计算到答案. 【详解】
根据题意：概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率.
即3
3
3
1115162312
p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C . 【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．D
解析：D 【分析】
讨论十位上的数为4，十位上的数为3，共8个，再计算概率得到答案. 【详解】
当十位上的数为4时，共有2
36A =个；当十位上的数为3时，共有222A =个，共8个.
故3
4881243
p A =
==. 故选：D . 【点睛】
本题考查了概率的计算，分类讨论是解题的关键.
6．B
解析：B 【分析】
列举出所有的基本事件，记“此人经过市中心O ”为事件M ，确定事件M 所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】
此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A B C E H →→→→，
A B O E H →→→→，A B O G H →→→→，A D O E H →→→→，A D O G H →→→→，A D F G H →→→→，共6条.
记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A B O E H →→→→，
A B O G H →→→→，A D O E H →→→→，A D O G H →→→→，共4条.
()4263P M ∴=
=，即他经过市中心的概率为23
. 故选：B. 【点睛】
本题考查概率的应用，是中等题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．
7．B
解析：B 【分析】
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 【详解】
解：A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生； （Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生； （Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生 （Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；
在A 中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故A 中的两个事件不能相互为对立事件； 在B 中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故B 中的两个事件相互为对立事件；
在C 中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故C 中的两个事件不能相互为对立事件； 在D 中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故D 中的两个事件不能相互为对立事件． 故选：B ． 【点睛】
本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
8．B
解析：B 【分析】
可将中奖的情况分成第一次两球连号和第二次取出的小球与第一次取出的号码相同两种情况，分别计算两种情况的概率，根据和事件概率公式可求得结果. 【详解】
中奖的情况分为：第一次取出两球号码连号和第二次取出两个小球与第一次取出的号码相同两种情况
第一次取出两球连号的概率为：2651
3
C =
第二次取出两个小球与第一次取出号码相同的概率为：26112
1345
C ⎛⎫-⨯
= ⎪⎝⎭
∴中奖的概率为：1217
34545
+=
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查和事件概率问题的求解，关键是能够根据题意将所求情况进行分类，进而通过古典概型和积事件概率求解方法求出每种情况对应的概率.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现零次6点向上”，由此借助对立事件的概率进行求解． 【详解】
由题事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现零次6点向上”
所以至少出现一次6点向上的概率0
3
03111259111166216216p C ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
故选A. 【点睛】
本题考查应用对立事件求概率，属于一般题．
10．D
解析：D 【分析】
由概率的意义可判断AB 错误，由随机抽样的概念得到D 正确. 【详解】
一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B 不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1，所以C 不正确；D 正确． 故答案为D. 【点睛】
本题考查了概率的意义以及随机抽样法的概念，性质，属于基础题.
11．D
解析：D 【分析】
先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论． 【详解】
由题意小明每次投篮不中的概率是10.60.4-=，再次投篮都不中的概率是20.40.16=， ∴他再次投篮至少投中一次的概率为10.160.84-=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．
12．B
解析：B 【分析】
从20个随机数中观察随机数的三个数中恰有2个在0，1，2，3，4，5中的个数，然后可得概率． 【详解】
观察20个随机数，其中有116，812，730，217，109，361，284，147，318，027共10个表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信号， 因此所求概率为101202
P ==． 故选：B ． 【点睛】
本题考查随机数表，解题关键是正确理解题意，从随机数中求得表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的个数，从而得出概率．
13．D
解析：D 【分析】
利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果 【详解】
解：三位数的回文数为ABA ，
A 共有1到9共9种可能，即11
B 、22B 、33B ⋯
B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯ 共有91090⨯=个，
其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即22B ，44B ，66B ，88B ， B 共有0到9共10种可能，即0A A 、1A A 、2A A 、3A A 、⋯ 其有41040⨯=个，
∴三位数的回文数中，偶数的概率404909
P =
=； 故选：D ． 【点睛】
本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题．
二、解答题
14．（1）3
5
；（2）证明见解析. 【分析】
（1）列举出从袋中一次摸出2个球的所有基本事件，找出其中满足事件A 的基本事件有6个，即可求解()P A ；
（2）同样列举出从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件B 的基本事件；同理列举出从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件，找出其中满足事件C 的基本事件，即可计算出1
()()()5
P C P B P A -=. 【详解】
解：（1）记这3个红球为123,,a a a ，2个白球记为12,b b ，则从袋中一次摸出2个球的所有基本事件为：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，
()31,a b ，()32,a b ，()12,b b 共10个，其中满足事件A 的基本事件有6个，所以
()63105
P A =
=. （2）从袋中第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为()11,a a ，()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()21,a a ，()22,a a ，()23,a a ，
()21,a b ，()22,a b ，()31,a a ，()32,a a ，()33,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()11,b a ，
()12,b a ，()13,b a ，()11,b b ，()12,b b ，()21,b a ，()22,b a ，()23,b a ，()21,b b ，()
22,b b 共25个，满足事件B 的基本事件有12个，所以()1225
P B =
. 从袋中第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球的所有基本事件为()12,a a ，
()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()21,a a ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a a ，
()32,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()11,b a ，()12,b a ，()13,b a ，()12,b b ，()21,b a ，
()22,b a ，()23,b a ，()21,b b 共20个，满足事件C 的基本事件有12个，所以
()123205
P C =
=.
因此：()()312352525
P C P B -=-=， 又()3
5P A =，所以()()()15
P C P B P A -=. 【点晴】
方法点晴：等可能事件概率一般用列举法列举出所有基本事件，找出满足所求事件的基本事件个数，直接用公式求得概率. 15．（1）2
5
；（2）不影响比赛的公平性.. 【分析】
（1）将甲的可能取球基本事件一一列举出来，甲乙平局时的基本事件列举出来，根据古典概型概率公式计算即可；
（2）结合（1）计算先取者（甲）获胜的概率，后取者（乙）获胜的概率，比较即可得出结论. 【详解】
解：（1）记黑球为1，2号，白球为3，4号，红球为5，6号，
则甲的可能取球共有以下20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，
甲乙平局时都得3分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共8种情况， 故平局的概率182205
P =
=. （2）甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的是2红1白，1红2白，2红1黑共6种情况，
故先取者（甲）获胜的概率2632010P =
=， 后取者（乙）获胜的概率3233151010
P =-
-=， 所以23P P =，故先取后取获胜的概率一样. 【点睛】
求古典概型概率的步骤：
（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；
（2）分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； （3）利用公式()m
P A n
=
，求出事件A 的概率． 16．（1）60t =，ˆ8.56y
x =+；（2）3
10
P = 【分析】
（1）根据40y =，求t ，再根据参考公式求ˆˆ,b
a ，求回归直线方程；（2）首先计算“正常数据”的个数，再求两个都是“正常数据”的概率.
【详解】 （1）由条件可知
25304045405
t
++++=，解得：60t =，
20
45
x =
=， ()()()()()()()()5
1
242540343040 (646040i)
i
i x x y y =--=--+--++--∑
85=
()
()()()()()5
2
22222
1
243444546410i i x x =-=-+-+-+-+-=∑，
()()
(
)
1
2
1
85ˆ8.510
n
i
i
i n
i i x x y y b
x x
==--∴==
=-∑∑，ˆˆ408.546a y bx
=-=-⨯=， 所以回归直线方程是ˆ8.56y
x =+； （2）12x =时，1ˆ23y
=，232522-=≤，是正常数据，23x =时，2ˆ31.5y =，31.530 1.52-=≤是正常数据，34x =时，3ˆ40y
=，404002-=≤，是正常数据， 45x =时，4ˆ48.5y
= 48.545 3.52-=>，不是正常数据，56x =时，5ˆ57y =，576032-=>，不是在正常数据，则5个数据中正常数据是3个，不正常数据是2个， 现从题中5个分拣数据中任取2个，求2个都是“正常数据”的概率23253
10
C P C ==
. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是正确理解题意，并能根据参考公式计算求值. 17．（1）0.01；（2）77；（3）35
. 【分析】
（1）由各组的频率和为1，列方程可求出x 的值； （2）由平均数的公式直接求解即可；
（3）先计算满意度评分值在[)50,60内有1000.005105⨯⨯=人，按比例男生3人女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可. 【详解】
解：（1）由()0.0050.020.0350.030101x ++++⨯=，解得0.01x =；
（2）这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （3）满意度评分值在[)50,60内有1000.005105⨯⨯=人，男生数与女生数的比为3：2，故男生3人，女生2人，记为12312,,,,A A A B B ，记“满意度评分值为[)50,60的人中随机
抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A ，
从5人中抽取2人有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，
32A B ，12B B ，所以总基本事件个数为10个，A 包含的基本事件：11A B ，12A B ，
21A B ，22A B ，31A B ，32A B ，共6个，所以 ()63105
P A =
=. 【点睛】 结论点睛：
频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1；
②直方图中纵轴表示频率除以组距，故每组样本中的频率为组距乘以小长方形的高，即矩形的面积；
③直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ④最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ⑤中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；
⑥平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 18．（1）1，3，2；（2）415
. 【分析】
（1）由分层抽样的性质运算即可得解；
（2）利用列举法，结合古典概型概率的计算公式，即可得解. 【详解】
（1）由题意，样品中来自A 地区商品的数量为6
50150150100
⨯=++，
来自B 地区商品的数量为6
150350150100⨯=++，
来自C 地区商品的数量为6
100250150100
⨯
=++；
（2）设来自A 地区的样品编号为a ，来自B 地区的样品编号为1b ,2b ,3b ， 来自C 地区的样品编号为1c ,2c ，
则从6件样品中抽取2件产品的所有基本事件为:
()1,a b ,()2,a b ,()3,a b ,()1,a c ,()2,a c ,()12,b b ,()13,b b ,()11,b c ,
()12,b c ,()23,b b ,()21,b c ,()22,b c ,()31,b c ,()32,b c ,()12,c c ,共15个；
抽取的这2件产品来自相同地区的基本事件有:
()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,()12,c c ,共4个；
故所求概率415
P =. 【点睛】
本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于中档题. 19．（Ⅰ）样本空间见解析；（Ⅱ）25；（Ⅲ）45
. 【分析】
（Ⅰ）给6名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间；
（Ⅱ）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率； （Ⅲ）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率. 【详解】
解：（Ⅰ）设2名医生记为1A ，2A ，3名护士记为1B ，2B ，3B ，1名管理人员记为C ， 则样本空间为：()()()()()()(){1
2
1
1
1
2
1
3
1
2
1
2
2
,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B Ω=
()()()()()()()()}2
3
2
1
2
1
3
1
2
3
2
3
,,,,,,,,,,,,,,,A B A C B B B B B C B B B C B C .
（Ⅱ）设事件M ：选中1名医生和1名护士发言，则
()()()()()(){}111213212223,,,,,,,,,,,M A B A B A B A B A B A B =，
∴()6n M =，又()15n Ω=， ∴()62155
P M =
=. （Ⅲ）设事件N ：至少选中1名护士发言，则()()(){}1
2
1
2
,,,,,N A A A C A C =，
∴()
3n N =，
∴()()
3411155
P N P N =-=-=. 【点睛】
本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式．用列举法写出事件空间中的所有基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法．
20．(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】
（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X ，Y ，由于~(6,3,4)X H ，
2~3,3Y B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，分别写出分布列，再求期望值均为2；
（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差. 【详解】
（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：~(6,3,4)X H ，。